Phys. Dirk Burghardt

3.2. Linienverdrängung mit Snakes 37
3.2.3 Variationsverfahren und Eulergleichungen
Nach Festlegung der Zielfunktion, respektive Konstruktion der Gesamtenergie, wird das Energieintegral
variiert. Die Lösung der entstehenden Eulergleichung liefert die Linienkoordinaten, welche
das Optimalitätskriterium, minimale Gesamtenergie, erfüllen. Heute ist die Anwendung
von Extremalprinzipien überall in den Natur- und Ingenieurwissenschaften verbreitet, in der
Geodäsie z.B. bei der Darstellung der geodätischen Linie in Form der Eulerschen Gleichungen
(Klotz, 1991; Grafarend und You, 1995). Dabei bleibt dem Anwender die wesentliche Aufgabe,
eine dem Problem angepaßte Lagrange-Funktion aufzustellen bzw. geeignete Energien zu
definieren.
Herleitung der Eulerschen Gleichungen:
I[x(s), y(s)] =
∫ 1
0
E ges ds =
∫ 1
von zwei Funktionen x(s), y(s) mit festen Randwerten
0
Wir betrachten ein Funktional
E ges (x, x s , x ss , y, y s , y ss , s) ds (3.2-6)
x(0) = x a , y(0) = y a , x(1) = x e , y(1) = y e .
Gesucht sind die Funktionen x(s), y(s), für die das Funktional I[x(s), y(s)] minimal wird. Eine
notwendige Bedingung ist die Stationarität von I bei Variation der gesuchten Funktionen:
δI[x + δx, y] = 0 , δI[x, y + δy] = 0 . (3.2-7)
Damit lassen sich die Eulerschen Gleichungen der Variationsrechnung für beide Funktionen
herleiten (siehe z.B. Fliessbach (1992)):
δI[x + δx, y] = I[x + δx, y] − I[x, y]
=
=
=
=
=
=
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
ds (E x δx + E xs δx s + E xss δx ss )
(
d
ds E x δx + E xs
ds δx + E d 2 )
x ss
ds 2 δx
∫ 1 ( dExs
ds E x δx − ds
0 ds δx + dE )
x ss
ds
δx s + E xs δx∣ 1 ∣ + E ∣∣ 1
x ss
δx s
0 0
(
ds E x − dE ) ∫ 1
x s
δx − ds dE x ss
ds
0 ds
δx s
(
ds E x − dE )
x s
ds
+ d2 E xss
ds 2 δx − dE ∣
x ss
ds δx ∣∣ 1
0
(
ds E x − dE )
x s
ds
+ d2 E xss
ds 2 δx = 0 . (3.2-8)
Durch zweimalige partielle Integration wird E xss δx ss zu (d 2 E xss /ds 2 )δx. Analog erfolgt die Variation
für die Funktion y(s). Aus der Beliebigkeit von δx bzw. δy resultieren zwei Differentialgleichungen
4. Ordnung, die Eulerschen Gleichungen
E x − dE x s
ds
+ d2 E xss
ds 2 = 0 , E y − dE y s
ds
+ d2 E yss
ds 2 = 0 . (3.2-9)
Nach dem Einsetzen des inneren und äußeren Potentials ergeben sich die Gleichungen
∂E ext
∂x − α(x ss − x o ss) + β(x ssss − x o ssss) = 0 , (3.2-10)
∂E ext
− α(y ss − y o
∂y
ss) + β(y ssss − yssss) o = 0 . (3.2-11)
Die Gleichungen (3.2-10) und (3.2-11) werden mit Hilfe finiter Differenzen diskretisiert und
schrittweise durch Anwendung der Cholesky-Zerlegung gelöst (vgl. Abschnitt 3.3.1).