Phys. Dirk Burghardt

34 Kapitel 3. Verdrängung von Linienobjekten
Konflikt
(Verdrängungsgebirge)
Kartenobjekte
(Gestalt bestimmt durch
1. und 2. Ableitung der
Linie nach der Bogenlänge)
äußere Energie
innere Energie
Energieminimierung mittels Variationsverfahren
Konflikt abgebaut
Gestalt der Linien
weitestgehend erhalten
Abbildung 3.2-2: Schema zur Linienverdrängung mittels Energieminimierung
3.2.2 Innere und äußere Energie
Innere Energie
Die Form der Linie ist zunächst durch den Vektor v(s) = (x(s), y(s)) ⊤ festgelegt. In Bereichen
hoher Kartenbelastung müssen Objekte verdrängt, d.h. sowohl die Lage als auch die Form
der Linien verändert werden. Der Umfang der Verdrängung wird dabei durch die äußere Energie
bestimmt. Die innere Energie kann verwendet werden, um Änderungen der Liniengestalt
entgegenzuwirken. Fordert man hier möglichst große Übereinstimmung zwischen Original und
verdrängter Linie, können die charakteristischen Eigenschaften der Linie erhalten werden. Die
Veränderung gegenüber dem ursprünglichen Zustand wird durch den Vektor w(s) beschrieben :
w := (x − x o , y − y o ) ⊤ ,
w s := (x s − x o s, y s − y o s) ⊤ ,
w ss := (x ss − x o ss, y ss − y o ss) ⊤ .
Während x und y die aktuellen Linienkoordinaten enthalten, kennzeichnen x o und y o die Linie
im Originalzustand. Tiefgestellte Indizes bezeichnen die partiellen Ableitungen nach der
Bogenlänge s. Die interne Energie nimmt damit folgende Gestalt an :
E int = (α |w s | 2 + β |w ss | 2 )/2 . (3.2-2)
Formal stimmt dieser Ausdruck mit der für Snakes eingeführten inneren Energie (3.1-7) überein.
Ähnlich ist die physikalische Interpretation; so beschreibt die erste Ableitung das Dehnungsverhalten
in Längsrichtung. Die zweite Ableitung modelliert das Biegeverhalten des Splines und
wirkt demzufolge in Querrichtung.
Der wesentliche Unterschied zu den Snakes der Bildverarbeitung besteht darin, daß hier nicht
Splines minimaler Dehnung bzw. Krümmung gesucht sind, sondern Splines, die nur geringe Abweichungen
in Länge und Krümmung bezüglich des ursprünglichen Zustandes aufweisen. Demzufolge
werden während der Verdrängung die Differenzen in den ersten und zweiten Ableitungen
(w s , w ss ) minimiert und damit die Gestaltsänderungen klein gehalten. Die Gewichte α und β
sind in dem hier verwendeten Modell für alle Linien konstant.