Phys. Dirk Burghardt

32 Kapitel 3. Verdrängung von Linienobjekten
Da in der Praxis die vorgegebenen Werte f(t i ) oft Meßwerte und daher fehlerbehaftet sind, ist die
Anwendung der Interpolationsforderung (3.1-1) nicht in jedem Falle sinnvoll. Vielmehr wird hier
eine Extremalforderung mit Nebenbedingung angesetzt (in Form einer Lagrange-Funktion), so
daß zum einen die Meßwerte und Interpolationspunkte nicht zwangsläufig zusammenfallen und
andererseits die Glättungseigenschaften interpolierender Splines übernommen werden können.
Diese approximierenden Splines ergeben sich nach Minimierung des Funktionals
n∑
[ ] s(ti ) − f(t i ) 2 ∫ b
E = (1 − λ)
+ λ [ s ′′ (t) ] 2 dt . (3.1-5)
σ i a
i=1
Die Parameter σ i stellen die Standardabweichungen der Meßfehler dar, mit denen die Meßwerte
f(t i ) behaftet sind. Der Glättungsparameter λ ɛ [0, 1] liefert im Spezialfall λ = 0 den kubischen
Interpolations-Spline. Für größere λ erhält man eine glatte Näherungskurve und im Grenzfall
λ = 1 ergibt sich die ausgleichende Gerade.
Durch Konstruktion dieser Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen gelingt es demzufolge,
die konkurrierenden Ziele, bestmögliche Approximation der Funktionswerte bei gleichzeitiger
Gewährleistung eines glatten Splineverlaufs, miteinander zu verbinden. Dieser Gedanke wird im
Snakes-Konzept aufgegriffen und für Anwendungen in der Bildverarbeitung fortgeführt.
3.1.2 Energieminimierende Splines (Snakes)
Bisher wurden Splines verwendet, um komplizierte Funktionsverläufe durch einfachere Funktionen
auszudrücken oder vorgegebene Funktionswerte durch analytische Ausdrücke zu beschreiben.
Zu allgemeineren Modellen führt die Anwendung energieminimierender Splines in der Bildverarbeitung;
dort auch als Snakes bezeichnet. Dabei soll die Gestalt von Objekten aus Bildern
extrahiert werden. Die Approximation bezieht sich damit nicht mehr auf vorgegebene Funktionswerte,
sondern auf Objekte, deren Ausdehnung und Lage durch Hell-Dunkel-Unterschiede
in Bildern beschrieben wird. Der Spline lagert sich dazu unter Erfüllung von Optimalitätskriterien
der gesuchten Kontur an. Die wesentliche Eingangsinformation liefert hier die Bildintensität.
Die erste fundamentale Arbeit stammt von Kass, Witkin und Terzopoulos (1987). In dieser
wird die Zielfunktion der Gesamtenergie
E ∗ snake =
∫ 1
0
E snake ds =
∫ 1
0
(E ext + E int ) ds (3.1-6)
aus einem inneren und einem äußeren Anteil zusammengesetzt. Die interne Energie“
(
”
E int = α(s) | v s (s) | 2 + β(s) | v ss (s) | 2) /2 (3.1-7)
faßt die oben angeführten Forderungen an die Splinegestalt zusammen. Der erste Term steuert
wieder die Dehnbarkeit in Längsrichtung (auch als Membranterm“ bezeichnet), der zweite beeinflußt
die Krümmung bzw. Wölbung des Splines (vergleichbar den Biegeeigenschaften einer
”
” dünnen Metallplatte“). Die externe Energie“
”
E ext = −|grad I(x, y)| 2 (3.1-8)
enthält die Information über die zu approximierenden Objekte in Form der Bildintensität I(x, y).
Vielfach wird hier der Gradient der Bildintensität eingesetzt, da die Begrenzung eines Objektes
durch große Hell-Dunkel-Unterschiede gekennzeichnet ist und so z.B. Kanten detektiert werden
können.
Schlußfolgernd ist anzumerken, daß es sich bei Snakes (dt. Schlangen) um verallgemeinerte
Splines handelt, deren Name aus der Art und Weise resultiert, wie sich Splines während der
Iteration den zu extrahierenden Objekten nähern.