Phys. Dirk Burghardt

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3 Verdrängung von Linienobjekten
3.1 Splines
3.1.1 Interpolierende und approximierende Splines
Eine gegebene Funktion f(t) kann stückweise durch Polynome beliebigen Grades approximiert
werden. Vorteile bietet hier die Verwendung von Polynomen dritten Grades, auch als klassische
Spline-Interpolation bezeichnet. Durch ∆ := a = t 0 < t 1 < . . . < t n = b sei eine Unterteilung
des Intervalls [a, b ] gegeben.
Definition :
Unter einer zu ∆ gehörigen Spline-Funktion s(t) versteht man eine reelle
Funktion s(t) : [a, b ] → R mit den Eigenschaften
• s(t) ∈ C 2 [a, b ] : s(t) ist auf [a, b ] zweimal stetig differenzierbar.
• Auf jedem Teilintervall [t i , t i+1 ], i = 0, 1, . . . , n − 1, stimmt s(t) mit einem Polynom 3.
Grades überein.
Eine Splinefunktion ist somit stückweise aus n kubischen Polynomen so zusammengesetzt, daß
die Funktion s(t) selbst und ihre beiden ersten Ableitungen an den Stellen t i ; i = 1, . . . , n − 1,
keine Sprungstellen besitzen. Neben kubischen Spline-Funktionen kann man allgemeiner Splinefunktionen
s(t) vom Grad k definieren, die stückweise aus Polynomen k-ten Grades so zusammengesetzt
sind, daß s(t) ∈ C k−1 [a, b ] gilt.
Man spricht von einer interpolierenden Spline-Funktion, wenn Spline s(t) und Funktion f(t) in
den Stützstellen übereinstimmen :
s(t i ) − f(t i ) = 0 , i = 0, 1, . . . , n . (3.1-1)
Im allgemeinen sind die Interpolationslösungen entsprechend der Bedingung (3.1-1) nicht eindeutig.
So können zusätzliche Optimalitätskriterien erfüllt werden :
E =
∫ b
a
[ s (l+1) (t) ] 2 dt = Min l ≥ 0 . (3.1-2)
Im Falle l = 1 erhält man die Bedingung minimaler Biegeenergie für kubische Splines.
Um vorhandene unerwünschte Undulationen zu unterdrücken, wurde die Verwendung von Splines
unter Spannung vorgeschlagen (Schweikert, 1966). Dazu ist folgendes Energie-Integral
zu minimieren :
∫ b
∫ b
E = α [ s ′ (t) ] 2 dt + [ s ′′ (t) ] 2 dt . (3.1-3)
a
a
Der erste Term beeinflußt die ”
Länge“ des Splines, der zweite die ”
Krümmung“. Die Spannung
wird über den Parameter α gesteuert; so führt eine Vergrößerung von α zur Elimination von
Schwingungen bei gleichzeitiger Verringerung der Splinelänge.
Um eine lokale Steuerung zu ermöglichen, wurde ein alternativer Ansatz mit zusammengesetzten
Polynomen entwickelt, sogenannte v-Splines (Nielson, 1974). Das zu minimierende Energie-
Integral nimmt dabei folgende Gestalt an :
E =
n∑
α i [ s ′ (u i ) ] 2 +
∫ b
i=0
a
[ s ′′ (t) ] 2 dt . (3.1-4)
Damit kann an jedem Interpolationspunkt der Kurve die Spannung selektiv verändert werden.