Phys. Dirk Burghardt

20 Kapitel 2. Theoretische und praktische Grundlagen
Die Darstellung mit kartesischen Koordinaten in Parameterdarstellung liefert
k = x′ y ′′ − x ′′ y ′
(x ′2 + y ′2 ) 3/2 . (2.2-6)
Wird als Parameter die Bogenlänge s eingeführt und zur Parameterdarstellung v(s) := (x(s), y(s))
für ebene Kurven übergegangen, ist folgende Taylorentwicklung möglich :
v(s) = v(s 0 ) + (s − s 0 ) v s (s 0 ) + (s − s 0) 2
v ss (s 0 ) + (s − s 0) 3
v sss (s 0 ) + . . . (2.2-7)
2!
3!
Dabei bezeichnet v s (s) die Ableitung nach der Bogenlänge. Durch Verwendung der Bogenlänge s
als Parameter ist die zweite Ableitung v ss (s) ein Normalenvektor. Mit Gleichung (2.2-7) können
der T angenteneinheitsvektor t := v s (s 0 ) (2.2-8)
und der Normaleneinheitsvektor n := 1 k v ss(s 0 ) (2.2-9)
eingeführt werden. Der Normierungsfaktor
ist die Krümmung und r := 1/k der Krümmungsradius.
k := |v ss (s 0 )| (2.2-10)
Diese grundlegenden Beziehungen spielen eine große Rolle in der automatisierten Generalisierung
(Plazanet et al., 1995), z.B. auch in der rechnergestützten Verdrängung. So sind
Abstandsberechnungen für die Recherche von Konfliktsituationen notwendig (siehe Abschnitt
3.2.2). Mit zunehmendem Generalisierungsgrad tritt die Einhaltung metrischer Abstände zugunsten
einer leicht erfassbaren Darstellung in den Hintergrund. Dabei darf die relative Lage
der Objekte zueinander nicht verändert werden, d.h. die Topologie muß erhalten bleiben.
Topologie: Die Topologie beschäftigt sich mit den nichtmetrischen räumlichen und strukturellen
Beziehungen beliebiger Elemente in abstrakten Räumen (Bill, 1996). Die grundlegenden
topologischen Bausteine sind Knoten, Kanten und Maschen, die in den geometrischen Elementen
Punkt, Linie und Fläche ihre Entsprechung haben. Ein Beispiel für die explizite Speicherung topologischer
Informationen liefert die Datenstruktur der ARC/Info Datenbasis, wo topologische
Beziehungen automatisch als sogenanntes codiertes Netzwerk“ (siehe Abbildung 2.2-1) erzeugt
”
und vorgehalten werden (Schaller, 1986).
2
4
1
I
3
1
II
3 4
2
6
5
III 7
5
6 V
8
IV 9
10
11
7
Kante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Rechte Masche I II II I III III III III V IV V
Linke Masche 0 0 I 0 II 0 V IV IV 0 0
vom Knoten 3 4 3 1 4 2 5 6 7 7 5
zum Knoten 1 3 2 2 2 5 6 4 6 4 7
Knoten 1 2 3 4 5 6 7
x,y-Koordinaten 1,6 4,8 1,1 5,1 8,7 7,4 10,1
Abbildung 2.2-1: Beispiel für die explizite Speicherung topologischer Informationen
Topologische Beziehungen sind bei bekannter Geometrie herleitbar, wobei die notwendigen Berechnungen
mehr Zeit beanspruchen, als die Abfrage explizit gespeicherter topologischer Relationen.
Nachteil einer expliziten Speicherung ist der zusätzliche Aufwand bei der Laufendhaltung
und der größere Datenumfang.