Phys. Dirk Burghardt

2.2. Grundlagen der automatisierten Generalisierung 19
Metrik: Eine Menge M von Elementen p 1 , p 2 , . . . mit einer Metrik a heißt metrischer Raum,
wenn jedem Elementepaar p 1 , p 2 ∈ M eine reelle Zahl a(p 1 , p 2 ) mit folgenden Eigenschaften
zugeordnet ist :
1. a(p 1 , p 2 ) ≥ 0 , a(p 1 , p 2 ) = 0 genau dann, wenn p 1 = p 2 ,
2. a(p 1 , p 2 ) = a(p 2 , p 1 ) (Symmetrie),
3. für drei beliebige Elemente p 1 , p 2 , p 3 ∈ M gilt die Dreiecksungleichung
a(p 1 , p 2 ) ≤ a(p 1 , p 3 ) + a(p 3 , p 2 ) .
Man bezeichnet a(p 1 , p 2 ) auch als Abstand zwischen p 1 und p 2 . Ein Beispiel ist der zweidimensionale
euklidische Raum, in dem sich der Abstand zweier Punkte p 1 = (x 1 , y 1 ) und p 2 = (x 2 , y 2 )
wie folgt berechnet :
d(p 1 , p 2 ) =
√
(x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2 . (2.2-1)
Die Dreiecksungleichung kann für dieses Beispiel geometrisch so interpretiert werden, daß die
Distanz zwischen zwei Punkten dem Minimum der Längen aller möglichen Wege zwischen diesen
Punkten entspricht. Für die Bestimmung des Abstandes zwischen Punkt (p) und Linie (L) wird
diese Bedingung erweitert, indem die Abstandsberechnung zwischen gegebenem Punkt und dem
dazu nächstgelegenen Linienpunkt (l) erfolgt :
˜d(p, L) = min(d(p, l)) (2.2-2)
l∈L
(Frank, 1983). Der Abstand zwischen zwei Linien ergibt sich in analoger Weise als minimale
Distanz zwischen zwei Punkten aus je einer Linie. Ist die Distanz Null, so schneiden sich die
Linien oder berühren sich.
Die Lage von ebenen Kurven kann in unterschiedlichen Koordinaten (z.B. kartesische Koordinaten,
Polarkoordinaten) und unterschiedlicher Form (explizit, implizit, in Parameterform)
angegeben werden. Charakteristische Größen, welche letztere näher kennzeichnen, sind Bogenelement
und Krümmung.
Bogenelement: Wenn s die Länge der Kurve von einem festen Punkt A bis zum Punkt M
ist, dann kann der endliche Zuwachs ∆s = ̂MN durch das Differential ds der Bogenlänge, das
Bogenelement, angenähert werden. Unter Verwendung kartesischer Koordinaten in Parameterdarstellung
ergibt sich :
ds =
√
[x ′ (t)] 2 + [y ′ (t)] 2 dt . (2.2-3)
In der diskreten Rechnung werden die Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt.
Damit ist:
√ (∆x ) 2 ( ) ∆y 2 √
∆s = + ∆t = ∆x
∆t ∆t
2 + ∆y 2 . (2.2-4)
Krümmung: Die Krümmung k einer Kurve im Punkt M ist der Grenzwert des Verhältnisses
des Winkels δ zwischen den positiven Tangentenrichtungen in den Punkten M und N zur
Bogenlänge ̂MN für ̂MN → 0 :
k = lim
̂MN→0
δ
̂MN . (2.2-5)