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18 Kapitel 2. Theoretische und praktische Grundlagen quantitativer Charakter qualitativer Charakter Zusammenfassen Vergrößern Auswahl Vereinfachen Verdrängen Klassifizieren Bewerten Abbildung 2.1-4: Elementarvorgänge der Generalisierung Ist die Kartenbelastung nur in Teilbereichen sehr groß, versucht man zunächst, die Konflikte lokal zu beseitigen. Dazu werden Objekte geringfügig in ihrer Lage verschoben. Der einzuhaltende Mindestabstand berücksichtigt dabei die sogenannte Perzeptionsschwelle des Menschen, die überschritten werden muß, damit Objekte getrennt voneinander wahrgenommen werden können. Die Verdrängung der Objekte erfolgt so, daß die typische Gestalt möglichst wenig geändert wird. Der topologische Zusammenhang darf ebenfalls nicht verändert werden. Bei einer automatisierten Verdrängung sind diese qualitativen Gesichtspunkte zu berücksichtigen. Ursache für Verdrängungen sind in der Regel die vergrößerte oder betonte Darstellung von wesentlichen Objekten. Zum Beispiel werden die Signaturbreiten von Straßen, ab Maßstab 1:10 000, größer gewählt als die entsprechende natürliche Breite (siehe auch 5.1.2). Dadurch kann es zur Überlagerung mit anderen Objekten kommen, z.B. Haus am Straßenrand, benachbarter Fluß. 2.2 Grundlagen der automatisierten Generalisierung 2.2.1 Modellierung von Geometrie, Topologie und Semantik Nach dem Abstraktionsgrad sind verschiedene Arten geographischer Informationen zu unterscheiden (siehe auch 2.1.2). Auf der untersten Stufe steht die geometrische Information über Lage und Form von Punkt-, Linien- und Flächenobjekten. Daraus können topologische Beziehungen abgeleitet werden, präsentiert durch Knoten und Kanten. Diese beschreiben die unmittelbare Umgebung oder Nachbarschaft. Werden den Objekten Attribute zugeordnet, gelangt man zu einer inhaltlichen, thematischen Beschreibung. Tabelle 2.2-1: Arten geographischer Informationen Art der Information Elemente Grad der Abstraktion Beispiel geometrisch Punktlage; Lage und Form von Linien- und Flächenobjekten low-level Linie, Fläche topologisch Nachbarschaftsrelationen, präsentiert durch Knoten und Kanten mid-level Linie kreuzt Fläche semantisch Sachdaten, Attribute, zugeordnete Bedeutung high-level Eisenbahn überquert Fluß Als erstes wird der Begriff der Metrik eingeführt. Anschließend folgen ausgewählte Definitionen zur geometrischen Beschreibung von ebenen Objekten.
2.2. Grundlagen der automatisierten Generalisierung 19 Metrik: Eine Menge M von Elementen p 1 , p 2 , . . . mit einer Metrik a heißt metrischer Raum, wenn jedem Elementepaar p 1 , p 2 ∈ M eine reelle Zahl a(p 1 , p 2 ) mit folgenden Eigenschaften zugeordnet ist : 1. a(p 1 , p 2 ) ≥ 0 , a(p 1 , p 2 ) = 0 genau dann, wenn p 1 = p 2 , 2. a(p 1 , p 2 ) = a(p 2 , p 1 ) (Symmetrie), 3. für drei beliebige Elemente p 1 , p 2 , p 3 ∈ M gilt die Dreiecksungleichung a(p 1 , p 2 ) ≤ a(p 1 , p 3 ) + a(p 3 , p 2 ) . Man bezeichnet a(p 1 , p 2 ) auch als Abstand zwischen p 1 und p 2 . Ein Beispiel ist der zweidimensionale euklidische Raum, in dem sich der Abstand zweier Punkte p 1 = (x 1 , y 1 ) und p 2 = (x 2 , y 2 ) wie folgt berechnet : d(p 1 , p 2 ) = √ (x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2 . (2.2-1) Die Dreiecksungleichung kann für dieses Beispiel geometrisch so interpretiert werden, daß die Distanz zwischen zwei Punkten dem Minimum der Längen aller möglichen Wege zwischen diesen Punkten entspricht. Für die Bestimmung des Abstandes zwischen Punkt (p) und Linie (L) wird diese Bedingung erweitert, indem die Abstandsberechnung zwischen gegebenem Punkt und dem dazu nächstgelegenen Linienpunkt (l) erfolgt : ˜d(p, L) = min(d(p, l)) (2.2-2) l∈L (Frank, 1983). Der Abstand zwischen zwei Linien ergibt sich in analoger Weise als minimale Distanz zwischen zwei Punkten aus je einer Linie. Ist die Distanz Null, so schneiden sich die Linien oder berühren sich. Die Lage von ebenen Kurven kann in unterschiedlichen Koordinaten (z.B. kartesische Koordinaten, Polarkoordinaten) und unterschiedlicher Form (explizit, implizit, in Parameterform) angegeben werden. Charakteristische Größen, welche letztere näher kennzeichnen, sind Bogenelement und Krümmung. Bogenelement: Wenn s die Länge der Kurve von einem festen Punkt A bis zum Punkt M ist, dann kann der endliche Zuwachs ∆s = ̂MN durch das Differential ds der Bogenlänge, das Bogenelement, angenähert werden. Unter Verwendung kartesischer Koordinaten in Parameterdarstellung ergibt sich : ds = √ [x ′ (t)] 2 + [y ′ (t)] 2 dt . (2.2-3) In der diskreten Rechnung werden die Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt. Damit ist: √ (∆x ) 2 ( ) ∆y 2 √ ∆s = + ∆t = ∆x ∆t ∆t 2 + ∆y 2 . (2.2-4) Krümmung: Die Krümmung k einer Kurve im Punkt M ist der Grenzwert des Verhältnisses des Winkels δ zwischen den positiven Tangentenrichtungen in den Punkten M und N zur Bogenlänge ̂MN für ̂MN → 0 : k = lim ̂MN→0 δ ̂MN . (2.2-5)
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