Phys. Dirk Burghardt

1
Automatisierung der kartographischen Verdrängung
mittels Energieminimierung
Der Fakultät für Forst-, Geo- und Hydrowissenschaften
der Technischen Universität Dresden
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor-Ingenieur (Dr.-Ing.)
vorgelegte Dissertation
von
Dipl.-Phys. Dirk Burghardt
aus Dresden

2
Für Cornelia & Annabella
Tag der Einreichung: 19. 05. 2000
Tag der Verteidigung: 07. 12. 2000
Gutachter: Prof. Dr. S. Meier (TU Dresden)
Prof. Dr. R. Weibel (Universität Zürich-Irchel)
Dr. G. Zeppenfeld (vormals Maptech AG Horw-Luzern)

3
Zusammenfassung
Mit Hilfe hochqualifizierter Graphik-Software ist es möglich geworden, topographische Karten
aus digitalen Daten rechnergestützt herzustellen. Allerdings weisen die Rohausdrucke zufolge der
per Konvention vorgegebenen Signaturgröße diverse graphische Konflikte auf, die gegenwärtig
noch manuell recht aufwendig beseitigt werden müssen. Die Nacharbeiten beanspruchen den
größten Anteil am Gesamtaufwand. Eine Automatisierung der verschiedenen Generalisierungsoperationen
ist wünschenswert und sollte bei heutigen Stand der Informationstechnologie auch
möglich sein.
Für die automatisierte kartographische Verdrängung von Vektordaten kann eine Bearbeitung
von Punkt-, Linien- und Flächenobjekten unterschieden werden. Zentrale Stellung nimmt die Beschreibung
der Linienobjekte ein, da das menschliche Auge hier besonders empfindlich gegenüber
Formänderungen infolge Verdrängung ist. Splines sind ein in vielen Anwendungen verbreitetes
Modell zur Beschreibung von Linien. Speziell die energieminimierenden Splines (Snakes)
berücksichtigen Verformungen unter Einwirkung äußerer Kräfte. Bei geeigneter Wahl der inneren
Energie kann einer Gestaltsänderung infolge notwendiger Verdrängungen entgegengewirkt
werden. Die innere Energie erfaßt Längen- und Krümmungsänderungen des Splines bezüglich
des ursprünglichen Zustandes, die sich in Änderungen der approximierten ersten und zweiten
Ableitung der Linie nach der Bogenlänge zeigen. In der kartographischen Verdrängung müssen
Mindestabstände zwischen benachbarten Kartenobjekten eingehalten werden. Die äußere Energie
wird verwendet, um die Ursache der Verdrängung zu beschreiben.
Die Methode der Energieminimierung ermöglicht die sonderfallunabhängige Lösung vorgestellter
Aspekte der Konfliktbeseitigung bei gleichzeitiger Formerhaltung als Optimierungsaufgabe. Die
Variation des sich aus innerer und äußerer Energie zusammensetzenden Energie-Integrals liefert
als äquivalente Formulierung die Euler-Gleichungen. Für die numerische Lösung werden diese
diskretisiert und iterativ durch Anwendung der Cholesky-Zerlegung gelöst. Die Parametrisierung
der energieminimierenden Splines mittels Tangentenwinkelfunktion (Tafus) liefert anstelle
von zwei Euler-Gleichungen 4. Ordnung eine Gleichung 2. Ordnung. Die Vereinfachung des
Gleichungssystems erfordert allerdings zusätzliche Berechnungen für die Transformationen der
resultierenden Richtungsänderungen in kartesische Koordinaten. Der Nachweis der angestrebten
Konvergenzbeschleunigung steht noch aus. Eine alternative Methode zur Energieminimierung
mittels Variationsverfahren ist der Greedy-Algorithmus. Dieser minimiert bei der Verdrängung
von Linienobjekten die Energie jeder einzelnen Stützstelle durch kleine Verschiebungen. Im
Gegensatz zum Variationsverfahren ist die Wirkungsweise daher eher lokal. Vorteilhafte Anwendungen
ergeben sich in der Verdrängung von Gebäudegrundrissen oder in der Plazierung von
Schriftboxen.
Die Integration des vorgestellten Verdrängungsansatzes in ein kartographisches Produktionssystem
liefert den Nachweis der praktischen Anwendbarkeit. Die Zusammenarbeit mit einem
Praxispartner erschließt zusätzliche Anwendungsfelder; z.B. wurde die automatisierte Randbearbeitung
zur Ableitung topographischer Karten aus blattschnittfreien Daten entwickelt. Der
Umfang an wissenschaftlicher Forschung für die Entwicklung neuer Produkte wird entsprechend
der gemachten Erfahrung mit 30 bis 50 Prozent des Gesamtaufwandes veranschlagt.

4
Abstract
With the help of highly advanced cartographic software programs it is possible to produce
topographic maps from digital data. In some cases, however, there exist graphical conflicts,
because symbol widths require more space than their real-size equivalents. Generalization of
such objects by manual editing is rather time-consuming. Therefore, automation of generalization
operations is desirable and should be possible in the age of information technology.
Automated cartographic displacement of vector data distinguishes between point, line and area
objects subject to processing. Modeling of line objects assumes a central position, because the
human eye is extremely sensitive to shape alterations caused by displacement. In many applications
splines are well-known tool for describing lines. It is especially the energy-minimizing
spline also called snakes model shape deformation as a result of external forces. The internal
energy is used to maintain the line shape which has been displaced due to conflicts. First and
second derivatives of the line coordinates with respect to the arc length are used as quality
measures. In cartographic displacement a minimal distance between adjacent objects should be
maintained. The external energy is used to describe the conflict situation if objects are too close
to each other.
To solve the graphic conflicts while maintaining the shape of the objects, the method of energy
minimization is employed. Minimizing the energy functional of internal and external energy
leads to two independent Euler equations. These are discretized by means of finite differences.
The equations can be solved iteratively using the Cholesky factorization. Parametrization of the
energy-minimizing splines by means of the tangent angle function (tafus) replaces the two eulerian
equations of the 4 th order with one equation of the 2 nd order. Simplification of the equation
system requires an additional amount of calculation for transforming the resulting changes of
line direction to attain cartesian coordinates. Verification of a desirably faster convergence has
yet to be achieved. The Greedy Algorithm is an alternative procedure to accomplish energy
minimization using the Variational Calculus. With the aid of this algorithm the energy of each
individual support point is minimized by way of minor displacements. As opposed to the Variational
Calculus the effects are more local. Therefore, the Greedy Algorithm is advantageous
used for the displacement of buildings or for the positioning of label boxes.
The integration of this displacement approach in a cartographic program provides evidence of
the fact that it can be used in practical applications. Cooperation with a software producer
will help to find additional fields of application, a case in point being the automated map edge
work which allows displacement and suppression of text and symbols at the map boundaries.
Experience has shown that the research effort required for developing new software tools is
estimated to amount to between 30 and 50 percent of the total effort.

Inhaltsverzeichnis 5
Inhaltsverzeichnis
Verzeichnis der Tabellen 7
Verzeichnis der Abbildungen 7
1 Einleitung 9
1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Übersicht der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Theoretische und praktische Grundlagen 13
2.1 Grundlagen der Generalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Begriffsbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Qualität der Kartendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3 Generalisierungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.4 Elementare Generalisierungsvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Grundlagen der automatisierten Generalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Modellierung von Geometrie, Topologie und Semantik . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Wissensakquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 Wissensbasierte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Bisherige Verdrängungslösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1 Geometrische Ansätze für Vektordaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.2 Konfliktmodellierung mittels Rasterdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.3 Verdrängung als Optimierungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Verdrängung von Linienobjekten 31
3.1 Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 Interpolierende und approximierende Splines . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.2 Energieminimierende Splines (Snakes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Linienverdrängung mit Snakes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.1 Prinzip der Energieminimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.2 Innere und äußere Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.3 Variationsverfahren und Eulergleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.4 Tangent Angle Function Snakes (TAFUS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Diskretisierung und numerische Realisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1 Finite Differenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.2 Finite Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.3 Numerische Stabilität, Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.4 Alternatives Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Verdrängung von Punkt- und Flächenobjekten 47
4.1 Verdrängung von Punktobjekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.1 MkQ und Simplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.2 Energieminimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Verdrängung von Flächenobjekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.1 Verdrängung von Flächenobjekten mit festem Rand . . . . . . . . . . . . 50
4.2.2 Verdrängung von Flächenobjekten mit beweglichem Rand . . . . . . . . . 52

6 Inhaltsverzeichnis
5 Praktische Anwendungen 54
5.1 Amtliches Topographisch-Kartographisches Informationssystem (ATKIS) . . . . . 54
5.1.1 Datenmodelle und -strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1.2 Maßstabsabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1.3 Verdrängungsbeispiel mit ATKIS-Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.4 Behandlung von Kreuzungen und Einmündungen . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Automatisierte Verdrängung im Maptech-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2.1 Einordnung im Programmsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2.2 Parameter zur Steuerung der Verdrängung . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2.3 Ergebnisse und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2.4 Automatisierte Randbearbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6 Zusammenfassung und Ausblick 78
Literatur 81
Anhang 88
A Analyse von Verdrängungssituationen in topographischen Karten 88
B Herleitung des Abstandes a i in Formel (3.2-4) 93
C Rekursive Herleitung der Koordinatenfunktion B 2,j (t) 94
D Vergrößerung und Verkleinerung von Flächen 95

Verzeichnis der Tabellen 7
Verzeichnis der Tabellen
2.1-1 Genauigkeitsmaße für Objekte in der Ebene (nach Bethge, 1997) . . . . . . . . . 15
2.2-1 Arten geographischer Informationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2-2 Anwendung der Graphentheorie in der Generalisierung . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2-3 Vergleich möglicher Datenbanktypen (nach Weisgerber, 1998) . . . . . . . . . . 23
2.2-4 Verschiedene Arten von kartographischem Wissen (nach Uthe, 1996) . . . . . . 23
5.1-1 Platzbedarf von Straßen in Karten verschiedener Maßstäbe . . . . . . . . . . . . 57
5.1-2 Anteil dargestellter Gebäude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1-3 Parameter und Steuergrößen für Beispiel Garbsen (siehe Abbildungen 5.1-3, 5.1-4) 58
A-1 Verdrängungsanalyse für Bahnobjekte der TK25 (bezogen auf TK10) . . . . . . . 89
A-2 Verdrängungsanalyse für Bahnobjekte der TK50 (bezogen auf TK10) . . . . . . . 89
A-3 Verdrängungsanalyse für Bahnobjekte der TK100 (bezogen auf TK10) . . . . . . 89
A-4 Fehlerabschätzung für Bahnobjekte aus TK10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
A-5 Fehlerabschätzung für Bahnobjekte aus TK25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
A-6 Fehlerabschätzung für Bahnobjekte aus TK50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
A-7 Fehlerabschätzung für Bahnobjekte aus TK100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
A-8 Verdrängungsanalyse für Gewässer-, Straßen- und Bahnobjekte der TK25, TK50
und TK100 (bezogen auf TK10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Verzeichnis der Abbildungen
2.1-1 Erzeugung und Interpretation kartographischer Informationen auf verschiedenen
Abstraktionsebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1-2 Genauigkeitsmaße zur Steuerung von Parametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1-3 Arten der Generalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1-4 Elementarvorgänge der Generalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2-1 Beispiel für die explizite Speicherung topologischer Informationen . . . . . . . . . 20
2.2-2 Relation nach Euler-Poincare zur Konsistenzprüfung in planaren Graphen . . 21
2.2-3 Detektion topologischer Konflikte mittels Triangulation . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2-4 Prozeß der Wissensakquisition mit direkten, indirekten und automatischen Verfahren 24
2.2-5 Grundlegender Aufbau eines wissensbasierten Systems . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3-1 Verdrängung einer Höhenlinie durch eine Straße (nach Töpfer, 1974) . . . . . . 28
2.3-2 Verdrängungsgebirge (nach Jäger, 1990) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3-3 Federkraftmodell (nach Bobrich, 1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2-1 Analogie zwischen Konturerkennung und Linienverdrängung . . . . . . . . . . . . 33
3.2-2 Schema zur Linienverdrängung mittels Energieminimierung . . . . . . . . . . . . 34
3.2-3 Beispiel zur Bestimmung des Verdrängungspotentials (im Punkt P i der Linie L I
bezüglich der Linie L J ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2-4 Beispiel eines erzeugenden Verdrängungsgebirges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3-1 Berechnung der externen Energie für TAFUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3-2 Lineare und quadratische B-Splines zuzüglich erster und zweiter Ableitung . . . . 41
3.3-3 Konditionszahl als Funktion der Dimension n und für feste α = β = γ = 1 . . . . 43
3.3-4 Schema zur Verdrängung mit dem Greedy-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3-5 Beispiel zur Verdrängung mit Variationsverfahren und Greedy-Algorithmus . . . . 45
3.3-6 Vergleich der Verschiebungsbeträge δv über der Bogenlänge s . . . . . . . . . . . 46
4.1-1 Hardcore-Abstand P i P k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8 Verzeichnis der Abbildungen
4.1-2 Punktverdrängung mit Hilfe von linearer und quadratischer Optimierung . . . . 48
4.1-3 Nachbarschaftsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1-4 Punktverdrängung mittels Energieminimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2-1 Verdrängung von Flächen mit festem Rand mittels Greedy-Algorithmus . . . . . . 51
4.2-2 Gebäudeverdrängung mittels Greedy-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1-1 ATKIS - Datenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1-2 Signaturbreite lt. Musterblatt und natürliche Breite im Kartenmaß als Funktion
der Maßstabszahl und des Maßstabes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1-3 Ablauf der Linienverdrängung mittels Variationsverfahren . . . . . . . . . . . . . 59
5.1-4 Beispiel zur Linienverdrängung mittels Variationsverfahren . . . . . . . . . . . . 60
5.2-1 Benutzer-Menü für verschiedene Generalisierungsfunktionen . . . . . . . . . . . . 63
5.2-2 Objektabhängige Parameter für Linien- und Flächenverdrängung . . . . . . . . . 63
5.2-3 Beispiel zur Generalisierung von Linienobjekten, Maßstab 1:250 000 . . . . . . . . 65
5.2-4 Joblisten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2-5 Beispiel zur Gebäudeverdrängung, Maßstab 1:10 000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2-6 Beispiel zur Generalisierung von Linien- und Flächenobjekten, Maßstab 1:25 000 . 68
5.2-7 Flächenrandobjekt für die automatisierte Randbearbeitung . . . . . . . . . . . . 71
5.2-8 Objektspezifische Parameter bei der Randbearbeitung . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2-9 Benutzer-Menü für die automatisierte Randbearbeitung . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2-10 Beispiel zur Randbearbeitung eines Stadtplanes, Maßstab 1:15 000 . . . . . . . . . 75
5.2-11 Beispiel zur Randbearbeitung einer Übersichtskarte, Maßstab 1:250 000 . . . . . . 76
5.2-12 Vergleich von manueller und automatisierten Randbearbeitung, Maßstab 1:250 000 77
A-1 Fläche zwischen einem Linienobjekt im Grundmaßstab und im Folgemaßstab als
Verdrängungsmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
A-2 Digitalisierte Kartenobjekte in verschiedenen Maßstäben . . . . . . . . . . . . . . 91

9
1 Einleitung
1.1 Motivation
Die Forderung nach aktuellen Karten, kostengünstiger Herstellung und Fortführung sowie der
Wunsch, Geoinformationen zu visualisieren, sind Gründe für den Übergang von der klassischen
(analogen) Kartographie zur Digitalkartographie. Dieser Wandel vollzieht sich sowohl in der Herstellung
als auch in der Kartenpräsentation mit der Erschließung neuer Anwendungsfelder. Der
Begriff Karte kann heute weiter gefaßt werden. So bezeichnet er nicht mehr nur die traditionellen
gedruckten Karten (z.B. topographische Karte, Straßenkarte, Wanderkarte), sondern auch Bildschirmkarten,
wie sie in der Fahrzeugnavigation, im Internet oder in Geoinformationssystemen
zur Anwendung kommen.
Im Zeitalter moderner Kommunikations- und Informationstechnologien haben sich die Methoden
zur Gewinnung von räumlichen Daten rasant entwickelt. So liefern die unterschiedlichsten
Verfahren (z.B. Satelliten- und Luftbildauswertung, GPS, Laserscanning etc.) in kurzer Zeit
hochgenaue Daten. Ebenso hat sich das Anwendungsgebiet dieser Daten erweitert, z.B. in der
Umweltanalyse, in Navigationssystemen und der Standortplanung. Die Datenaufbereitung und
Visualisierung ist dabei wichtiges Bindeglied, deren Qualität, aber auch Aktualität über die
Eignung für die verschiedenen Anwendungen entscheidet.
Topographische Karten, als Beispiel für die Darstellung räumlicher Daten, erfüllen traditionell
hohe Qualitätsansprüche hinsichtlich Genauigkeit, Wiedererkennbarkeit und Gestaltung.
Erkauft wird dies durch zeitaufwendige manuelle Generalisierung, welche auf jahrzehntelangen
Erfahrungen beruht. Um in kürzeren Zeiträumen aktuelle Karten erzeugen zu können,
müssen rechnergestützte Generalisierungslösungen entwickelt werden. Damit eröffnet sich ein
weites Tätigkeitsfeld für den Kartographen. Einerseits ist sein Wissen während der Softwareentwicklung
von Generalisierungswerkzeugen gefragt. Andererseits obliegt ihm die Anwendung und
interaktive Steuerung mittels Parameter im Prozeß der Kartenherstellung. Schließlich beurteilt
der Kartograph die Eignung der angebotenen Generalisierungslösungen unter dem Gesichtspunkt
unterschiedlicher Nutzeranforderungen.
Der Generalisierungsprozeß setzt sich aus unterschiedlichen elementaren Generalisierungsvorgängen
zusammen, die einander bedingen. In der Regel unterscheidet man Auswählen, Zusammenfassen,
Vereinfachen, Vergrößern, Verdrängen, Klassifizieren und Bewerten. Kartensignaturen
werden so gewählt, daß eine optische Wahrnehmung in den verschiedenen Maßstäben
gewährleistet ist. Damit beanspruchen die Objekte in der Karte, relativ gesehen, mehr Fläche
als in der realen Welt. Die Folge sind Verluste an Freiflächen und auftretende Überlagerungen benachbarter
Signaturen. Die Verdrängung von Signaturen in Bereiche geringerer Kartenbelastung
ist eine Möglichkeit, die Lesbarkeit kartographischer Darstellungen zu erhöhen.
Die vorliegende Arbeit behandelt die Entwicklung von Algorithmen für eine automatisierte Verdrängung
bis zur Anwendung in einem kartographischen Produktionssystem. Dabei wird untersucht,
wie die Verdrängung von punkt- und linienförmigen sowie flächenhaften Objekten in
einem einheitlichen Konzept, jenem der Energieminimierung, automatisiert durchgeführt werden
kann.
1.2 Übersicht der Arbeit
Kapitel 2: Zu Beginn erfolgt eine begriffliche Abgrenzung der Generalisierung“ und es wird
”
deren Abhängigkeit von Maßstab, Anwendungszweck und Wiedergabemedium diskutiert. Anschließend
werden Qualitätskriterien näher erläutert, nach denen Kartendarstellungen beurteilt

10 Kapitel 1. Einleitung
werden können. Dazu wird zwischen quantitativer und qualitativer Bewertung unterschieden.
Die zugehörigen Meßgrößen bilden die Vorraussetzung für eine automatisierte Steuerung von
Generalisierungsalgorithmen. Die Verdrängung wird als Elementarvorgang der kartographischen
Generalisierung eingeordnet.
Eine der grundlegenden Fragestellungen, die sich bei der Einführung von automatisierten Prozessen
stellt, ist die Suche nach Möglichkeiten, vorhandenes Wissen in die Welt der Computer
zu übertragen. Für die rechnergestützte Kartenherstellung ist zu ermitteln, was von den
langjährigen Erfahrungen in der traditionellen Kartographie verwendet werden kann. Wo sind
Gemeinsamkeiten in manuellen und automatisierten Abläufen ? Inwieweit können Regeln formuliert
werden, die unabhängig von Spezialfällen anzuwenden sind ? Wodurch sind Ausnahmen
gekennzeichnet ? Mit verschiedenen Möglichkeiten zur Erfassung des vorhandenen Wissens
beschäftigt sich die Theorie der Wissensakquisition. Am anspruchsvollsten ist dabei die Formalisierung,
d.h. die Umsetzung vorhandener Erkenntnisse in programmierbare Regeln oder
mathematische Formeln.
Am Ende des Kapitels sind vorhandene Arbeiten auf dem Gebiet der automatisierten Verdrängung
übersichtsweise dargestellt. Dabei kann zwischen vektor- und rasterbasierten Ansätzen
unterschieden werden. Während in den Veröffentlichungen der siebziger Jahre hauptsächlich
geometrische Verfahren zur Lösung des Verdrängungsproblems entwickelt wurden, führte die
Anwendung kommerzieller Rastersysteme Mitte der achtziger Jahre zur Entwicklung von Algorithmen
auf der Basis von Rasterdaten. Aktuelle Arbeiten versuchen Gestaltsänderungen infolge
Verdrängung zu erfassen und möglichst klein zu halten. Die Verdrängung unter Beibehaltung
der charakteristischen Objektgestalt kann als Optimierungsproblem formuliert werden.
Kapitel 3: Die Behandlung von Linien ist das Kernproblem der automatisierten Verdrängung,
da schon kleine Änderungen in der Objektgestalt augenscheinlich sind und deshalb möglichst
minimal gehalten werden müssen. Flächenobjekte sind durch ihren Rand festgelegt, so daß hier
gleiche Modelle zur Anwendung kommen können. Als geeignetes Modell werden energieminimierende
Splines eingeführt, die in der Bildverarbeitung zur Objektextraktion und Mustererkennung
entwickelt wurden.
Für die Anwendung in der Generalisierung, speziell der Linienverdrängung, werden die Terme
der inneren und äußeren Energie konstruiert und zur Zielfunktion im Energie-Integral zusammengefaßt.
Die äußere Energie modelliert Konflikte, die eine Verdrängung erfordern. Die innere
Energie erfaßt die damit verbundenen Änderungen in der Liniengestalt. Da die Energieanteile
einander entgegenwirken, stellt sich die Verdrängung als Optimierungsaufgabe dar. Die minimale
Gesamtenergie findet man nach Variation des Energie-Integrals und Lösung der resultierenden
Euler-Gleichungen. Zur Diskretisierung der Euler-Gleichungen können Differenzenverfahren oder
finite Elemente verwendet werden. Beide Approximationen ermöglichen die Lösung der Euler-
Gleichungen mittels Cholesky-Zerlegung.
Neben den Untersuchungen zur Diskretisierung und Parametrisierung wird am Ende des Kapitels
das Greedy-Verfahren als alternative Methode der Energieminimierung vorgestellt. Ein Vergleich
mit dem Variationsverfahren zeigt Vor- und Nachteile beider Ansätze.
Kapitel 4: Am Beispiel der Punktverdrängung wird die Anwendbarkeit unterschiedlicher Verfahren
der linearen und quadratischen Optimierung untersucht. Mit der Methode der kleinsten
Quadrate als Verfahren der quadratischen Optimierung wird die gewichtete Quadratsumme der
Punktverschiebungen minimiert. Das Simplexverfahren als Standardmethode der linearen Optimierung
minimiert die gewichteten Verschiebungsbeträge. Beide Ansätze zeigen vergleichbare
Resultate. Anwendungen sind zum Beispiel in der thematischen Kartographie vorstellbar.

1.2. Übersicht der Arbeit 11
Die Punktverdrängung mittels Energieminimierung kann analog zur Linienverdrängung mit dem
Greedy-Verfahren realisiert werden. Da Punkte keine Struktur besitzen, kann für Einzelobjekte
zunächst keine innere Energie festgelegt werden. Andererseits stehen Punktobjekte in enger
Beziehung zu ihrer Nachbarschaft. Diese wird durch die Einführung sog. Cluster festgelegt.
Weitere Möglichkeiten zur Modellierung der relativen Lage bietet die Delaunay-Triangulation.
Bei der Flächenverdrängung wird zwischen Flächen mit festem oder beweglichem Rand unterschieden.
Erstere sind als starre Objekte zu betrachten, die als Ganzes verschoben werden.
Flächen mit beweglichem Rand können ihre Form ändern und sind daher mit Modellen der Linienverdrängung
zu bearbeiten. Die Einteilung erfolgt in der Regel anhand des Zeichenschlüssels
auf der Ebene der Objektklassen. Eine dem individuellen Objekt angepaßte Vorgehensweise
besteht darin, geeignete Form- und Größenparameter zu verwenden.
Eine wesentliche Anwendung für die Verdrängung von Flächen mit festem Rand ist die Gebäudeverdrängung.
Da die digitalen Landschaftsmodelle der Landesvermessungsämter keine Gebäudedaten
beinhalten, muß bei der Ableitung topographischer Karten für größere Maßstäbe auf
zusätzliche Datenquellen zurückgegriffen werden. Sinnvoll ist hier z.B die Verwendung von digitalen
Daten des Amtlichen Liegenschaftskatasters. Bei der Anpassung der Daten ist eine Verdrängung
von Gebäuden unerläßlich, um Überlagerungen mit anderen Kartensignaturen zu vermeiden.
Kapitel 5: Die Untersuchungen zur praktischen Anwendbarkeit des vorgestellten Verdrängungsansatzes
werden in zwei Abschnitten behandelt. Zunächst wird die Funktionalität bei der
Visualisierung eines ATKIS-Datensatzes (DLM25/1) nachgewiesen. Anschließend werden die
Entwicklungen beschrieben, die für die Integration des Algorithmus in einem kartographischen
Produktionssystem notwendig sind.
Der Aufbau des Amtlichen Topographisch-Kartographischen Informationssystems trägt den aktuellen
Entwicklungen auf dem Gebiet der Informationstechnolgie Rechnung. Nachdem die Daten
in digitaler Form vorliegen, ist eine daraus abgeleitete kartographische Darstellung wünschenswert.
Die dafür notwendigen Generalisierungsoperationen sollten weitgehend automatisch ablaufen,
um Aktualität zu gewährleisten und die parallele Fortführung digitaler Kartenpräsentationen
zu vermeiden.
Für die Visualisierung eines Basis-Datensatzes ist als erstes festzulegen, in welchem Maßstab
die Darstellung erfolgen soll. Daraus ergeben sich die verwendeten Signaturen und deren Ausdehnung,
mit entscheidendem Einfluß auf den Grad der Generalisierung. Die Abhängigkeit von
zunehmender Generalisierung bei Verwendung kleinerer Maßstäbe wird am Beispiel von Straßen
und Gebäuden dargestellt. Anschließend erfolgt die Visualisierung des Beispieldatensatzes mit
Beseitigung auftretender Überlagerungskonflikte. Eine Sonderbehandlung von Kreuzungen und
Einmündungen erweist sich als erforderlich.
Um die Praxisrelevanz des Verdrängungsalgorithmus nachzuweisen, sind Tests an unterschiedlichen
Beispielen bzw. mit realen Datensätzen notwendig. Für weiterführende Untersuchungen
wurde deshalb die Kooperation mit der Firma Maptech AG, CH-Horw gesucht, deren
Programme aus Sicht des Verfassers zur Standardsoftware auf dem Gebiet der Digitalkartographie
gehören. Da mehrere Landesvermessungsämter mit der genannten Software arbeiten,
standen Testdaten in verschiedenen Maßstäben zur Verfügung. Wesentliche Vorteile bei der
Nutzung dieses Kartographiesystems ergeben sich durch die Anbindung einer Datenbank, wodurch
größere Datenmengen einfach zu handhaben sind. Des weiteren erfolgt eine automatische
Ableitung der Kartensignaturen auf der Basis verwendeter Signaturenkataloge (z.B. ATKIS-
Signaturenkataloge beliebiger Maßstäbe).

12 Kapitel 1. Einleitung
Für die Einordnung der Generalisierungroutinen im Programmsystem erfolgt zunächst ein kurze
Darstellung der Softwarekomponenten. Anschließend werden die Benutzermenüs und die Steuerparameter
der Verdrängung erläutert. Dazu wird zwischen objektabhängigen und objektunabhängigen
Parametern unterschieden. Anhand von Beispielen werden Ergebnisse der Linienund
Flächenverdrängung diskutiert. Abschließend werden die gewonnenen Erfahrungen bei der
praxisreifen Umsetzung automatisierter Verdrängungslösungen zusammengefaßt.
Ergänzend wird die automatisierte Randbearbeitung als alternative Anwendung der Verdrängung
mittels Energieminimierung vorgestellt. Die Randbearbeitung ist bei der Ableitung beliebiger
Kartenausschnitte aus blattschnittfreien Daten notwendig, um zu vermeiden, daß Texte oder
Symbole in Randlagen ”
abgeschnitten“ werden. Die Erläuterungen konzentrieren sich auf die
Konflikterkennung, die Plazierung im Kartenausschnitt unter Berücksichtigung der Nachbarschaft
und die Steuerung durch geeignete Parameter.

13
2 Theoretische und praktische Grundlagen
2.1 Grundlagen der Generalisierung
2.1.1 Begriffsbildung
Der Begriff Generalisierung ist vom lateinischen Wort ”
generalis“ = allgemein abgeleitet und
kann für kartographische Anwendungen etwa folgendermaßen definiert werden :
Generalisierung umfaßt die Verallgemeinerungen und Abstraktionen bei der Erfassung der Umwelt
im Modell bzw. ihrer kartographischen Darstellung als Funktion von Maßstab und Anwendungszweck
mit dem Ziel einer optimalen Wiedergabe von Geometrie, Topologie und Semantik.
Damit beinhaltet die Definition sowohl Generalisierungsschritte während der Objekterfassung
und Modellierung als auch die kartographische Generalisierung (siehe 2.1.3). Bei der Interpretation
interessieren vor allem die geometrischen und inhaltlichen Eigenschaften der Objekte (2.2.1).
Diese werden nicht vollständig modelliert und in der Karte wiedergegeben, da für den Erkenntnisgewinn
nur eine begrenzte Auswahl an Informationen hilfreich ist. Der Grad der Abstraktion
wird entscheidend durch die Anwendung beeinflußt.
Umgesetzt wird die Generalisierung durch verschiedene Elementarvorgänge (Vereinfachen, Zusammenfassen,
Auswählen, Verdrängen etc.; siehe 2.1.4), wobei einerseits unwichtige Details
weggelassen werden, aber auch Wesentliches zu betonen ist. Die Entscheidung, was Details sind,
wird für verschiedene Maßstäbe unterschiedlich ausfallen.
Maßstab: Der Kartenmaßstab gibt das lineare Verkleinerungsverhältnis zwischen realer Welt
und Karte an. Er wird als Längenmaßstab M durch den Quotienten aus Kartenlänge l und
tatsächlicher Länge L festgelegt :
M = l/L . (2.1-1)
Vielfach wird auch an Stelle des Maßstabes der reziproke Wert, die Maßstabszahl m = 1/M
verwendet. Für das Verhältnis der Flächen zwischen realer Welt F und Fläche in der Karte f
ergibt sich analog folgende Beziehung :
m 2 = F/f . (2.1-2)
Die Bedeutung für die Generalisierung wird besonders deutlich, wenn man sich den Platzbedarf
in verschiedenen Maßstäben veranschaulicht. So steht z.B. bei einer Maßstabsverkleinerung um
die Hälfte nur ein Viertel der Fläche zur Verfügung :
m 1 /m 2 =
(
√f 2 /f 1 m 1 = 1 2 m 2 −→ f 2 = 1 )
4 f 1
. (2.1-3)
Quantitative Untersuchungen in topographischen Karten zur Abhängigkeit des Generalisierungsgrades
von der Maßstabszahl wurden u.a. von Töpfer (1979) durchgeführt. Dabei zeigte sich für
verschiedene Generalisierungsmaßnahmen die Abhängigkeit von der Wurzel aus der Maßstabszahl
(sog. Wurzelgesetz). Eine mögliche Anwendung bezieht sich auf die Anzahl n 2 der Objekte,
die im Folgemaßstab darzustellen sind, wenn im Ausgangsmaßstab n 1 Objekte vorliegen :
√
n 2 = n 1 · m 1 /m 2 (Auswahlregel). (2.1-4)

14 Kapitel 2. Theoretische und praktische Grundlagen
Anwendungszweck: Neben dem Maßstab bestimmen Thema und Zweck der Karte den Umfang
der Generalisierung. Ist letzterer bekannt, müssen spezielle Bedingungen, die beim Kartenlesen
mitbestimmend sind, berücksichtigt werden. Als Beispiel diene der Vergleich zwischen
Straßenkarte und topographischer Karte. Beide geben die Landschaftsform in einem bestimmten
Gebiet wieder. Da die Straßenkarte auf Fernwirkung abgestimmt ist, müssen wesentlich größere
Signaturen als in der topographischen Karte verwendet werden. Andererseits können Informationen,
die der Nutzer von Straßenkarten nicht benötigt, entfallen.
Die Verwendung geeigneter Signaturen wird durch den Zeichenschlüssel festgelegt. Neben diesem
ist auch die Farbwahl für den Grad der Generalisierung entscheidend. Blasse Farben verlangen
kräftigere Linien und nicht zu kleine Farbflächen, wodurch wiederum die Signaturgröße beeinflußt
wird.
Wiedergabemedium: Nicht unerheblich für die Generalisierung ist die Wahl des Wiedergabemediums.
So findet neben den vielfältigen Anwendungen der traditionellen Papierkarten (Wanderkarte,
Straßenkarte, topographische Karte etc.) die Ausgabe am Bildschirm immer stärkere
Verbreitung (Auskunftssysteme, Fahrzeugnavigation, GIS etc.). Ein Vergleich beider Medien
zeigt einen deutlich höheren Generalisierungsbedarf für Bildschirmausgaben. Das liegt zum einen
an der ca. zehnfach geringeren Auflösung der Graphikbildschirme gegenüber Plottern (Lutterbach,
1997). Zum anderen ist die verfügbare Darstellungsfläche bei Bildschirmanwendungen
wesentlich kleiner. Kompensiert werden diese Nachteile durch zusätzliche Funktionalitäten, wie
Zoommöglichkeiten, Auswahl darzustellender Objekte und Informationen, Animationen etc. -
Damit wird eine spezialisierte, sich stärker an den Nutzeranforderungen orientierende Darstellung
möglich.
2.1.2 Qualität der Kartendarstellung
Die Bewertung kartographischer Darstellungen kann aus unterschiedlicher Blickrichtung vorgenommen
werden. Einige Ansätze nach Wallmüller (1990) und Ehrliholzer (1995) werden
im folgenden kurz skizziert. Eine erste Möglichkeit ist, die Qualität einer Karte nach dem Grad
befriedigter Nutzeranforderungen festzulegen ( ”
fitness for use“-Ansatz). Dabei müssen sowohl
die unterschiedlichen Vorkenntnisse der Nutzer als auch die verschiedenen Anwendungszwecke
berücksichtigt werden. Dieser Ansatz entspricht der Qualitätsdefinition des Deutschen Instituts
für Normierung (DIN 55350, Teil 11). Darin heißt es :
Qualität ist die Gesamtheit von Eigenschaften und Merkmalen eines Produkts oder einer Tätigkeit,
die sich auf deren Eignung zur Erfüllung gegebener Erfordernisse
”
bezieht.“
Für die Prüfung der Kartenqualität ist diese Definition zu allgemein. Konkreter wird hier der produktbezogene
Ansatz, welcher eine Bewertung mit Hilfe von meßbaren Größen verlangt. Danach
bestimmt sich die Güte einer Karte, durch die Einhaltung vorgegebener Fehlergrenzen. Dieser
Ansatz erlaubt, eine Rangordnung von verschiedenen Produkten gleicher Kategorie anzugeben.
Im Gegensatz dazu glauben die Vertreter des Erfahrungsansatzes, daß kartographisches Wissen
nicht vollständig zu formalisieren ist und deshalb eine Bewertung durch Experten unerläßlich
bleibt. Der Begriff der Qualität kann ihrer Meinung nach genauso wenig implizit definiert werden
wie jener der ”
Schönheit“.
Mit dem Kosten-Nutzen-Ansatz wird schließlich die Qualität ins Verhältnis zum Zeitaufwand der
Kartenherstellung gesetzt. Indirekt ist somit die Aktualität von Karten als weiterer Qualitätsparameter
zu berücksichtigen. Die genannten Ansätze sind bezeichnend für die Vielfältigkeit der
qualitativen Bewertung von Karten. Deshalb wird als Systematisierung versucht, die Prozesse der
Kartengestaltung und -interpretation nach Abstraktionsgrad und Komplexität (low-level/highlevel)
zu unterteilen (siehe Abbildung 2.1-1).

2.1. Grundlagen der Generalisierung 15
Interpretation
(Gehirn)
qualitativ
High-Level-
Ebene
inhaltlich/
semantisch
abstrakt
Gesamtsituation
(global)
Erfassen/Sensor
(Auge, Finger)
quantitativ
Low-Level-
Ebene
Einzelsituation
(lokal)
geometrisch/
topologisch
konkret
Abbildung 2.1-1: Erzeugung und Interpretation kartographischer Informationen auf verschiedenen Abstraktionsebenen
Gute Karten sind durch einfache Interpretationsmöglichkeiten und einen hohen Wiedererkennungsgrad
gekennzeichnet. Voraussetzung dafür sind zunächst die Modellierung des Einzelobjektes
mit seinen individuellen Merkmalen und die nachfolgende Einordnung in die Gesamtsituation
(lokale und globale Nachbarschaft). Analog erfolgt die Interpretation auf unterer und oberer Informationsebene.
So wird beim Lesen einer Karte gewöhnlich mit der Suche nach markanten
Einzelsituationen begonnen (z.B. größerer Bahnhof, zentraler Platz), und erst anschließend orientiert
sich der Anwender im Umfeld und versucht, die Gesamtsituation zu erschliessen. Die
untere Informationsebene (Unterbau) ist im wesentlichen durch die Geometrie der Kartenobjekte
festgelegt. Diese läßt dann auf der oberen Informationsebene inhaltliche Schlußfolgerungen
zu, auch im Kontext mit der Umgebung (Überbau).
Für eine qualitative Bewertung müssen den Ebenen angepaßte Meßgrößen gefunden werden.
Während auf der Low-Level-Ebene vor allem quantitative Meßgrößen verwendet werden können
(Länge, Abstand, Anzahl), sind im High-Level-Bereich nur mehr qualitative Aussagen möglich
(Gleichheit oder Ungleichheit der Merkmalsausprägung, Zugehörigkeit zu einer Objektklasse).
Eine Bewertung muß auf beiden Ebenen durchgeführt werden, da sowohl inhaltliche Schluß-
Tabelle 2.1-1: Genauigkeitsmaße für Objekte in der Ebene (nach Bethge, 1997)
Objektklasse untersuchtes Merkmal Genauigkeitsmaß
punktförmige Objekte Lagegenauigkeit Punktlagefehler
linienförmige Objekte Linienlage Lagefehler, Fehlerband
Linienlänge
Längenfehler
Richtung
Richtungsfehler
Krümmung
Krümmungsfehler
flächenhafte Objekte Flächeninhalt Flächenfehler
Randlänge
Längenfehler

16 Kapitel 2. Theoretische und praktische Grundlagen
folgerungen auf geometrischer Darstellung basieren als auch die Gesamtsituation aus einzelnen
Objekten zusammengesetzt wird. Je besser die Modellierung ”
im Kleinen“ erfolgt, um so leichter
fällt die Interpretation ”
im Großen“. Letztlich ist entscheidend, wie gut die kartographische
Abbildung das Wiedererkennen der Umwelt unterstützt. So bietet die veränderte Darstellung
der Realität (vernachlässigte Details, Größen- und Lageänderung infolge Verdrängung) z.T. einfachere
Interpretationsmöglichkeiten. Damit wird erst auf High-Level-Ebene über die Güte einer
Karte entschieden.
Für die Beurteilung der Generalisierungsoperationen auf geometrischer Ebene existieren quantitative
Meßgrößen. In Tabelle 2.1-1 sind einige wesentliche Fehlermaße genannt (siehe auch
Abschnitt 2.2.1). Die Suche nach ähnlich verallgemeinerten qualitativen Meßgrößen ist Gegenstand
der Forschung (Brazile, 1998). Neben der Bewertung von Algorithmen können diese
Fehlerangaben auch als Steuergrößen für die Eingangsparameter dienen. Dazu sind über eine
Rückkopplung die Startparameter solange zu variieren, bis vorgegebene Fehlerschranken nicht
mehr überschritten werden (Abbildung 2.1-2).
Rückkopplung / Steuerung
Generalisierungsalgorithmen
Parameter Genauigkeitsmaße /
Bewertung
Abbildung 2.1-2: Genauigkeitsmaße zur Steuerung von Parametern
2.1.3 Generalisierungsarten
Von der Abbildung der realen Welt in einem Modell bis hin zur graphischen Darstellung werden
unterschiedliche Abstraktionsstufen durchlaufen. Je nach Anwendungsbereich kann eine Unterteilung
in verschiedene Generalisierungsarten erfolgen. Begonnen wird mit der Erfassung der
realen Welt in einem ersten Modell (z.B. digitales Landschaftsmodell; DLM). Die dafür notwendigen
Beschränkungen, sowohl in der Zahl der registrierten Objekte als auch in ihrer Detailtreue,
charakterisieren die Erfassungsgeneralisierung.
Da der Umfang eines DLM wesentlich durch seinen Maßstab festgelegt ist, sind für kleinere
Maßstäbe Folgemodelle abzuleiten. Die Vereinfachung des Datenmodells, auch als Modellgeneralisierung
bezeichnet, setzt sich dabei aus einem semantischen und einem geometrischen Teil
zusammen (Schürer, 1999). Im semantischen Teil erfolgt nach Klassifikation, Auswahl und
Zusammenfassung von Objekten oder Objektteilen, eine Generalisierung des Sachbezuges (Attribute).
Ziel ist, eine weniger detailierte Beschreibung zu erhalten. Der geometrische Teil bezieht
sich auf Änderungen in der Objektgestalt (Vereinfachung, Glättung etc.) zwecks Anpassung an
die Modellauflösung (Schoppmeyer und Heisser, 1995). Erfassungs- und Modellgeneralisierung
werden auch unter dem Begriff der Objektgeneralisierung geführt.
Um aus dem digitalen Landschaftsmodell eine graphische Darstellung zu erhalten, bedarf es
der Signaturierung. Für eine bessere Lesbarkeit werden die Signaturen teilweise größer gewählt
als es der wahren Ausdehnung der Objekte entsprechen würde. Mit der Forderung nach Mindestabständen
zwischen Signaturen führt das zu einem erhöhten Platzbedarf. Die Folge ist, daß

Bei einer Generalisierung mit höherem Anspruch wird die Auswahl differenzierter erfolgen, so
daß z.B. der Charakter eines Siedlungsgebietes erhalten bleibt. Dabei müssen sowohl die Proportionen
der Objekte als auch die Kartenbelastung berücksichtigt werden. Mit zunehmender
Beachtung von qualitativen Gesichtspunkten wird auch die Selektion von Objekten schwerer
rechnergestützt zu realisieren sein.
2.1. Grundlagen der Generalisierung 17
Arten der Generalisierung
Objektgeneralisierung
kartographische Generalisierung
Erfassungsgeneralisierung
Modellgeneralisierung
Erzeugung
eines DLM
Ableitung
weiterer DLM
Erzeugung
eines DKM
Ableitung
von Folgekarten
Abbildung 2.1-3: Arten der Generalisierung
Objekte geringerer Priorität nicht mehr dargestellt werden oder eine Verdrängung in Bereiche
geringerer Kartenbelastung erfolgt. Damit sind die Lagekoordinaten von DLM-Objekt und
zugehörigem signaturiertem Objekt nicht in jedem Fall identisch.
Die Ableitung eines digitalen kartographischen Modells (DKM) als Zwischenergebnis scheint
notwendig und ist einer direkt auf dem DLM aufsetzenden Visualisierung vorzuziehen. Um so
mehr, wenn berücksichtigt wird, daß z.B. durch Zusammenfassungen nicht nur Koordinaten
und Attribute eines Objektes zu ändern sind, sondern neue Objekte gebildet werden müssen.
Die Gesamtheit der Elementarvorgänge (siehe 2.1.4), welche bei der graphischen Darstellung
von DLM-Objekten anzuwenden sind, werden unter dem Begriff der kartographischen Generalisierung
zusammengefaßt.
2.1.4 Elementare Generalisierungsvorgänge
Die Generalisierung kann zunächst durch zwei Grundoperationen charakterisiert werden : Weglassen/Unterdrücken
und Übertreiben/Betonen. Beide Vorgänge dienen dem Zweck, Rauminformationen
in einer überschaubaren Form zu generieren. Nach Hake und Grünreich (1994)
lassen sich des weiteren mehrere Elementarvorgänge der Generalisierung unterscheiden : Auswahl,
Zusammenfassen, Vereinfachen, Vergrößern, Verdrängen, Klassifizieren und Bewerten.
Hinsichtlich einer Automatisierung der Generalisierung können diese Elementarvorgänge noch
bezüglich ihres qualitativen bzw. quantitativen Charakters unterteilt werden (siehe Abbildung 2.1-
4). Letztlich sind sämtliche Problemstellungen, die rechnergestützt gelöst werden, auf einfache
Rechenoperationen zurückzuführen. Damit ist einleuchtend, daß auch im Bereich der Generalisierung
Elementarvorgänge mit quantitativem Charakter eher einer automatisierten Lösung
zugänglich sind. Im einfachsten Fall wird bei zu hoher Kartenbelastung auf die Darstellung von
Objekten unterhalb einer bestimmten Größe verzichtet.

18 Kapitel 2. Theoretische und praktische Grundlagen
quantitativer Charakter
qualitativer Charakter
Zusammenfassen
Vergrößern
Auswahl
Vereinfachen
Verdrängen
Klassifizieren
Bewerten
Abbildung 2.1-4: Elementarvorgänge der Generalisierung
Ist die Kartenbelastung nur in Teilbereichen sehr groß, versucht man zunächst, die Konflikte
lokal zu beseitigen. Dazu werden Objekte geringfügig in ihrer Lage verschoben. Der einzuhaltende
Mindestabstand berücksichtigt dabei die sogenannte Perzeptionsschwelle des Menschen, die
überschritten werden muß, damit Objekte getrennt voneinander wahrgenommen werden können.
Die Verdrängung der Objekte erfolgt so, daß die typische Gestalt möglichst wenig geändert wird.
Der topologische Zusammenhang darf ebenfalls nicht verändert werden. Bei einer automatisierten
Verdrängung sind diese qualitativen Gesichtspunkte zu berücksichtigen.
Ursache für Verdrängungen sind in der Regel die vergrößerte oder betonte Darstellung von wesentlichen
Objekten. Zum Beispiel werden die Signaturbreiten von Straßen, ab Maßstab 1:10 000,
größer gewählt als die entsprechende natürliche Breite (siehe auch 5.1.2). Dadurch kann es zur
Überlagerung mit anderen Objekten kommen, z.B. Haus am Straßenrand, benachbarter Fluß.
2.2 Grundlagen der automatisierten Generalisierung
2.2.1 Modellierung von Geometrie, Topologie und Semantik
Nach dem Abstraktionsgrad sind verschiedene Arten geographischer Informationen zu unterscheiden
(siehe auch 2.1.2). Auf der untersten Stufe steht die geometrische Information über Lage
und Form von Punkt-, Linien- und Flächenobjekten. Daraus können topologische Beziehungen
abgeleitet werden, präsentiert durch Knoten und Kanten. Diese beschreiben die unmittelbare
Umgebung oder Nachbarschaft. Werden den Objekten Attribute zugeordnet, gelangt man zu
einer inhaltlichen, thematischen Beschreibung.
Tabelle 2.2-1: Arten geographischer Informationen
Art der
Information
Elemente
Grad der
Abstraktion
Beispiel
geometrisch
Punktlage; Lage und Form von
Linien- und Flächenobjekten
low-level
Linie, Fläche
topologisch
Nachbarschaftsrelationen,
präsentiert durch Knoten und
Kanten
mid-level
Linie kreuzt Fläche
semantisch
Sachdaten, Attribute,
zugeordnete Bedeutung
high-level
Eisenbahn überquert Fluß
Als erstes wird der Begriff der Metrik eingeführt. Anschließend folgen ausgewählte Definitionen
zur geometrischen Beschreibung von ebenen Objekten.

2.2. Grundlagen der automatisierten Generalisierung 19
Metrik: Eine Menge M von Elementen p 1 , p 2 , . . . mit einer Metrik a heißt metrischer Raum,
wenn jedem Elementepaar p 1 , p 2 ∈ M eine reelle Zahl a(p 1 , p 2 ) mit folgenden Eigenschaften
zugeordnet ist :
1. a(p 1 , p 2 ) ≥ 0 , a(p 1 , p 2 ) = 0 genau dann, wenn p 1 = p 2 ,
2. a(p 1 , p 2 ) = a(p 2 , p 1 ) (Symmetrie),
3. für drei beliebige Elemente p 1 , p 2 , p 3 ∈ M gilt die Dreiecksungleichung
a(p 1 , p 2 ) ≤ a(p 1 , p 3 ) + a(p 3 , p 2 ) .
Man bezeichnet a(p 1 , p 2 ) auch als Abstand zwischen p 1 und p 2 . Ein Beispiel ist der zweidimensionale
euklidische Raum, in dem sich der Abstand zweier Punkte p 1 = (x 1 , y 1 ) und p 2 = (x 2 , y 2 )
wie folgt berechnet :
d(p 1 , p 2 ) =
√
(x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2 . (2.2-1)
Die Dreiecksungleichung kann für dieses Beispiel geometrisch so interpretiert werden, daß die
Distanz zwischen zwei Punkten dem Minimum der Längen aller möglichen Wege zwischen diesen
Punkten entspricht. Für die Bestimmung des Abstandes zwischen Punkt (p) und Linie (L) wird
diese Bedingung erweitert, indem die Abstandsberechnung zwischen gegebenem Punkt und dem
dazu nächstgelegenen Linienpunkt (l) erfolgt :
˜d(p, L) = min(d(p, l)) (2.2-2)
l∈L
(Frank, 1983). Der Abstand zwischen zwei Linien ergibt sich in analoger Weise als minimale
Distanz zwischen zwei Punkten aus je einer Linie. Ist die Distanz Null, so schneiden sich die
Linien oder berühren sich.
Die Lage von ebenen Kurven kann in unterschiedlichen Koordinaten (z.B. kartesische Koordinaten,
Polarkoordinaten) und unterschiedlicher Form (explizit, implizit, in Parameterform)
angegeben werden. Charakteristische Größen, welche letztere näher kennzeichnen, sind Bogenelement
und Krümmung.
Bogenelement: Wenn s die Länge der Kurve von einem festen Punkt A bis zum Punkt M
ist, dann kann der endliche Zuwachs ∆s = ̂MN durch das Differential ds der Bogenlänge, das
Bogenelement, angenähert werden. Unter Verwendung kartesischer Koordinaten in Parameterdarstellung
ergibt sich :
ds =
√
[x ′ (t)] 2 + [y ′ (t)] 2 dt . (2.2-3)
In der diskreten Rechnung werden die Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt.
Damit ist:
√ (∆x ) 2 ( ) ∆y 2 √
∆s = + ∆t = ∆x
∆t ∆t
2 + ∆y 2 . (2.2-4)
Krümmung: Die Krümmung k einer Kurve im Punkt M ist der Grenzwert des Verhältnisses
des Winkels δ zwischen den positiven Tangentenrichtungen in den Punkten M und N zur
Bogenlänge ̂MN für ̂MN → 0 :
k = lim
̂MN→0
δ
̂MN . (2.2-5)

20 Kapitel 2. Theoretische und praktische Grundlagen
Die Darstellung mit kartesischen Koordinaten in Parameterdarstellung liefert
k = x′ y ′′ − x ′′ y ′
(x ′2 + y ′2 ) 3/2 . (2.2-6)
Wird als Parameter die Bogenlänge s eingeführt und zur Parameterdarstellung v(s) := (x(s), y(s))
für ebene Kurven übergegangen, ist folgende Taylorentwicklung möglich :
v(s) = v(s 0 ) + (s − s 0 ) v s (s 0 ) + (s − s 0) 2
v ss (s 0 ) + (s − s 0) 3
v sss (s 0 ) + . . . (2.2-7)
2!
3!
Dabei bezeichnet v s (s) die Ableitung nach der Bogenlänge. Durch Verwendung der Bogenlänge s
als Parameter ist die zweite Ableitung v ss (s) ein Normalenvektor. Mit Gleichung (2.2-7) können
der T angenteneinheitsvektor t := v s (s 0 ) (2.2-8)
und der Normaleneinheitsvektor n := 1 k v ss(s 0 ) (2.2-9)
eingeführt werden. Der Normierungsfaktor
ist die Krümmung und r := 1/k der Krümmungsradius.
k := |v ss (s 0 )| (2.2-10)
Diese grundlegenden Beziehungen spielen eine große Rolle in der automatisierten Generalisierung
(Plazanet et al., 1995), z.B. auch in der rechnergestützten Verdrängung. So sind
Abstandsberechnungen für die Recherche von Konfliktsituationen notwendig (siehe Abschnitt
3.2.2). Mit zunehmendem Generalisierungsgrad tritt die Einhaltung metrischer Abstände zugunsten
einer leicht erfassbaren Darstellung in den Hintergrund. Dabei darf die relative Lage
der Objekte zueinander nicht verändert werden, d.h. die Topologie muß erhalten bleiben.
Topologie: Die Topologie beschäftigt sich mit den nichtmetrischen räumlichen und strukturellen
Beziehungen beliebiger Elemente in abstrakten Räumen (Bill, 1996). Die grundlegenden
topologischen Bausteine sind Knoten, Kanten und Maschen, die in den geometrischen Elementen
Punkt, Linie und Fläche ihre Entsprechung haben. Ein Beispiel für die explizite Speicherung topologischer
Informationen liefert die Datenstruktur der ARC/Info Datenbasis, wo topologische
Beziehungen automatisch als sogenanntes codiertes Netzwerk“ (siehe Abbildung 2.2-1) erzeugt
”
und vorgehalten werden (Schaller, 1986).
2
4
1
I
3
1
II
3 4
2
6
5
III 7
5
6 V
8
IV 9
10
11
7
Kante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Rechte Masche I II II I III III III III V IV V
Linke Masche 0 0 I 0 II 0 V IV IV 0 0
vom Knoten 3 4 3 1 4 2 5 6 7 7 5
zum Knoten 1 3 2 2 2 5 6 4 6 4 7
Knoten 1 2 3 4 5 6 7
x,y-Koordinaten 1,6 4,8 1,1 5,1 8,7 7,4 10,1
Abbildung 2.2-1: Beispiel für die explizite Speicherung topologischer Informationen
Topologische Beziehungen sind bei bekannter Geometrie herleitbar, wobei die notwendigen Berechnungen
mehr Zeit beanspruchen, als die Abfrage explizit gespeicherter topologischer Relationen.
Nachteil einer expliziten Speicherung ist der zusätzliche Aufwand bei der Laufendhaltung
und der größere Datenumfang.

2.2. Grundlagen der automatisierten Generalisierung 21
Zur Beschreibung topologischer und struktureller Eigenschaften werden die Begriffe ”
Inzidenz“
und ”
Adjazenz“ verwendet. ”
Adjazenz“ bezeichnet das Aneinandergrenzen gleichartiger Strukturelemente,
z.B. zweier Kanten, die über einen Knoten verbunden sind. ”
Inzidenz“ beschreibt
dagegen die Verbindung unterschiedlicher Strukturelemente; so ist die von einem Knoten abgehende
Kante mit diesem inzident.
Hilfsmittel der Topologie ist die Graphentheorie, welche besondere Bedeutung bei der Beschreibung
zweidimensionaler Strukturen besitzt. Die zugehörigen planaren Graphen können u.a. bei
der Konsistenzprüfung und Fehlersuche verwendeten werden. Insbesondere die Datenfortführung
muß immer wieder solche Prüfmechanismen durchlaufen. Damit können beispielsweise Doppelspeicherungen
vermieden, Nachbarschaftsbeziehungen auf ihre Vollständigkeit überprüft und
thematische Daten auf ihre Verknüpfungen untersucht werden. Ein Beispiel ist die Anwendung
der Relation nach Euler-Poincare :
V + F = E + S (2.2-11)
Dabei wird für V die Zahl der Ecken (vertices) eingesetzt und für E die Zahl der Kanten (edges).
F entspricht der Maschenzahl, die davon abhängt, ob die Region außerhalb des Graphen als
Fläche gezählt wird oder nicht. Die Eulerzahl S liefert die numerische Ergänzung. Im Falle
planarer Graphen ist S = 2, falls die äußere Fläche berücksichtigt wird. In Abbildung 2.2-2 sind
einfache Beispiele für einen doppelt kodierten Knoten bzw. eine nicht erfaßte Kante dargestellt
(Laurini and Thompson, 1992).
• • •
• •
• •
• • •
• •
• • •
• •
• •
•
V + F = 8 + 4 = 12
E + S = 10 + 2 = 12
• • •
•
V + F = 9 + 4 = 13
E + S = 10 + 2 = 12
•
V + F = 8 + 4 = 12
E + S = 9 + 2 = 11
Abbildung 2.2-2: Relation nach Euler-Poincare zur Konsistenzprüfung in planaren Graphen
Außerdem gab es Untersuchungen zur Anwendung der Graphentheorie für Generalisierungszwecke.
In Tabelle 2.2-2 werden einige Elementarvorgänge der Generalisierung aufgeführt, die
von einem graphentheoretischen Ansatz profitieren können (Mackaness and Beard, 1993).
Tabelle 2.2-2: Anwendung der Graphentheorie in der Generalisierung
Vereinfachung
Zusammenfassung
Verdrängung
Auswahl
Übertreibung
Beseitigung von Kanten bei gleichzeitigem Erhalt von Verbindungsrelationen
Identifikation von Grenzen für Objekte gleichen Typs zur Unterstützung von Verschmelzungsoperatoren
Identifikation von Bereichen hoher Objektkonzentration und Konsistenzprüfung nach
Verdrängungsoperationen
Identifikation von Nachbarschaftsrelationen bezüglich ausgewählter Merkmale
Identifikation von Merkmalen in Isolation oder mit charakteristischer Topologie, die
in der kartographischen Darstellung betont werden

22 Kapitel 2. Theoretische und praktische Grundlagen
Ein anderer Generalisierungsansatz mit expliziter Modellierung topologischer Beziehungen basiert
auf der Anwendung der Delaunay-Triangulation (Bundy et al., 1994). Beachtliche Erfolge
konnten vor allem bei der Zusammenfassung von Objekten und in der Konflikterkennung erzielt
werden. In Abbildung 2.2-3 ist dargestellt, wie bei Verschiebung eines Knotens (A nach A ′ ) ein
topologischer Konflikt entsteht, welcher sich in einer veränderten Orientierung einiger Kanten
äußert.
A •
L
R
B
•
R
B
•
A •
L R
R
L
C •
R
• A’
Abbildung 2.2-3: Detektion topologischer Konflikte mittels Triangulation
Semantik: Mit Semantik werden die inhaltlichen Aspekte von Objekten, deren Bedeutung
und Funktionalität bezeichnet. Eine Zuordnung erfolgt in der Regel über Attribute. So können
Objekte mit gleicher Geometrie unterschiedliche Semantik besitzen, z.B. wenn eine Straße gleichzeitig
Waldgrenze ist.
Neben diesen funktionellen Eigenschaften, die jedes Objekt für sich besitzt, können weitere semantische
Informationen aus der Lage zu benachbarten Objekten (Kontext) gewonnen werden.
So lassen sich aus der relativen Lage von Höhenlinien Schlüsse über die Steilheit des Geländes ziehen.
Ebenso ergibt sich die Bedeutung der Objekte für den Kartennutzer erst aus dem Kontext.
Die Darstellung des Wanderweges in felsigem Gelände besitzt z.B. größeren Informationsgehalt
bezüglich Begehbarkeit als die Wegdarstellung durch eine Wiesenlandschaft.
Die Berücksichtigung semantischer Informationen ist Voraussetzung für eine sinnvolle Generalisierung.
Dies wird deutlich, wenn man sich den Unterschied von Luftbild und Karte vor
Augen hält. Während das Luftbild lediglich ein geometrisches Abbild liefert, ist die Karte eine
Abstraktion der realen Welt. Durch Weglassen und Hervorheben werden die beim Betrachter
ablaufenden inhaltlichen Schlussfolgerungen unterstützt und gelenkt.
Der Informationsgehalt bzw. die Bedeutung von Objekten für den Betrachter ist nur schwer zu
messen. Feststellbar ist, daß sich Informationsgehalt und Wahrscheinlichkeit für das Auftreten
des Objektes umgekehrt proportional verhalten. So wird der Kartennutzer ein einzeln stehendes
Haus eher als Orientierungspunkt verwenden als das gleiche Objekt innerhalb einer Ortschaft.
Ebenso dürfte die Orientierung an einer markanten Flußbiegung leichter fallen als an einer
sonstigen Stelle des Flusses. Schließlich ist ein Weg in schwer zugänglichem Gelände selten und
besitzt deshalb eine große Bedeutung für den Wanderer.
Die Objekte mit ihren Attributen können in unterschiedlicher Form verwaltet werden. Es wird
zwischen hierarchischen, netzartigen, relationalen und objektorientierten Datenmodellen unterschieden.
Die Gesamtheit aller gespeicherten Daten, die für eine rechnergestützte Bearbeitung
fachlicher Informationen erforderlich ist, wird als Datenbank bezeichnet (Hake und Grünreich,
1994). In Tabelle 2.2-3 werden die unterschiedlichen Datenbanktypen beschrieben.

2.2. Grundlagen der automatisierten Generalisierung 23
Tabelle 2.2-3: Vergleich möglicher Datenbanktypen (nach Weisgerber, 1998)
Datenmodell
hierarchisch
netzartig
relational
objektorientiert
Erläuterung
streng gegliedertes Ordnungssystem mit (impliziten) Verweisen vom übergeordneten
zum untergeordneten Datenelement
Ordnungssystem ohne eindeutige Hierarchisierung mit ein- bis mehrfachen
(impliziten) Verweisen zwischen den Datenelementen
Zusammenfassung von Datenelementen (= Datenfeld) in Datensätze und
diese in Tabellen. Einführung eines zusätzlichen Datenfeldes je Tabelle mit
(expliziter) Verweisfunktion (= Schlüsselfeld) zur Verknüpfung mehrerer
Tabellen.
Zusammenfassung von Datenelementen (= Objektdaten) in Objekte. Zuordnung
von objektspezifischen ”
Verhaltensregeln“ (= Objektmethoden).
Objekte können wiederum Unterobjekte enthalten (= impliziter Verweis).
2.2.2 Wissensakquisition
Um Generalisierungsvorgänge zu automatisieren, ist es notwendig, kartographische Prinzipien
zu formalisieren, die oftmals nur intuitiv angewendet werden. Dazu muß das Wissen zunächst
erfaßt und systematisiert werden. Anschließend erfolgt die Abstraktion und Modellbildung bzw.
eine Ableitung geeigneter Parameter. Das akquirierte Wissen ist dann als Wissensbasis in einem
Expertensystem anwendbar.
Tabelle 2.2-4: Verschiedene Arten von kartographischem Wissen (nach Uthe, 1996)
Wissensart Erklärung Beispiele
theoretisch
künstlerisch,
graphisch
wahrnehmungspsychologisch
organisatorisch
technologisch
formal definierte graphische und geometrische
Größen (z.B. im Rahmen der Generalisierung)
Wissen über Gestaltung, Zeichenaufbau und
Zeichenlogik
Wissen über Vorgänge der Zeichenwahrnehmung
und Grundlagen der Zeichenwirkung
Arbeitsabläufe in den verschiedenen Bereichen der
Kartenherstellung
Wissen über Geräte und Systemtechniken in der
Anwendung von DV-Werkzeugen
Mindestabstände,
Auswahlregeln
Zeichenschlüssel
hellere Farbtöne
benötigen größere
Darstellungsflächen
als dunkle
Kartenproduktion
an den Landesvermessungsämtern
Farbseparation
Bei der Akquisition ist die Vielfältigkeit kartographischen Wissens zu berücksichtigen (siehe Tabelle
2.2-4). Für Aufgaben der Generalisierung interessiert zunächst die Gewinnung von formaltheoretischem
Wissen, z.B. die Gewinnung von Vergleichsgrößen (Referenzen) und Bewertungs-

24 Kapitel 2. Theoretische und praktische Grundlagen
kriterien, die Ableitung von Qualitäts- und Steuerparametern bzw. die Suche nach allgemeinen
Regeln durch Auswertung konkreter Beispiele. Die Methoden zur Wissensakquisition können
entsprechend dem Abstraktionsgrad in direkte, indirekte und automatische Verfahren eingeteilt
werden (Uthe, 1996).
Bei den indirekten Methoden wird kartographisches Wissen extrahiert, systematisiert und verwaltet.
Dies geschieht in erster Linie durch die Befragung von Experten, die Auswertung von
Fragebögen oder direkte Beobachtung. Ebenso möglich ist die Recherche von Fachliteratur
(Lehrbücher, Musterblätter etc.). Des weiteren kann das sogenannte ”
reverse engineering“ zu
den indirekten Methoden gezählt werden. Dabei werden Karten unterschiedlichen Maßstabes
und Generalisierungsgrades verglichen.
Zum Bereich der direkten Methoden gehören vor allem die interaktiven Verfahren. Dabei gibt der
Experte sein Wissen in sogenannten Akquisitionsshells ein (McMaster and Mark, 1991). Das
Wissen wird in vorgegebenen Strukturen abgespeichert, und es werden Parameter generiert.
Nachteilig ist, daß mit der vorgegebenen Modellierung eventuell wichtige, aber ungenügend
vorstrukturierte Aspekte des Wissens nicht erfaßt werden.
Die dritte Art der Wissensakquisition ist die automatische Ableitung von Wissen, z.B. in neuronalen
Netzen (Werschlein and Weibel, 1994). Damit wird eine Alternative zur Verwendung
expliziter Wissensbasen vorgeschlagen. Es werden keine Regeln abgeleitet, und die schwierige
Formalisierung wird durch ein Training des neuronalen Netzes ersetzt. Das Wissen ist implizit
im Netz enthalten und damit einer Bewertung nicht zugänglich.
indirekte Wissensakquisition
Quellen
(Experten, Literatur, generalisierte Karten)
Experten
Fachliteratur
Reverse Engineering
Erfassen
(Sammeln, Verwalten, Auswählen, Systematisieren)
direkte Wissensakquisition
interaktive Verfahren
Formalisieren
(Festlegen von Strukturen, Modellentwurf, Parameter)
automatische Verfahren
neuronale Netze
Wissensbasis
(Modell, Implementierung, wissensbasiertes System)
Anwendung
Abbildung 2.2-4: Prozeß der Wissensakquisition mit direkten, indirekten und automatischen Verfahren

2.2. Grundlagen der automatisierten Generalisierung 25
Reverse Engineering: Eine Möglichkeit der Formalisierung kartographischen Expertenwissens
ist das Reverse Engineering“ (Grünreich, 1995a). Darunter versteht man einen Vergleich
”
mehrerer Darstellungen in Ausgangs- und Folgemaßstab mit dem Ziel, Gemeinsamkeiten zu extrahieren
und diese in verallgemeinerter Form (z.B. als Parameter oder Regel) abzuleiten. Auf
die Bedeutung des Reverse Engineering für die Generalisierung wurde unter anderem auf dem
zweiten Workshop über Progress in Automated Generalization“ in Barcelona 1995 hingewiesen
”
(Grünreich, 1996). Im Anhang A sind die experimentellen Arbeiten des Verfassers zur Analyse
von Verdrängungssituationen in topographischen Karten dargestellt. Hier ist die prizipielle Vorgehensweise
skizziert, wie mittels Reverse Engineering Steuerparameter für die automatisierte
Verdrängung abgeleitet werden können:
• Scannen von Verdrängungsszenen in verschiedenen Maßstäben (z.B. Fluß, Straße, Eisenbahn
im Durchbruchstal)
• Berücksichtigung charakteristischer Punkte zwecks Identifizierung gleicher Objekte in unterschiedlichen
Maßstäben
• Festlegung von geeigneten Maßen zur Beschreibung der Linienverdrängung (z.B. eingeschlossene
Fläche zwischen Original- und verdrängter Linie, bezogen auf die Bogenlänge,
Abstandsquadrate für charakteristische Punkte im Original- bzw. Folgemaßstab)
• Vergleich der Verschiebungsbeträge innerhalb der Maßstabsreihe und zwischen verschiedenen
Objekten
• Ableitung von Verdrängungsprioritäten und Vergleich mit den Verdrängungsprioritäten
des ATKIS-Signaturenkataloges (ATKIS-SK)
• Anwendung der gefundenen Verdrängungsprioritäten als Steuerparameter
Schwierigkeiten ergeben sich aus der Tatsache, daß Lageänderungen nicht zwangsläufig Folge
von Verdrängungsoperationen sind, sondern auch durch Vereinfachung der betreffenden Objekte
entstehen. Die praktische Realisierung zeigt, daß, entgegen den Verdrängungsprioritäten nach
ATKIS-SK, Gewässer stärker verdrängt werden als Straßen und die Lage von Eisenbahnen am
wenigsten geändert wird. Da hier zunächst nur die prinzipielle Machbarkeit und der Aufwand
untersucht wurde, bedarf es für allgemeingültige Aussagen wesentlich umfangreicherer Untersuchungen.
2.2.3 Wissensbasierte Systeme
Formalisierung: Der erste Schritt in der Formalisierung und Modellbildung ist die Auswahl
geeigneter Repräsentationsformen. Dazu gehört das Aufstellen von Rangfolgen und Ordnungen
(Taxonomien), z.B. mit Hilfe von Baumdiagrammen. Für die Ableitung von Relationen und
Charakteristiken können semantische Netze verwendet werden. Sie erleichtern die Abstraktion
und das Finden geeigneter Attribute zur Beschreibung typischer Eigenschaften.
Im zweiten und vielleicht schwierigsten Schritt des gesamten Akquisitionsprozesses müssen Methoden
und Regeln abgeleitet werden, welche die zu bearbeitenden Daten und das akquirierte
Wissen miteinander verknüpfen (Leitner and Buttenfield, 1995). Sie stellen das Kernstück
eines wissensbasierten Systems dar und werden mit dem Begriff des Inferenzmechanismus (Interpreter)
umschrieben (Grünreich und Rappe, 1997). Textliche Beschreibungen sind hierfür
weniger geeignet, da diese oft nicht präzise genug sind, um als Regel in einem wissensbasierten
System verwendet zu werden. Besser lassen sich Tabellen oder statistische Untersuchungen zur
Formalisierung nutzen (Laurema et al., 1991).

26 Kapitel 2. Theoretische und praktische Grundlagen
Eingabe
Fakten
Wissensbasis
Interpreter
Datenbasis
Regeln
Ausgabe
Abbildung 2.2-5: Grundlegender Aufbau eines wissensbasierten Systems
Wissensbasierte Systeme: Der allgemeine Aufbau eines wissensbasierten Systems ist in
Abb. 2.2-5 dargestellt. Dabei werden mittels Interpreter die Fakten und Regeln aus der Wissensbasis
auf die zu bearbeitenden Daten angewendet (Grünreich und Rappe, 1997). Für die
Kartographie hat ein solches System etwa folgende Aufgaben zu übernehmen :
• automatisierte Datenerfassung zur Erzeugung eines digitalen Datenbestandes
• maßstabsabhängige Modellgeneralisierung
• automatische Zuordnung der Signaturen des gewünschten Zeichenschlüssels
• automatisierte kartographische Generalisierung
• Ausgabe der kartographischen Repräsentation
(siehe auch Spiess, (1990a) ). Aktuelle Softwareprogramme ermöglichen :
• automationsgestützte Datenerfassung zur Erzeugung maßstabsabhängiger digitaler Landschaftsmodelle
(dadurch werden die ersten beiden Punkte von oben in einem Schritt realisiert,
mit dem Nachteil, daß die digitalen Ausgangsdaten schon maßstabsabhängig generiert
werden)
• Zuordnung des gewünschten Zeichenschlüssels
• interaktive Generalisierung, unter Einsatz von speziellen Generalisierungswerkzeugen (Linienglättung,
Aggregation von Gebäuden, ...)
• Ausgabe als Druck oder Bildschirmpräsentation
Als Fazit ist festzustellen, daß Expertenwissen bezüglich der kartographischen Generalisierung
erst ansatzweise in den aktuellen Programmen existiert. So ist eine interaktive Wechselwirkung,
welche die Steuerung mittels Parameter ermöglicht, die Bewertung von Ergebnissen oder eine
Auswahl angebotener Varianten zuläßt, nur in wenigen Fällen möglich. Vielfach wird die Generalisierung
deshalb von Hand durch den Kartographen ausgeführt, wobei an die Stelle von Folie

2.3. Bisherige Verdrängungslösungen 27
und Gravurnadel jetzt Mauszeiger, Tastatur und Bildschirm getreten sind. Voraussetzung für
die Entwicklung wissensbasierter Systeme, welche eine automatische oder automationsgestützte
Generalisierung ermöglichen, sind deshalb neben der Akquisition vor allem die Formalisierung
des vorhandenen kartographischen Wissens (Bollmann, 1988).
2.3 Bisherige Verdrängungslösungen
2.3.1 Geometrische Ansätze für Vektordaten
Erste Ansätze für eine automatisierte Verdrängung entstanden in den siebziger Jahren. Auf der
Basis von Vektordaten wurden Verschiebungsvektoren berechnet, welche Richtung und Größe
notwendiger Verdrängungen beschreiben. Für die Bestimmung der Verschiebungsrichtung wurde
von der Annahme ausgegangen, daß eine Verdrängungswirkung im wesentlichen von linienförmigen
Objekten hervorgerufen wird und senkrecht zu deren Mittelachse erfolgt (Gottschalk,
1972).
Zur Berechnung von Verdrängungsbeträgen sind ausführliche Untersuchungen von Töpfer (1974)
durchgeführt worden. Dabei erfolgt zunächst eine Unterscheidung von einfacher und angleichender
Verdrängung. Außerdem wird auf die Bedeutung einer Verdrängung unter Wahrung der
relativen Lage zwischen den Kartenobjekten hingewiesen. Ähnliche Ansätze wurden später auch
von Lichtner (1977) und Schittenhelm (1978) aufgegriffen.
Die einfache Verdrängung berücksichtigt die Einhaltung von Mindestabständen bei der Ableitung
von Folgemaßstäben. Der Objektabstand (y 0 ) ergibt sich aus den halben Signaturbreiten
der beteiligten Objekte (b 1 , b 2 ) zuzüglich eines Mindestabstandes für die optische Auflösbarkeit
(a):
y 0 = b 1 /2 + b 2 /2 + a . (2.3-1)
Die Differenz der Objektabstände in Ausgangs- und Folgemaßstab liefert die notwendige Verschiebung
(v 0 ). Dabei muß der Objektabstand des Ausgangsmaßstabes noch auf den Folgemaßstab
umgerechnet werden:
v 0 = y 0F − y 0A · mA
m F
. (2.3-2)
Eine Verdrängung nach obigem Schema kann zu starken Veränderungen der Objektgestalt führen
und Nachbarschaftsrelationen (bzw. die Topologie) verletzen. Deshalb wird der Verdrängungsbereich
um die Verdrängungstiefe w A erweitert, und es werden auch Objektpunkte, für die
y A = y 0A + w A mit w A > 0 (2.3-3)
gilt, in die Verdrängung einbezogen. Die Verdrängungswirkung auf diese Punkte sollte mit wachsendem
Abstand abnehmen. Ein möglicher Ansatz ist
v = v 0 · e −x mit x := y A − y 0A
y 0F
· mA
m F
. (2.3-4)
Der Exponent x wird so gewählt, daß für y A = y 0A bzw. w A = 0 die einfache Verdrängung als
Spezialfall der angleichenden Verdrängung enthalten ist. Der Objektabstand im Folgemaßstab
ergibt sich aus
und nach Einsetzen von (2.3-2) und (2.3-4) in (2.3-5) zu
y F = y A · mA
m F
+ v , (2.3-5)
y F = y A · mA + (y0F − y 0A · mA ) · e
−(y A −y 0A )m A /(cy gF m F )
. (2.3-6)

28 Kapitel 2. Theoretische und praktische Grundlagen
Außerdem wird der Bereich y gF = y 0F /c , in dem die Verdrängung abklingen soll, direkt eingeführt.
Der Faktor c steuert dabei das Abklingverhalten. Um Folgekonflikte zu vermeiden, muß
die Verdrängungstiefe situationsabhängig festgelegt werden. Die automatisierte Steuerung des
Abklingverhaltens ist bisher nicht entwickelt.
Abbildung 2.3-1: Verdrängung einer Höhenlinie durch eine Straße (nach Töpfer, 1974)
Eine neuere Arbeit zur Verdrängung auf elementar-geometrischer Basis beschäftigt sich mit der
Generalisierung von Gebäuden (Powitz, 1993). Dabei erfolgt eine automatische Verdrängung
von Objektpunkten der Gebäudekonturen durch lokale Verdrängungsvektoren innerhalb von
Straßenmaschen.
2.3.2 Konfliktmodellierung mittels Rasterdaten
Erste Untersuchungen zur Konfliktmodellierung mittels Rasterdaten stammen von Volkert
(1978) und Christ (1979). Fortgesetzt wurden deren Arbeiten von Jäger (1991). Wesentlich
bei diesen Ansätzen ist die pixelweise Abspeicherung der erforderlichen Verdrängungsinformationen.
Neben Verdrängungsbetrag und Verdrängungsrichtung werden auch Angaben zur Objektpriorität,
Lage der Objektmittelachse, Überlappungsbereiche etc. abgespeichert. In diesem
Zusammenhang ist der Begriff des Verdrängungsgebirges entstanden.
Abbildung 2.3-2: Verdrängungsgebirge (nach Jäger, 1990)

2.3. Bisherige Verdrängungslösungen 29
Die Höhenwerte“ entsprechen dem Platzbedarf der Kartenobjekte. Im einfachsten Fall gibt der
”
Höhenwert“ eines Pixels Auskunft über die Anzahl von Objekten, die sich am Ort befinden.
”
Werden Mindestabstände und Verdrängungstiefen berücksichtigt, ergibt sich ein Verdrängungsgebirge,
welches in Abbildung 2.3-2 dargestellt ist. Allgemeinere Untersuchungen zur Anwendung
von Rasteroperationen für Generalisierungszwecke wurden von Weber (1982) durchgeführt.
Die bisherigen Ansätze beschränken sich auf eine Modellierung der notwendigen Verschiebungen
(2.3-6), um Darstellungskonflikte zu beseitigen. Eine Berücksichtigung der Objektgestalt
erfolgt dabei zunächst nicht. Da besonders an den Grenzen der Verdrängungsbereiche abrupte
Gestaltsänderungen auftreten, wird bei der angleichenden Verdrängung zusätzlich mit einer
Verdrängungstiefe gearbeitet. Innerhalb dieser klingt die Verdrängungswirkung gegen Null ab,
d.h. die Verdrängung wird sozusagen ”
aufgefangen“. Der Nachteil bei diesem Vorgehen ist die
Verkürzung von Objekten in Verdrängungsrichtung.
2.3.3 Verdrängung als Optimierungsproblem
Endrullis (1988) schlägt nun vor, u.a. Geometrie- und Relationsinformationen bei der Konfliktlösung
zu berücksichtigen und die Verdrängung als komplexes Optimierungsproblem zu behandeln.
Diesem Anspruch kann Bobrich (1996) mit seinem Federkraftmodell gerecht werden
und erreicht damit eine neue Qualität auf dem Gebiet der automatisierten Verdrängung. Zum ersten
Mal erfolgt hier eine explizite Modellierung der Objektgestalt (speziell von Linienobjekten).
Der Verdrängungsansatz basiert auf einem hybriden Datenmodell. So werden Rasterdaten für
die Recherche und Modellierung von Konfliktsituationen verwendet. Das Ergebnis ist ein pixelweise
abgespeichertes Verdrängungsgebirge. Die Vektordaten werden benötigt, um die Gestalt
der Kartenobjekte zu erfassen. Mit Hilfe des Federkraftmodells gelingt es, anschaulich die aufgetretenen
Deformationen infolge Verdrängung in Kräfte umzusetzen. Diese wirken einer Gestaltsund
Lageänderung der Kartenobjekte entgegen.
Entsprechend der zu beschreibenden Signaturcharakteristika werden unterschiedliche Federarten
bzw. Federkräfte eingeführt, z.B. ”
Signaturfedern“ (F s ), um die Stützstellenabstände der
Kartenobjekte trotz Verschiebung möglichst konstant zu halten oder ”
Torsionsfedern“ (F t ), um
das Krümmungsverhalten zu steuern. Schließlich soll die absolute Stützstellenbeweglichkeit bestimmter
Kartenobjekte eingeschränkt werden (z.B. Trigonometrische Punkte). Dies erreicht
man mit Hilfe sogenannter ”
Bezugssystemfedern“ (F k ) (siehe Abbildung 2.3-3).
Abbildung 2.3-3: Federkraftmodell (nach Bobrich, 1996)

30 Kapitel 2. Theoretische und praktische Grundlagen
Die Umsetzung dieser konträren Aspekte, d.h. Beseitigung der Darstellungskonflikte bei bestmöglicher
Wahrung der Signaturcharakteristika, kann als Optimierungsaufgabe gelöst werden. In der
zugehörigen Zielfunktion unterscheidet Bobrich (1996) deshalb zwischen einem Federpotential
Π F edern und dem Potential des Verdrängungsgebirges Π Rastergebirge :
Π ges = Π F edern + Π Rastergebirge (2.3-7)
Eine weiterführende analytische Formulierung gelingt nicht. Numerisch wird die Minimierung
mittels des ”
Downhill-Simplex-Verfahrens“ durchgeführt. Als Steuerparameter fungieren dabei
verschiedene Federhärten, deren Wahl, in Abhängigkeit von der Objektbedeutung, dem Kartographen
vorbehalten bleibt.
Zusammenfassend können folgende Abschnitte bei der Entwicklung automatisierter Verdrängungslösungen
unterschieden werden. Zunächst wurde versucht, auf elementar-geometrischer Basis
Verschiebungsvektoren zu bestimmen. Später erfolgte eine Unterteilung der Verdrängungsproblematik
in Konfliktmodellierung (Verdrängungsgebirge) und Konfliktlösung (resultierende
Verdrängung). Die Verdrängung wurde dabei ohne explizite Berücksichtigung der Objektgestalt
durchgeführt. Lediglich die angleichende Verdrängung versucht, Gestaltsänderungen innerhalb
einer vorgegebenen Verdrängungstiefe aufzufangen. Um sich ergebende Folgekonflikte zu
vermeiden, müßte die Verdrängungstiefe situationsabhängig festgelegt werden. Dies führte zur
Behandlung der Verdrängung als Optimierungsproblem.
Die Verwendung eines Federmodells ist hier sehr anschaulich, da mechanische Federn natürlicherweise
formerhaltende Kräfte besitzen. In der automatisierten Verdrängung wirken sie der
Verformung von Kartenobjekten entgegen. Für eine differenziertere Beschreibung von Kurven
hat sich in mathematischen Anwendungen jedoch die Modellierung mit Splines durchgesetzt.
Sind zusätzlich äußere Zwangsbedingungen zu berücksichtigen, kann eine angepaßte Klasse von
Splines, die sogenannten energieminimierenden Splines, verwendet werden. Im folgenden Kapitel
wird deshalb die automatisierte Linienverdrängung mit energieminierenden Splines vorgestellt.

31
3 Verdrängung von Linienobjekten
3.1 Splines
3.1.1 Interpolierende und approximierende Splines
Eine gegebene Funktion f(t) kann stückweise durch Polynome beliebigen Grades approximiert
werden. Vorteile bietet hier die Verwendung von Polynomen dritten Grades, auch als klassische
Spline-Interpolation bezeichnet. Durch ∆ := a = t 0 < t 1 < . . . < t n = b sei eine Unterteilung
des Intervalls [a, b ] gegeben.
Definition :
Unter einer zu ∆ gehörigen Spline-Funktion s(t) versteht man eine reelle
Funktion s(t) : [a, b ] → R mit den Eigenschaften
• s(t) ∈ C 2 [a, b ] : s(t) ist auf [a, b ] zweimal stetig differenzierbar.
• Auf jedem Teilintervall [t i , t i+1 ], i = 0, 1, . . . , n − 1, stimmt s(t) mit einem Polynom 3.
Grades überein.
Eine Splinefunktion ist somit stückweise aus n kubischen Polynomen so zusammengesetzt, daß
die Funktion s(t) selbst und ihre beiden ersten Ableitungen an den Stellen t i ; i = 1, . . . , n − 1,
keine Sprungstellen besitzen. Neben kubischen Spline-Funktionen kann man allgemeiner Splinefunktionen
s(t) vom Grad k definieren, die stückweise aus Polynomen k-ten Grades so zusammengesetzt
sind, daß s(t) ∈ C k−1 [a, b ] gilt.
Man spricht von einer interpolierenden Spline-Funktion, wenn Spline s(t) und Funktion f(t) in
den Stützstellen übereinstimmen :
s(t i ) − f(t i ) = 0 , i = 0, 1, . . . , n . (3.1-1)
Im allgemeinen sind die Interpolationslösungen entsprechend der Bedingung (3.1-1) nicht eindeutig.
So können zusätzliche Optimalitätskriterien erfüllt werden :
E =
∫ b
a
[ s (l+1) (t) ] 2 dt = Min l ≥ 0 . (3.1-2)
Im Falle l = 1 erhält man die Bedingung minimaler Biegeenergie für kubische Splines.
Um vorhandene unerwünschte Undulationen zu unterdrücken, wurde die Verwendung von Splines
unter Spannung vorgeschlagen (Schweikert, 1966). Dazu ist folgendes Energie-Integral
zu minimieren :
∫ b
∫ b
E = α [ s ′ (t) ] 2 dt + [ s ′′ (t) ] 2 dt . (3.1-3)
a
a
Der erste Term beeinflußt die ”
Länge“ des Splines, der zweite die ”
Krümmung“. Die Spannung
wird über den Parameter α gesteuert; so führt eine Vergrößerung von α zur Elimination von
Schwingungen bei gleichzeitiger Verringerung der Splinelänge.
Um eine lokale Steuerung zu ermöglichen, wurde ein alternativer Ansatz mit zusammengesetzten
Polynomen entwickelt, sogenannte v-Splines (Nielson, 1974). Das zu minimierende Energie-
Integral nimmt dabei folgende Gestalt an :
E =
n∑
α i [ s ′ (u i ) ] 2 +
∫ b
i=0
a
[ s ′′ (t) ] 2 dt . (3.1-4)
Damit kann an jedem Interpolationspunkt der Kurve die Spannung selektiv verändert werden.

32 Kapitel 3. Verdrängung von Linienobjekten
Da in der Praxis die vorgegebenen Werte f(t i ) oft Meßwerte und daher fehlerbehaftet sind, ist die
Anwendung der Interpolationsforderung (3.1-1) nicht in jedem Falle sinnvoll. Vielmehr wird hier
eine Extremalforderung mit Nebenbedingung angesetzt (in Form einer Lagrange-Funktion), so
daß zum einen die Meßwerte und Interpolationspunkte nicht zwangsläufig zusammenfallen und
andererseits die Glättungseigenschaften interpolierender Splines übernommen werden können.
Diese approximierenden Splines ergeben sich nach Minimierung des Funktionals
n∑
[ ] s(ti ) − f(t i ) 2 ∫ b
E = (1 − λ)
+ λ [ s ′′ (t) ] 2 dt . (3.1-5)
σ i a
i=1
Die Parameter σ i stellen die Standardabweichungen der Meßfehler dar, mit denen die Meßwerte
f(t i ) behaftet sind. Der Glättungsparameter λ ɛ [0, 1] liefert im Spezialfall λ = 0 den kubischen
Interpolations-Spline. Für größere λ erhält man eine glatte Näherungskurve und im Grenzfall
λ = 1 ergibt sich die ausgleichende Gerade.
Durch Konstruktion dieser Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen gelingt es demzufolge,
die konkurrierenden Ziele, bestmögliche Approximation der Funktionswerte bei gleichzeitiger
Gewährleistung eines glatten Splineverlaufs, miteinander zu verbinden. Dieser Gedanke wird im
Snakes-Konzept aufgegriffen und für Anwendungen in der Bildverarbeitung fortgeführt.
3.1.2 Energieminimierende Splines (Snakes)
Bisher wurden Splines verwendet, um komplizierte Funktionsverläufe durch einfachere Funktionen
auszudrücken oder vorgegebene Funktionswerte durch analytische Ausdrücke zu beschreiben.
Zu allgemeineren Modellen führt die Anwendung energieminimierender Splines in der Bildverarbeitung;
dort auch als Snakes bezeichnet. Dabei soll die Gestalt von Objekten aus Bildern
extrahiert werden. Die Approximation bezieht sich damit nicht mehr auf vorgegebene Funktionswerte,
sondern auf Objekte, deren Ausdehnung und Lage durch Hell-Dunkel-Unterschiede
in Bildern beschrieben wird. Der Spline lagert sich dazu unter Erfüllung von Optimalitätskriterien
der gesuchten Kontur an. Die wesentliche Eingangsinformation liefert hier die Bildintensität.
Die erste fundamentale Arbeit stammt von Kass, Witkin und Terzopoulos (1987). In dieser
wird die Zielfunktion der Gesamtenergie
E ∗ snake =
∫ 1
0
E snake ds =
∫ 1
0
(E ext + E int ) ds (3.1-6)
aus einem inneren und einem äußeren Anteil zusammengesetzt. Die interne Energie“
(
”
E int = α(s) | v s (s) | 2 + β(s) | v ss (s) | 2) /2 (3.1-7)
faßt die oben angeführten Forderungen an die Splinegestalt zusammen. Der erste Term steuert
wieder die Dehnbarkeit in Längsrichtung (auch als Membranterm“ bezeichnet), der zweite beeinflußt
die Krümmung bzw. Wölbung des Splines (vergleichbar den Biegeeigenschaften einer
”
” dünnen Metallplatte“). Die externe Energie“
”
E ext = −|grad I(x, y)| 2 (3.1-8)
enthält die Information über die zu approximierenden Objekte in Form der Bildintensität I(x, y).
Vielfach wird hier der Gradient der Bildintensität eingesetzt, da die Begrenzung eines Objektes
durch große Hell-Dunkel-Unterschiede gekennzeichnet ist und so z.B. Kanten detektiert werden
können.
Schlußfolgernd ist anzumerken, daß es sich bei Snakes (dt. Schlangen) um verallgemeinerte
Splines handelt, deren Name aus der Art und Weise resultiert, wie sich Splines während der
Iteration den zu extrahierenden Objekten nähern.

3.2. Linienverdrängung mit Snakes 33
3.2 Linienverdrängung mit Snakes
3.2.1 Prinzip der Energieminimierung
Während in der Mustererkennung die aktiven Splines den unscharfen Konturen angelagert werden,
erfolgt in der automatisierten Verdrängung eine Abstoßung von Linien (siehe Abbildung
3.2-1). Gemeinsam ist beiden Anwendungen die Verschiebung und Verformung von Linien unter
Einwirkung äußerer Zwänge.
Spline
Linie 3
Linie 2
unscharfe
Kontur
Linie 1
Abbildung 3.2-1: Analogie zwischen Konturerkennung (Anlagerung eines Splines an eine unscharfe
Kontur; links) und einseitiger oder gegenseitiger Linienverdrängung (rechts) im Konzept energieminimierender
Splines (Snakes)
Das Prinzip der Energieminimierung, angewendet auf die Linienverdrängung, ist in Abbildung
3.2-2 veranschaulicht. Zunächst sind geeignete Energieterme für die jeweilige Aufgabe zu formulieren.
Diese werden zu einer Gesamtenergie zusammengefaßt, welche die Zielfunktion des
Optimierungsproblems liefert. Die Energieterme sind dabei so zu wählen, daß mit kleiner werdender
Energie eine Lösung der verschiedenen Teilaspekte erfolgt.
Für die Linienverdrängung existieren zwei wesentliche Gesichtspunkte. Zum einen soll eine Überlagerung
durch benachbarte Signaturen beseitigt werden und eine Plazierung in einem gewissen
Mindestabstand erfolgen. Zum anderen ist während der Verschiebung die Gestalt der Linien
möglichst gut zu erhalten. Zur Konfliktlösung wird die Gesamtenergie minimiert. Im Falle der
Linienverdrängung wird dazu das Variationsverfahren verwendet (siehe 3.2.3). Nach der Energieminimierung
sind die Konflikte abgebaut und die Linienform ist weitestgehend erhalten.
Analog zur Bildverarbeitung (siehe 3.1.2) setzt sich die Gesamtenergie
∫ 1
0
E ges ds =
∫ 1
0
(E ext + E int ) ds = Min (3.2-1)
für jede Linie wieder aus einem inneren und einem äußeren Anteil zusammen. Die innere Energie
wird verwendet, um die Forderungen an die Liniengestalt zu modellieren. Dabei besteht
der Wunsch, das ”
Typische“ der Linien möglichst zu erhalten. Im Gegensatz zur Anwendung
der Snakes in der Bildverarbeitung ist man also an einer minimalen Gestaltsänderung interessiert.
Diese wird zunächst hervorgerufen durch notwendige Verdrängungen in Bereichen zu
hoher Objektkonzentration. Die äußere Energie beschreibt zu geringe Abstände zwischen den
Linienabschnitten. Schließlich werden beide Effekte in die Energieminimierung sämtlicher Linien
einbezogen. Dazu wird über die Gesamtenergie E ges , entlang jeder Linie mit der Bogenlänge
s ɛ [0, 1], integriert.

34 Kapitel 3. Verdrängung von Linienobjekten
Konflikt
(Verdrängungsgebirge)
Kartenobjekte
(Gestalt bestimmt durch
1. und 2. Ableitung der
Linie nach der Bogenlänge)
äußere Energie
innere Energie
Energieminimierung mittels Variationsverfahren
Konflikt abgebaut
Gestalt der Linien
weitestgehend erhalten
Abbildung 3.2-2: Schema zur Linienverdrängung mittels Energieminimierung
3.2.2 Innere und äußere Energie
Innere Energie
Die Form der Linie ist zunächst durch den Vektor v(s) = (x(s), y(s)) ⊤ festgelegt. In Bereichen
hoher Kartenbelastung müssen Objekte verdrängt, d.h. sowohl die Lage als auch die Form
der Linien verändert werden. Der Umfang der Verdrängung wird dabei durch die äußere Energie
bestimmt. Die innere Energie kann verwendet werden, um Änderungen der Liniengestalt
entgegenzuwirken. Fordert man hier möglichst große Übereinstimmung zwischen Original und
verdrängter Linie, können die charakteristischen Eigenschaften der Linie erhalten werden. Die
Veränderung gegenüber dem ursprünglichen Zustand wird durch den Vektor w(s) beschrieben :
w := (x − x o , y − y o ) ⊤ ,
w s := (x s − x o s, y s − y o s) ⊤ ,
w ss := (x ss − x o ss, y ss − y o ss) ⊤ .
Während x und y die aktuellen Linienkoordinaten enthalten, kennzeichnen x o und y o die Linie
im Originalzustand. Tiefgestellte Indizes bezeichnen die partiellen Ableitungen nach der
Bogenlänge s. Die interne Energie nimmt damit folgende Gestalt an :
E int = (α |w s | 2 + β |w ss | 2 )/2 . (3.2-2)
Formal stimmt dieser Ausdruck mit der für Snakes eingeführten inneren Energie (3.1-7) überein.
Ähnlich ist die physikalische Interpretation; so beschreibt die erste Ableitung das Dehnungsverhalten
in Längsrichtung. Die zweite Ableitung modelliert das Biegeverhalten des Splines und
wirkt demzufolge in Querrichtung.
Der wesentliche Unterschied zu den Snakes der Bildverarbeitung besteht darin, daß hier nicht
Splines minimaler Dehnung bzw. Krümmung gesucht sind, sondern Splines, die nur geringe Abweichungen
in Länge und Krümmung bezüglich des ursprünglichen Zustandes aufweisen. Demzufolge
werden während der Verdrängung die Differenzen in den ersten und zweiten Ableitungen
(w s , w ss ) minimiert und damit die Gestaltsänderungen klein gehalten. Die Gewichte α und β
sind in dem hier verwendeten Modell für alle Linien konstant.

3.2. Linienverdrängung mit Snakes 35
Äußere Energie
Die äußere oder externe Energie E ext wird verwendet, um Konfliktsituationen von Linien zu
beschreiben. Sie ist null, wenn keine Verdrängungsobjekte innerhalb eines gegebenen Hardcore-
Abstandes h vom Ort v i = [x i , y i ] ⊤ des Punktes P i liegen. Der Hardcore-Abstand berechnet sich
aus den halben Signaturbreiten der beteiligten Linien zuzüglich eines Mindestabstandes h min
für die optische Auflösbarkeit. Der Punkt P i bezeichnet hier eine beliebige Stützstelle mit Index
i der Linie L I (siehe Abbildung 3.2-3).
y
+
+
L J
+
+
+
+
t
+
+
+
k
P
P
j
j+1
a
+
+
+
P i+1
P i=P(x i, y
i)
P h
i-1
i d
j , j+1
a i
P i
t
k
P
j
P
j +1
d
d
i, j +1
i, j
+
v
i
+
+
L := { P ; i = 1, 2, ... }
I
i
x
Abbildung 3.2-3: Beispiel zur Bestimmung des Verdrängungspotentials (im Punkt P i
bezüglich der Linie L J )
der Linie L I
Unterschreiten Linien oder andere Verdrängungsobjekte den Hardcore-Abstand, entsteht ein
Verdrängungspotential E ext (v i ) > 0 im Punkt P i . Dieses wird umso größer, je länger das innerhalb
des Hardcore-Abstandes verlaufende Linienstück und je geringer die Entfernung zu P i ist.
Berücksichtigt werden sämtliche Sützstellen der benachbarten Linien, sowie die interpolierten
Zwischenpunkte. Die Berechnung von Zwischenpunkten ist notwendig, um eine Verdrängungswirkung
unabhängig vom Stützstellenabstand zu modellieren.
Da nur Liniensegmente in der lokalen Umgebung einen Einfluß auf die Verdrängung der Stützstellen
haben, wird in der praktischen Rechnung zunächst eine Vorauswahl zu berücksichtigender
Liniensegmente getroffen. Jeder Koordinate werden dazu die Indizes benachbarter Stützstellen
zugeordnet. Die Auswahl erfolgt anhand eines erweiterten Hardcore-Abstandes h e = f · h. Der
Bereichsfaktor berücksichtigt maximal auftretende Verschiebungen und wird erfahrungsgemäß
mit f = 3 festgelegt. Die Summation in Gleichung (3.2-3) über alle Stützstellen mit Index j
sämtlicher Linien J beschränkt sich danach auf die Stützstellen in der unmittelbaren Umgebung.
Der einfachste Ansatz, der den genannten Anforderungen entspricht, lautet :
E ext (v i ) ∼ ∑ J≠I
{
∑ ∑ (1 − ai (t k )/h) : a i < h
j t
0 : a i ≥ h
. (3.2-3)

36 Kapitel 3. Verdrängung von Linienobjekten
Dabei ist a i (t k ) jeweils der Abstand vom interpolierten Zwischenpunkt des Linienelementes, welches
die Verdrängung ausübt, zum Stützpunkt P i , für den das Verdrängungspotential bestimmt
werden soll:
√
a i (t k ) = d 2 j,j+1 · t2 k + (d2 i,j+1 − d2 i,j − d2 j,j+1 ) · t k + d 2 i,j (3.2-4)
mit
d j,j+1 =
d i,j =
d i,j+1 =
√
(x j+1 − x j ) 2 + (y j+1 − y j ) 2 ,
√
(x j − x i ) 2 + (y j − y i ) 2 ,
√
(x j+1 − x i ) 2 + (y j+1 − y i ) 2
(vgl. Anhang B). Die Berechnung der Zwischenpunkte erfolgt durch gleitende Mittelbildung.
Der Parameter t k ergibt sich hier aus dem Verhältnis von Schrittweite ∆ und individuellem
Stützstellenabstand:
t k = k ·
∆
d j,j+1
, k = 0, 1, ... und t k ɛ [0, 1) . (3.2-5)
Die Schrittweite kann beliebig klein gewählt werden. Für ∆ → 0 entspricht dies einer approximativ
kontinuierlichen Verdrängung. Zu berücksichtigen ist, daß mit kleiner werdender Schrittweite
der Rechenaufwand steigt. Als Mindestanforderung für ∆ ist ein Wert zu wählen, der eine
Größenordnung kleiner als der durchschnittliche Stützstellenabstand ist.
Abbildung 3.2-4(a) zeigt die Stützstellen verschiedener Linienobjekte. Aus diesen diskreten Eingangskoordinaten
wird durch die vorgestellte gleitende Mittelbildung der Platzbedarf der Linienobjekte
berechnet, der als sogenanntes erzeugendes Verdrängungsgebirge dargestellt werden
kann (siehe Abbildung 3.2-4(b)).
(a) Diskrete Eingangskoordinaten
(b) Erzeugendes Verdrängungsgebirge
Abbildung 3.2-4: Beispiel eines erzeugenden Verdrängungsgebirges

3.2. Linienverdrängung mit Snakes 37
3.2.3 Variationsverfahren und Eulergleichungen
Nach Festlegung der Zielfunktion, respektive Konstruktion der Gesamtenergie, wird das Energieintegral
variiert. Die Lösung der entstehenden Eulergleichung liefert die Linienkoordinaten, welche
das Optimalitätskriterium, minimale Gesamtenergie, erfüllen. Heute ist die Anwendung
von Extremalprinzipien überall in den Natur- und Ingenieurwissenschaften verbreitet, in der
Geodäsie z.B. bei der Darstellung der geodätischen Linie in Form der Eulerschen Gleichungen
(Klotz, 1991; Grafarend und You, 1995). Dabei bleibt dem Anwender die wesentliche Aufgabe,
eine dem Problem angepaßte Lagrange-Funktion aufzustellen bzw. geeignete Energien zu
definieren.
Herleitung der Eulerschen Gleichungen:
I[x(s), y(s)] =
∫ 1
0
E ges ds =
∫ 1
von zwei Funktionen x(s), y(s) mit festen Randwerten
0
Wir betrachten ein Funktional
E ges (x, x s , x ss , y, y s , y ss , s) ds (3.2-6)
x(0) = x a , y(0) = y a , x(1) = x e , y(1) = y e .
Gesucht sind die Funktionen x(s), y(s), für die das Funktional I[x(s), y(s)] minimal wird. Eine
notwendige Bedingung ist die Stationarität von I bei Variation der gesuchten Funktionen:
δI[x + δx, y] = 0 , δI[x, y + δy] = 0 . (3.2-7)
Damit lassen sich die Eulerschen Gleichungen der Variationsrechnung für beide Funktionen
herleiten (siehe z.B. Fliessbach (1992)):
δI[x + δx, y] = I[x + δx, y] − I[x, y]
=
=
=
=
=
=
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
ds (E x δx + E xs δx s + E xss δx ss )
(
d
ds E x δx + E xs
ds δx + E d 2 )
x ss
ds 2 δx
∫ 1 ( dExs
ds E x δx − ds
0 ds δx + dE )
x ss
ds
δx s + E xs δx∣ 1 ∣ + E ∣∣ 1
x ss
δx s
0 0
(
ds E x − dE ) ∫ 1
x s
δx − ds dE x ss
ds
0 ds
δx s
(
ds E x − dE )
x s
ds
+ d2 E xss
ds 2 δx − dE ∣
x ss
ds δx ∣∣ 1
0
(
ds E x − dE )
x s
ds
+ d2 E xss
ds 2 δx = 0 . (3.2-8)
Durch zweimalige partielle Integration wird E xss δx ss zu (d 2 E xss /ds 2 )δx. Analog erfolgt die Variation
für die Funktion y(s). Aus der Beliebigkeit von δx bzw. δy resultieren zwei Differentialgleichungen
4. Ordnung, die Eulerschen Gleichungen
E x − dE x s
ds
+ d2 E xss
ds 2 = 0 , E y − dE y s
ds
+ d2 E yss
ds 2 = 0 . (3.2-9)
Nach dem Einsetzen des inneren und äußeren Potentials ergeben sich die Gleichungen
∂E ext
∂x − α(x ss − x o ss) + β(x ssss − x o ssss) = 0 , (3.2-10)
∂E ext
− α(y ss − y o
∂y
ss) + β(y ssss − yssss) o = 0 . (3.2-11)
Die Gleichungen (3.2-10) und (3.2-11) werden mit Hilfe finiter Differenzen diskretisiert und
schrittweise durch Anwendung der Cholesky-Zerlegung gelöst (vgl. Abschnitt 3.3.1).

38 Kapitel 3. Verdrängung von Linienobjekten
3.2.4 Tangent Angle Function Snakes (TAFUS)
Neben der Parametrisierung von Snakes mittels rechtwinkliger Koordinaten, kann alternativ die
Tangentenwinkelfunktion
ϕ(s) := arctan ẏ(s)
ẋ(s)
(3.2-12)
zur Beschreibung ebener Kurven verwendet werden. Die innere Energie nimmt damit analog zu
Gleichung (3.2-2) folgende Gestalt an :
E int = (αϕ 2 + β ˙ϕ 2 )/2 , (3.2-13)
wobei der erste Term die Kurvenrichtung modelliert und die Ableitung der Tangentenwinkelfunktion
nach der Bogenlänge der Krümmung entspricht:
˙ϕ(s) = ẋÿ − ẏẍ (3.2-14)
mit ˙ϕ = ∂ϕ/∂s, ẋ = ∂x/∂s, ẏ = ∂y/∂s, sɛ[0, 1]. Die Rückrechnung erfolgt nach
x(s) = x(0) +
y(s) = y(0) +
∫ s
0
∫ s
0
cos ϕ(t) dt , (3.2-15)
sin ϕ(t) dt . (3.2-16)
Der Vorteil dieser Beschreibung liegt in der Reduktion von zwei Gleichungen 4. Ordnung auf
eine Gleichung 2. Ordnung :
∂E ext
∂ϕ
+ αϕ(s) − β ¨ϕ(s) = 0 . (3.2-17)
Nachteilig ist, daß nur Richtungsänderungen δϕ i und keine Streckenänderungen δs i zwischen benachbarten
Punkten deformierter Polygon-Snakes gewonnen werden. Demzufolge ist eine Rücktransformation
nach (3.2-15), (3.2-16) nicht möglich. Um trotzdem kartesische Koordinaten bestimmen
zu können, wird deshalb zusätzlich gefordert, daß die Polygonpunkte senkrecht zur
Kurvenrichtung verschoben werden sollen (Borkowski et al., 1999).
3.3 Diskretisierung und numerische Realisierung
3.3.1 Finite Differenzen
Snakes: Zur Lösung der Euler-Gleichungen (3.2-10) und (3.2-11) erfolgt die Diskretisierung
mittels finiter Differenzen:
0 = (E i x, E i y) + α [(w i − w i−1 ) − (w i+1 − w i )] + (3.3-1)
β ({[(w i − w i−1 ) − (w i+1 − w i )] − [(w i+1 − w i ) − (w i+2 − w i+1 )]} −
{[(w i−1 − w i−2 ) − (w i − w i−1 )] − [(w i − w i−1 ) − (w i+1 − w i )]}) .
Nach Umformung und unter Verwendung der Substitutionen
ergibt sich aus (3.3-1) die Gleichung
a := 2α + 6β b := −α − 4β c := β (3.3-2)
0 = (E i x, E i y) + cw i−2 + bw i−1 + aw i + bw i+1 + cw i+2 , (3.3-3)

3.3. Diskretisierung und numerische Realisierung 39
in Matrizenform
A(x t − x 0 ) + E x ext (x t , y t ) = 0 , (3.3-4)
A(y t − y 0 ) + E y ext (x t , y t ) = 0 , (3.3-5)
mit der pentadiagonalen Bandmatrix
⎡
A =
⎢
⎣
a b c 0 0 · · ·
b a b c 0
c b a b c
0 c b a b
0 0 c b a
.
⎤
⎥
⎦
. (3.3-6)
Im nächsten Schritt erfolgt der Übergang zu einer iterativen Bearbeitung (Parameter t):
(A + λI)(x t − x 0 ) = λ(x t−1 − x 0 ) − E x ext (x t−1 , y t−1 ) , (3.3-7)
(A + λI) (y t − y 0 )
} {{ } } {{ }
B n
= λ (y t−1 − y 0 ) − E y ext (x t−1 , y t−1 )
} {{ }
m
. (3.3-8)
Die Vektoren x t bzw. y t bezeichnen die x- bzw. y-Koordinaten der Linie im gegenwärtigen Iterationsdurchgang.
Die Vektoren x 0 bzw. y 0 enthalten die x- bzw. y-Koordinaten der ursprünglichen
Linie. Eine Lösung der entkoppelten Matrizengleichungen (3.3-7) und (3.3-8) erfolgt mittels
Cholesky-Zerlegung. Dabei handelt es sich um eine symmetrische Version der LR-Zerlegung für
positiv definite Matrizen:
Bn = m
R T Rn = m (3.3-9)
R T u = m ⇒ Rn = u ⇒ n .
TAFUS: Analog ist die Vorgehensweise zur Diskretisierung der Euler-Gleichung für die Tangentenwinkelfunktion
(3.2-17). Da im Gegensatz zur Parametrisierung mit kartesischen Koordinaten
die Euler-Gleichung nur von 2. Ordnung ist, besitzt die Koeffizientenmatrix tridiagonale
Struktur:
⎡
⎤
a b 0 0 0 · · ·
b a b 0 0
a := α + 2β
A T =
0 b a b 0
,
(3.3-10)
⎢ 0 0 b a b
b := −β .
⎥
⎣
⎦
.
Es ist also nur ein Gleichungssystem (je Kurve) mit tridiagonaler Koeffizientenmatrix anstelle
zweier mit pentadiagonaler Matrix bei den üblichen Snakes-Verfahren zu lösen. Allerdings
müssen vor dem Start die Polygonseitenrichtungen
ϕ i := arctan y i+1 − y i
x i+1 − x i
, (3.3-11)
entsprechend (3.2-12) und nach jedem Iterationsschritt die Koordinaten der verschobenen Polygonpunkte
neu berechnet werden.

40 Kapitel 3. Verdrängung von Linienobjekten
Die externe Energie (3.2-3) in den Punkten P i und ˜P i := P (x i + dx i , y i + dy i ) einer Kurve
ergibt sich aus den Abständen a und ã zu Punkten der benachbarten Kurve (Abbildung 3.3-1).
Die Koordinatenunterschiede dx i , dy i resultieren aus einer (genügend kleinen) Drehung dϕ jedes
Kurvenstücks der Länge s i mit s 2 i = (x i − x i−1 ) 2 + (y i − y i−1 ) 2 , näherungsweise zu berechnen
aus
dx i ≃ dq i cos(ϕ i + π/2) ,
dy i ≃ dq i sin(ϕ i + π/2) , (3.3-12)
dq i ≃ s i dϕ .
Die Ableitung der externen Energie wird approximiert durch
∂E ext
∂ϕ
∣ ≃ E ext| ˜Pi
− E ext | Pi
i dϕ
. (3.3-13)
Die aus den Richtungsänderungen δϕ i := ϕi t − ϕt−1 i folgenden Koordinatenänderungen δx i , δy i
berechnet man ebenfalls (genügend genau) mit (3.3-13), wobei sign δq i = sign δϕ i .
y
~ ~
P
a
a
s
dq
ϕ + π
2
s P
dϕ
ϕ
x
Abbildung 3.3-1: Berechnung der externen Energie für TAFUS
3.3.2 Finite Elemente
Die Diskretisierung der Euler-Gleichungen mit finiten Differenzen führt auf schlecht konditionierte
Matrizen (siehe 3.3.3). Damit ist eine hohe Zahl an Iterationen zur Lösung der Gleichungen
(3.3-7), (3.3-8) verbunden. Nach Cohen und Cohen (1990) kann eine Konvergenzbeschleunigung
duch die Verwendung finiter Elemente erreicht werden. Der Finite-Elemente-
Ansatz von Højholt (1998) unterstützt die Annahme einer sinnvollen Anwendung in der Linienverdrängung.
Im folgenden wird deshalb die Eignung finiter Elemente zur Diskretisierung der
Euler-Gleichungen näher untersucht.
Ausgangspunkt ist die zu diskretisierende Euler-Gleichung mit interner und externer Energie :
−α w ′′ + β w IV + f = 0 , (3.3-14)
wobei
f = ∂E ext
∂x
Nach Multiplikation mit einer genügend glatten Funktion v(s), die auf dem Rand verschwindet
und anschließender Integration folgt
.
∫ 1
0
(α w ′′ − β w IV ) v ds =
∫ 1
0
f v ds . (3.3-15)

3.3. Diskretisierung und numerische Realisierung 41
1
B 1,0
−Spline
1.5
B 2,0
−Spline
0.9
0.8
0.7
1
0.6
0.5
0.4
0.3
0.5
0.2
0.1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
(a) B 1,0-Spline
(b) B 2,0-Spline
2
B’ 2,0
−Spline
3
B’’ 2,0
−Spline
1.5
2
1
1
0.5
0
0
−1
−0.5
−2
−1
−3
−1.5
−4
−2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
(c) B ′ 2,0-Spline
(d) B ′′
2,0-Spline
Abbildung 3.3-2: Lineare und quadratische B-Splines zuzüglich erster und zweiter Ableitung
Partielle Integration führt zu
∫ 1
(−α w ′ v ′ − β w ′′ v ′′ ) ds =
Mit der Ersetzung
0
a(w, v) = −
∫ 1
nimmt Gleichung (3.3-16) folgende Form an :
0
∫ 1
(α w ′ v ′ + β w ′′ v ′′ ) ds , b(v) =
0
f v ds . (3.3-16)
∫ 1
0
f v ds (3.3-17)
a(w, v) = b(v) . (3.3-18)
Zur Lösung kann ein Ansatz für beliebige Kurvenparameter t verwendet werden (Schwetlick
und Kretzschmar, 1991):
w(t) =
N∑
w j B 2,j (t) . (3.3-19)
j=0

42 Kapitel 3. Verdrängung von Linienobjekten
Die Koordinatenfunktionen B 2,j (t) werden dabei so gewählt, daß der Grad der Spline-Funktion
der höchsten vorkommenden Ableitung entspricht. Da in der inneren Energie die zweite Ableitung
als Maß für die Krümmung der Linie enthalten ist, verwenden wir quadratische B-Splines
(Menet et al., 1991). Einsetzen des Ansatzes unter Beachtung der Randbedingungen führt zu
N−1 ∑
j=1
a(B 2,j )w j = b(B 2,j ) mit (3.3-20)
a(B 2,j ) = −
b(B 2,k ) =
= −
∫ 1
0
∫ 1 (
0
∫ ( 1
0
α B ′ 2,jB ′ 2,k + β B ′′
α ∂B 2,j
∂t
∂B 2,k
∂t
)
2,jB 2,k
′′
dt , (3.3-21)
+ β ∂2 B 2,j ∂ 2 )
B 2,k
∂t 2 ∂t 2 dt
f B 2,k dt . (3.3-22)
Für die Auswertung des α-Terms in (3.3-21) wird die erste Ableitung des B-Splines zweiter
Ordnung benötigt (siehe Anhang C). Zur Auswertung des β-Terms wird außerdem B 2,j ′′ (t) eingesetzt
:
⎧
t − t j : t j ≤ t < t j+1
⎪⎨
B 2,j(t) ′ t j+1 + t j+2 − 2t : t j+1 ≤ t < t j+2
=
t − t j+3 : t j+2 ≤ t < t j+3
⎪⎩
0 : sonst
⎧
⎪⎨
B 2,j(t) ′′ =
⎪⎩
1 : t j ≤ t < t j+1
−2 : t j+1 ≤ t < t j+2
1 : t j+2 ≤ t < t j+3
0 : sonst
Damit ergibt sich folgende Approximationsgleichung für die zweiten und vierten Ableitungen :
α
2 (−1 3 w i+2 − 2 3 w i+1 + 2w i − 2 3 w i−1 − 1 3 w i−2) +
β (w i+2 − 4w i+1 + 6w i − 4w i−1 + w i−2 ) + b(B k ) = 0 (3.3-23)
Zusammenfassend wird festgestellt, daß beide Approximationen, sowohl mit finiten Differenzen
als auch durch finite Elemente, äquivalente diskretisierte Euler-Gleichungen liefern. Werden bei
der Approximation durch finite Elemente als Koordinatenfunktionen B-Splines 2. Ordnung verwendet,
stimmt die Berechnung der 4. Ableitung in den Euler-Gleichungen identisch überein.
In der Näherung der zweiten Ableitung werden im Gegensatz zu finiten Differenzen auch noch
die übernächsten Nachbarn berücksichtigt, das heißt die Approximation ist von höherer Ordnung
und etwas genauer. Da in den Anwendungen die Abtastung sehr fein ist, spielt die höhere
Approximation praktisch keine Rolle.
3.3.3 Numerische Stabilität, Konvergenz
Die Konditionszahl einer Matrix A,
cond(A) := ||A|| ||A −1 || , (3.3-24)
kann als Maß für die Stabilität der Lösung bezüglich Störungen der Eingangsdaten oder der
Rundungsfehler verwendet werden. Als Matrix-Norm || · || dient die Spektralnorm, so daß
cond(A) = max |λ i|
min |λ i |
(3.3-25)
aus den Beträgen des größten und des kleinsten der Eigenwerte λ i ; i = 1, 2, . . . , n berechnet
werden kann. In Abbildung 3.3-3 sind die Konditionszahlen der Matrix A und der regularisierten

3.3. Diskretisierung und numerische Realisierung 43
Matrix G = A + γI in Abhängigkeit von n und konstanten Parametern α, β, γ dargestellt.
Damit wird die Bedeutung des Regularisierungsterms für die Konvergenz der Lösungen deutlich
(Terzopoulos, 1986).
3.0*10 4
22
2.5*10 4
20
Konditionszahlen
2.0*10 4
1.5*10 4
1.0*10 4
18
16
14
5.0*10 3
12
0.0*10 0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Dimension der Matrix
Abbildung 3.3-3: Konditionszahl der Matrix A (gerissen, linke Skale) und der regularisierten Matrix
A + γI (durchgezogen, rechte Skale) als Funktion der Dimension n und für feste α = β = γ = 1
10
Um die Konvergenz stationärer Iterationsverfahren (mit konstanter Inhomogenität) zu beurteilen,
benutzt man u.a. die asymptotische Konvergenz-Rate
wobei
R(G −1 ) := − ln ρ(G −1 ) , (3.3-26)
ρ(G −1 ) = max
1≤i≤n |λ i(G −1 )| (3.3-27)
der Spektralradius von G −1 ist (Varga, 1962). Im vorgestellten Verdrängungs-Algorithmus
wird die Ableitung der externen Energie nach jedem Iterationsschritt neu berechnet. Daher
kann die Anzahl der notwendigen Iterationsschritte a priori nicht abgeschätzt werden. Da die
Berechnung der externen Energie zudem für Snakes und Tafus unterschiedlich erfolgt (vgl. Abschnitt
3.3.1) und damit auch das Verhältnis von innerer zu äußerer Energie beeinflußt wird, ist
ein Vergleich der Konvergenzraten nicht möglich.
3.3.4 Alternatives Verfahren
Greedy-Algorithmus
Mit dem sog. Greedy-Algorithmus (Williams and Shah, 1990) ist auf einfache Weise eine
Energieminimierung von Linien durchführbar. Dabei wird versucht, die Energie jeder einzelnen
Stützstelle durch infinitesimale Verschiebungen zu verringern. Beim Variationsverfahren wird
dagegen die Energie der gesamten Linie in einem Iterationsschritt minimiert. Ausgangspunkt ist
in beiden Verfahren die Übersetzung der Konfliktsituationen in das Verdrängungspotential (siehe
Abschnitt 3.2.2). Ähnlich wird die innere Energie berechnet. So ist beim Greedy-Algorithmus
die ursprüngliche Gestalt der Linie durch explizite Berechnung von 1. und 2. Ableitung an den
Stützstellenpositionen registriert:
mit den Bezeichnungen
E int = E dis + E curv (3.3-28)

44 Kapitel 3. Verdrängung von Linienobjekten
Krümmung vor
der Verdrängung
Verdrängungspotential
infinitesimale
Verdrängung
Krümmung nach
der Verdrängung
Krümmungspot.
Verdrängungspot.
Gesamtenergie
neu
E ges
ja
neu
E ges
<
alt
E ges
nein
neue Stützstellenneu
position + E
ges
Stützstelle
unverändert
nächster Punkt der 8-Umgebung
Abbildung 3.3-4: Schema zur Verdrängung mit dem Greedy-Algorithmus
und
E dis ∼ δ 2 0 − δ2 1 ,
E curv ∼ κ 2 0 − κ2 1 ,
wobei δ 0 der ursprüngliche Stützstellenabstand,
δ 1 der Stützstellenabstand nach der Verdrängung,
wobei κ 0 die ursprüngliche Krümmung,
κ 1 die Krümmung nach der Verdrängung ist.
E dis bezeichnet den Energiebeitrag, welcher sich durch Unterschiede in der 1. Ableitung zwischen
zwei Iterationen ergibt. Geometrisch können diese Abweichungen als Veränderung der Stützstellenabstände
gedeutet werden. Analog sind Beiträge durch Änderungen der 2. Ableitung als
Krümmungsunterschiede zu interpretieren. Der normierte Abstand zwischen den Stützstellen
ergibt sich durch
δ = (∆x i /∆s i ) 2 + (∆y i /∆s i ) 2 , ∆s 2 i = ∆x 2 i + ∆y 2 i , (3.3-29)
wobei ∆x i = x i − x i−1 bzw. ∆y i = y i − y i−1 die Koordinatendifferenzen zwischen aktueller und
vorheriger Stützstelle bezeichnen. Die Krümmungsberechnung erfolgt nach
κ = (∆x i /∆s i − ∆x i+1 /∆s i+1 ) 2 + (∆y i /∆s i − ∆y i+1 /∆s i+1 ) 2 . (3.3-30)
Ausführliche Untersuchungen zur diskreten Krümmungsberechnung wurden von Williams and
Shah (1990) durchgeführt. Im weiteren wird die Richtung bestimmt, in der die Stützstellen

3.3. Diskretisierung und numerische Realisierung 45
verschoben werden müssen. Dafür kann eine 8-Umgebung mit einer Schrittweite, die klein gegen
die Stützstellenabstände sein sollte, verwendet werden. Ist die Gesamtenergie der Stützstelle an
einem Punkt der 8-Umgebung kleiner, werden dessen Koordinaten als neue Stützstellenkoordinaten
akzeptiert (siehe Abb. 3.3-4). Da das Gestaltspotential erst durch eine Veränderung der
ursprünglichen Stützstellenposition erzeugt wird und damit zunächst immer ein Energiezuwachs
verbunden ist, muß dieser also durch Verringerung des Verdrängungspotentials kompensiert werden.
Nacheinander sind so im ersten Durchlauf die Stützstellen aller Linien zu bearbeiten. Die
Iteration wird beendet, wenn alle Stützstellen eine minimale Energie besitzen.
Vergleich von Variations- und Greedy-Verfahren
Im folgenden soll untersucht werden, wie Variationsverfahren (siehe 3.2.3) und Greedy-Algorithmus
(siehe 3.3.4) in der Verdrängung von Linienobjekten wirken. Dazu wurden in einer generalisierten
Karte mehrere Linienobjekte digitalisiert und deren Signaturbreiten vergrößert, um
so Überlagerungskonflikte zu generieren. Abbildung 3.3-5(a) zeigt die Eingangssituation vor der
Verdrängung. Die Lösungen aus dem Variationsverfahren (Abbildung 3.3-5(b)) und dem Greedy-
Algorithmus (Abbildung 3.3-5(c)) weichen voneinander ab, besonders in der Bildmitte und im
Bereich der Linienkreuzung.
(a) Konfliktsituation (b) Variationsverfahren (c) Greedy-Algorithmus
Abbildung 3.3-5: Beispiel zur Verdrängung mit Variationsverfahren und Greedy-Algorithmus
Um die unterschiedliche Wirkungsweise zu veranschaulichen, wurden außerdem für das rechte
Linienobjekt (Fluß), die Verschiebungsbeträge δv als Funktion der Bogenlänge s dargestellt
(siehe Abbildung 3.3-6). Im Varitationsverfahren wird die Linie mit Hilfe fester Randwerte beidseitig
eingespannt (äußerer Zwang). Daher wird im mittleren Kurvenabschnitt stärker verdrängt
als beim Greedy-Algorithmus. Der Hardcore-Abstand wird zugunsten der Formerhaltung stellenweise
sogar überschritten, so daß die typische (glatte) Form besser erhalten bleibt als beim

46 Kapitel 3. Verdrängung von Linienobjekten
δv
(a) Variationsverfahren
s
δv
(b) Greedy-Algorithmus
s
Abbildung 3.3-6: Vergleich der Verschiebungsbeträge δv über der Bogenlänge s
Greedy-Algorithmus. Letzterer steuert die diskreten Punkte konsequent auf Hardcore-Abstand.
Unregelmäßigkeiten im Kurvenverlauf sind daher nicht immer zu vermeiden. Deshalb ist beim
Verdrängen von Linien das Variationsverfahren vorzuziehen. Der Greedy-Algorithmus ist eher
beim Verdrängen von isolierten Objekten, z.B. einzelnen Punktobjekten, Gebäuden, Schriftboxen
etc. vorteilhaft anzuwenden.

47
4 Verdrängung von Punkt- und Flächenobjekten
4.1 Verdrängung von Punktobjekten
4.1.1 MkQ und Simplexverfahren
Punktförmige Signaturen können sich nach Maßstabsverkleinerung und beibehaltener Signaturengröße
gegenseitig überlappen oder berühren. Damit je zwei benachbarte Signaturen mit
Schwerpunkten P i , P k und Umkreisradien R i , R k optisch getrennt wahrgenommen werden, müssen
sie auf Mindest- oder Hardcore-Abstand
r HC
ik := R i + R k + δ Min , δ Min = 0.2 mm (4.1-1)
verdrängt werden. Um eine Konfliktlösung durch minimale Verschiebungen zu realisieren, wird
sowohl ein Verfahren der linearen als auch der quadratischen Optimierung verwendet.
P i
P k
R i
δ Min
R k
Abbildung 4.1-1: Hardcore-Abstand P i P k
Mit der Methode der kleinsten Quadrate (MkQ) als Verfahren der quadratischen Optimierung
wird die gewichtete Quadratsumme der Punktverschiebungen v = [∆x, ∆y] ⊤ minimiert
(Mühle, 1996):
n∑
p i vi 2 = Min , vi 2 := ∆x 2 i + ∆yi 2 . (4.1-2)
i=1
Die Gewichte p i berücksichtigen die Objektbedeutung. Diese Methode entspricht der Ausgleichung
eines geodätischen Streckennetzes mit linear unabhängigen Restriktionen
r ik − r HC
ik = 0 , r ik
2
:= [(x i + ∆x i ) − (x k + ∆x k )] 2 +
[(y i + ∆y i ) − (y k + ∆y k )] 2 , (4.1-3)
wobei die ursprünglichen Punktabstände r ik mit
r 2 ik := (x i − x k ) 2 + (y i − y k ) 2 , r ik < r HC
ik (4.1-4)
konsequent auf Hardcore-Abstand rik
HC gebracht werden. Bei n gegenseitig zu verdrängenden
Punktobjekten ist die Anzahl m der Restriktionen auf n − 1 ≤ m ≤ 2n − 3 beschränkt. Im Unterschied
zum geodätischen Streckennetz sind die Verschiebungsbeträge von gleicher Größenordnung
wie die Punktabstände; wegen der Linearisierungseffekte können die Restriktionen (4.1-3)
nicht in einem Schritt erfüllt werden. Der gewünschte Zustand kann aber schrittweise über
Pseudo-Hardcore-Abstände rp
HC < r HC herbeigeführt werden.

48 Kapitel 4. Verdrängung von Punkt- und Flächenobjekten
Numerische Tests haben gezeigt, daß die quadratische Optimierung die Tendenz besitzt, irreguläre
Punktmuster zu regularisieren. Um diesem Effekt im Sinne der Strukturerhaltung entgegenzuwirken,
erweist es sich als sinnvoll, die Punktabstände r ik nach ihrer Größe zu ordnen
und die Restriktionen (4.1-3) für die m kleinsten Abstände r ik unter allen möglichen r ik < r HC
anzusetzen.
(a) Muster vor der Verdrängung
(b) Lösung mit quadratischer Optimierung
(c) Lösung mit linearer Optimierung
(d) Vergleich beider Verdrängungslösungen
Abbildung 4.1-2: Punktverdrängung mit Hilfe von linearer und quadratischer Optimierung
Die lineare Optimierung (Ritzmann, 1996) mit der Forderung, die Summe der gewichteten
Verschiebungsbeträge zu minimieren, läßt Ungleichungen zu:
n∑
i=1
p i |v i | = Min , r ik − r HC
ik ≥ 0 . (4.1-5)
Indem auch Abstände r ik > rik
HC möglich sind, erweist sich die lineare Optimierung flexibler als
die quadratische. Das Standardproblem der linearen Optimierung (4.1-5) wird üblicherweise mit

4.1. Verdrängung von Punktobjekten 49
dem Simplexverfahren gelöst. Die Lösung ist nicht in jedem Falle eindeutig. So ist man gezwungen,
Zusatzbedingungen zu formulieren. Sinnvollerweise sollte mit ihrer Hilfe die Punktstruktur
möglichst gut erhalten bleiben; z.B. mit
n∑
∆x i = 0 ,
i=1
n∑
∆y i = 0 (4.1-6)
i=1
wenigstens der Schwerpunkt.
Das Muster der Punktsignaturen in Abbildung 4.1-2 wurde einer thematischen Karte entnommen.
Die Durchmesser der kreisförmigen Signaturen entsprechen gewissen Quantitäten. Beim
Übergang in einen kleineren Maßstab, hier im Verhältnis 1 : 1.5, entstehen Konflikte. Die Lösungen
mittels quadratischer und linearer Optimierung sind zulässig.
4.1.2 Energieminimierung
Da Punkte als Einzelobjekte keine Struktur besitzen, kann für ein individuelles Element keine
innere Energie definiert werden. Andererseits stehen Punktobjekte in enger Beziehung zu ihrer
Nachbarschaft, die vom Betrachter um so deutlicher registriert wird. Eine Modellierung dieser
Wechselwirkungen kann auf vielfältige Weise erfolgen. Dazu sind in der lokalen Umgebung
Punkte auszuwählen, welche miteinander in Beziehung stehen. Diese Gebiete werden als Cluster
bezeichnet.
Cluster-Definition: Unter einem Verdrängungscluster (VC) versteht man eine diskrete Punktmenge
P k {k = 1, 2, . . . , p und 2 ≤ p < ∞} in einem abgeschlossenen Bereich B ⊂ R 2 . Es besitzt
die Eigenschaft, daß zu jedem P i mindestens ein Nachbar P k mit s ik < rik
HC existiert.
Für solche Cluster kann jetzt auf unterschiedliche Weise eine innere Energie definiert werden. So
wäre z.B. die Richtung von jedem Punkt zum Clusterschwerpunkt als Größe minimaler Energie
verwendbar. Dies entspricht einem Vorschlag von Mackaness (1994).
Eine andere Möglichkeit ist, Abstand und Winkel
bezüglich der nächsten beiden Nachbarn als inneren
Energieterm einzuführen. Dabei kann der Nachbar
hier sowohl eine Punktsignatur sein als auch
die Stützstelle eines Linien- oder Flächenobjektes.
Dieses Vorgehen ist äquivalent zur Bestimmung der
inneren Energie für die Linienverdrängung mittels
Greedy-Algorithmus (vgl. Abschnitt 3.3.4). In Abbildung
4.1-3, sind die Verbindungen zum nächsten
bzw. übernächsten Nachbarn eingezeichnet.
Die Berechnung der externen Energie zur Konfliktmodellierung
für Punktobjekte ist identisch mit der
Konfliktmodellierung für Linienobjekte (vgl. Abschnitt
3.2.2).
Abbildung 4.1-3: Nachbarschaftsrelationen
Erfolgt die Verdrängung in reinen Punktmustern, wird die approximativ kontinuierliche Abtastung
der Nachbarobjekte durch diskrete Abstandsberechnungen ersetzt. Abbildung 4.1-4 zeigt
das Ergebnis der Punktverdrängung mittels Energieminimierung. Weiterführende Vergleiche mit
den Verdrängungsansätzen nach Abschnitt 4.1.1 können anhand des vorgestellten Beispiels nicht
getroffen werden. Hier wurde zunächst nachgewiesen, daß die Punktverdrängung durch Energieminimierung
möglich ist.

50 Kapitel 4. Verdrängung von Punkt- und Flächenobjekten
(a) Konfliktsituation
(b) Ergebnis der Verdrängung
Abbildung 4.1-4: Punktverdrängung mittels Energieminimierung
Anwendungen existieren auf dem Gebiet der thematischen Kartographie. Für die Generalisierung
von topographischen Karten ist neben der Linienverdrängung vor allem die Flächenverdrängung
wesentlich. Dabei kann der seltene Fall der Punktverdrängung als Spezialfall der Verdrängung
von Flächen mit festem Rand behandelt werden.
4.2 Verdrängung von Flächenobjekten
Die hier dargestellte Flächenverdrängung verwendet Vektordaten, d.h. sämtliche Flächen sind
charakterisiert durch ein geschlossenes Umrandungspolygon. Je nach Größe und Form muß dabei
festgelegt werden, ob das Objekt als Ganzes zu verdrängen ist, oder in seiner Form verändert
werden darf. In der automatisierten Generalisierung kann diese Unterscheidung anhand des
Zeichenschlüssels für verschiedene Objektklassen initialisiert werden. Eine andere Möglichkeit
wäre, die Eingangsobjekte anhand von Form- und Größenparametern zu klassifizieren und somit
individuell eine Einteilung der zu bearbeitenden Flächen vorzunehmen.
Staufenbiel (1973), dessen Arbeit sich hauptsächlich mit der Generalisierung von Gebäudedarstellungen
beschäftigt, unterscheidet zwischen Generalisierungsmaßnahmen, die auf das Gebäude
in seinen Einzelheiten angewendet werden, und Vorgängen, die das Objekt in seiner Gesamtheit
betreffen. Für die Verdrängung von beliebigen Flächenobjekten ist zusätzlich eine Einteilung in
Flächenobjekte mit festem oder beweglichem Rand sinnvoll.
4.2.1 Verdrängung von Flächenobjekten mit festem Rand
Im folgenden soll die Verdrängung von Flächen, deren Form nicht verändert werden darf (z.B.
Gebäudegrundrisse, Textboxen, Kartensymbole), erläutert werden. Der Hauptunterschied zur
Punkt- und Linienverdrängung besteht in der Konflikterkennung. Bisher erfolgte die Konfliktmodellierung
auf der Grundlage von Abstandsberechnungen zwischen den Stützstellen. Für die
Flächenverdrängung wird zu einer Bestimmung störender Überlagerungsflächen übergegangen.
Da die zu verdrängenden Objekte zweidimensional sind, ist diese Erweiterung der Konfliktmodellierung
notwendig.

4.2. Verdrängung von Flächenobjekten 51
(a) Startsituation mit Linien und Flächen
(b) Stützstellen für Linien und Flächen
(c) Umwandlung von Linien in Flächen
(d) Abgrenzung der Nachbarschaft
(e) Berechnung der Überlagerungsflächen
(f) Ergebnis der Verdrängung
Abbildung 4.2-1: Verdrängung von Flächen mit festem Rand mittels Greedy-Algorithmus

52 Kapitel 4. Verdrängung von Punkt- und Flächenobjekten
Als erstes wird für alle Linienobjekte das Umrandungspolygon aus den gegebenen Koordinaten
und den zugehörigen Signaturbreiten bestimmt (Abbildung 4.2-1(c)). Dazu kann der Algorithmus
für die Vergrösserung bzw. Verkleinerung von Flächen verwendet werden (siehe Anhang D).
Soll die Verdrängung so erfolgen, daß zwischen den Objekten Mindestabstände berücksichtigt
werden, sind die Umrandungspolygone um diese Größe zu dehnen (Abbildung 4.2-1(d)).
Die Verschneidung der Flächen liefert anschließend die Konfliktbereiche (Abbildung 4.2-1(e)).
Setzt man die Überlagerungsfläche ins Verhältnis zur Gesamtfläche des betrachteten Objektes,
ergibt sich ein Maß für die Größe des Konfliktes. Für die Wechselwirkung zwischen zwei Objekten
bedeutet demzufolge ein Überlagerungsverhältnis von Eins eine vollständige Überdeckung bzw.
von Null keine Überlagerung.
Die Konfliktlösung wird mittels Greedy-Algorithmus durchgeführt. Dabei ist innerhalb einer 8-
Umgebung die Richtung zu bestimmen, in der sich das Überlagerungsverhältnis am stärksten
verringert. Die wiederholte Berechnung der Überlagerungsflächen ist dabei zeitintensiv und führt
zu längeren Rechenzeiten bei zunehmender Anzahl zu verdrängender Objekte (konkrete Angaben
erfolgen in 5.2.3).
Um den Rechenaufwand zu verkürzen, wird für jedes Kartenobjekt die Anzahl möglicher Wechselwirkungspartner
begrenzt. So ist anschaulich klar, daß Objekte am linken oberen Kartenrand
keinen Einfluß auf Objekte haben, die sich rechts unten im Kartenausschnitt befinden. Für jedes
Gebäude erfolgt deshalb eine explizite Speicherung der Nachbarschaft. Darunter fallen alle Objekte,
die sich im Umkreis mit dem Radius h e = f ·max(d(Schwerpunkt, Umrandungspolygon))
befinden. Der Bereichsfaktor f sollte nicht zu klein gewählt werden, um auch Kandidaten für Folgekonflikte
zu berücksichtigen. Entsprechend den Erfahrungen aus Beispielrechnungen ist f = 3
ein geeigneter Wert. Die angewandte Heuristik beschleunigt den Algorithmus um ein Vielfaches.
(a) Konfliktsituation
(b) Ergebnis der Verdrängung
Abbildung 4.2-2: Gebäudeverdrängung mittels Greedy-Algorithmus
4.2.2 Verdrängung von Flächenobjekten mit beweglichem Rand
Überschreitet die Ausdehnung der Fläche eine bestimmte Größe, so sind Formänderungen in
gewissen Grenzen zulässig. Das Objekt wird nicht mehr als Ganzes verschoben, sondern der
Rand ist beweglich und kann verdrängt werden. Die Entscheidung, ob Formänderungen zulässig

4.2. Verdrängung von Flächenobjekten 53
sind, wird entweder pauschal für bestimmte Objektklassen getroffen; z.B. werden Gebäudeflächen
immer als Ganzes verdrängt; zum anderen kann diese Abschätzung individuell unter Verwendung
verschiedener Formgrößen (z.B. Flächeninhalt, Quer- und Längsausdehnung, etc.) erfolgen.
Die Verdrängung von Flächenobjekten mit beweglichem Rand entspricht der Verdrängung von
Linienobjekten mit Snakes (vgl. Abschnitt 3.2.1). Als Beispiel diene die Seefläche in Abbildung
5.1-4. Die Nähe zu den benachbarten Straßen und Wegen macht eine geringfügige Verformung
der Umrandung notwendig. Infolge der inneren Energie (vgl. Abschnitt 3.2.2) des Umrandungspolygons
bleibt jedoch die typische Gestalt des Flächenobjektes weitestgehend erhalten.

54 Kapitel 5. Praktische Anwendungen
5 Praktische Anwendungen
5.1 Amtliches Topographisch-Kartographisches Informationssystem
(ATKIS)
Die Landesvermessungsämter der Länder der Bundesrepublik Deutschland haben den gesetzlichen
Auftrag, aktuelle Informationen über die Topographie der Erdoberfläche zu erfassen, zu
dokumentieren und dem Anwender zugänglich zu machen. Infolge der rasanten Entwicklungen
auf dem Gebiet der Informationstechnologie in fast allen Bereichen von Wirtschaft und Verwaltung
zeigt sich die Notwendigkeit, diese nicht nur als graphische Präsentation (Topographische
Karten), sondern in digitaler Form anzubieten. Viele Nutzer verfügen zudem über digitale Fachdatenbestände,
die erst durch den räumlichen Bezug zur Topographie der Erdoberfläche ihre
eigentliche Aussagekraft erhalten. Deshalb wurde von den Landesvermessungsämtern der Bundesländer
das Amtliche Topographisch-Kartographische Informationssystem ATKIS aufgebaut.
5.1.1 Datenmodelle und -strukturen
Die Bereitstellung der topographischen Daten erfolgt in mehreren Stufen. Zunächst wird die
Topographie der Erdoberfläche durch geeignete Aufnahmemethoden in einem Digitalen Landschaftsmodell
(DLM) abgebildet. Zu nennen sind hier die direkte Erfassung der Landschaft
durch terrestrische Messungen oder die Auswertung von Luftbildern. Außerdem können schon
vorhandene Landschaftsdaten zur Gewinnung digitaler topographischer Daten verwendet werden.
Beispiele sind die Digitalisierung analoger topographischer Karten (manuell oder mittels
automatisierter Vektorisierung) oder die Transformation von Daten der Katasterämter (z.B.
Gebäudegrundrisse) in die DLM-Struktur. Die Grundlage für die Erfassung liefert der Objektartenkatalog
(OK) durch Vorgabe qualitativer und quantitativer Erfassungskriterien, deren geometrischer
Modellierungsvorschrift und die Festlegung geeigneter Attribute. Damit beinhaltet
dieser erste Schritt sowohl die Erfassungsgeneralisierung als auch die Modellgeneralisierung (vgl.
Abschnitt 2.1.3).
Im zweiten Schritt erfolgt die Aufbereitung des Digitalen Kartographischen Modells (DKM) auf
der Basis des Signaturenkatalogs (SK). Dabei kann als Zwischenstufe ein sogenanntes ”
Roh“-
DKM entstehen, welches die Datenstruktur des DKM besitzt, jedoch noch nicht kartographisch
generalisiert ist (Vickus, 1994). Eine ähnliche Unterteilung ist bei Grünreich (1997a) mit
der Gliederung der kartographischen Generalisierung in zwei Hauptabschnitte zu finden. So wird
festgestellt, daß schon mit der Ausarbeitung und Anwendung des Zeichenschlüssels generalisierungswirksame
Maßnahmen zum Tragen kommen. Beispiele sind die Auswahl der darzustellen-
Objektgeneralisierung
nach OK
nach SK
kartographische
Generalisierung
Original
DLM
” Roh“-DKM DKM
Primärmodell
Sekundärmodell
Abbildung 5.1-1: ATKIS - Datenmodell

5.1. Amtliches Topographisch-Kartographisches Informationssystem (ATKIS) 55
den Objektinformation, die Klassifikation der selektierten DLM-Information im Hinblick auf die
kartographische Darstellung oder die Vereinfachung durch Vorgabe von Mindestdimensionen für
die Wiedergabe der geometrischen Information. Diese Maßnahmen fallen zum wesentlichen Teil
in den Bereich der Modellgeneralisierung.
Anschließend müssen Konflikte beseitigt werden, die bei der Erzeugung der graphischen Präsentation
entstehen (Übergang vom Roh-DKM zum DKM). Von Bedeutung sind hier die Verdrängung,
die weitere Vereinfachung der geometrischen Information, die Klassifizierung und
schließlich die graphisch bedingte Auswahl von Objekten. Die topographische Erfassung der
realen Welt erfolgt im ATKIS Basis-DLM. Wesentliche Erfassungsgrundlage sind die generalisierten
topographischen Karten, die in den verschiedenen Bundesländern in unterschiedlichen
Maßstäben vorliegen:
• alte Bundesländer - DGK5 (Maßstab 1:5 000)
• neue Bundesländer - TK10 (Maßstab 1:10 000)
• Bayern - TK25 (Maßstab 1:25 000)
Daher ist zu prüfen, inwieweit Auswirkungen auf notwendige Generalisierungsvorgänge vorhanden
sind. Folgemaßstäbe geringerer Auflösung können durch Modellgeneralisierung aus dem
Basis-DLM abgeleitet werden. Da die Entwicklung entsprechender automatisierter Verfahren
Gegenstand aktueller Forschungsarbeiten ist (Mayer, 1998; Schürer, 1999) und noch nicht abgeschlossen
wurde, erfolgt parallel eine Erfassung der Landschaftsmodelle im Maßstab 1:250 000
(DLM250) und 1:1 Mill. (DLM1000). Damit bleibt die Laufendhaltung nicht auf das Basis-
DLM beschränkt, sondern alle Änderungen der Umwelt sind zusätzlich auch in den Digitalen
Landschaftmodellen geringer Auflösung fortzuführen.
Die Ableitung der zugehörigen kartographischen Modelle ist bisher nicht realisiert, obwohl deren
Aufbau ebenfalls für den Zeitraum 1995 bis 2000 vorgesehen war. Hauptursache ist, ”
daß der kartographische
Modellierungsprozeß ungleich größere Problemkreise eröffnet als der topographische
Erfassungsprozeß“ (Harbeck, 1997). Konkret müssen für die automatische DKM-Ableitung
erst entsprechende Modellierungs- und Generalisierungsalgorithmen entwickelt werden.
Als Übergangslösung werden digitale Kartenpräsentationen durch rechnergestützte Bearbeitung
generalisierter analoger Karten gewonnen. Für die Herstellung der DTK50 sind konkret folgende
Bearbeitungsschritte auszuführen :
1. Einmalige Vorarbeiten (Zeichenschlüssel erstellen, Farbpalette festlegen)
2. Gescannte Originalfolien der TK25 als Rasterbilder für den Maßstab 1:50 000 hinterlegen
3. Automatische Netzgenerierung, Festlegung des Kartenrahmens
4. Vektorisierung und Mustererkennung der Relief- und Gewässerfolie der TK25
5. Erstellen einer redaktionellen Vorlage, welche z.B. die Darstellung ausgedehnter Objekte
festlegt
6. Digitalisierung der übrigen Elemente für die DTK50 bei gleichzeitiger Generalisierung
(setzt umfangreiche Erfahrung des Bearbeiters voraus)
7. Mehrfache Korrekturlesungen
8. Druck und Archivierung

56 Kapitel 5. Praktische Anwendungen
Damit existieren für jeden Maßstab praktisch zwei Datensätze in unterschiedlichen Datenformaten,
die nebeneinander fortgeführt werden. Zum einen sind das die ATKIS-Daten im Vektorformat
der DLM-Struktur (EDBS) und zum anderen die digitalen Kartenpräsentationen für eine
Ausgabe im Rasterdatenformat.
Ziel ist es, eine Fortführung auf die DLM-Daten verschiedener Maßstäbe zu reduzieren, aus
denen weitgehend automatisch topographische Karten, auch in Abhängigkeit von den Nutzeranforderungen,
abgeleitet werden können. Mit zunehmender Automatisierung wird zusätzlich die
Ableitung Digitaler Landschaftsmodelle geringerer Auflösung aus Modellen höherer Auflösung
möglich sein, so daß die Laufendhaltung letztlich auf das Basis-DLM beschränkt bleibt.
5.1.2 Maßstabsabhängigkeit
Die Objekte in der Karte müssen, damit sie deutlich wahrgenommen werden können, häufig
größer dargestellt werden als es ihrer natürlichen Größe entspricht. Dies gilt zunehmend für
Maßstäbe kleiner als 1:10 000. Um dies zu veranschaulichen, sind Linienobjekte mit verschiedenen
Signaturbreiten als Funktion des Maßstabes abgebildet und gleichzeitig deren reale Ausdehnung
in der Natur, umgerechnet auf das Kartenmaß, dargestellt (Abbildung 5.1-2). Als Beispiel
werden die Breiten von Autobahnen (18 m), Bundesstraßen (10 m) und befestigten Fahrwegen
(5 m) im Kartenmaß den zugehörigen Signaturbreiten lt. Musterblatt TK gegenübergestellt.
2
2
1.8
1.6
ausgezogen:
gerissen:
natürliche Breite im Kartenmaß
Signaturbreite lt. Musterblatt
1.8
1.6
1.4
1.4
Breite in mm
1.2
1
0.8
Breite in mm
1.2
1
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
10 25 50 100 200
Maßstabszahl in 1000
0
1/200 1/50 1/25 1/10
1/100
Maßstab in 1/1000
(a) Signaturbreite als Funktion der Maßstabszahl
(b) Signaturbreite als Funktion des Maßstabes
Abbildung 5.1-2: Signaturbreite lt. Musterblatt und natürliche Breite im Kartenmaß als Funktion der
Maßstabszahl und des Maßstabes
In der Abbildung 5.1-2(a) der Signaturbreite als Funktion der Maßstabszahl zeigt sich, daß
unabhängig von der Linienbreite sämtliche Kurven der signaturierten Linien wesentlich flacher
verlaufen als die Kurven, welche sich aus den realen Breiten der betrachteten Objekte ergeben.
Damit wird der Generalisierungbedarf veranschaulicht. Für Testzwecke ist eine lineare Interpolation
der Signaturbreiten b s lt. Musterblatt als Funktion der Maßstabszahl m (gerissene
Darstellung) möglich. In der Abbildung 5.1-2(b) der Signaturbreite als Funktion des Maßstabes
fällt der große Unterschied in der Breitenabnahme zwischen Realität und kartographischer
Darstellung vor allem im Bereich 1:10 000 bis 1:50 000 auf.
Untersuchungen von Spiess (1990) zeigen ebenfalls, daß ab dem Maßstab 1:25 000 die Straßen
überdimensioniert werden müssen (siehe Tabelle 5.1-1). Anders verhält es sich mit dem Platzbedarf
von Gebäuden. Da nicht mehr jedes Haus dargestellt wird, sondern nur ausgewählte

5.1. Amtliches Topographisch-Kartographisches Informationssystem (ATKIS) 57
(Stellvertreterprinzip), nimmt bei kleiner werdendem Maßstab die benötigte Fläche nicht in
ähnlicher Weise wie bei den Straßen zu. Zählt man die Häuser in verschiedenen Karten der
Schweizer Landestopographie aus, so erhält man im Mittel je nach Maßstab nur noch gewisse
Prozentanteile der wirklich vorhandenen Häuser (siehe Tabelle 5.1-2 nach Spiess, 1990b).
Tabelle 5.1-1: Platzbedarf von Straßen in Karten verschiedener
Maßstäbe
Tabelle 5.1-2: Anteil dargestellter
Gebäude
Straßenklasse Breite 1:25 000 1:100 000
Maßstab
Anteil
Hauptstraßen 7m - 12m 15m -18m 60m - 70m
Mehrfläche in % 150 - 200 500 - 1000
Quartierstraßen 6m - 9m 12m 50m
Mehrfläche in % 133 - 200 500 - 1000
1:10 000 100%
1:25 000 ≈ 100%
1:50 000 ≈ 70%
1:100 000 ≈ 30%
5.1.3 Verdrängungsbeispiel mit ATKIS-Daten
Nachdem der Verdrängungsalgorithmus an generierten Daten getestet wurde, soll im folgenden
die Anwendung auf ATKIS-Daten (DLM25/1) gezeigt werden. Es stand ein Datensatz der Region
Garbsen bei Hannover zur Verfügung (siehe Abb. 5.1-3a).
Im ersten Schritt müssen mit Hilfe geeigneter Ableitungsregeln die Geometrien der entsprechenden
kartographischen Objekte aus den DLM-Objekten erzeugt werden. Zum Beispiel sind im
Landschaftsmodell die Gleiskörper einer zweispurigen Eisenbahn abgelegt, während die kartographische
Darstellung durch ein einzelnes Linienobjekt erfolgt, dessen Koordinaten abzuleiten
sind. Gleiches gilt für die Signaturierung der Autobahn, die als komplexes Objekt mit den verschiedenen
Fahrbahnen im DLM erfaßt ist. Anschließend wird festgelegt, welche Objekte für die
kartographische Verdrängung von Bedeutung sind. So stellt die Überlagerung von Straßen- und
See-Signatur einen kartographischen Konflikt dar, während die Überdeckung der Wiesenfläche
toleriert werden kann. In der Anwendung ist deshalb zwischen Vorder- und Hintergrundobjekten
zu unterscheiden (siehe Abb. 5.1-3b). Die Koordinaten der Vordergrundobjekte liefern
die Eingangsdaten für den Verdrängungsalgorithmus. Ändern sich die Koordinaten während
der Beseitigung von Überlagerungskonflikten, müssen auch die Koordinaten der benachbarten
Hintergrundobjekte modifiziert werden. Im Beispiel ist der Fluß gleichzeitig Begrenzung einer
Ackerfläche, so daß nach Verdrängung durch die benachbarte Straße auch die Randkoordinaten
der Ackerfläche geändert werden müssen.
In Abbildung 5.1-3c ist der Flächenbedarf sämtlicher Vordergrundobjekte graphisch dargestellt.
Die Berechnung ergibt sich aus Formel (3.2-3). Durch Summation über alle Kartenobjekte kann
für jede Stützstelle die externe Energie E ext bestimmt werden (siehe Abb. 5.1-3d). E ext quantifiziert
die Größe des Konfliktes mit Objekten aus der Nachbarschaft und wird in der Abbildung
5.1-3d durch die Höhe der roten ”
Balken“ veranschaulicht. Liegt E ext unter einem festgelegten
Grenzwert, ist der ”
Balken“ grün darstellt.
Während der iterativen Konfliktlösung wird E ext schrittweise verringert. In Abbildung 5.1-3e
ist die Summe der externen Energien nach jedem Iterationsschritt dargestellt (schwarze Kurve),
wobei über alle Stützstellen sämtlicher Kartenobjekte summiert wurde. Die rote Kurve veranschaulicht
den abnehmenden Energieverlust und ergibt sich aus der Differenz von E ext im aktu-

58 Kapitel 5. Praktische Anwendungen
ellen und im vorhergehenden Iterationsschritt. Das Ergebnis der automatisierten Verdrängung
ist in Abbildung 5.1-4 dargestellt. Folgende Größen haben einen Einfluß auf die Berechnung:
Tabelle 5.1-3: Parameter und Steuergrößen für Beispiel Garbsen (siehe Abbildungen 5.1-3, 5.1-4)
Größe Erklärung Wert Eignung für
Steuerung
α Gewicht für Dehnungsterm der inneren Energie 1.0 ja
β Gewicht für Krümmungsterm der inneren Energie 1.0 ja
γ Gewicht der externen Energie 1.0 ja
λ Faktor vor der Einheitsmatrix (Konvergenzfaktor) 1.0 nein
∆
Punktdichte der Zwischeninterpolation; siehe Formel
3.2-5
1.0 nein
dx Schrittweite zur Approximation von E ext 0.1 nein
b S Signaturbreite - nein
h min Mindestabstand 0.2 ja
E min Abbruchschranke 0.1 nein
n I Zahl der Iterationen - nein
Zur Steuerung der Verdrängung werden innere und äußere Energie bewichtet. Höhere innere
Energie (Parameter α, β) unterstützt die Formerhaltung, höhere äußere Energie (Parameter
γ) forciert die Konfliktbeseitigung. Konkrete Zahlenwerte sind maßstabsabhängig festzulegen.
Der Parameter ”
Mindestabstand“ h bestimmt neben der Signaturbreite b S den Konfliktbereich
(siehe Abschnitt 3.2.2) und ist damit ebenfalls zur Steuerung der Verdrängung geeignet. Weitere
Untersuchungen müssen sich auf die Verallgemeinerbarkeit der verwendeten Parameterwerte
konzentrieren (siehe Abschnitt 5.2.2).
Um Praxisrelevanz und -tauglichkeit nachzuweisen, sind Testrechnungen an einem realistischen
Beispiel nicht ausreichend. Für weiterführende Arbeiten wurde deshalb die Kooperation mit
einem Praxispartner gesucht. Konkrete Vorteile bei der Nutzung eines kartographischen Produktionssystems
ergeben sich u.a. bei der Datenverwaltung. So sind durch die Anbindung einer
Datenbank auch größere Datenmengen relativ einfach zu handhaben. Des weiteren standen
Testdaten in verschiedenen Maßstäben zur Verfügung. Die Signaturierung bzw. Ableitung der
Kartengeometrien erfolgte durch Systemfunktionen unter Nutzung eines vorgefertigten Zeichenschlüssels
auf der Basis verschiedener Signaturenkataloge (z.B. ATKIS-SK10, -SK25).
Ein zusätzlicher Aspekt ist die Suche nach ergänzenden Anwendungen für die vorgestellten Verdrängungsansätze.
Der Hauptgrund für eine Zusammenarbeit von Wissenschaft und Praxis besteht
allerdings in einem Austausch von gemeinsamen und unterschiedlichen Sichtweisen bei der
Lösung von Automatisierungsaufgaben. Der Hersteller von Anwendungssoftware ist zusätzlich
gezwungen, Schnittstellen zu definieren, Benutzeroberflächen zu entwickeln, die Handhabung
der Parameter zu vereinfachen und die qualitative Bewertung den Anwendungen anzupassen.
Um das Zusammenwirken verschiedener Generalisierungsoperationen zu untersuchen, ist die
Verfügbarkeit eines profesionellen Kartographiesystems unabdingbar.

5.1. Amtliches Topographisch-Kartographisches Informationssystem (ATKIS) 59
a) Ausschnitt TK 50
ATKIS-Datensatz
DLM25/1 (Vektordaten)
b) Darstellung
von Vorder- und
Hintergrundobjekten
(Referenzierung)
c) Modellierung des
Flächenbedarfs der
Kartenobjekte aus
den Vektordaten
(erzeugendes
Verdrängungsgebirge)
d) Abgrenzung und
Recherche der
Konfliktsituationen
(resultierendes
Verdrängungsgebirge)
e) Konfliktlösung durch
Energieminimierung bei
gleichzeitigem Erhalt
der typischen Gestalt
der Linienobjekte
Abbildung 5.1-3: Ablauf der Linienverdrängung mittels Variationsverfahren

60 Kapitel 5. Praktische Anwendungen
(a) Vor der Verdrängung
(b) Nach der Verdrängung
Abbildung 5.1-4: Beispiel zur Linienverdrängung mittels Variationsverfahren

5.2. Automatisierte Verdrängung im Maptech-System 61
5.1.4 Behandlung von Kreuzungen und Einmündungen
Um die Liniengestalt im Bereich von Kreuzungen bzw. Einmündungen erhalten zu können,
wird das Verdrängungspotential mit einem Parameter versehen. Das Verdrängungspotential ist
eine Funktion des Abstandes zwischen den Linien, so daß in Kreuzungsbereichen maximale
Werte erzielt werden. Die Folge ist eine Orthogonalisierung der sich (nicht notwendig senkrecht)
schneidenden Linien. Der genannte Parameter muß nun einerseits den Orthogonalisierungseffekt
verhindern, andererseits darf eine Verdrängung der sich kreuzenden Linien durch dritte Objekte
nicht ausgeschlossen werden. Eine Möglichkeit besteht darin, das Verdrängungspotential mit
dem Faktor
{
1 I ≠ J
Γ i (I, J) =
(5.1-1)
0 I = J
zu multiplizieren. Der Index i bezeichnet die Stützstelle, für die das Verdrängunspotential berechnet
wird. Die großen Buchstaben kennzeichnen die Nummern der Linien.
Für die numerische Umsetzung erfolgt zunächst die Bestimmung der an Linienkreuzungen bzw.
-einmündungen beteiligten Stützstellen. Falls die Bedingungen
D 1 D 2 < 0 , D 3 D 4 < 0 mit (5.1-2)
P
3
P
2
P
1
P
4
D 1 = det(P 1 , P 3 , P 4 ) ,
D 2 = det(P 2 , P 3 , P 4 ) ,
D 3 = det(P 3 , P 1 , P 2 ) ,
D 4 = det(P 4 , P 1 , P 2 ) ,
det(P k , P l , P m ) :=
x k x l x m
y k y l y m
1 1 1
,
erfüllt sind, bilden die Strecken P 1 P 2 , P 3 P 4 eine Kreuzung und ihr Schnittpunkt liegt fest
(Bartelme, 1995). Sämtliche Stützstellen P i der Linie I, die innerhalb einer vorgegebenen
Verdrängungstiefe liegen, können nun mit der Nummer der beteiligten Linie J markiert werden.
Damit ist ein Zuwachs des Verdrängungspotentials der beteiligten Stützstellen, hervorgerufen
durch die kreuzende bzw. einmündende Linie, ausgeschlossen.
5.2 Automatisierte Verdrängung im Maptech-System
5.2.1 Einordnung im Programmsystem
Nunmehr wird die Anwendung des vorgestellten Generalisierungsalgorithmus im Rahmen eines
kartographischen Produktionssystems beschrieben. Als Basisprogramm wurde das Mapping-
System der Firma Maptech AG, CH-Horw gewählt, welches aus Sicht des Verfassers zur Zeit die
Standardsoftware auf dem Gebiet der Digitalkartographie darstellt. Zusammen mit dem Maptech-Capturing
und Maptech-Geodaten-Managment ermöglicht das Programmpaket sowohl die
komplette rechnergestützte Herstellung und Fortführung von traditionellen Papierkarten, z.B.
topographische Karten der Landesvermessungsämter, Straßenkarten und Atlanten sowie jede
Art der modernen Bildschirmdarstellung.
Das Capturing-System beinhaltet die Erzeugung digitaler Geodaten auf der Grundlage einer
automatisierten Vektorisierung. Dazu arbeitet das Programm mit Vektordaten, wobei zusätzlich
Rasterbilder und Orthophotos hinterlegbar sind. Die Verwendung der raumbezogenen Daten ist
in den verschiedensten Koordinatensystemen möglich (metrische Koordinaten, Gauss-Krüger-
Koordinaten, Geographische Koordinaten etc.).
Das Geodaten-Managment ermöglicht die Verwaltung blattschnittfreier Daten. Durch Integration
der CITRA- und INTERLIS-Schnittstelle werden verschiedene Datenformate unterstützt

62 Kapitel 5. Praktische Anwendungen
(Intergraph, SICAD, DXF, EDBS, ...). Mittels Geodaten-Managment ist der parallele Zugriff
verschiedener Bearbeiter auf gleiche Kartenausschnitte gewährleistet (Multi-User-Philosophie).
Dabei sind die aktuell durch einen Benutzer bearbeiteten Elemente für alle anderen gesperrt und
nicht editierbar. Zusätzlich ist die Integration von Sachdaten möglich. Hierfür hat Maptech AG
einen eigenen Datenbankteil entwickelt, das Administrative und Statistische Informationssystem
(ASTIS), in welchem sämtliche Zusatzdaten wie z.B. Gebäudefunktionen, Verkehrsflüsse etc. gespeichert
werden können. ASTIS kann vom Benutzer individuell und beliebig konfiguriert werden
und ist jederzeit erweiterbar. Die Darstellung der Objekte kann von ASTIS abhängig gemacht
werden (Operation/Rules), und eine Einbindung von Textinformationen ist über Links (Queries)
möglich.
Bevor die Beschreibung der Benutzermenüs zur Verwendung der Verdrängungsalgorithmen erfolgt,
ist zunächst eine kurze Erläuterung ausgewählter Bestandteile des Mapping-Systems notwendig.
Hauptmodule sind der Mapimage-Editor, der Map-Publisher, der Zeichenschlüssel- bzw.
Font-Editor und abschliessend der Separations-Editor mit einer Ausgabesteuerung.
Im Map-Publisher erfolgt die Definition eines oder mehrerer Kartenbilder (Mapimages, Legende)
und deren Plazierung auf einseitigen oder innerhalb mehrseitiger Publikationen. Außerdem wird
hier der Darstellungsmaßstab und die Projektionsart der Daten festgelegt. Der Font-Editor dient
zur Konstruktion der Kartensymbolik, dabei können Linien-, Flächen-, Symbol- und Text-Fonts
konstruiert werden. Diese erstellten Basis-Fonts lassen sich im Zeichenschlüssel-Editor beliebig
attributieren und skalieren. Für die Bearbeitung und Fortführung der Kartenbilder wird der
Mapimage-Editor verwendet. Er umfaßt sämtliche Werkzeuge zur Datenmanipulation und ist
damit Kern des Mapping-Systems. Hier werden auch die Generalisierungsroutinen eingebunden.
Im Separations-Editor erfolgt abschließend die Farbseparation für den Plot, die Festlegung der
Rasterweite bei der Ausgabe, sowie die Auswahl von Optionen für Freistellung, Übergriff und
Überdruck.
5.2.2 Parameter zur Steuerung der Verdrängung
Die Integration verschiedener Generalisierungsfunktionen, speziell der Linien- und Flächenverdrängung,
erfolgte im Mapimage-Editor (siehe Abschnitt 5.2.1). In der praktischen Anwendung
wird vom Nutzer ein Menü geöffnet, welches die Auswahl verschiedener Elementarvorgänge
ermöglicht und die Steuerung über Parameter unterstützt (Benutzer-Menü, Abb. 5.2-1).
Die angezeigten Parameter variieren in Abhängigkeit vom ausgewählten Elementarvorgang im
Menü ”
Funktion“. Um Richtwerte (Defaultparameter) für verschiedene Maßstäbe und verwendete
Zeichenschlüssel vorgeben zu können, besteht die Möglichkeit, entsprechende Parameter-Sets
zu laden ( ”
Laden“) oder anzulegen ( ”
Sichern“).
Während die Parameter im oberen Bereich unabhängig von Objekt- bzw. Feature-Gruppen sind,
können im unteren Fenster objektspezifische Größen eingestellt werden, z.B. welche Objekte
verdrängt werden sollen und welche Feature-Gruppen als Hintergrundobjekte zu berücksichtigen
sind. Unter Feature-Gruppen werden dabei Objekte nach inhaltlichen Gesichtspunkten
zusammengefaßt, z.B. Verkehrswege, Gewässer, Waldflächen. So kann eine Steuerung auf verschiedenen
semantischen Ebenen (Feature-Gruppe/ Feature/ Objekt-Display-Gruppe) erfolgen
und je nach Anforderung und Kenntnis allgemeiner gehalten oder speziell angepaßt werden. Jeder
Objekt-Display-Gruppe kann zudem eine Text-Display-Gruppe zugeordnet werden, was für
Anwendungen in der Randbearbeitung oder Textplazierung notwendig ist.
Objektunabhängige Parameter: Unabhängig von den auftretenden Objektarten kann für
die Linienverdrängung das Verhältnis V ext/int = E ext /E int − 1 von interner zu externer Energie
im Intervall [−1, +1] angegeben werden. Der daraus resultierende Parameter g ext = 1 + V ext/int
entspricht einem Gewichtsfaktor der externen Energie in den Gleichungen (3.3-4), (3.3-5).

5.2. Automatisierte Verdrängung im Maptech-System 63
✡
✲
Abbildung 5.2-1: Benutzer-Menü für verschiedene Generalisierungsfunktionen
Im Grenzfall V ext/int = −1 erfolgt keine Gestaltsänderung (E int = max). Einem ausgeglichenen
Verhältnis zwischen beiden Energien entspricht die Standardeinstellung V int/ext = 0. Außerdem
kann die ”
erweiterte Behandlung“ von Kreuzungen und Einmündungen (siehe Abschnitt 5.1.4)
unterdrückt werden.
Für die Flächenverdrängung ist die Schrittweite des Greedy-Algorithmus einstellbar (siehe Abschnitt
3.3.4). Zusätzlich besteht die Möglichkeit, einen maximalen Verschiebungsbetrag festzulegen.
Der Bewegungsbereich von Flächenobjekten ist damit eingegrenzt.
Objektabhängige Parameter: Die objektabhängigen Parameter können sowohl auf Feature-
Gruppen-Ebene (z.B. Verkehrswege) als auch individuell für einzelne Objekt-Display-Gruppen
(z.B. Str. Autostraße, normal) festgelegt werden. Dazu sind mit dem Button Editieren ...“ (siehe
”
Abbildung 5.2-1) die entsprechenden Menüs aufzurufen. Eine Modifikation des Mindestabstandes
ist dann sowohl für Linien- als auch für Flächenobjekte möglich. Mittels Verdrängungswirkung“
”
kann angegeben werden, ob das Objekt im Verdrängungsprozeß zu berücksichtigen ist oder eine
Überlagerung durch andere Objekte toleriert wird.
Abbildung 5.2-2: Objektabhängige Parameter für Linien- und Flächenverdrängung

64 Kapitel 5. Praktische Anwendungen
Um die Verdrängung der Objekte entsprechend ihrer Bedeutung steuern zu können, erhält jedes
Objekt ein Attribut ”
Priorität“ P ɛ [0, 9]. Damit wird die Beweglichkeit der Objekte in der
Karte festgelegt. Objekte hoher Bedeutung sollten nur bedingt in ihrer Lage verändert werden
und besitzen daher geringe Verdrängungspriorität. Im Extremfall P = 0 kann eine Verdrängung
auch unterbunden werden.
Bei der praktischen Umsetzung wird die iterative Bearbeitung der Kartenobjekte ausgenutzt.
Wie im Abschnitt 3.3.1 und 3.3.4 erläutert, werden Objekte jeweils nur um kleine Beträge verdrängt.
Vor jedem Iterationsschritt wird jetzt anhand der Priorität P entschieden, ob das Objekt
verdrängt werden muß. Die Priorität interpretiert man dazu als Häufigkeit einer möglichen Verdrängung.
Nach dem Ziehen einer Zufallszahl z aus dem Prioritätsintervall [P min , P max ] = [0, 9]
wird verglichen, ob diese kleiner ist als die Verdrängungspriorität P des aktuellen Objektes.
Besitzt ein Objekt die Priorität P = 0, so kann die Zufallszahl nie kleiner sein und das Objekt
ändert weder seine Position noch seine Form. Die Bewichtung der Kartenobjekte kann den
Anwendungen beliebig angepaßt werden.
Formparameter: Die innere Energie besteht aus zwei Termen mit den Gewichten α und β
(siehe Abschnitt 3.2.2). Diese bewichten veränderte Stützstellenabstände bzw. Abweichungen
der Linienkrümmung im Laufe der Verdrängung. In einfachen Fällen erfolgt die Steuerung für
alle Linienobjekte mit den gleichen Parametern. Größere Gewichte sorgen dabei für Linien mit
starker innerer Bindung.
Außerdem kann man die Parameter für Linien verschiedener Bedeutung individuell festlegen. Dadurch
würden die Gewichte des inneren Potentials ebenfalls zu semantischen Steuerparametern.
Des weiteren können die Parameter während der Iteration geändert werden, um z.B. die Bewegungsfreiheit
schrittweise zu verringern. Schließlich ist es möglich, das Krümmungsverhalten
von Objektteilen einer Linie zu beeinflussen, indem die Parameter nicht als Konstante, sondern
als Funktionen der Bogenlänge α = α(s) bzw. β = β(s) verwendet werden. In den praktischen
Anwendungen wurde bisher mit konstanten, objektunabhängigen Formparametern gearbeitet.
5.2.3 Ergebnisse und Beispiele
Linienverdrängung: In Abbildung 5.2-3 ist die Linienverdrängung für einen Kartenausschnitt
im Maßstab 1:25 000 dargestellt. Die Rechenzeit beträgt auf einer IBM Workstation, RISC-6000,
Modell 43P/140, 200 MHz, etwa 30 sec. - Die Bearbeitung erfolgt im Batch-Betrieb.
Problematisch ist die Abhängigkeit des Algorithmus vom Strukturierungsgrad der Daten. So
wird erwartet, daß Anfangs- bzw. Endpunkte von Linienobjekten an Kreuzungen oder Einmündungen
liegen, da bei Verwendung des Variationsverfahrens die Verschiebung der Randwerte Null
ist (siehe Abschnitt 3.2.3). Erfolgte die Linienbildung nicht ausschließlich unter geometrisch -
topologischen Gesichtspunkten, sondern auch unter Berücksichtigung inhaltlicher Aspekte (z.B.
Änderung des Strassennamens), sollte zunächst eine Vorverarbeitung mit geeigneter Objektbildung
durchgeführt werden. Im Beispiel 5.2-3 ist die Verdrängung ohne Vorverarbeitung dargestellt.
Die Verdrängung von sich kreuzenden Linien durch dritte Objekte wäre möglich, solange die
Kreuzung nicht gleichzeitig einen Randpunkt der Linien darstellt. Eine gegenseitige Verdrängung
von Linien im Kreuzungsbereich ist ausgeschlossen (siehe Abschnitt 5.1.4). Für Einmündungen
ist eine Verdrängung durch dritte Objekte nicht umsetzbar, da zumindest ein fester Anfangspunkt
vorliegt. Um auch hier eine Verdrängung zu ermöglichen, müßte eine Erweiterung des
Algorithmus für verkettete Snakes erfolgen (Fua, 1996).

dergersdorf
chtshausen
5.2. Automatisierte Verdrängung im Maptech-System 65
Waldhäuser
2
Großopitz
Tharandt
Somsdorf
Freital
4 1
1
HAINSBERG
COSSMANNSDOR
dergersdorf
chtshausen
Waldhäuser
2
Lübau
(a) Situation vor der Verdrängung
Großopitz
Tharandt
Somsdorf
Freital
4 1
1
Spechtritz
HAINSBERG
COSSMANNSDOR
Lübau
(b) Situation nach der Verdrängung
Spechtritz
Abbildung 5.2-3: Beispiel zur automatisierten Generalisierung von Linienobjekten, Maßstab 1:250 000,
( c○Verlag Kümmerly+Frey, 1999)

66 Kapitel 5. Praktische Anwendungen
Flächenverdrängung: In der praktischen Anwendung sollte auch hier zunächst eine Datenanalyse
bzw. -aufbereitung durchgeführt werden. So ist z.B. für eine automatisierte Gebäudeverdrängung
zwischen einfachen Gebäudegrundrissen und komplexen Gebäuden in Innenstadtbereichen
zu unterscheiden.
Nach dem derzeitigen Stand werden Gebäudegrundrisse nicht im Basis-DLM vorgehalten, d.h.
man ist bei der Visualisierung von ATKIS-Daten gezwungen, zusätzliche Quellen zu verwenden.
Für Gebäude kommt im wesentlichen der Datenbestand des Amtlichen Liegenschaftskatasters
(ALK) in Frage. Da dieser noch nicht vollständig in digitaler Form vorliegt, werden die Kartenoriginale
der TK10 gescannt. Aus diesen extrahiert man Relief und Gebäudegrundrisse mit Hilfe
automatisierter Verfahren der Vektorisierung und Mustererkennung. Dazu kann das Maptech-
Capturing verwendet werden. Das Ergebnis ist in Abbildung 5.2-5(a) dargestellt und entspricht
der Eingangssituation für eine automatisierte Flächenverdrängung.
Im Vergleich zur Linienverdrängung ist die Flächenverdrängung zeitintensiver, z.B. für mittlere
Ortschaften (ca. 300 Gebäude) beträgt die Rechenzeit etwa 1,5 min. - Hauptursache ist
der Unterschied in der Bestimmung der externen Energie. Während die Konfliktrecherche für
Linienobjekte auf Abstandsberechnungen basiert, sind für die Flächenobjekte zeitaufwendigere
Flächenberechnungen durchzuführen. In Abbildung 5.2-5 sind Screenshots des Mapimage-
Editors vor und nach der Verdrängung von Gebäudegrundrissen dargestellt.
Kombinierte Linien- und Flächenverdrängung:
Für die Kombination von Generalisierungsfunktionen
steht im Mapimage-Editor ein Benutzermenü zur Erzeugung
und Verwaltung von sogenannten Joblisten zur
Verfügung (siehe Abbildung 5.2-4). Dort können verschiedene
Generalisierungs-Sets in Abhängigkeit von Maßstab
und Kartentyp zu Joblisten zusammengefaßt werden. Jedes
Generalisierungs-Set ist gekennzeichnet durch die Generalisierungsfunktion
bzw. den Elementarvorgang und
zugehörige Parameter.
Für die sequentielle Durchführung verschiedener Generalisierungsfunktionen
ist die Aufstellung bestimmter Hierarchien
unerläßlich. Im Beispiel der kombinierten Verdrängung
(siehe Abb. 5.2-6) erfolgte zunächst die Linienund
anschließend die Flächenverdrängung.
Abbildung 5.2-4: Joblisten
Bevor aussagekräftige Erfahrungen über die Kombination von Generalisierungsfunktionen gesammelt
werden können, sind zunächst weitere Generalisierungsalgorithmen zu implementieren.
Zusammenfassung: Der vorgestellte Algorithmus zur Linien- und Flächenverdrängung nach
dem Prinzip der Energieminimierung liefert zufriedenstellende Resultate. Wesentliche Ergebnisse
sind:
• Durch geeignete Wahl der inneren Energie wird die charakteristische Form bei der Verdrängung
von Linienobjekten erhalten.
• In der Flächenverdrängung kann durch Anwendung einer Heuristik, welche für jedes Objekt
eine individuelle Nachbarschaft berücksichtigt, der Algorithmus um ein Vielfaches
beschleunigt werden.
• Die Steuerung der Verdrängung ist auf verschiedenen semantischen Stufen möglich (Objekt-
Display-Gruppen-Ebene, Feature-Ebene, Feature-Gruppen-Ebene).

5.2. Automatisierte Verdrängung im Maptech-System 67
K137
(a) Situation vor der Verdrängung
K137
(b) Situation nach der Verdrängung
Abbildung 5.2-5: Beispiel zur automatisierten Verdrängung von Gebäudegrundrissen, Maßstab
1:10 000, ( c○Landesvermessungsamt Sachsen, 1999)

68 Kapitel 5. Praktische Anwendungen
S156
S156
BERTHELSDORF
(a) Situation vor der Verdrängung
S156
S156
BERTHELSDORF
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❅
(b) Situation nach der Verdrängung ❅ ❏
❅ ❏
Abbildung 5.2-6: Beispiel zur Generalisierung von Linien- und Flächenobjekten, Maßstab 1:25 000,
( c○Landesvermessungsamt Sachsen, 1999)
❏❪
❏
❏
❅❅■
❅
❅
❏
❏
❏
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❏

5.2. Automatisierte Verdrängung im Maptech-System 69
Für die weitere Arbeit sind außerdem folgende Punkte zu berücksichtigen:
• In Abhängigkeit von den Eingangsdaten ist für die Linienverdrängung unter Umständen
eine Vorverarbeitung notwendig, da die Wahl der Randwerte das Ergebnis wesentlich beeinflußt.
• Bei der Flächenverdrängung wird die Lage der Objekte wenig geändert, da Verdrängungen
prinzipiell klein gehalten werden. Eine explizite Modellierung der relativen Lage, z.B.
mittels Delaunay-Triangulation, wäre zusätzlich hilfreich.
• Das Zusammenwirken mit anderen Generalisierungsoperationen ist zu entwickeln.
Wie zu erwarten war, können nicht alle Überlagerungskonflikte durch Verdrängungsoperationen
beseitigt werden. Offensichtlich wird dies in Abbildung 5.2-5 am größeren Gebäude in der rechten
Bildhälfte. In diesen Fällen sind andere Elementarvorgänge der Generalisierung interaktiv oder
automatisiert anzuwenden. Weitere Untersuchungen zeigen, daß der Energieminimierungsansatz
auch in der Formvereinfachung von Gebäudegrundrissen anwendbar ist (Minks, 1999).
Zusammenwirken von Forschung und Anwendung: Die praxisreife Umsetzung automatisierter
Verdrängungslösungen mit Software der Firma Maptech AG läßt verschiedene Schlußfolgerungen
für eine Zusammenarbeit von Wissenschaft und Praxis zu. Da Grundlagenforschungen
sehr zeitaufwendig ist, können diese nur in eingeschränktem Maße durch die Industrie geleistet
und finanziert werden. Vielfach wird hier versucht, auf vorhandenen Lösungsansätzen aufzubauen.
So steht in der Praxis die Anwendbarkeit im Vordergrund, während in der Wissenschaft die
Suche nach neuen Ansätzen favorisiert wird. Folgende Arbeiten werden durch die Wissenschaft
geleistet: Am Anfang der Forschung steht meist die Recherche vorhandener Ansätze mit der
Abgrenzung von Vor- und Nachteilen. Anschließend folgt die Suche nach geeigneten Modellen
zur Problembeschreibung. Letztlich werden Algorithmen zur Problemlösung entwickelt.
In einer zweiten Phase überschneiden sich die Interessenbereiche von Forschung und Praxis, so
daß hier im optimalen Fall eine enge Zusammenarbeit stattfindet. Während die Wissenschaftler
für den Nachweis der Anwendbarkeit Tests mit realistischen Daten benötigen, ist die Industrie
an der Nutzung vorhandener Forschungsergebnisse interessiert. Dazu erfolgt in der Regel
die Entwicklung eines Prototyps. Wird die Forschung anwendungsorientiert durchgeführt, kann
die Zusammenarbeit mit der Praxis vielfach Impulse für zukünftige wissenschaftliche Arbeiten
liefern. Die Nutzung kommerzieller Systeme unterstützt weiterhin die Verwaltung realistischer
Daten (Nutzung von Datenbanken) und die Präsentation der Ergebnisse. Im Beispiel der kartographischen
Generalisierung ist hier die Signaturierung der vielfältigen Kartenobjekte und die
Berücksichtigung verschiedener Zeichenebenen (Drawlevel) zu nennen. Der Praxispartner liefert
Schnittstellen für den Datenaustausch. Dazu muß möglichst konkret spezifiziert werden, welche
Informationen der Algorithmus benötigt. Die Implementierung erfordert sowohl vom Praxispartner
als auch vom Entwickler größere Anpassungsleistungen. Gemeinsam erfolgt schließlich die
Lösung zusätzlich aufgetretener Probleme.
Die letzte Stufe umfaßt die Integration der Algorithmen im System. Dazu werden Daten und Parameter
in der Datenbank umgesetzt, die Quelltexte unter Verwendung vorhandener Funktionen
oder Makros angepaßt und Benutzermenüs für die Bedienung erzeugt. Vielfach ist für die Integration
im System eine Erweiterung der Funktionalität notwendig bzw. die Wechselwirkung mit
anderen Programmteilen zu implementieren. Im Fall der Generalisierung muß das Zusammenspiel
unterschiedlicher Generalisierungsoperationen entwickelt werden. Schließlich sind umfangreiche
Tests durchzuführen und die Dokumentation zu schreiben. Nicht zuletzt garantiert der
Hersteller den Support der vertriebenen Software. Dazu gehören die Installation vor Ort und
die Einarbeitung der Kunden mit Schulungen, die Beseitigung aufgetretener Fehler sowie die
Softwarepflege und -weiterentwicklung mit der Berücksichtigung kundenspezifischer Probleme.

70 Kapitel 5. Praktische Anwendungen
Auf Grund gewonnener Erfahrungen und obiger Einteilung ist festzustellen, daß Entwicklungsarbeiten
im Bereich der wissenschaftlichen Forschung herstellerneutral zu realisieren sind. Der
Aufwand an der Gesamtherstellung beträgt etwa 30 bis 50%. Sowohl für die Prototypenentwicklung
als auch die Integration im System ist eine enge Zusammenarbeit mit dem Praxispartner
unabdingbar. Das heißt, spätestens nach der Hälfte des Entwicklungszeitraumes erfolgt die Einschränkung
auf ein konkretes System. Noch ungünstiger ist das Verhältnis bei der Umsetzung
von Steueralgorithmen zur Handhabung verschiedener Generalisierungsoperationen, die einander
bedingen, da hier eine Simulation ohne realistische Daten und relevante Teilergebnisse nicht
möglich sind.
5.2.4 Automatisierte Randbearbeitung
Mit Hilfe einer automatisierten Randbearbeitung ist die effektive Ableitung beliebiger Kartenausschnitte
aus blattschnittfreien Daten möglich. Dafür sind Texte und Symbole, welche durch
den Kartenrand abgeschnitten werden, geeignet zu modifizieren. Texte werden entsprechend der
Bedeutung und Lage des zu beschriftenden Objektes entweder im Kartenausschnitt plaziert oder
ausgeblendet. Die Plazierung erfolgt dabei unter Berücksichtigung der unmittelbaren Umgebung.
Symbole in Randlagen werden nicht verschoben, sondern in Abhängigkeit von ihrer Bedeutung
und der Anwenderkonfiguration ausgeblendet.
Die automatisierte Randbearbeitung stellt eine praktische Anwendung der Verdrängung im Konzept
der Energieminimierung dar. Andere Anwendungsmöglichkeiten der Energieminimierung
sind die Schriftplazierung (Richter, 1997) oder die Formvereinfachung von Gebäudegrundrissen
(Minks, 1999). Gemeinsam ist allen Anwendungen die Verwendung einer Gesamtenergiefunktion
mit innerem und äußerem Anteil (siehe Abschnitt 3.2.1), wobei die äußere Energie
zu beseitigende Konflikte beschreibt (z.B. Überlagerungen mit dem Kartenrand, Konflikte mit
anderen Textobjekten, zu kurze Gebäudekanten, etc.) und die innere Energie versucht, die relative
Lage (z.B. von Gebäuden, Texten) oder charakteristische Formen (z.B. Fluß, Straße) zu
erhalten.
Bei hoher Kartenbelastung kann nicht immer eine Plazierung der Texte im Kartenausschnitt
generiert werden. In diesen Fällen wird die Identifikationsnummer des Textes in einer ”
Select-
From-File“-Datei (SFF-Datei) gespeichert. In solchen Dateien sind u.a. problembehaftete Objekte
registriert, die später am Bildschirm hervorgehoben dargestellt werden. Zur Unterstützung
der interaktiven Nachbearbeitung werden diese Texte automatisch editiert und sind anschließend
einfach manuell abzuarbeiten.
Die Textplazierung erfolgt in Abhängigkeit vom Geometrietyp des zu beschriftenden Objektes,
wobei zunächst zwischen Beschriftung von Linien- und Flächenobjekten unterschieden wird. Des
weiteren beeinflußt die relative Lage des Textes zum Objekt die Art der Plazierung. So können
jeweils drei weitere Unterkategorien festgelegt werden, falls sich der Text innerhalb oder außerhalb
des Objektes befindet bzw. dieses überlagert. Punktobjekte (wie z.B. Ortschaftssymbole)
werden durch den Beschriftungstyp ”
Flächenobjekt - Beschriftung außerhalb“ abgedeckt, da
jedes sichtbare Kartenobjekt eine nicht zu vernachlässigende Ausdehnung besitzt.
Konflikterkennung:
Für die Konflikterkennung wird aus den Koordinaten des Kartenrandes ein Flächenobjekt erzeugt,
welches den im Map-Publisher festgelegten Kartenausschnitt in Bandform begrenzt (siehe
Abbildung 5.2-7). Mit Hilfe der Parameter ” Äußerer Rand“/ ”
Innerer Rand“ kann der Bereich
festgelegt werden, in dem keine Texte liegen dürfen. Für die Plazierung in der Karte ist u.a. zu
entscheiden, ob das zu beschriftende Objekt im Ausschnitt liegt. Befindet sich das Objekt im

5.2. Automatisierte Verdrängung im Maptech-System 71
Abbildung 5.2-7: Flächenrandobjekt für die automatisierte Randbearbeitung
Randbereich oder außerhalb, wird der zugehörige Text ausgeblendet. Der Randbereich kann für
Objekte mit dem Parameter ”
Innerer Rand (Objekt)“ abweichend vom Randbereich für Texte
festgelegt werden. Wird der Parameter ”
Innerer Rand (Objekt)“ kleiner als der Parameter ”
Innerer
Rand“ gewählt oder Null gesetzt, kann z.B. eine Beschriftung von Ortschaften erfolgen, die
zwar im Kartenausschnitt, aber auch im Randbereich für Texte liegen. Eine andere Möglichkeit
wäre, die Plazierung in Abhängigkeit vom prozentualen Flächenanteil des Objektes im Kartenausschnitt
festzulegen, z.B. so, daß eine Beschriftung erfolgt, wenn mehr als 50 % des Objektes
im Ausschnitt liegt.
Die Konflikterkennung für Texte und Symbole basiert analog der Flächenverdrängung auf der
Berechnung von Überlagerungsflächen. Dazu erfolgt eine Verschneidung von Textbox oder Boundingbox
der Symbole mit dem Flächenrandobjekt. Im Falle einer Textplazierung müssen zusätzlich
die Texte, Symbole und Hintergrundobjekte der Nachbarschaft berücksichtigt werden.
Unter Hintergrundobjekten werden dabei alle sonstigen, sich im Kartenausschnitt befindenden
Signaturen zusammengefaßt, die bei einer Textplazierung nicht überdeckt werden dürfen. Der
entsprechende Parameter kann auf Feature-Gruppen-Ebene (FG; z.B. Verkehrswege, Gewässer,
...) oder individuell für jede Objekt-Display-Gruppe (ODG) festgelegt werden. Dazu wird mit
dem ”
Neu“-Button ein Auswahl-Menü geöffnet, in welchem die entsprechenden FG oder ODG
markiert werden. Die gewählten FG/ODG erscheinen im Fenster ”
Objekt-Display-Gruppen /
Text-Display-Gruppen“. Nach dem Aktivieren des ”
Editieren ...“- Buttons können deren objektspezifische
Parameter verändert werden (siehe Abb. 5.2-8). Bei eingeschalteter ”
Verdrängungswirkung“
wird eine Überlagerung durch Texte verhindert.
Abbildung 5.2-8: Objektspezifische Parameter bei der Randbearbeitung

72 Kapitel 5. Praktische Anwendungen
Plazierung unter Berücksichtigung der Nachbarschaft:
Die Modellierung der Texte erfolgt durch Zuordnung einer Standlinie, des Bezugspunktes, sowie
der Angabe von Länge und Höhe der Textbox, d.h. eine Modellierung auf Buchstabenebene findet
nicht statt. Die Standlinie kann dabei explizit vorgegeben werden oder über das zu beschriftende
Objekt zugeordnet sein (z.B. Mittelachse einer Straße). Damit sind die Freiheitsgrade für die
Textplazierung festgelegt.
So kann eine Beschriftung von Linienobjekten nur erfolgen, wenn die Standlinie über das zu
beschriftende Objekt und nicht explizit vorgegeben wird. Bei der Linienbeschriftung muß des
weiteren zwischen innerem und äußerem Text unterschieden werden. Beispiele für inneren Text
sind die Straßennamen oder die Beschriftung breiter Gewässer, während äußerer Text bei schmalen
Flüssen benutzt wird. Der Hauptunterschied besteht darin, daß sich der innere Text der
Mittelachse vollständig anpaßt, während der äußere Text einer stärkeren Glättung unterliegen
kann. Implementiert wurde die Beschriftung mit innerem Text.
Für die Beschriftung von Flächenobjekten kann innerer, äußerer oder überlagernder Text unterschieden
werden, wobei letzterer das zu beschriftende Objekt berühren darf (z.B. Beschriftung
öffentlicher Gebäude). Innerer Text muß vollständig in der zu beschriftenden Fläche liegen (z.B.
Bezeichnung von Seen, Landschaften) und äußerer Text sollte einen gewissen Mindestabstand
einhalten (z.B. Beschriftung von Ortschaften, sonstige punktförmige Objekte). Realisiert sind
bis jetzt die Beschriftung mit äußerem und überlagerndem Text.
Die Konfliktlösung erfolgt in zwei Schritten. Zunächst wird eine geeignete Grobplazierung des
Textes durchgeführt, anschließend erfolgt die Feinplazierung analog zur Verdrängung von Flächen
mit festem Rand mittels Greedy-Algorithmus (siehe Abschnitt 3.3.4). Die Art der Grobplazierung
ist abhängig vom Typ des zu beschriftenden Objektes. Für die Linienbeschriftung wird
der längste Abschnitt der Standlinie im Kartenausschnitt verwendet und der Bezugspunkt so
gewählt, daß der Text vollständig im Ausschnitt liegt. Zur Grobplazierung der Texte bei der
Beschriftung von Flächenobjekten wird auf einem Raster um den Schwerpunkt des Objektes die
bezüglich der gewichteten Überlagerungsflächen günstigste Position ausgewählt.
Das verwendete Raster ist durch die Parameter ”
Iterationstiefe“ und ”
Schrittweite für Vorauswahl“
aus dem modulspezifischen Konfigurationsfile festgelegt. Die Anzahl der Kandidaten z K
ergibt sich dabei entsprechend der Iterationstiefe t aus z K = 8·∑t
n=1 n. Für t = 1 entspricht dies
der 8-Nachbarschaft. Die Bewichtung der Überlagerungsflächen ist in Grob- und Feinplazierung
identisch.
Die Feinplazierung erfolgt durch Iteration über alle Texte in Randlagen mittels Greedy-Algorithmus,
wobei sich die Bewertungsfunktion aus den Gesamtenergien der einzelnen Texte zusammensetzt.
Die Gesamtenergie eines Textes resultiert aus Addition der gewichteten Überlagerungsflächen
zuzüglich einer Abstandsenergie. Die überdeckten Flächen werden dabei analog
zur Verdrängung von Flächen mit festem Rand ins Verhältnis zur Fläche des plazierten Textes
gesetzt.
Am stärksten gewichtet werden Randüberlagerungen. Ebenfalls stark bewertet sind die Überlagerungen
von Texten untereinander. Weniger stark gewichtet werden Überlagerungen von Hintergrundobjekten
einschließlich Symbolen. Als Richtgrößen können g rand : g text : g back = 100 : 10 : 1
verwendet werden. Die Abstandsenergie wird bei der Beschriftung mit äußerem Text benötigt,
um die Distanz zwischen Text und Objekt möglichst klein zu halten, wobei ein gewisser Mindestabstand
nicht zu unterschreiten ist.

5.2. Automatisierte Verdrängung im Maptech-System 73
Steuerung und Parameter:
In analoger Weise zur Verdrängung von Linien- und Flächenobjekten kann auch in der automatisierten
Randbearbeitung zwischen objektunabhängigen und objektspezifischen Parametern unterschieden
werden. Zu den objektunabhängigen Größen zählen die Parameter Äußerer Rand“,
”
” Innerer Rand“ und Innerer Rand (Objekt)“, welche den Randbereich für Texte und Symbole
”
einerseits bzw. zu beschriftende Objekte andererseits kennzeichnen. Der Anwender kann weiterhin
entscheiden, ob eine Konfliktbeseitigung durch Verschieben“ der Texte vorgenommen
”
werden soll oder ob lediglich alle Texte in Randlagen auszuschalten sind. Mit dem Parameter
Erweiterte Konfliktbeseitigung“ wird festgelegt, inwieweit Texte, die nicht im Randbereich liegen,
trotzdem ausgeblendet werden, falls sich die zugeordneten Objekte partiell oder vollständig
”
im Randbereich befinden.
Der ”
Mindestabstand zwischen Texten“ bestimmt den Freistellungsraum eines Textes. Der ”
Maximalabstand
zwischen Text und Objekt“ soll einen Grenzwert für die gerade noch mögliche
Zuordnung von Text und Objekt durch den Betrachter liefern. Durch Verschieben von Texten
in den Kartenausschnitt kann bei Platzmangel eine Überlagerung mit anderen Texten oder
Objekten auftreten. Geringfügige Überdeckungen sind unter Umständen zu tolerieren (Angabe
in Prozent, 0.01 = 1%) . Der Parameter ”
Tolerierte Restkonflikte“ bezieht sich aktuell nur auf
Überlagerungen zwischen Texten. Restkonflikte mit Hintergrundobjekten werden akzeptiert und
Überschneidungen mit dem Rand ausgeschlossen.
Abbildung 5.2-9: Benutzer-Menü für die automatisierte Randbearbeitung

74 Kapitel 5. Praktische Anwendungen
Objektspezifische Parameter betreffen im wesentlichen die Festlegung, inwieweit Symbole oder
sonstige Kartenobjekte bei der Textplazierung zu berücksichtigen sind oder durch Texte überlagert
werden dürfen. Standardmäßig wird für Symbole und Punktobjekte mit eingeschalteter
Verdrängungswirkung“ gearbeitet, während für Linien- und Flächenobjekte eine Überdeckung
”
zulässig ist.
Der zweite objektspezifische Parameter betrifft die ”
Sichtbarkeit in Randlagen“. So dürfen Punkte
oder Symbole, die sich im Randbereich befinden, nicht verschoben werden. In der Regel werden
sie ausgeblendet, aber in Ausnahmen auch dargestellt (z.B. Ortschaften). Texte im Randbereich
werden in Abhängigkeit von der Objektlage in den Kartenausschnitt verschoben. Hier kann
für untergeordnete Texte explizit festgelegt werden, daß im Falle von Randkonflikten der Text
lediglich auszublenden ist, d.h. keine Plazierung im Kartenausschnitt erfolgt.
Beispiele:
Zur Illustration der vorgestellten automatisierten Randbearbeitung wurden zwei Kartenausschnitte
in verschiedene Anwendungen und Maßstäben abgeleitet. Abbildung 5.2-10 zeigt den
Ausschnitt eines Stadtplanes im Maßstab 1:15 000. Dabei müssen vor allem Straßennamen und
Beschriftungen von öffentlichen Gebäuden verschoben oder ausgeblendet werden.
Im zweiten Beispiel (Abbildung 5.2-11) wurde eine Übersichtskarte im Maßstab 1:250 000 bearbeitet.
Die häufigsten Randkonflikte treten hier bei der Beschriftung von Ortschaften auf. Die
Ergebnisse der automatischen und der manuellen Randbearbeitung sind ähnlich (siehe Abbildung
5.2-12). Nicht bearbeitet werden können z.B. Kilometerangaben, welche sich im Kartenausschnitt
befinden und auszublenden wären, falls sich die zugehörigen Kilometrierungskellen
im Randbereich befinden. Für eine inhaltliche Zuordnung dieser Kartenobjekte sind fehlende
Referenzen in den Basisdaten die Ursache.

5.2. Automatisierte Verdrängung im Maptech-System 75
(a) Plazierte und ausgeblendete Texte und Symbole
(b) Ergebnis der automatisierten Randbearbeitung
Abbildung 5.2-10: Beispiel zur automatisierten Randbearbeitung eines Stadtplanes, Maßstab 1:15 000,
( c○Vermessungsamt Sindelfingen, 1999)

76 Kapitel 5. Praktische Anwendungen
(a) Darstellung der blattschnittfreien Daten
(b) Ergebnis der automatisierten Randbearbeitung
Abbildung 5.2-11: Beispiel zur automatisierten Randbearbeitung einer Übersichtskarte, Maßstab
1:250 000, ( c○Verlag Kümmerly+Frey, 1999)

5.2. Automatisierte Verdrängung im Maptech-System 77
(a) Ergebnis der manuellen Randbearbeitung
(b) Ergebnis der automatisierten Randbearbeitung
Abbildung 5.2-12: Vergleich von manueller und automatisierten Randbearbeitung, Maßstab 1:250 000,
( c○Verlag Kümmerly+Frey, 1999)

78 Kapitel 6. Zusammenfassung und Ausblick
6 Zusammenfassung und Ausblick
In vielen Bereichen ist ein Übergang von analogen zu digitalen Medien zu verzeichnen, wobei
neben der fortschreitenden Entwicklung der Rechentechnik sicher die Nutzung des Internets Katalysatorfunktion
hat. Auch auf dem Gebiet der Kartographie finden sich vielfältige Anwendungen
digitaler Daten. Deshalb wurde anfang der neunziger Jahre das bundeseinheitliche Amtliche
Topographisch-Kartographische Informationssystem aufgebaut. Mittlerweile wird an der Umsetzung
der zweiten Realisierungsstufe für die digitalen Landschaftsmodelle (Basis-DLM, DLM250,
DLM1000) gearbeitet. Digitale kartographische Präsentationen sind ebenfalls in verschiedenen
Maßstäben verfügbar. Unbefriedigend ist der Zustand, daß neben der Fortführung der digitalen
Landschaftsmodelle parallel die kartographischen Präsentationen auf der Basis analoger Karten
laufendgehalten werden müssen. So können die topographischen Karten bisher nicht direkt
aus den digitalen Landschaftsmodellen abgeleitet werden. Hauptgrund ist das Fehlen geeigneter
Software, speziell die eingeschränkte Verfügbarkeit von Algorithmen zur rechnergestützten
Generalisierung und darauf basierender Generalisierungswerkzeuge.
Die Entwicklungen in der Digitalkartographie haben zur Folge, daß die Karte ihre Funktion als
Datenspeicher verloren hat. Digitale Landschaftsmodelle übernehmen diese Aufgabe vollständig.
Gleichzeitig gewinnt eine zweckentsprechende Visualisierung der wachsenden Datenmengen unter
Berücksichtigung traditionell gewachsener Nutzergewohnheiten immer stärker an Bedeutung.
Eine mögliche Lösung verbirgt sich hinter dem Stichwort ”
maps on demand“ (Kartenherstellung
nach Anforderung), wodurch dem Wunsch Rechnung getragen werden soll, Karten individuell
und anwenderspezifisch herzustellen. Die Qualität der Karten wird dadurch zweifelsohne erhöht,
da diese, wie im Abschnitt 2.1.2 dargelegt, aus der Brauchbarkeit in der Anwendung resultiert.
Der Wunsch nach steigender Aktualität kartographischer Darstellungen unterstreicht schließlich
die Notwendigkeit einer optimierten Herstellung. Der zeitintensivste Abschnitt bei der Ableitung
topographischer Karten ist die Generalisierung. Eine Automatisierung von Teilprozessen
ist deshalb wünschenswert. Vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Automatisierung des
elementaren Generalisierungsvorganges der Verdrängung. Vom Ansatz bis zur Integration im
kartographischen Produktionssystem wird die gesamte Entwicklung detailliert dargestellt.
In der Arbeit wird die Verdrängung von punktförmigen, linienförmigen und flächenhaften Objekten
unterschieden. Zentrale Stellung nimmt dabei die Linienverdrängung ein, da Linienobjekte
in topographischen Karten dominieren, Flächen durch ihre Umrandung vollständig beschrieben
werden können und Punkte gewissermaßen die Bausteine sind, aus denen sich Linien bei der
Verwendung von Vektordaten zusammensetzen. Zur Beschreibung von Linien hat sich in vielen
Bereichen die Verwendung von Splines durchgesetzt. Splines zeichnen sich durch kompakte
Darstellung aus und ermöglichen die Modellierung beliebig gekrümmter Kurven. Die energieminimierenden
Splines (Snakes) der Bildverarbeitung berücksichtigen zusätzlich formverändernde
äußere Einflüsse. Was liegt näher, als Splines bei der Darstellung von Linienobjekten in Karten
zu verwenden ?
In der kartographischen Verdrängung müssen zum einen Mindestabstände der Linien gegenüber
benachbarten Kartenobjekten eingehalten werden, zum anderen sind Formänderungen infolge
von Verdrängungen möglichst zu vermeiden, da das menschliche Auge gegenüber Formstörungen
empfindlich ist. Die Snakes sind hier das geeignete Modell, da sie den Verformungen durch
äußere Einflüsse entgegenwirken. Die Integration im übergeordneten Prinzip der Energieminimierung
ermöglicht die Lösung der konkurrierenden Ziele als Optimierungsaufgabe. Durch die
sonderfallunabhängige Beschreibung von Verdrängungskonflikten können Zusatzkonstruktionen
vermieden werden.

79
Die äußere Energie wird verwendet, um die Ursache der Verdrängung zu beschreiben. Mit Hilfe
interpolierter Stützpunkte und gleitender Mittelbildung erfolgt die Modellierung einer approximativ
kontinuierlichen Verdrängungswirkung, unabhängig vom Stützstellenabstand. Die innere
Energie erfaßt Längen- und Krümmungsänderungen des Splines bezüglich des ursprünglichen
Zustandes, die sich in Änderungen der ersten und zweiten Ableitung der Koordinaten nach der
Bogenlänge zeigen. Innere und äußere Energie werden im Energie-Integral zusammengefaßt. Die
minimale Gesamtenergie für alle Linien bestimmt man durch Variation des Energie-Integrals.
Die entstehenden Eulerschen Gleichungen werden diskretisiert und iterativ durch Anwendung
der Cholesky-Zerlegung gelöst. Eine alternative Methode zur Energieminimierung mittels Variationsverfahren
wird mit dem Greedy-Algorithmus vorgestellt. Dieser versucht, die Energie jeder
einzelnen Stützstelle durch kleine Verschiebungen zu minimieren. Im Gegensatz zum Variationsverfahren
ist die Wirkungsweise daher eher lokal. Vorteilhafte Anwendungen ergeben sich bei
der Verdrängung von isolierten Objekten, z.B. von Gebäuden oder Schriftboxen.
Die Verdrängung von Punkt- und Flächenobjekten im Konzept der Energieminimierung erfordert
angepaßte innere und äußere Energieterme. Die Berechnung der äußeren Energie für Punktobjekte
kann vergleichsweise einfach über Abstandsberechnungen analog zur Linienverdrängung
erfolgen, wobei die Zwischeninterpolation und gleitende Mittelbildung entfällt. Aufwendiger ist
die Bestimmung der äußeren Energie von Flächenobjekten durch die Berechnung von störenden
Überlagerungsflächen. Für die Einhaltung von Mindestabständen werden die Flächenobjekte vor
der Verdrängung vergrößert. Bei der Modellierung der inneren Energie für Flächenobjekte ist zu
unterscheiden, ob das Objekt als Ganzes verschoben werden muß, d.h. der Rand fest bleibt oder
ob Verschiebungen durch den Rand kompensiert werden können, d.h. Flächen mit beweglichem
Rand vorliegen. Die Berechnung der inneren Energie für Flächenobjekte mit beweglichem Rand
erfolgt analog zur Linienverdrängung, da hier die Form maßgeblich den Wiedererkennungsgrad
beeinflußt. Eine innere Energie für Punktobjekte und Flächenobjekte mit festem Rand muß
die relative Lage der Objekte berücksichtigen. Ein geeignetes Verfahren liefert die Delaunay-
Triangulation.
Zusammenfassend bleibt festzustellen, daß eine Verdrängung von Punkt-, Linien- und Flächenobjekten
im Konzept der Energieminimierung möglich ist. Angepaßte Energieterme und Lösungsverfahren
zur Energieminimierung berücksichtigen die unterschiedliche geometrische Struktur
der Objekte. Aus der Unabhängigkeit von Maßstäben und Sonderfällen ergibt sich die Bedeutung
dieses einheitlichen Grundprinzips.
Ergänzende theoretische Untersuchungen wurden zur Konvergenzbeschleunigung des vorgestellten
Variationsverfahrens durchgeführt. Ein Ergebnis betrifft die Parametrisierung der Splines
mittels Tangentenwinkelfunktion (TAFUS). Die entstehenden Eulerschen Gleichungen können in
Anzahl und auftretender Ableitung reduziert werden. So erhält man anstelle von zwei Gleichungen
4. Ordnung eine Gleichung 2. Ordnung. Erkauft wird diese Vereinfachung durch zusätzliche
Berechnungen bei der Transformation der Richtungsänderungen in kartesische Koordinaten. In
den Anwendungen der Linienverdrängung ergaben sich bisher keine Vorteile. Weiterführende
Arbeiten zur Robustifizierung der TAFUS findet man bei Borkowski und Meier (2001).
Angeregt durch die Arbeit von Cohen und Cohen (1990) wurde des weiteren versucht, die
Lösung der Euler-Gleichungen durch Diskretisierung mittels finiter Elemente zu beschleunigen.
Entsprechend der höchsten vorkommenden Ableitung wurden als Koordinatenfunktionen
B-Splines 2. Ordnung verwendet. Unterschiede zur Diskretisierung mittels finiter Differenzen
betreffen nur die Approximationsgüte der zweiten Ableitungen in den diskretisierten Gleichungen.
In den Beispielrechnungen hatten deshalb die unterschiedlichen Diskretisierungen keine
Auswirkungen.

80 Kapitel 6. Zusammenfassung und Ausblick
Die Entwicklung des automatisierten Verdrängungsverfahrens vom Ansatz bis zur Integration
im kartographischen Produktionssystem erfolgte schrittweise. Zunächst wurde das Verfahren
auf der Basis generierter Daten implementiert und getestet. Anschließend sollte die Anwendung
auf ATKIS-Daten untersucht werden, da dessen Datenstruktur für die Bereitstellung topographischer
Daten in Deutschland verbindlich ist. Dafür war die Ableitung von Kartengeometrien
aus dem DLM25/1-Datensatz notwendig und es mußten entsprechende Kartensignaturen bereitgestellt
werden. Der Verdrängungsalgorithmus lieferte in der Visualisierung der ATKIS-Daten
zufriedenstellende Ergebnisse. Um die Anwendbarkeit in der Praxis nachzuweisen und Hinweise
für weitere Arbeiten in der automatisierten Generalisierung zu erhalten, wurde eine Kooperation
mit der Firma Maptech AG (Schweiz) gesucht. Diese entwickelt Kartographiesoftware, die
u.a. an mehreren Landesvermessungsämtern in Deutschland zur rechnergestützten Herstellung
topographischer Karten verwendet wird.
Die Zusammenarbeit beschränkte sich dabei nicht nur auf die Tests des Verdrängungsansatzes an
realistischen Daten in einem kartographischen Produktionssystem, sondern zusätzlich wurde ein
Werkzeug zur automatisierten Randbearbeitung auf der Basis der vorgestellten Verdrängungsverfahren
implementiert. Die Hauptarbeiten bestanden in der Entwicklung von Datenbankroutinen
zur Bereitstellung notwendiger Parameter (z.B. verwendete Signaturbreiten, Unterscheidung
von Vorder- und Hintergrundobjekten etc.), der Definition von Schnittstellen für den Austausch
von Objektkoordinaten und der Programmierung von Benutzermenüs für die Steuerparameter.
Neben der Unterscheidung von objektabhängigen und objektunabhängigen Parametern ist eine
Steuerung auf verschiedenen semantischen Stufen möglich. Damit können sowohl für das individuelle
kartographische Objekt (z.B. Autobahn) als auch für eine allgemeinere Objektgruppe
(z.B. Verkehrswege) Parameterwerte festgelegt werden.
Während der Prototypenentwicklung haben sich weitere Fragestellungen ergeben. Im Beispiel
der automatisierten Linienverdrängung ist hier die Vorverarbeitung der Linienobjekte zu nennen,
da eine Festlegung der Randwerte entscheidenden Einfluß auf das Ergebnis der Verdrängung hat.
Für die automatisierte Verdrängung von Flächenobjekten mit festem Rand, speziell die Gebäudeverdrängung,
ist die Einführung einer inneren Energie auf der Basis einer Delaunay-Triangulation
wünschenswert. Schließlich stellt sich die Frage nach dem Zusammenwirken mit anderen elementaren
Generalisierungsvorgängen. Im Falle unlösbarer Verdrängungskonflikte müssen weitere Generalisierungsoperationen
zur Anwendung kommen, z.B. Verkleinern, Auswählen etc.
Folgende Erfahrungen resultieren aus der Zusammenarbeit mit der Firma Maptech AG:
Die Entwicklung neuer Produkte ist ohne Grundlagenforschung nicht möglich. Der Aufwand an
wissenschaftlichen Vorarbeiten beträgt zwischen 30 und 50% des Gesamtaufwandes. Dieser Anteil
beinhaltet Lösungsansätze und deren Abgrenzungen zu anderen vergleichbaren wissenschaftlichen
Arbeiten. Für die Prototypenentwicklung ist eine enge Zusammenarbeit von Wissenschaft
und Industrie unerläßlich. Praxisrelevante Tests zur automatisierten Verdrängung können nur
im Rahmen eines kartographischen Produktionssystems durchgeführt werden.
Die Nutzung der automatisierten Verdrängung als Generalisierungswerkzeug erfordert die parallele
Entwicklung anderer Generalisierungsoperationen. Eine Machbarkeitsstudie zur Automatisierung
der Modell- und der kartographischen Generalisierung dient dabei als Konzept für
weitere Entwicklungen. Die Zusammenarbeit mit einem Praxispartner erschließt zusätzliche
Anwendungsfelder; z.B. wurde die automatisierte Randbearbeitung zur Ableitung topographischer
Karten aus blattschnittfreien Daten entwickelt. Weitere Anwendungsmöglichkeiten des
Energieminimierungsprinzips betreffen die Schriftplazierung, sowie Gebäudevereinfachung und
-zusammenfassung, wodurch die Bedeutung dieses Grundprinzips nachhaltig unterstrichen wird.

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88 Anhang A. Analyse von Verdrängungssituationen in topographischen Karten
Anhang A
Analyse von Verdrängungssituationen in
topographischen Karten
Ziel: Qualitative und quantitative Analyse der kartographischen Verdrängung von Linienobjekten
in topographischen Karten (TK10, TK25, TK50 und TK100).
Als Testgebiet wurde ein Kartenausschnitt des Elbsandsteingebirges zwischen Bad Schandau und
Königstein gewählt, da hier im Bereich des Elbelaufes Signaturen verschiedener Linienobjekte
auf engstem Raum untergebracht werden müssen. Im einzelnen wurden Linienobjekte folgender
Gruppen digitalisiert:
• Straße (7 Objekte mit 51 Segmenten)
• Eisenbahn (4 Objekte mit 19 Segmenten)
• Gewässer (6 Objekte mit 47 Segmenten)
Sämtliche Segmente aller Objekte mußten dazu in den Maßstäben 1:10 000, 1:25 000, 1:50 000
und 1:100 000 erfaßt werden. Zusätzlich wurde ein Objekt jeder Gruppe in allen vier Maßstäben
mit dreifacher Wiederholung digitalisiert, um die Genauigkeit der Digitalisierung zu quantifizieren.
Als Maße für eine Bewertung von Verdrängungsgebieten sind u. a. folgende Größen verwendbar:
1. Abstand vergleichbarer Liniensegmente im Basis-Maßstab (1:10 000) und in den Folgemaßstäben
als Funktion der Bogenlänge. Falls die Gesamtlängen der betrachteten Linienobjekte
zu stark variieren, kann ein Korrekturfaktor aus dem Verhältnis der Gesamtlängen
eingeführt werden.
2. Fläche zwischen Linienobjekten im Grundmaßstab (1:10 000) und dem jeweiligen Folgemaßstab.
Linienobjekt im
Maßstab 1:10000
Linienobjekt im
Folgemaßstab
Abbildung A-1: Fläche zwischen einem Linienobjekt im Grundmaßstab und im Folgemaßstab
als Verdrängungsmaß
Am Digitalisiertablett wurden sämtliche Linienobjekte mittels AutoCAD (DXF-Format) in
Gauß-Krüger-Koordinaten erfaßt (numerische Bearbeitung: cand. ing. H. Wild). Die aus vier
verschiedenen Maßstäben resultierenden Dateien konnten für jedes Objekt zu einer Masterdatei
zusammengefaßt werden. Dadurch war eine qualitative Bewertung unterschiedlich starker
Verdrängungszonen nach Bildschirmvisualisierung möglich (siehe Abbildung A-2).

89
Tabelle A-1: Verdrängungsanalyse für Bahnobjekte der TK25 (bezogen auf TK10); Einheiten: Fläche
in m 2 , Umfang in m, Grad der Verdrängung in m, alle Angaben in Meter (Naturmaß)
Obj Seg Fläche Umfang V
B1 1 5984,7 1000,3 5,98
B1 2 5659,4 1001,1 5,65
B1 3 5842,2 1005,7 5,81
B1 4 5762,6 1004,4 5,70
B1 5 3198,1 992,4 3,22
B1 6 2877,2 988,5 2,91
B1 7 2848,5 990,5 2,88
B1 8 1583,1 989,1 1,60
B1 9 1116,6 989,9 1,13
B1 10 1234,7 986,4 1,25
Obj Seg Fläche Umfang V
B2 1 1309,1 1089,0 1,20
B2 2 1188,8 1104,8 1,08
B2 3 1873,0 1104,4 1,70
B3 1 1484,7 795,7 1,87
B3 2 2064,0 762,1 2,71
B4 1 1694,5 1023,0 1,66
B4 2 4660,8 1027,0 4,54
B4 3 2843,2 1027,2 2,77
B4 4 3454,5 1033,2 3,34
Tabelle A-2: Verdrängungsanalyse für Bahnobjekte der TK50 (bezogen auf TK10); Einheiten: Fläche
in m 2 , Umfang in m, Grad der Verdrängung in m, alle Angaben in Meter (Naturmaß)
Obj Seg Fläche Umfang V
B1 1 2345,6 1010,6 2,32
B1 2 4263,8 1017,4 4,19
B1 3 6421,7 1029,5 6,24
B1 4 6710,8 1042,9 6,43
B1 5 4039,3 1061,3 3,81
B1 6 5731,4 1083,6 5,29
B1 7 8200,5 1100,1 7,45
B1 8 4509,6 1109,6 4,06
B1 9 3377,3 1118,3 2,13
B1 10 1966,4 1123,7 1,75
Obj Seg Fläche Umfang V
B2 1 8811,8 1193,9 7,38
B2 2 11630,8 1153,7 10,08
B2 3 11410,6 1126,5 10,13
B3 1 2061,1 783,9 2,63
B3 2 3692,4 780,9 4,73
B4 1 2950,1 1028,2 2,87
B4 2 2847,8 1041,2 2,81
B4 3 2906,1 1044,0 2,78
B4 4 1257,6 1057,1 1,19
Tabelle A-3: Verdrängungsanalyse für Bahnobjekte der TK100 (bezogen auf TK10); Einheiten: Fläche
in m 2 , Umfang in m, Grad der Verdrängung in m, alle Angaben in Meter (Naturmaß)
Obj Seg Fläche Umfang V
B1 1 15336,1 1070,2 14,33
B1 2 15853,4 1072,4 14,78
B1 3 30039,0 1109,9 27,06
B1 4 36044,2 1139,7 31,63
B1 5 26363,0 1152,4 22,87
B1 6 18438,0 1179,0 15,64
B1 7 15571,1 1187,9 13,11
B1 8 9185,5 1185,7 7,75
B1 9 2704,6 1185,7 2,28
B1 10 11797,3 1190,1 9,91
Obj Seg Fläche Umfang V
B2 1 13652,7 1246,8 10,95
B2 2 5311,7 1192,0 4,46
B2 3 7977,7 1148,0 6,95
B3 1 6968,8 892,2 7,81
B3 2 4292,3 846,4 5,07
B4 1 3372,7 1055,2 3,20
B4 2 11807,1 1061,6 11,12
B4 3 13178,9 1069,8 12,32
B4 4 19260,1 1111,9 17,32

90 Anhang A. Analyse von Verdrängungssituationen in topographischen Karten
Für eine quantitative Bestimmung von Verdrängungsgebieten konnte die Flächenberechnungsfunktion
aus AutoCAD verwendet werden. Dazu erfolgte eine Abtastung der durch ein Linienobjekt
im Grundmaßstab (1:10 000) und im jeweils betrachteten Folgemaßstab eingeschlossenen
Fläche. Bezieht man die Flächeninhalte F auf den Flächenumfang U, so ergibt sich ein
Maß für den Grad der Verdrängung V = F/U (z.B. Bahnobjekte, siehe Tabellen A-1,2,3). Der
Flächenumfang wird dabei im wesentlichen durch die Länge des digitalisierten Liniensegmentes
bestimmt.
Verschiedene Faktoren beeinflussen die Genauigkeit der Digitalisierung. Neben der Auflösung des
Digitalisiertablettes sind hier der Papierverzug der topographischen Karte sowie die zufälligen
Fehler während der Digitalisierung maßgebend. Die Fehlerabschätzung erfolgte experimentell
durch jeweils dreifache Digitalisierung eines Objektes jeder Gruppe in allen vier Maßstäben
(siehe Tabellen A-4,5,6,7). Anschließend wurde analog zur oben beschriebenen Bestimmung
der Verdrängungsgebiete mit Hilfe der Flächenberechnungsfunktion die Differenzfläche zweier
Digitalisierungen eines Maßstabes bestimmt und durch den Umfang geteilt. Der Vergleich mit
den Verdrängungswerten zeigt, daß der Digitalisierfehler im Bereich zwischen 30% und 50% liegt
und deutet darauf hin, wie schwierig es ist, diese kleinen Größen korrekt zu messen.
Tabelle A-4: Fehlerabschätzung für Bahnobjekte
aus TK10 in Meter (Naturmaß)
Seg V (L 1 , L 2 ) V (L 1 , L 3 ) V (L 2 , L 3 )
1 0,67 0,55 0,24
2 0,34 0,48 0,46
3 0,45 0,40 0,41
4 0,69 0,50 0,29
5 0,21 0,12 0,06
6 0,21 0,31 0,13
7 0,47 0,18 0,43
8 0,50 0,12 0,52
9 0,57 0,17 0,67
Ø 1 0,46 0,31 0,35
Tabelle A-5: Fehlerabschätzung für Bahnobjekte
aus TK25 in Meter (Naturmaß)
Seg V (L 1 , L 2 ) V (L 1 , L 3 ) V (L 2 , L 3 )
1 0,56 0,47 0,54
2 0,87 1,89 1,00
3 0,58 1,78 1,75
4 0,73 0,89 1,11
5 1,23 0,69 1,16
6 0,97 0,86 0,47
7 0,90 0,82 0,45
8 1,03 0,64 0,37
9 1,25 1,87 0,95
Ø 0,90 1,10 0,87
Tabelle A-6: Fehlerabschätzung für Bahnobjekte
aus TK50 in Meter (Naturmaß)
Seg V (L 1, L 2) V (L 1, L 3) V (L 2, L 3)
1 1,84 0,85 2,33
2 1,00 0,69 1,83
3 2,00 1,44 2,81
4 0,99 1,44 1,42
5 2,87 1,19 2,11
6 0,64 1,57 1,13
7 2,07 1,97 2,07
8 1,52 1,88 1,98
9 2,43 4,02 2,89
Ø 1,71 1,67 2,06
Tabelle A-7: Fehlerabschätzung für Bahnobjekte
aus TK100 in Meter (Naturmaß)
Seg V (L 1, L 2) V (L 1, L 3) V (L 2, L 3)
1 3,09 4,24 1,88
2 3,36 3,02 3,67
3 4,50 1,67 4,07
4 4,40 6,44 4,67
5 6,19 6,84 3,35
6 1,18 4,09 2,65
7 5,56 4,43 1,58
8 5,94 5,16 4,38
9 5,03 7,10 1,94
Ø 4,36 4,78 3,13
1 Mittelwert

91
Die Verdrängungswerte für Gewässer-, Straßen- und Bahnobjekte sind nach Maßstäben getrennt
in Tabelle A-8 aufgeführt. Ein Vergleich mit Abbildung A-2 zeigt, daß sich die Verdrängungsgebiete
gut in den Meßwerten wiederspiegeln; siehe Tab. A-8 (z.B. Verdrängung der Eisenbahn im
Maßstab 1:100 000 für den Bereich des Elbebogens zwischen Königstein und Bad Schandau, verifiziert
duch die Verdrängungswerte V 100 der Segmente B1-3 bis B1-5). Ebenso ist der wachsende
Verdrängungsbedarf bei kleiner werdenden Maßstäben für alle drei Objektgruppen nachweisbar.
Einschränkend ist anzumerken, daß Lageänderungen nicht ausschließlich dem Elementarvorgang
der Verdrängung zugeordnet werden können, sondern z.B. auch infolge von Linienvereinfachungen
(Glättung) auftreten.
Abbildung A-2: Digitalisierte Kartenobjekte in verschiedenen
Maßstäben
Für die im Beispiel digitalisierten Linien
kann weiterhin festgestellt werden,
daß Bahn- und Straßenobjekte weniger
stark verdrängt werden als Gewässer.
Eine mögliche Begründung ist, daß bei
der Ableitung analoger Karten mit der
Generalisierung des Grundrißlayers begonnen
wurde, der alle schwarzen Kartenobjekte
enthält. Dabei kann davon
ausgegangen werden, daß die Lage der
Ortschaften den Straßen- und Eisenbahnverlauf
im wesentlichen festgelegt
hat. Anschließend erfolgt die Plazierung
und Verdrängung weiterer Kartenobjekte
(Hydrographie, Vegetation
etc.) in Bereiche geringerer Kartenbelastung.
Ein Beispiel ist die Ausnutzung
der unverbauten Flußmäander bei der
Darstellung der Gewässer.
Zusammenfassend ist festzustellen,
daß für verallgemeinernde Aussagen
entsprechende statistische Untersuchungen
in größerem Umfang durchzuführen
sind. Erleichtert werden diese
in Zukunft durch die zunehmende
Verfügbarkeit digitaler Daten. Hier
wurde zunächst der experimentelle
Ablauf zur vorgestellten Methode des
Reverse Engineering dargestellt (siehe
Abschnitt 2.2.2).
Außerdem zeigt sich die Eignung der verwendeten Größen zur Bestimmung der Lage- und
Formänderungen von Linienobjekten. Dabei ist nicht in jedem Fall eine Unterscheidung vorangegangener
Verdrängungs- oder Vereinfachungsoperationen möglich, sondern teilweise eine
Vermischung der Elementarvorgänge sichtbar.

92 Anhang A. Analyse von Verdrängungssituationen in topographischen Karten
Tabelle A-8: Verdrängungsanalyse für Gewässer-, Straßen- und Bahnobjekte der TK25, TK50 und
TK100 (bezogen auf TK10); alle Angaben in Meter (Naturmaß)
Obj Seg V 25 V 50 V 100
G1 1 2,92 6,52 22,36
G1 2 3,80 5,97 22,62
G1 3 4,49 3,16 25,52
G1 4 3,81 8,38 30,84
G1 5 4,49 10,10 34,62
G1 6 2,65 6,66 32,46
G1 7 1,40 6,20 22,89
G1 8 2,38 5,48 12,26
G1 9 1,88 4,46 10,51
G1 10 1,24 7,09 14,86
G1 11 1,58 10,71 23,44
G1 12 3,28 9,24 11,33
G1 13 2,01 2,80 33,43
G1 14 0,58 6,52 43,03
G1 15 0,57 7,00 33,69
G1 16 0,71 7,74 19,27
G2 1 1,67 4,15 8,50
G2 2 4,02 4,23 22,29
G2 3 3,17 1,99 26,94
G2 4 3,38 1,93 30,05
G2 5 4,25 4,56 33,44
G2 6 2,11 9,73 31,08
G2 7 1,19 4,04 17,30
G2 8 1,95 5,64 13,51
G2 9 2,70 5,57 29,33
G2 10 1,16 6,93 35,14
G2 11 1,72 4,84 13,66
G2 12 0,62 3,25 3,77
G3 1 2,13 9,67 10,31
G3 2 3,02 9,17 38,71
G3 3 2,25 22,33 44,94
G3 4 1,74 18,96 36,35
G3 5 0,81 5,42 28,37
G3 6 1,02 10,15 22,37
G3 7 2,08 16,58 37,72
G4 1 1,39 2,60 6,71
G4 2 1,26 4,52 7,04
G4 3 2,72 6,07 4,69
G5 1 2,10 3,34 14,55
G5 2 0,97 4,36 15,95
G5 3 2,71 8,11 8,98
G5 4 1,40 5,56 11,60
G5 5 1,55 6,54 30,84
G5 6 1,61 5,91 9,37
G6 1 1,77 6,66 19,04
G6 2 3,59 4,88 14,19
G6 3 2,10 5,42 31,60
Obj Seg V 25 V 50 V 100
S1 1 1,43 8,32 16,50
S1 2 1,84 6,74 18,39
S1 3 1,26 5,57 17,06
S1 4 1,99 8,23 20,97
S1 5 2,04 9,82 18,35
S1 6 0,83 8,07 11,58
S1 7 0,99 4,24 14,56
S1 8 1,51 8,03 16,37
S1 9 3,81 10,62 37,24
S2 1 4,28 10,04 30,90
S2 2 6,77 10,85 25,13
S2 3 9,83 5,35 25,75
S2 4 5,33 5,55 15,07
S2 5 4,41 8,97 9,38
S2 6 2,83 8,56 9,15
S2 7 2,48 7,25 14,96
S2 8 3,17 11,85 15,31
S2 9 4,27 2,80 18,75
S2 10 3,60 2,56 13,76
S2 11 1,94 1,59 18,96
S2 12 1,13 2,06 14,04
S2 13 1,12 2,06 7,92
S3 1 4,02 3,63 20,70
S3 2 2,62 9,22 20,80
S3 3 1,11 11,15 20,16
S3 4 3,72 16,04 24,01
S3 5 0,79 2,81 8,67
S3 6 2,19 2,76 5,61
S3 7 3,08 6,70 9,50
S4 1 2,94 8,47 8,23
S4 2 1,86 7,20 10,13
S4 3 1,86 8,57 5,39
S4 4 0,99 12,34 5,40
S4 5 2,63 13.03 7,45
S4 6 3,24 11,65 12,62
S4 7 3,75 5,37 12,83
S4 8 4,52 2,71 19,42
S4 9 3,93 4,99 19,55
S4 10 3,22 4,35 15,37
S5 1 1,71 3,01 10,93
S5 2 1,61 4,90 7,15
S5 3 3,51 2,90 14,26
S5 4 3,23 5,85 9,61
S5 5 1,98 4,90 16,41
S5 6 1,58 5,79 9,13
S5 7 1,80 10,63 4,60
Obj Seg V 25 V 50 V 100
B1 1 5,98 2,32 14,33
B1 2 5,65 4,19 14,78
B1 3 5,81 6,24 27,06
B1 4 5,70 6,43 31,63
B1 5 3,22 3,81 22,87
B1 6 2,91 5,29 15,64
B1 7 2,88 7,45 13,11
B1 8 1,60 4,06 7,75
B1 9 1,13 2,13 2,28
B1 10 1,25 1,75 9,91
B2 1 1,20 7,38 10,95
B2 2 1,08 10,08 4,46
B2 3 1,70 10,13 6,95
B3 1 1,87 2,63 7,81
B3 2 2,71 4,73 5,07
B4 1 1,66 2,87 3,20
B4 2 4,54 2,81 11,12
B4 3 2,77 2,78 12,32
B4 4 3,34 1,19 17,32
Ø 3,0 4,6 12,6
Obj Seg V 25 V 50 V 100
S6 1 2,14 2,34 7,45
S6 2 0,90 7,14 8,73
S6 3 2,56 2,91 14,96
S7 1 1,75 8,87 6,08
S7 2 2,75 9,57 9,99

93
Anhang B
Herleitung des Abstandes a i in Formel (3.2-4)
Ausgangspunkt der Herleitung ist die Abstandsberechnung für die Punkte P 0 bzw. P i .
P
j +1
d i , j+1
a 2 i = (x 0 − x i ) 2 + (y 0 − y i ) 2
P 0 wandert entlang der Strecke P j P j+1
:
(B.1)
P
d j , j+1
P
0
j
a
i
d i , j
Einsetzen von (B.2) in (B.1) führt zu
P
i
x 0 = x j + ∆x · t , y 0 = y j + ∆y · t , (B.2)
wobei gilt
∆x = x j+1 − x j , ∆y = y j+1 − y j . (B.3)
a 2 i = (x j − x i + ∆x · t) 2 + (y j − y i + ∆y · t) 2 (B.4)
= (x j − x i ) 2 + (∆x · t) 2 + 2(x j − x i )(∆x · t) + (B.5)
(y j − y i ) 2 + (∆y · t) 2 + 2(y j − y i )(∆y · t) (B.6)
= d 2 ij + d 2 jj+1t 2 + 2t [(x j − x i )∆x + (y j − y i )∆y] . (B.7)
Mit der Randbedingung für t = 1 und a i = d ij+1 in Formel (B.7) folgt
d 2 ij+1 = d 2 ij + d 2 jj+1 + 2 [(x j − x i )∆x + (y j − y i )∆y] . (B.8)
Ersetzen der eckigen Klammer durch Substitution von (B.8) in (B.7) führt zur gesuchten Gleichung.

94 Anhang C. Rekursive Herleitung der Koordinatenfunktion B 2,j (t)
Anhang C
Rekursive Herleitung der Koordinatenfunktion B 2,j (t)
1. Nach Schwetlick (1991 ) ist die explizite Darstellung des B-Splines vom Grad 1
B 1,j (t) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
t−t j
t j+1 −t j
für t j ≤ t < t j+1
t j+2 −t
t j+2 −t j+1
für t j+1 ≤ t < t j+2
0 sonst
2. Rekursive Herleitung von B 2,j (t) ist nach
. (C.1)
B k,j (t) = w k−1,j (t)B k−1,j (t) + [1 − w k−1,j+1 (t)]B k−1,j+1 (t)
(C.2)
mit w k−1,j (t) =
⎧
⎨
⎩
t−t j
t j+k −t j
für t j+k > t j
0 für t j+k = t j
möglich.
3. Die Ableitung von B ′ 2,j (t) ergibt sich direkt aus B 1,j(t) nach
d
dt B k,j(t) =
k
t j+k − t j
B k−1,j (t) −
k
t j+k+1 − t j+1
B k−1,j+1 (t) . (C.3)

95
Anhang D
Vergrößerung und Verkleinerung von Flächen
Die vorgestellte Routine berechnet für Flächenobjekte die Lagekoordinaten des Umrandungspolygons
nach Dehnung oder Stauchung. Dazu werden jeweils drei aufeinanderfolgende Punkte
(x 0 , y 0 ; x 1 , y 1 ; x 2 , y 2 ) der zu verändernden Fläche (in mathematischem Richtungssinn) und der
Betrag v, um den verkleinert oder vergrößert werden soll, übergeben. Als Ergebnis erhält man
die neuen Koordinaten des mittleren Punktes (x g , y g ).
In der Routine wird ein kartesisches Koordinatensystem bestimmt, dessen Ursprung im übergebenen
Punkt (x 1 , y 1 ) liegt und dessen x-Achse durch den gesuchten Punkt (x g , y g ) geht. Im
Einzelnen werden folgende Berechnungen durchgeführt :
• Der Koordinatenursprung wird in den Punkt (x 1 , y 1 ) verschoben (Index t : Translation) :
(x 0 , y 0 ; x 1 , y 1 ; x 2 , y 2 ) −→ (x t 0 , yt 0 ; 0.0, 0.0; xt 2 , yt 2 ).
• Anschließend wird die x-Achse so gedreht, daß sie durch den Punkt (x t 0 , yt 0 ) geht. Die
Berechnung des Drehwinkels α zwischen dem Vektor (x t 0 , yt 0 ) und der x-Achse (1.0, 0.0)
erfolgt mittels Skalarprodukt.
• Zur Bestimmung des Drehsinns wird getestet, ob (x t 0 , yt 0 ) im 1. oder 2. Quadranten liegt
(positiver Drehsinn). Ansonsten wird die Drehung um α in negativer Richtung ausgeführt
(x t 0 , yt 0 ; 0.0, 0.0; xt 2 , yt 2 ) −→ (xtd 0 , ytd 0 ; 0.0, 0.0; xtd 2 , ytd 2 ).
• Die folgende Rotation dreht die x td -Achse in den gesuchten Punkt (x g , y g ). Zunächst wird
mittels Skalarprodukt der Winkel β ′ zwischen (x td
0 , ytd 0 ) und (xtd 2 , ytd 2 ) berechnet. Liegt
(x td
2 , ytd 2 ) im 3. oder 4. Quadranten ergibt sich der Drehwinkel β nach β = (360◦ − β ′ )/2,
ansonsten ist β = β ′ /2. Die Drehung erfolgt im mathematisch positiven Drehsinn.
) hat im verschobenen, zweimal gedrehten Koordinaten-
• Der gesuchte Punkte (x tdd
g , yg
tdd
system die folgenden Koordinaten :
x tdd
g = v p ; y tdd
g = 0.0 .
• Die Größe von v p läßt sich am einfachsten im verschobenen, einmal gedrehten Koordinatensystem
bestimmen. Hierzu wird der Vektor (0, v) auf die x td -Achse projiziert.
• Die Rücktransformation von (x tdd
g , yg
tdd ) liefert (x g , y g ). Dafür wird zunächst das Koordinatensystem
um β zurückgedreht : (x tdd
g , yg
tdd ) −→ (x td
g , yg td ). Anschließend wird die Drehung
um α rückgängig gemacht : (x td
g , yg td ) −→ (x t g, yg). t Dabei ist der Drehsinn der Hintransformation
zu beachten. Am Ende liefert die Translation von (x t g, yg) t −→ (x g , y g ) den
gesuchten Punkt.
Diese Routine ist auf alle Umrandungspunkte der zu vergrößernden oder zu verkleinernden
Flächen anzuwenden. Dehnung und Stauchung unterscheiden sich dabei nur durch die Reihenfolge,
in der Vorgänger und Nachfolger übergeben werden.

Dank
Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit am Institut für Planetare Geodäsie
der Technischen Universität Dresden. Allen meinen Kollegen danke ich für ihre rege Anteilnahme
und Unterstützung bei der Bearbeitung des Themas.
Mein besonderer Dank gilt Prof. Siegfried Meier, der mir eine kontinuierliche Bearbeitung des
Themas ermöglichte und mich jederzeit in wissenschaftlichen Diskussionen mit wesentlichen
Anregungen und Hinweisen unterstützt hat.