Folien der Übung vom 2.11.06 Leitideen/Kompetenznivaus
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Der Kompetenzbereich „Mathematisch<br />
Argumentieren“ (K1)<br />
• Mathematisch Argumentieren:<br />
• Begründe…Überprüfe…Beweise…Wi<strong>der</strong>lege…Warum ist das so?<br />
Gilt das immer?<br />
• Anfor<strong>der</strong>ungsbereich 1:<br />
• Routineargumentationen (bekannte Sätze, Verfahren, Herleitungen,<br />
etc.) wie<strong>der</strong>geben und anwenden; einfache rechnerische<br />
Begründungen geben; mit Alltagswissen argumentieren.<br />
• Anfor<strong>der</strong>ungsbereich 2:<br />
• Überschaubare mehrschrittige Argumentationen nachvollziehen,<br />
erläutern o<strong>der</strong> entwickeln; überschaubare Zusammenhänge<br />
erläutern.<br />
• Anfor<strong>der</strong>ungsbereich 3:<br />
• Komplexe Argumentationen nutzen, erläutern o<strong>der</strong> entwickeln;<br />
verschiedene Argumente nach Kriterien wie Reichweite und<br />
Schlüssigkeit bewerten; Fragen stellen, die für die Mathematik<br />
charakteristisch sind („Warum sind dies alle Fälle, die…?“), und<br />
Vermutungen begründet äußern.<br />
Der Kompetenzbereich „Probleme mathematisch<br />
Lösen“ (K2)<br />
• Problemlösungsstrategien<br />
• Zerlegungsprinzip, Analogieprinzip, Extremalprinzip,<br />
Vorwärtsarbeiten Rückwärtsarbeiten, Systematisches Probieren,<br />
Veranschaulichung<br />
• Anfor<strong>der</strong>ungsbereich 1:<br />
• Lösen einer einfachen Problemstellung durch Identifikation und<br />
Auswahl einer nahe liegenden Strategie (z.B. Zeichnen einer<br />
einfachen Hilfslinie); einfache Probleme selber formulieren.<br />
• Anfor<strong>der</strong>ungsbereich 2:<br />
• Finden eines Lösungsweges zu einer Problemstellung durch ein<br />
mehrschrittiges strategiegestütztes Vorgehen.<br />
• Anfor<strong>der</strong>ungsbereich 3:<br />
• Konstruieren einer elaborierten Strategie, um z.B. die<br />
Vollständigkeit einer Lösung zu begründen o<strong>der</strong> eine<br />
Schlussfolgerung zu verallgemeinern; reflektieren über verschiedene<br />
Lösungsideen/-wege.
Der Kompetenzbereich „Mathematisch Modellieren“<br />
(K3)<br />
• Verstehen <strong>der</strong> realen Problemstellung<br />
• Vereinfachen und Strukturieren <strong>der</strong> beschriebenen Situation<br />
• Übersetzen <strong>der</strong> vereinfachten Realsituation in die Mathematik<br />
• Lösen <strong>der</strong> nunmehr mathematischen Problemstellung durch<br />
mathematische Mittel<br />
• Rückinterpretation und Überprüfung des mathematischen Resultats<br />
anhand des realen Kontexts<br />
• Anfor<strong>der</strong>ungsbereich 1:<br />
• Vertraute und direkt erkennbare Standardmodelle nutzen (z.B.<br />
„Dreisatz“); direktes Überführen <strong>der</strong> realitätsbezogenen Situation in<br />
die Mathematik.<br />
• Anfor<strong>der</strong>ungsbereich 2:<br />
• Mehrschrittige Modellierungen innerhalb weniger und klar<br />
formulierter Einschränkungen vornehmen; Ergebnisse einer<br />
Modellierung interpretieren und an <strong>der</strong> Ausgangssituation prüfen;<br />
ein mathematisches Modell passenden Realsituationen zuordnen<br />
o<strong>der</strong> an verän<strong>der</strong>te Umstände anpassen<br />
• Anfor<strong>der</strong>ungsbereich 3:<br />
• Ein Modell zu einer komplexen Situation bilden, bei <strong>der</strong> die<br />
Annahmen, Variablen, Beziehungen und Einschränkungen neu<br />
definiert werden müssen; Bewerten und Vergleichen von Modellen<br />
Der Kompetenzbereich „Mathematische Darstellungen<br />
Verwenden“ (K4)<br />
• Diagramme, Abbildungen, Skizzen realer Sachverhalte, statistische<br />
Schaubil<strong>der</strong>, Graphen<br />
• aber auch an<strong>der</strong>e Formeln, sprachliche Darstellungen, Handlungen/<br />
Gesten, Programme (aus einer Programmiersprache)<br />
• Anfor<strong>der</strong>ungsbereich 1:<br />
• Vertraute Darstellungen von mathematischen Objekten und<br />
Situationen anfertigen und nutzen<br />
• Anfor<strong>der</strong>ungsbereich 2:<br />
• Gegebene Darstellungen verstehend interpretieren o<strong>der</strong><br />
strukturierend verän<strong>der</strong>n; zwischen zwei Darstellungen bzw.<br />
Darstellungsformen wechseln<br />
• Anfor<strong>der</strong>ungsbereich 3:<br />
• Verstehen und Verwenden einer unvertrauten Darstellungsform;<br />
eigene Darstellungsformen entwickeln; verschiedene Formen <strong>der</strong><br />
Darstellung zweckengerichtet beurteilen
• Der Kompetenzbereich „Mit symbolischen,<br />
formalen und technischen Elementen <strong>der</strong><br />
Mathematik Umgehen“ (K5)<br />
• mathematische Definitionen, Regeln, Algorithmen; Variablen,<br />
Termen, Gleichungen o<strong>der</strong> Funktionen; Lösungs- und<br />
Kontrollverfahren, geometrische Grundkonstruktionen;<br />
Formelsammlung o<strong>der</strong> Taschenrechner.<br />
• Anfor<strong>der</strong>ungsbereich 1:<br />
• Verwenden elementarer Lösungsverfahren; direktes Anwenden von<br />
Formeln und Symbolen; Nutzen einfacher mathematischer<br />
Werkzeuge (z.B. Formelsammlung, Taschenrechner)<br />
• Anfor<strong>der</strong>ungsbereich 2:<br />
• Mehrschrittige Anwendung formal mathematischer Prozeduren;<br />
Umgang mit Variablen, Termen, Gleichungen und Funktionen im<br />
Kontext; mathematische Werkzeuge je nach Situation und Zweck<br />
gezielt auswählen und einsetzen<br />
• Anfor<strong>der</strong>ungsbereich 3:<br />
• Durchführen komplexer Prozeduren; Bewerten von Lösungs- und<br />
Kontrollverfahren; Reflektieren <strong>der</strong> Möglichkeiten und Grenzen <strong>der</strong><br />
Nutzung mathematischer Werkzeuge<br />
Der Kompetenzbereich „Kommunizieren“ (K6)<br />
• Lesen und Verstehen mathematischer Texte und das Darstellen und<br />
Präsentieren von Überlegungen, Lösungswegen und Ergebnissen.<br />
• Anfor<strong>der</strong>ungsbereich 1:<br />
• Darlegung einfacher mathematischer Sachverhalte; Identifikation<br />
und Auswahl relevanter Informationen aus kurzen<br />
mathematikhaltigen Texten (die Ordnung <strong>der</strong> Informationen im Text<br />
entspricht dabei weitgehend den Schritten <strong>der</strong> mathematischen<br />
Bearbeitung).<br />
• Anfor<strong>der</strong>ungsbereich 2:<br />
• Verständliche, i.d.R. mehrschrittige, Darlegung von Lösungswegen,<br />
Überlegungen und Ergebnissen; Äußerungen (richtige, aber auch<br />
fehlerhafte) von an<strong>der</strong>en Personen zu mathematischen Texten<br />
interpretieren; Identifikation und Auswahl von Informationen aus<br />
mathematikhaltigen Texten (die Ordnung <strong>der</strong> Informationen<br />
entspricht dabei nicht unmittelbar den Schritten <strong>der</strong> mathematischen<br />
Bearbeitung).<br />
• Anfor<strong>der</strong>ungsbereich 3:<br />
• Entwickeln einer kohärenten und vollständigen Präsentation eines<br />
komplexen Lösungs- o<strong>der</strong> Argumentationsprozesses; komplexe<br />
mathematische Texte sinnentnehmend erfassen; Äußerungen von<br />
an<strong>der</strong>en vergleichen o<strong>der</strong> bewerten.
(L 1) Leitidee Zahl<br />
Die Schülerinnen und Schüler<br />
• nutzen sinntragende Vorstellungen von rationalen Zahlen,<br />
insbeson<strong>der</strong>e von natürlichen, ganzen und gebrochenen Zahlen<br />
entsprechend <strong>der</strong> Verwendungsnotwendigkeit,<br />
• stellen Zahlen <strong>der</strong> Situation angemessen dar, unter an<strong>der</strong>em in<br />
Zehnerpotenzschreibweise,<br />
• begründen die Notwendigkeit von Zahlbereichserweiterungen an<br />
Beispielen,<br />
• nutzen Rechengesetze, auch zum vorteilhaften Rechnen,<br />
• nutzen zur Kontrolle Überschlagsrechnungen und an<strong>der</strong>e Verfahren,<br />
• runden Rechenergebnisse entsprechend dem Sachverhalt sinnvoll,<br />
• verwenden Prozent- und Zinsrechnung sachgerecht,<br />
• erläutern an Beispielen den Zusammenhang zwischen<br />
Rechenoperationen und <strong>der</strong>en Umkehrungen und nutzen diese<br />
Zusammenhänge,<br />
• wählen, beschreiben und bewerten Vorgehensweisen und Verfahren,<br />
denen Algorithmen bzw. Kalküle zu Grunde liegen,<br />
• führen in konkreten Situationen kombinatorische Überlegungen<br />
durch, um die Anzahl <strong>der</strong> jeweiligen Möglichkeiten zu bestimmen,<br />
• prüfen und interpretieren Ergebnisse in Sachsituationen unter<br />
Einbeziehung einer kritischen Einschätzung des gewählten Modells<br />
und seiner Bearbeitung.<br />
(L 2) Leitidee Messen<br />
Die Schülerinnen und Schüler<br />
• nutzen das Grundprinzip des Messens, insbeson<strong>der</strong>e bei <strong>der</strong> Längen-<br />
, Flächen- und Volumenmessung, auch in Naturwissenschaften und<br />
in an<strong>der</strong>en Bereichen,<br />
• wählen Einheiten von Größen situationsgerecht aus (insbeson<strong>der</strong>e<br />
für Zeit, Masse, Geld, Länge, Fläche, Volumen und Winkel),<br />
• schätzen Größen mit Hilfe von Vorstellungen über geeignete<br />
Repräsentanten<br />
• berechnen Flächeninhalt und Umfang von Rechteck, Dreieck und<br />
Kreis sowie daraus zusammengesetzten Figuren,<br />
• berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von Prisma, Pyramide,<br />
Zylin<strong>der</strong>, Kegel und Kugel sowie daraus zusammengesetzten<br />
Körpern,<br />
• berechnen Streckenlängen und Winkelgrößen, auch unter Nutzung<br />
von trigonometrischen Beziehungen und Ähnlichkeitsbeziehungen,<br />
• nehmen in ihrer Umwelt gezielt Messungen vor, entnehmen<br />
Maßangaben aus Quellenmaterial, führen damit Berechnungen<br />
durch und bewerten die Ergebnisse sowie den gewählten Weg in<br />
Bezug auf die Sachsituation.
(L 3) Leitidee Raum und Form<br />
Die Schülerinnen und Schüler<br />
• erkennen und beschreiben geometrische Strukturen in <strong>der</strong> Umwelt,<br />
• operieren gedanklich mit Strecken, Flächen und Körpern,<br />
• stellen geometrische Figuren im kartesischen Koordinatensystem<br />
dar,<br />
• stellen Körper (z. B. als Netz, Schrägbild o<strong>der</strong> Modell) dar und<br />
erkennen Körper aus ihren entsprechenden Darstellungen,<br />
• analysieren und klassifizieren geometrische Objekte <strong>der</strong> Ebene und<br />
des Raumes,<br />
• beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen<br />
geometrischer Objekte (wie Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit,<br />
Lagebeziehungen) und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens<br />
zur Analyse von Sachzusammenhängen,<br />
• wenden Sätze <strong>der</strong> ebenen Geometrie bei Konstruktionen,<br />
Berechnungen und Beweisen an, insbeson<strong>der</strong>e den Satz des<br />
Pythagoras und den Satz des Thales,<br />
• zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung<br />
angemessener Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Geodreieck o<strong>der</strong><br />
dynamische Geometriesoftware,<br />
• untersuchen Fragen <strong>der</strong> Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von<br />
Konstruktionsaufgaben und formulieren diesbezüglich Aussagen,<br />
• setzen geeignete Hilfsmittel beim explorativen Arbeiten und<br />
Problemlösen ein.<br />
(L 4) Leitidee Funktionaler Zusammenhang<br />
Die Schülerinnen und Schüler<br />
• nutzen Funktionen als Mittel zur Beschreibung quantitativer<br />
Zusammenhänge,<br />
• erkennen und beschreiben funktionale Zusammenhänge und stellen<br />
diese in sprachlicher, tabellarischer o<strong>der</strong> graphischer Form sowie<br />
gegebenenfalls als Term dar,<br />
• analysieren, interpretieren und vergleichen unterschiedliche<br />
Darstellungen funktionaler Zusammenhänge (wie lineare,<br />
proportionale und antiproportionale),<br />
• lösen realitätsnahe Probleme im Zusammenhang mit linearen,<br />
proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen,<br />
• interpretieren lineare Gleichungssysteme graphisch,<br />
• lösen Gleichungen, und lineare Gleichungssysteme kalkülmäßig<br />
bzw. algorithmisch, auch unter Einsatz geeigneter Software, und<br />
vergleichen ggf. die Effektivität ihres Vorgehens mit an<strong>der</strong>en<br />
Lösungsverfahren (wie mit inhaltlichem Lösen o<strong>der</strong> Lösen durch<br />
systematisches Probieren),<br />
• untersuchen Fragen <strong>der</strong> Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von linearen<br />
und quadratischen Gleichungen sowie linearen Gleichungssystemen<br />
und formulieren diesbezüglich Aussagen,
• bestimmen kennzeichnende Merkmale von Funktionen und stellen<br />
Beziehungen zwischen Funktionsterm und Graph her,<br />
• wenden insbeson<strong>der</strong>e lineare und quadratische Funktionen sowie<br />
Exponentialfunktionen bei <strong>der</strong> Beschreibung und Bearbeitung von<br />
Problemen an,<br />
• verwenden die Sinusfunktion zur Beschreibung von periodischen<br />
Vorgängen,<br />
• beschreiben Verän<strong>der</strong>ungen von Größen mittels Funktionen, auch<br />
unter Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms,<br />
• geben zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen an, die mit<br />
Hilfe dieser Funktion beschrieben werden können.<br />
• bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten.<br />
Aus: Fortbildungsmaterialien zu Bildungsstandards/SINUS-Transfer<br />
zusammengestellt von<br />
Christina Drüke-Noe, Alexan<strong>der</strong> Jordan, Katrin Keller, Dominik Leiß<br />
verän<strong>der</strong>t Georg Lilitakis<br />
(L 5) Leitidee Daten und Zufall<br />
Die Schülerinnen und Schüler<br />
• werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen<br />
Erhebungen aus,<br />
• planen statistische Erhebungen,<br />
• sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie<br />
graphisch dar, auch unter Verwendung geeigneter Hilfsmittel (wie<br />
Software),<br />
• interpretieren Daten unter Verwendung von Kenngrößen,<br />
• reflektieren und bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse<br />
basieren,<br />
• beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen,