Vorbemerkung Ergänzende Herleitungen zum Barro-Gordon-Modell

Vorbemerkung
Um die Passagen bei Bofinger et al. (1996) mit der Darstellung im Handout kompatibel zu
machen setzen Sie a = 1, b = λ, (1 − k)U n = A n sowie 1/(1 + r) t = δ t (links Bofinger et al.,
rechts Freytag/Pasche).
Für die Klausur sind Herleitungen nicht in dieser Ausführlichkeit erforderlich.
Bei dringendem Bedarf an weiteren Herleitungen oder bei Entdeckung von Fehlern schicken Sie
bitte eine email.
Ergänzende Herleitungen zum Barro-Gordon-Modell
Wohlfahrtsfunktion:
W = −π 2 − λ(A n − π + π e ) 2
Maximierung ergibt
∂W
∂π
= −2π − (−1) · 2λ(A
}{{} n − π + π e )
} {{ }
(a)
(b)
(a) = innere Ableitung, (b) = äußere Ableitung
−2π + 2λA n − 2λπ + 2λπ e = 0
⇒
(BEO)
π + λπ = (1 + λ)π = λA n + λπ e
⇒ π = λ(A n + π e )
(1 + λ)
Bei rationalen Erwartungen π e = π ergibt sich somit
(1 + λ)
π =
(1 + λ) π = λ(A n + π)
(1 + λ)
(1 + λ)
(1 + λ) π − λ
(1 + λ) π = λ
(1 + λ) A n
π
(1 + λ) = λA n
(1 + λ)
⇒ π rat = λA n
Bei naiven Erwartungen π e = 0 hingegen erhält man
π ueb = λ(A n + 0)
(1 + λ)
= λA n
(1 + λ)
1

Einsetzen von π = π e = π rat in die Wohlfahrtsfunktion ergibt
W rat = −λ 2 A 2 n − λ(A n −λA n + λA } {{ n}
0
= −λ 2 A 2 n − λA 2 n = −(1 + λ)A 2 n
Einsetzen von π = π ueb , π e = 0 in die Wohlfahrtsfunktion ergibt
( ) 2 (
λAn
W ueb = −
− λ A n −
λA ) 2
n
(1 + λ)
(1 + λ) + 0
Den rechten quadratischen Term kann man zunächst vereinfachen, indem man die Terme innerhalb
der Klammer auf denselben Nenner bringt:
Zusammenfassen beider Terme ergibt
( ) 2 ( λAn (1 + λ)An − λA n
= −
− λ
(1 + λ)
(1 + λ)
= − λ2 A 2 n
(1 + λ) 2 − λ (
An
(1 + λ)
= − λ2 A 2 n
(1 + λ) 2 − λ A 2 n
(1 + λ) 2
) 2
) 2
) 2
und schließlich Kürzen:
= − (1 + λ)λA2 n
(1 + λ) 2
W ueb = − λA2 n
(1 + λ)
Das entsprechende Ergebnis W rule bei Regelbindung π = π e = 0 ist sehr einfach zu bestimmen.
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Einige Erläuterungen zum Barro-Gordon-Modell
mit stochastischen Schocks
Die Wohlfahrtsfuktion ist nun
W = −π 2 − λ(A n − π + π e + ɛ) 2
Unabhängig davon, welche Werte man für π und π e einsetzt, ergibt sich durch Ausmultiplizieren
der quadrierten Klammer ein Ausdruck mit sehr vielen (!) Termen. Wenn man den
Erwartungswert E[W ] bildet, dann fallen jedoch alle Terme, in denen ɛ vorkommt, wegen
E[ɛ] = 0 heraus. Jedoch ergibt sich auch ein Term, der von ɛ 2 abhängt, nämlich λɛ 2 . Hier gilt
nun E[ɛ 2 ] = σ 2 ɛ (Varianz 1 ). Folglich ist auf der rechten Seite der Gleichung λσ 2 ɛ der einzige
Unterschied zum deterministischen Barro-Gordon-Modell:
E[W ] = −π 2 − λ(A n − π + π e ) 2 − λσ 2 ɛ
Nun können für π und π e wiederum verschiedene Werte eingesetzt werden. Bei rationaler zeitkonsistenter
Politik und bei starrer Regelbindung ergeben sich Ausdrücke, die in der Struktur
denen des deterministischen Barro-Gordon-Modells entsprechen, mit Ausnahme eines von σ 2 ɛ
abhängigen Terms.
Beispiel: Erwartete Wohlfahrt bei rationalen Erwartungen und diskretionärer Politik. Einsetzen
der diskretionären Politik π = (A n + π e + ɛ)/(1 + λ) sowie der rationalen Inflationserwartung
π e = λA n in die Wohlfahrtsfunktion W ergibt
W rat = − λ2 (A n + λA n + ɛ) 2
(1 + λ) 2 − λ
= − λ2 (A n + λA n + ɛ) 2
(1 + λ) 2 − λ
(
A n − λ(A n + λA n + ɛ)
(1 + λ)
(
A n − λ(A n + λA n )
+ λA n +
(1 + λ)
) 2
+ λA n + ɛ
) 2
1
(1 + λ) ɛ
Bei der Erwartungsbildung fallen auf der rechten Seite alle Terme heraus, in denen ein einfaches
ɛ vorkommt, während E[ɛ 2 ] = σɛ 2 ist:
(
E[W rat ] = − λ2 (A n + λA n ) 2
− λ2
(1 + λ) 2 (1 + λ) 2 σ2 ɛ − λ A n − λ(A ) 2
n + λA n )
λ
+ λA n −
(1 + λ)
(1 + λ) 2 σ2 ɛ
= − λ2 (A n + λA n ) 2
(1 + λ) 2 − −λ
(
A n − λ(A n + λA n )
(1 + λ)
= − λ(A2 n + 2λA 2 n + λ 2 A 2 n)
−
λ
(1 + λ) (1 + λ) σ2 ɛ
= −(1 + λ)λA 2 n − λ
(1 + λ) σ2 ɛ
+ λA n
) 2
− λ
(1 + λ) σ2 ɛ
1 Im Handout stand dort zunächst σ ɛ , was üblicherweise aber für die Standardabweichung verwendet wird –
dies wurde in σ 2 ɛ (für die Varianz) korrigiert, was an den Rechnungen aber nichts ändert.
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Herleitung für den Fall der flexiblen Regelbindung mit π e = E[π] = 0 und π = kɛ:
E[W flex ] = E[−(kɛ) 2 − λ(A n − kɛ + 0 + ɛ) 2 ]
Ausmultiplizieren ergibt
= E[−k 2 ɛ 2 − λA 2 n + 2λA n kɛ − 2λA n ɛ − λk 2 ɛ 2 + 2λkɛ 2 − λɛ 2 ]
und wegen E[ɛ] = 0 und E[ɛ 2 ] = σɛ 2 :
= −k 2 σ 2 ɛ − λA 2 n − λk 2 σ 2 ɛ + 2λkσ 2 ɛ − λσ 2 ɛ
Die Bestimmung des optimalen Strategieparameters k ist im Handout hinreichend deutlich
beschrieben.
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