05Terme und Variablen
05Terme und Variablen
05Terme und Variablen
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Materialien zum Modellversuch:<br />
Vorschläge <strong>und</strong> Anregungen zu einer<br />
veränderten Aufgabenkultur<br />
(5) Zum Themengebiet<br />
Terme <strong>und</strong> <strong>Variablen</strong><br />
Vorschlag 5.1: Immer wieder gleiche Seiten <strong>und</strong> Flächen............................3<br />
Handlungsorientiertes Aufstellen eines Terms. Zusammenfassen <strong>und</strong> Umformen des Terms<br />
Vorschlag 5.2: Das geheimnisvolle Paket......................................................5<br />
Die Äquivalenzumformungen werden handlungsorientiert durch Ein- <strong>und</strong> Auspacken eines Pakets<br />
dargestellt<br />
Vorschlag 5.3: Der Computer FeliX .............................................................6<br />
Die Äquivalenzumformung wird als Black Box FeliX dargestellt.<br />
Vorschlag 5.4: Streichholzquadrate..............................................................7<br />
Eine handlungsorientierte Knobelaufgabe, bei der die Anzahl der Streichhölzern in geometrischen<br />
Figuren gesucht wird<br />
Vorschlag 5.5: Plättchenmuster....................................................................9<br />
Hier werden geometrische Muster gelegt, die dann durch einen Term beschrieben werden sollen.<br />
Vorschlag 5.6: Das Tischtennisturnier........................................................10<br />
Eine realitätsnahe Aufgabe, die sich gut zum Aufstellen von Termen <strong>und</strong> zum Lösen von Gleichungen<br />
durch Probieren eignet<br />
Vorschlag 5.7: Mathegeschichten................................................................11<br />
Aufgaben von Schülern, die als zusätzliches Übungsmaterial <strong>und</strong> als Anreiz dienen, selbst originelle<br />
Mathegeschichten zu schreiben.<br />
Vorschlag 5.8: Zur Berechnung der Blutalkoholkonzentration..................13<br />
Aus allgemeinen Formeln zur BAK soll ein Term zur Berechnung gef<strong>und</strong>en werden<br />
Vorschlag 5.9: Termdomino .......................................................................15<br />
Übungen zu Äquivalenzumformungen, die in diesem Fall im Kopf durchgeführt werden sollen<br />
Vorschlag 5.10: Binomische Formeln .........................................................17<br />
Die binomische Formel wird als ein Paar wertgleicher Terme entdeckt <strong>und</strong> direkt geometrisch<br />
gedeutet
Vorschlag 5.11: Babylonische Multiplikation.............................................19<br />
Aufstellung eines Term zur Übung <strong>und</strong> Wiederholung der Binomischen Formeln<br />
Vorschlag 5.12: Umzug mit dem Mietwagen ..............................................20<br />
Die Schüler sollen das günstigste Angebot für einen Umzug auswählen.<br />
Vorschlag 5.13: Term-Mobile .....................................................................22<br />
Das Term-Mobile ist im Gleichgewicht, wenn an beiden Enden insgesamt wertgleiche Terme<br />
vorhanden sind. So wird Gleichheit visuell betont <strong>und</strong> in einer interessanteren Übungsform aufgegriffen<br />
Vorschlag 5.14: Aquamaxx .........................................................................23<br />
Ist es wirklich billiger, Mineralwasser selbst herzustellen als Kisten zu kaufen? Die Schüler sollen<br />
dazu Gleichungen aufstellen <strong>und</strong> diese später gleichsetzen.<br />
Vorschlag 5.15: Aufstellen von Formeln für Umfang <strong>und</strong> Flächeninhalt ...24<br />
An einer einfachen Figur sollen verschiedene Terme aufgestellt werden. So kann gut die Wertgleichheit<br />
der Terme eingesehen <strong>und</strong> begründet werden.<br />
Vorschlag 5.16: Wortform von Termen......................................................25<br />
Übungen zur Übersetzung von Sachsituationen in Terme <strong>und</strong> umgekehrt<br />
Vorschlag 5.17: Das Brot duckt sich! - Spiel...............................................26<br />
Spielerische Übung zur Multiplikation von Summen<br />
Vorschlag 5.18: Algebra mit Zahlenmauern...............................................28<br />
Schrittweise Heranführung von Schüler an die algebraische Denkweise, die direkt an der Arithmetik<br />
anknüpft<br />
Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms<br />
"Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen<br />
Unterrichts", das vom B<strong>und</strong> <strong>und</strong> den Ländern gefördert wird.<br />
2
1<br />
Vorschlag 5.1: Immer wieder gleiche Seiten <strong>und</strong> Flächen<br />
Faltet ein DIN A4 großes Blatt Papier 2-mal quer, danach 2-mal längs <strong>und</strong> nach dem<br />
Auffalten 2-mal diagonal von Ecke zu Ecke.<br />
Wie viele Faltlinien mit der Länge l gibt es? Wie viele Faltlinien mit der Breite b gibt es?<br />
Messt aus wie lang sie jeweils sind.<br />
Wie lang sind alle Faltlinien zusammen? Beschreibt euren Rechenweg!<br />
Welche sind die längsten Faltlinien? Wie viele gibt es davon? Gebt ihnen einen Namen.<br />
2<br />
a) Ein Paket hat die Länge l = 35 cm, die Breite b = 25 cm <strong>und</strong> die Höhe h = 12 cm. Je<br />
nach Gewicht des Inhaltes soll es unterschiedlich verschnürt werden.<br />
Schätzt, für welches Paket ihr am meisten Schnur benötigt.<br />
Gebt noch 20 cm (insgesamt) für die Knoten hinzu <strong>und</strong> berechnet die jeweils benötigte<br />
Schnurlänge. Versucht, einen Schuhkarton wie in der Grafik dargestellt zu<br />
schnüren, die Kordel soll nirgends doppelt verlaufen.<br />
b) Gebt die Schnurlängen auch allgemein für solche Pakete mit der Länge l, der Breite<br />
b <strong>und</strong> der Höhe h an.<br />
c) Wie sieht eine Paket-Schnürung aus zu 4 l + 4b<br />
+ 4h<br />
+ 15 bzw. zu 3 l + 2b<br />
+ 4h<br />
+ 10 ?<br />
d) Überlege dir weitere Terme <strong>und</strong> lass deinen Nachbarn die Pakete aufzeichnen.<br />
Quelle: Mathe live 7, S. 140-141.<br />
3
Immer wieder gleiche Seiten <strong>und</strong> Flächen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz<br />
Material:<br />
• DIN A4 Blatt (für 1.)<br />
• Karton (für 2.)<br />
• Kordel (für 2.)<br />
Ziele:<br />
• Aufstellen von Termen als Rechenerleichterung<br />
• Zusammenfassen <strong>und</strong> Umformen von Termen<br />
Lösungen:<br />
• Aufgabe 1<br />
• 3 Faltlinien der Länge l (29,7 cm) <strong>und</strong> 3 Faltlinien der Länge b (21 cm)<br />
• l+l+l+b+b+b+d+d = 3l + 3b + 2d; Gesamtlänge: 224,9 cm.<br />
• 2 Diagonalen d (36,4 cm)<br />
• Aufgabe 2<br />
• zu A) 2l + 4b + 6h + 20 = 2(l + 2b + 3h) + 20 = 262 cm<br />
• zu B) 4l + 2b + 6h + 20 = 2(2l + b + 3h) + 20 = 282 cm<br />
• zu C) 4l + 4b + 8h + 20 = 2(2l + 2b + 4h) + 20 = 356 cm<br />
• zu D) 2l + 2b + 4h + 20 = 2(l + b + 2h) + 20 = 188 cm<br />
• Teil 2 bei b nicht möglich!<br />
Eignung (mögliche) Methode:<br />
• Gruppenarbeit<br />
• auch für leistungsschwächere Gruppen<br />
4
Vorschlag 5.2: Das geheimnisvolle Paket<br />
Material:<br />
• Paket<br />
• Papier<br />
• Kordel<br />
Ziele:<br />
• Aufbau der Gr<strong>und</strong>vorstellung:<br />
Variable als unbekannte Zahl (Gegenstandsvorstellung)<br />
Vorgehensweise:<br />
das geheimnisvolle Paket wird im<br />
Plenum vorgestellt. Die Idee besteht<br />
darin, eine Gleichung in ein richtiges<br />
Paket zu packen <strong>und</strong> dann auszupacken.<br />
Zum Beispiel wurde eine unbekannte<br />
Zahl x in der Gleichung<br />
3 x + 5=17 folgendermaßen verpackt:<br />
x<br />
3 x<br />
3 x + 5<br />
Nach dem letzten Verpackungsvorgang hat man die Zahl 17 erhalten.<br />
Die Überlegungen gehen nun dahin, herauszufinden, welche Zahl denn da eigentlich verpackt<br />
wurde; d.h. nichts anderes als: Was für eine Zahl kommt zum Vorschein, wenn man auspackt?<br />
Dazu muss man zwei Verpackungsvorgänge unterscheiden: das Addieren <strong>und</strong> das Multiplizieren.<br />
Zum Auspacken müssen die Vorgänge Subtrahieren <strong>und</strong> Dividieren verwendet werden. In<br />
schriftlicher Form sieht das so aus:<br />
x = 4<br />
3x = 12<br />
3x + 5 = 17<br />
Eignung, (mögliche) Methoden:<br />
• besonders für leistungsschwächere Schüler geeignet<br />
Das gleiche Prinzip kann man auch bei den<br />
zusammengesetzten Puppen anwenden:<br />
Quelle: MUED<br />
5
Vorschlag 5.3: Der Computer FeliX<br />
Material<br />
große Kiste<br />
Ziele<br />
• Aufbau einer Gr<strong>und</strong>vorstellung vom<br />
<strong>Variablen</strong>begriff (Einsetzungsaspekt)<br />
Vorgehensweise:<br />
Der Computer FeliX wird sozusagen als Black<br />
Box eingesetzt <strong>und</strong> die Schüler sollen erkennen,<br />
welche Operation in der Black Box durchgeführt wird.<br />
Der Lehrer bereitet die Zahleneingabe <strong>und</strong> Zahlenausgabe auf zwei getrennten Zetteln vor. Ein<br />
Schüler schiebt nun den Eingabenzettel als Input in den Computer. Auf der anderen Seite zieht<br />
ein anderer Schüler den entsprechenden Ausgabenzettel als Output aus dem Computer heraus.<br />
Beides wird an der Tafel ”ausgedruckt”<br />
Was macht Felix mit den Zahlen?<br />
(Mögliche) Variationen:<br />
• Bei bekannter Operation den Computer kontrollieren<br />
• Bei bekannter Operation <strong>und</strong> Ausgabe die Eingabe bestimmen.<br />
Mögliche Ausdrucke an der Tafel:<br />
INPUT OPERATION OUTPUT<br />
1 ? 5<br />
-2 ? 2<br />
2/3 ? 14/3<br />
0 0 + 4 4<br />
½ ½ + 4 3,5<br />
x x + 4<br />
INPUT OPERATION OUTPUT<br />
x x · 3 + 4<br />
1 1 · 3 + 4 ?<br />
7 7 · 3 + 4 ?<br />
-3 -3· 3 + 4 -5<br />
2/3 2/3 · 3 + 4 6<br />
INPUT OPERATION OUTPUT<br />
x x - 7<br />
? 11<br />
? -1/3<br />
0<br />
6
Vorschlag 5.4: Streichholzquadrate<br />
1. Für diese Aufgabe benötigt ihr eine Schachtel<br />
Streichhölzer. Legt vier Quadrate wie in a).<br />
Wie viele Streichhölzer benötigt ihr dafür?<br />
2. Legt nun vier Quadrate wie in b). Wieso<br />
benötigt ihr jetzt ein Streichholz mehr?<br />
Wie viele Streichhölzer benötigt ihr für die<br />
Lösung in c) mehr?<br />
3. Könnt ihr eine Regel bilden, mit der man die benötigte Anzahl der Streichhölzer für<br />
die Legebeispiele in a), b), c) berechnen kann?<br />
4. Findet heraus, wie man fünf, sechs, sieben, acht,... Quadrate mit möglichst wenig<br />
Streichhölzern legen kann. Zeichnet euch auch eine Skizze in eure Hefte .<br />
5. Wie viele Streichhölzer benötigt ihr mindestens um 100, 1000, ... Quadrate zu legen?<br />
Wie viele höchstens?<br />
6. Wie viele Quadrate könnt ihr mit 100, 1000, ... Streichhölzern legen?<br />
7. Zu guter Letzt: Legt drei gleichseitige Dreiecke mit möglichst wenigen Streichhölzern.<br />
c)<br />
Quelle: Mathe live. Klasse 7 Seite141 (leicht verändert)<br />
7
Streichholzquadrate: Anregungen für den Unterrichtseinsatz<br />
Ziel:<br />
• Aufstellen von Termen<br />
Mögliche Lösungen:<br />
• (1) 12 Streichhölzer<br />
• (2) b): 13, da die Möglichkeit zum „Zweierquadrat“ nicht genutzt wird<br />
c): 16 Streichhölzer: 4 mehr als in a)<br />
• (3) Q: Anzahl der Quadrate, V: Anzahl der Viererquadrate, D: Anzahl der Dreierquadrate,<br />
Z: Anzahl der Zweierquadrate, S: Anzahl der Streichhölzer.<br />
a) 4 ⋅ D = S | 2 ⋅ V + 2 ⋅ Z = S<br />
b) 2 ⋅ V + 1 ⋅ D + 1 ⋅ Z = S | 1 ⋅ V + 3 ⋅ D = S<br />
c) 4 ⋅ V = S<br />
• (4)<br />
Q=5 Q=6 Q=7 Q=8 Q=9<br />
S=15 S=17 S=20 S=22 S=24<br />
3 ⋅ 5 = 15 5 ⋅ 3+<br />
2 = 17 6 ⋅ 3+<br />
2 = 20 6 ⋅ 3 + 2⋅2<br />
= 22 6 ⋅ 3 + 3⋅<br />
2 = 24<br />
• (5) 100 Quadrate: mindestens 220 Streichhölzer (z.B. 20 ⋅ D + 80 ⋅ Z)<br />
höchstens 400 (100 ⋅ V)<br />
1000 Quadrate: mindestens 2064 Streichhölzer (z.B. 64 ⋅ D + 936 ⋅ Z)<br />
höchstens 4000 (1000 ⋅ V)<br />
• (6) 100 Streichhölzer: 43 Quadrate (14 ⋅ D + 29 ⋅ Z)<br />
1000 Streichhölzer: 478 Quadrate (44 ⋅ D + 434 ⋅ Z)<br />
• (7) mit 7 Streichhölzern<br />
Bemerkung:<br />
• Für weitere Anregungen zur Arbeit mit Streichhölzern vgl. Mathe-Welt: Streichholzmathematik.<br />
In: mathematik lehren (2001) H. 105.<br />
8
1<br />
2<br />
3<br />
Vorschlag 5.5: Plättchenmuster<br />
Schau dir die folgende Reihe aus<br />
regelmäßig wachsenden Plättchenmustern<br />
genau an <strong>und</strong> versuche, • • • • • • •<br />
• • • • •<br />
• • • • • •<br />
sie fortzusetzen.<br />
• • • • • •<br />
Wie viele Plättchen sind in einer • • • • • • • • • • • •<br />
Gr<strong>und</strong>seite, wenn die gesamte Figur aus 28 (68) Plättchen besteht?<br />
Gegeben sind die Terme 2· n; 3·n-3; n·n , wobei n für irgendeine natürliche<br />
Zahl steht. Lege Figuren, bei denen sich die Gesamtzahl der Plättchen<br />
durch den vorgegebenen Term bestimmen lässt.<br />
Denkt euch andere Muster aus, bei denen ihr die Gesamtzahl der<br />
Plättchen gut mit einem Rechenausdruck bestimmen könnt. Notiert den<br />
Rechenausdruck <strong>und</strong> lasst die Nachbargruppe das Muster dazu raten.<br />
Quelle: MatheNetz7, S. 217 (leicht verändert)<br />
Plättchenmuster Anregungen zum Unterrichtseinsatz<br />
Ziele<br />
• Aufstellen <strong>und</strong> Zusammenfassen eines Terms<br />
• Einführung von Termen<br />
• Anwendung des Distributivgesetzes<br />
Variationen der Aufgabe:<br />
• Stärkere Stufung: Zunächst Aufstellen einer Tabelle. 3,4,5,6,10,11 Plättchen in der Gr<strong>und</strong>seite;<br />
Frage nach Gesamtplättchenanzahl. Erst dann Übergang zur Umkehrfrage.<br />
• Vorgabe eines Plättchenmusters (z.B. Quadrat oben). „Bestimme möglichst viele unterschiedliche<br />
Terme zur Plättchenanzahl in diesem Muster. Erkläre jeweils, wie du gezählt hast.<br />
Erfahrungen:<br />
• Lehrer (Gymnasium, 8. Klasse): „Die Plättchenmuster bieten erstaunliche Möglichkeiten <strong>und</strong><br />
sind hervorragend für einen Einstieg in das Thema Termumformungen geeignet.“<br />
Mögliche Lösungen:<br />
• (1) n: Anzahl der Plättchen auf der Gr<strong>und</strong>seite. N: Anzahl der Gesamtplättchen. Dann gilt:<br />
N = 4n-4 = 4(n-1). Für N = 28 gilt: n = 8. Für N = 68 gilt: n = 18.<br />
• (2) jeweils fortgesetzt...(Dreieck innen leer)<br />
• • • •<br />
• • • • • • • • • •<br />
• • • • • • • • • • •<br />
• • • • •<br />
• • •<br />
• • •<br />
• • •<br />
• • • • •<br />
• • • • •<br />
• • • •<br />
• • •<br />
• • • •<br />
• • • • •<br />
• (3) z.B. siehe rechts oben 2n+3(n-2)=5n-6 2n+3(n-2)+n-3=6n-9<br />
9
Vorschlag 5.6: Das Tischtennisturnier<br />
Bei einem Tischtennisturnier soll jeder Teilnehmer<br />
gegen jeden anderen ein Hin- <strong>und</strong> ein<br />
Rückspiel austragen.<br />
a) Lege eine Tabelle an, in der die Spielergebnisse<br />
eingetragen werden können, falls<br />
sich 4 Spieler beteiligen!<br />
b) Wie viele Spiele sind insgesamt bei 4 [5;10]<br />
Teilnehmern auszutragen? Begründe deine<br />
Antwort!<br />
c) Bestimme einen Term, mit dem man die<br />
Zahl der Spiele bei n Teilnehmern berechnen kann.<br />
d) Bei einem solchen Turnier gab es 72 [110] Spiele. Wie viele Spieler haben<br />
teilgenommen?<br />
Das Tischtennisturnier: Anregungen zum Unterrichtseinsatz<br />
Ziele:<br />
• Aufstellen von Termen<br />
• Lösen von Gleichungen durch Probieren<br />
Variationen der Aufgabe:<br />
• Analoge Aufgabenstellung: Spiele in der (Fußball-) B<strong>und</strong>esliga.<br />
• Möglicher Transfer durch Anzahl des Händeschüttelns bei n Personen.<br />
Erfahrungen:<br />
• Lehrer (Gymnasium, 8. Klasse): „Die Aufgabe eignet sich sehr gut zum Aufstellen von Termen<br />
<strong>und</strong> hat eine erstaunliche Variationsbreite. Obwohl sie auf einen quadratischen Term<br />
führt, ist sie von den Schülern gut zu lösen. Interessant war, dass nur wenige Schüler die Tabelle<br />
als Hilfe für die folgenden Aufgabenteile nutzen.“<br />
Mögliche Lösungen:<br />
• (b) 12 [20; 90]<br />
2<br />
n n −1<br />
= n −<br />
• (d) 9 [11]<br />
• (c) ( ) n<br />
10
Vorschlag 5.7: Mathegeschichten<br />
Das Verständnis für die Struktur von Textaufgaben erhöht sich deutlich, wenn man<br />
selbst solche Aufgaben erfindet <strong>und</strong> löst. Die folgenden Mathegeschichten sind von<br />
Schülerinnen <strong>und</strong> Schülern einer 8. Klasse formuliert worden. Die Aufgaben sollen<br />
als zusätzliches Übungsmaterial <strong>und</strong> als Anreiz dienen, selbst originelle Mathegeschichten<br />
zu schreiben.<br />
1<br />
2<br />
3<br />
Die Backstreet Boys<br />
Die Backstreet Boys waren 1998 zusammen 107 Jahre alt. Kevin war ein Jahr älter als<br />
Brian <strong>und</strong> Howie. Nick war sechs Jahre jünger <strong>und</strong> A.J. fünf Jahre jünger als Kevin.<br />
Wie alt war jeder?<br />
Max der Vergessliche<br />
Max will wissen, wie viel sein Kuli gekostet hat, den er zusammen mit einigen anderen<br />
Sachen gekauft hat. Doch er weiß nur noch, dass dieser halb so teuer war wie der Füller.<br />
Und der Füller, erinnert er sich, hat 2 DM mehr gekostet als der Stift. Der Stift, das<br />
weiß er noch, war so teuer wie das Heft. Das Heft, das Buch <strong>und</strong> die Mappe haben zusammen<br />
20 DM gekostet. Das Buch war um 4 DM teurer als das Heft. Die Mappe hat<br />
4 DM gekostet.<br />
Gut wer einen Opa hat<br />
Detlef hat Geburtstag. Sein Opa Dieter kauft ihm eine Mütze, eine Hose, die<br />
drei mal so viel kostet wie die Mütze <strong>und</strong> ein T-Shirt, das halb so viel wie die<br />
Hose kostet. Auf Wunsch seines Enkels kauft er ihm noch ein Kickboard,<br />
das so viel kostet wie die Hose, die Mütze <strong>und</strong> das T-Shirt zusammen. Für<br />
alles zusammen zahlt er das 9 ½-fache der Mütze <strong>und</strong> 30 DM.<br />
a) Wie viel haben die Sachen zusammen gekostet?<br />
b) Wie viel haben die einzelnen Sachen gekostet?<br />
4<br />
Der Weihnachtsmann<br />
Der Weihnachtsmann hat an Weihnachten viel zu tun, also hat er einen<br />
Helfer. Weihnachtsmann A ist grad in Finnland <strong>und</strong> will zurück zum<br />
Nordpol. Um 19 Uhr startet er seine 1120 km lange Reise mit 25 km/h<br />
zum Nordpol. Weihnachtsmann B ist am Nordpol <strong>und</strong> will in Finnland<br />
weiter machen. Er startet auch um 19 Uhr <strong>und</strong> fährt mit 35 km/h. Wann<br />
treffen sie sich?<br />
5<br />
Der Marathon-Lauf<br />
Vor einer Woche hat in Berlin ein großer Marathon-Lauf von 500 Menschen<br />
stattgef<strong>und</strong>en. Der Startschuss fiel um 16.00 Uhr. Um diese Uhrzeit mussten<br />
alle Läufer an der Startfläche stehen. Obwohl ein Läufer noch nicht da war,<br />
hat der Lauf ohne ihn begonnen. Alle Läufer liefen 5 km/h. Am Ziel erwartete<br />
den Gewinner eine Summe von 5000 DM. Doch plötzlich, nach einer viertel<br />
St<strong>und</strong>e, kam der fehlende Läufer. Ihm wurde in letzter Sek<strong>und</strong>e noch erlaubt<br />
mit zu laufen, nämlich 7 km/h. Wie lange dauerte es, bis er die anderen 499<br />
eingeholt hatte ?<br />
Schreibe nun selbst eine Mathegeschichte!<br />
11
Mathegeschichten: Anregungen für den Unterrichtseinsatz<br />
Ziele:<br />
• Verständnis von Textaufgaben<br />
• Übung<br />
Variationen der Aufgabe:<br />
• Schüler Geschichten zu vorgegebenen Termen schreiben lassen. Vgl. auch Vorschlag 5.16:<br />
Wortform von Termen.<br />
Lösungen:<br />
• Backstreet Boys: Kevin war 24.<br />
• Max der Vergessliche: Heft: 6 DM; Stift: 6 DM; Buch: 10 DM; Füller: 8 DM; Kuli: 4 DM.<br />
• Gut wer einen Opa hat: Mütze: 20 DM; Hose: 60 DM; T-Shirt: 30 DM; Kickboard: 110 DM.<br />
• Der Weihnachtsmann: 18 h 40 min bis Treff. Also um 13.40 Uhr.<br />
• Marathon: Einholen nach 0,875 h = 52,5 min.<br />
Bemerkung:<br />
Wenn man Schüler selbst Aufgaben erfinden lässt, stellt sich natürlich das Problem der Ergebnissicherung.<br />
Bewährt hat sich u.a. folgende Methode: Die Schüler sollen ihre Aufgabe (mit<br />
Namen) auf eine Postkarte <strong>und</strong> die Lösung auf eine zweite Karte schreiben (verschiedene Farben<br />
verwenden <strong>und</strong> die Karten nummerieren). Der Lehrer kopiert diese Karten (jeweils 4 auf ein<br />
Din-A 4 Blatt; Rand vorgeben) <strong>und</strong> erstellt so ein kleines Mathebuch. Die Schüler bearbeiten<br />
Aufgaben ihrer Interessen <strong>und</strong> können die Lösungen beim Autor einfordern oder in einer Kartei<br />
nachschlagen oder<br />
man macht aus den Postkarten eine Kartei (sowie eine Kartei mit Lösungen), die in der freien<br />
Arbeit durchgearbeitet werden.<br />
12
Vorschlag 5.8: Zur Berechnung der Blutalkoholkonzentration (BAK)<br />
Verkehrsrichter mit 2,7 Promille erwischt<br />
Jochen K. (63), Vorsitzender<br />
Richter am Langgericht Deggendorf,<br />
zehn Jahre war er Verkehrsrichter,<br />
verurteilte viele<br />
betrunkene Fahrer. Jetzt<br />
hat es ihn selbst erwischt.<br />
Auf der Landstraße fuhr er<br />
Schlangenlinien - eine Streife<br />
folgte ihm bis zu seinem Haus.<br />
Zunächst wollte er die Haustür<br />
nicht öffnen. Bis die Polizisten<br />
drohten: “Wir brechen die<br />
Tür auf.“ Der Richter lallend:<br />
“Ich habe gerade eine Flasche<br />
Wein getrunken.“ Alkoholtest:<br />
2,7 Promille, Führerschein weg.<br />
Stellt euch vor, ihr seid bei der Verhandlung gegen Jochen K. als (mathematische)<br />
Gutachter vor Gericht geladen um eine begründete Stellungnahme<br />
abzugeben. Vielleicht können euch die folgenden Informationen ein<br />
wenig helfen.<br />
Allgemeine Informationen<br />
Die Höhe der Blutalkoholkonzentration (BAK) zu einem bestimmten Zeitpunkt ist von<br />
mehreren Faktoren abhängig: etwa von der aufgenommenen Alkoholmenge, der Geschwindigkeit<br />
der Aufnahme, dem Körpergewicht, der Konstitution <strong>und</strong> der Abbauzeit.<br />
Frauen vertragen weniger Alkohol als Männer. Dies liegt in erster Linie daran, dass der<br />
weibliche Körper mehr Fett- <strong>und</strong> weniger Muskelgewebe als der männliche enthält <strong>und</strong><br />
sich der Alkohol nur in der Körperflüssigkeit verteilt.<br />
Bei vier bis fünf Promille kann eine tödliche Atemlähmung auftreten.<br />
Der Grad der Alkoholisierung wird als Blutalkoholkonzentration in Promille ( o / oo ) angegeben.<br />
Die Blutalkoholkonzentration in g Alkohol / 1000 g Blut ("Promille") berechnet<br />
sich aus dem Quotienten<br />
getrunkener Alkohol in g<br />
Körpergewicht in kg · F<br />
wobei F ein Korrekturfaktor ist, der für Frauen den Wert 0,6 <strong>und</strong> für Männer den Wert<br />
0,7 besitzt.<br />
Die Prozentangaben von alkoholischen Getränken (% vol) beziehen sich stets auf das<br />
Volumen, nicht auf die Masse.<br />
Die Dichte von Trinkalkohol (Ethanol) beträgt 0,8 g/cm 3 . Pro St<strong>und</strong>e baut der Körper<br />
etwa 0,15 Promille ab.<br />
Quelle: Herget / Scholz: Die etwas andere Aufgabe. Kallmeyer, S. 51ff.<br />
13
Zur Berechnung der Blutalkoholkonzentration (BAK): Anregungen zum Unterrichtseinsatz<br />
Ziele:<br />
• Aufstellen eines Terms aus den gegebenen Gleichungen<br />
• Übung<br />
Mögliche Fragestellungen:<br />
• Kann die Aussage des Richters stimmen?<br />
• Wie viel Promille hat der Richter nach einer Flasche Wein?<br />
• Wie viel Wein müsste er mindestens getrunken haben?<br />
Mögliche Lösungen:<br />
• angenommen er wiegt 80 kg, trinkt 0,75 l Wein mit 11,5 % vol.:<br />
• 11,5% von 750 cm 3 . Also: 86,25cm 3<br />
g<br />
cm<br />
x<br />
86,25cm<br />
• 0,8<br />
3<br />
3<br />
• BAK = 1, 23<br />
= ; x = 69 g<br />
69g ‰<br />
80⋅0,7<br />
• 2,7 o x<br />
g 151, 2g<br />
/ oo =<br />
x=151,2g<br />
0 ,8<br />
3<br />
= x=189cm 3 dies entspricht<br />
11,5%. 100%=1643,5 cm 3 also mindestens 1,7 l Wein<br />
80⋅0,7<br />
cm x<br />
• zwei Literflasche in 3h 20min zwei Liter: 3,2P, mit Abbau: 3h 20 min Trinkzeit.<br />
Eignung (mögliche) Methode:<br />
Partner- bzw. Gruppenarbeit<br />
Erfahrungen:<br />
• Lehrer einer siebten Klasse: „Das Schöne an der Aufgabe ist, dass die Schüler eine Reihe<br />
plausibler Annahmen treffen müssen, um überhaupt etwas rechnen zu können. Unter Umständen<br />
müssen sie auch noch Informationen einholen (Welches Volumen hat eine Weinflasche,<br />
wie ist der Alkoholgehalt,..). Ich forderte die Schüler auf, sich vorzustellen, sie seien als (mathematische)<br />
Gutachter vor Gericht geladen um eine begründete Stellungnahme abzugeben.<br />
Die Aufgabe wurde in Gruppenarbeit bearbeitet <strong>und</strong> von einer Gruppe ohne Hilfe innerhalb<br />
einer Schulst<strong>und</strong>e richtig gelöst.“<br />
14
Vorschlag 5.9: Termdomino<br />
5z −1+<br />
14x<br />
− 2 r + s −1 r + 1s<br />
2 2<br />
x − 5 3 xz + 4xz<br />
− xz<br />
9 x<br />
1 2a − 4a<br />
− 2a<br />
2<br />
4x<br />
9<br />
− 3⋅ ( a − 2b)<br />
6 xz 14x<br />
+ 5z<br />
− 3<br />
16<br />
4(<br />
x + y)<br />
2 ⋅ ( a + 2b)<br />
a − b + c 5 y 2<br />
⋅ x<br />
− 6x c − b − 3 a + 4a<br />
a 4b<br />
2 + ( x + y) + y<br />
2<br />
5xy<br />
4 x + 4y<br />
3a − 6b<br />
A Re chteck<br />
1<br />
− 11 − 7⋅<br />
( − ) x + 2y<br />
( r + s)<br />
− ( r + s)<br />
2<br />
a ⋅ b<br />
2<br />
196 :14<br />
3<br />
a<br />
x ⋅ y ⋅<br />
y ⋅ x<br />
2 2<br />
x y<br />
15 −17<br />
+ 21<br />
− 0 a ⋅ a ⋅ a<br />
35<br />
10<br />
⎛ 5 ⎞<br />
2<br />
− ⎜ ⎟ + 1<br />
2 s − 4x + 3y<br />
− 2x<br />
− 3y<br />
⎝ 4 ⎠<br />
Spielanleitung:<br />
Schneidet die Dominosteine entlang der Doppellinien auseinander. Teilt die<br />
Dominosteine in eurer Gruppe auf <strong>und</strong> bestimmt, wer anfängt. Jetzt versucht<br />
jeder Spieler nacheinander, einen seiner Steine anzulegen. Dazu<br />
müssen die Terme allerdings wertgleich sein. Wer nicht anlegen kann,<br />
muss eine R<strong>und</strong>e aussetzen.<br />
15
Termdomino: Anregungen zum Unterrichtseinsatz<br />
Ziele:<br />
• Übung zur Äquivalenzumformung von Termen<br />
Eignung (mögliche) Methode:<br />
• Gruppenarbeit<br />
Spieldauer: ca. 20 Minuten<br />
Spielbeschreibung:<br />
Eine Gruppe kann z.B. aus 4 Schülern bestehen <strong>und</strong> jeder Schüler erhält 5 Domino-Spielkarten.<br />
Ein Schüler fängt an <strong>und</strong> legt eine Karte auf den Tisch. Nun müssen alle Spieler schauen, ob sie<br />
eine passende Anlegekarte besitzen, wenn ja wird diese angelegt.<br />
Die Schüler sollen während des Spiels keine schriftlichen Nebenrechnungen machen <strong>und</strong> es dürfen<br />
keine weiteren Dominoreihen gebildet werden. Sind alle Karten richtig aneinander gelegt<br />
worden, so passt die letzte <strong>und</strong> erste Karte der Reihe zusammen.<br />
Während des Spielverlaufs entstehen Diskussionen darüber, welche Terme äquivalent sind, <strong>und</strong><br />
die Schüler erfahren, dass es eine Vielzahl von Äquivalenzumformungen gibt. Da die Schüler die<br />
möglichen Ergebnisse sehen, können sie Unsicherheiten hinterfragen oder gemachte Fehler<br />
selbst überprüfen <strong>und</strong> korrigieren.<br />
Erfahrungen:<br />
• Lehrerin einer achten Klasse: „Wichtig erscheint im Rückblick, eine gewisse Progression einzubauen,<br />
also mit einfachen Termumformungen zu beginnen <strong>und</strong> dann jeweils zu erweitern.“<br />
16
Vorschlag 5.10: Binomische Formeln<br />
1. Schneide die unten abgebildeten Vierecke aus!<br />
2. Bestimme einen Term für den Flächeninhalt der grauen<br />
Gesamtfläche A der vier Rechtecke in Abhängigkeit von<br />
den Seitenlängen a <strong>und</strong> b:<br />
A =<br />
Überlege, ob es noch andere Terme gibt, mit denen man<br />
den Flächeninhalt A darstellen kann.<br />
a<br />
b<br />
b<br />
a<br />
a<br />
b<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
b<br />
b<br />
b<br />
b<br />
b<br />
17
Binomische Formeln: Anregungen für den Unterrichtseinsatz<br />
Ziele:<br />
• Herleitung der Binomischen Formel über die geometrisch einsichtige Äquivalenz von Termen<br />
Mögliche Variationen:<br />
• (2) „Gegeben ist der Term (a-b) 2 . Finde möglichst viele wertgleiche Terme <strong>und</strong> versuche sie<br />
jeweils zu veranschaulichen“.<br />
Mögliche Lösungen:<br />
• b 2 + ab + a 2 + ab = (b + 2a) ⋅ b + a 2 = (a + 2b) ⋅ a + b 2 = (a + b) 2<br />
18
Vorschlag 5.11: Babylonische Multiplikation<br />
Die Babylonier nutzten Tafeln mit Quadratzahlen, um beliebige Zahlen miteinander zu<br />
multiplizieren.<br />
Sollten die Zahlen a <strong>und</strong> b miteinander multipliziert werden, bildeten sie zunächst die<br />
Summe (a+b) <strong>und</strong> die Differenz (a-b), ermittelten dann die Quadrate der Summe <strong>und</strong><br />
der Differenz mit Hilfe der Tafeln <strong>und</strong> subtrahierten anschließend die beiden Zahlen<br />
voneinander. Schließlich teilten sie das Ergebnis durch 4 <strong>und</strong> heraus kam das Produkt<br />
der beiden Zahlen a <strong>und</strong> b.<br />
a) Berechne mit diesem Verfahren 53 · 47.<br />
b) Erstelle einen Term für das Rechenverfahren der Babylonier<br />
<strong>und</strong> zeige, dass dieser Term tatsächlich gleich dem Produkt<br />
a · b ist.<br />
c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem<br />
beschriebenen Rechenverfahren <strong>und</strong> der Grafik?<br />
d) Beurteile dieses Verfahren?<br />
Die Babylonier lebten in<br />
Mesopotamien, einer fruchtbaren<br />
Ebene zwischen den Flüssen<br />
Euphrat <strong>und</strong> Tigris, im heutigen Irak.<br />
Sie entwickelten eine Schrift, die aus<br />
keilförmigen Symbolen bestand <strong>und</strong><br />
mit Stiften in Tonplatten gedrückt<br />
wurde. Anschließend wurden die<br />
Platten in der Sonne getrocknet.<br />
Viele Tausende dieser Tafeln<br />
existieren noch heute, unter ihnen<br />
auch die im Text erwähnten Tafeln<br />
mit Quadratzahlen.<br />
Quelle: Mathe live 8, S. 69<br />
Babylonische Multiplikation: Anregungen für den Unterrichtseinsatz<br />
Ziele:<br />
• Wiederholung/ Übung<br />
Lösungen:<br />
2 2<br />
100 − 6<br />
• = 2491<br />
4<br />
2<br />
2<br />
( a + b) − ( a − b)<br />
•<br />
4<br />
=<br />
a<br />
2<br />
+ 2ab<br />
+ b<br />
2<br />
− a<br />
4<br />
2<br />
+ 2ab<br />
−b<br />
2<br />
= ab<br />
Mögliche Variationen:<br />
• „Stelle den Term des Rechenverfahrens graphisch dar“ (für leistungsstärkere Gruppen)<br />
19
Vorschlag 5.12: Umzug mit dem Mietwagen<br />
Für den Transport größerer Gegenstände, z.B. Möbel bei einem Umzug, kann man sich<br />
für St<strong>und</strong>en oder auch Tage einen Lkw mieten. Meistens kann man bei den Vermietern<br />
unter verschiedenen Lkw-Größen <strong>und</strong> unter verschiedenen Angeboten wählen. Der Gesamtpreis<br />
errechnet sich aus der Tagesmiete <strong>und</strong> einem Pauschalpreis für jeden gefahrenen<br />
Kilometer.<br />
Manchmal gibt es Mietangebote mit einer bestimmten Anzahl von Freikilometern.<br />
Nach der abgelaufenen Mietzeit muss man das Fahrzeug vollgetankt wieder zurückbringen.<br />
STANDARD-ANGEBOT<br />
Wagentyp Tagesmiete Pauschale pro Kilometer<br />
Transporter 65 € 0,36 €<br />
Klein-Lkw ‚ 75 € 0,39 €<br />
Lkw ƒ 99 € 0,54 €<br />
An Wochenenden macht der gleiche Vermieter ein Spar-Angebot, bei dem 100 Kilometer<br />
schon in der Tagesmiete eingeschlossen sind<br />
SPAR-ANGEBOT<br />
Wagentyp Tagesmiete incl. 100 km Mehr-km<br />
Transporter 73 € 0,18 €<br />
Klein-Lkw ‚ 87 € 0,22 €<br />
Lkw ƒ 125 € 0,30 €<br />
Inges Eltern wollen am Wochenende in eine 65 km entfernte Stadt umziehen. Sie wollen<br />
das Sparpaket nutzen <strong>und</strong> überlegen, ob sie zum Sparangebot den kleineren Wagentyp<br />
2 nehmen. Dann müssen sie allerdings 2-mal fahren. Mit dem größeren Typ<br />
müssten sie nur 1-mal fahren.<br />
Quelle: Mathe Live 7, Seite 156.<br />
20
Umzug mit dem Mietwagen: Anregungen zum Unterrichtseinsatz<br />
Ziele:<br />
• Übung <strong>und</strong> Wiederholung<br />
• Aufstellen eines Terms<br />
Mögliche Aufgabenstellungen:<br />
• (2) Berechne für die Wagentypen 1 bis 3, wie teuer es ist, sie für einen Tag zu mieten.<br />
• (3) Wie groß sind die Preisunterschiede?<br />
• (4) Bilde für jeden Wagentypen eine Gleichung mit <strong>Variablen</strong>, mit der man den Gesamtpreis<br />
für beliebig viele gefahrene Kilometer berechnen kann.<br />
• (5) Lege für den Wagentyp 2 eine Preistabelle für 25; 50; 100; 150 <strong>und</strong> 200 gefahrene<br />
Kilometer an. Wie viele Kilometer kann man für einen Gesamtpreis von 200 € fahren ?<br />
• (6) Bilde für alle drei Wagentypen Gleichungen mit <strong>Variablen</strong>, mit denen man für beliebig<br />
viel gefahrene Kilometer über 100 km (Mehr-km) den Gesamtpreis errechnen kann.<br />
• (7) Verdoppelt sich mit den gefahrenen Kilometern auch der Gesamtpreis?<br />
• (8) Was kosten jetzt im Sparangebot 150; 200; 250 <strong>und</strong> 300 gefahrene Kilometer für die<br />
Wagentypen 1 bis 3?<br />
• (9) Wie viel Kilometer kann man mit Wagentyp 1 für 200 € fahren?<br />
• (10) Welche Lösung ist für Inges Eltern sinnvoller?<br />
Lösungen:<br />
• (2) bei 120 km: Transporter: 108,2 €; Klein-Lkw: 121,8 €; Lkw: 163,8 €<br />
• (3) 13,6 €; 42 €<br />
• (4) T = 0,36x + 65; K = 0,39x + 75; L = 0,54x<br />
⋅99<br />
• (5) 84,75 €, 94,5 €, 114 €, 133,5 €; 153 €; ca. 320,5 km<br />
• (6) T = 73 + 0,18x; K = 87 + 0,22x; L = 125 + 0,3x;<br />
• (7) Nein, weil die Tagesmiete konstant ist.<br />
• (8) Transporter 82 €; 91 €; 100 €; 109 €; Klein LKW 98 €; 109 €; 120 €; 131 €;<br />
LKW140 €; 155 €; 170 €; 180 €.<br />
• (9) ca. 805,5 km<br />
• (10) An die Autovermietung sind jeweils zu zahlen:<br />
‚ 4 ⋅65km<br />
= 260km<br />
⇒ 87 + 0,22⋅160<br />
= 122, 2<br />
ƒ 2 ⋅65km<br />
= 130km<br />
⇒ 125+<br />
0,3⋅30<br />
= 134<br />
Gar nicht so leicht zu entscheiden: Bei ƒ fallen wahrscheinlich höhere Benzinkosten an. Und<br />
vielleicht sind ja andere Faktoren entscheidender als die Kosten.<br />
21
Vorschlag 5.13: Term-Mobile<br />
Das Term-Mobile ist im Gleichgewicht, wenn an beiden Enden eines Balkens insgesamt<br />
wertgleiche Terme vorhanden sind. Bringe die Mobiles mit den jeweils vorhandenen<br />
Elementen ins Gleichgewicht. Färbe dazu die entsprechenden Felder in gleicher Farbe.<br />
Stelle selbst ein Term-Mobile her. Verwende dabei u.a. die folgenden Terme:<br />
a) 3 ( x + 4) + x<br />
b) 2 + 6<br />
8 x + 1 + 4 1− x<br />
x c) ( ) ( )<br />
Quelle: Elemente der Mathematik. Unterrichtsmaterialien Band 2 (2001), S. 159 (verändert)<br />
22
Vorschlag 5.14: Aquamaxx<br />
Frau S. aus K. ist es leid, jede Woche ein- oder zweimal zum Getränkemarkt zu fahren,<br />
um den entsprechenden Vorrat an Mineralwasser für ihre fünfköpfige Familie zu besorgen.<br />
Sie denkt über die Anschaffung eines Wasseraufbereitungsgerätes nach.<br />
Die Firma Aquamaxx bietet ein solches Gerät zum Preis von 120 DM an. Die entsprechenden<br />
CO 2 -Patronen kosten 16 DM <strong>und</strong> reichen für 40 l. 1 m 3 Leitungswasser kostet<br />
8,50 DM (einschließlich Abwassergebühren).<br />
Die Hersteller des Aquamaxx behaupten: Bei Verwendung des Gerätes Aquamaxx sind<br />
die Kosten für ihr Mineralwasser bereits vor Ablauf eines Jahres geringer, als wenn Sie<br />
das Wasser im Getränkemarkt kaufen.<br />
Aquamaxx: Anregungen zum Unterrichtseinsatz<br />
Ziele:<br />
• Einführung<br />
• Lösen von Gleichungen durch Äquivalenzumformungen<br />
• zur Gleichsetzung der Terme benötigt man ca. 2 Unterrichtsst<strong>und</strong>en<br />
Mögliche Variationen:<br />
• Einen aktuellen Werbeprospekt mitbringen <strong>und</strong> daran die Fragen entwickeln<br />
• (1) Schüler entwickeln eigene Fragestellungen<br />
• (2) Wie viel kostet ein Kasten Mineralwasser?<br />
• (3) Schätze den Tages- bzw. den Wochenbedarf der Familie S.<br />
• (4) Stelle die Kosten in einer Tabelle gegenüber (100 l, 200 l, 300 l)<br />
• (5) Stelle für beide Möglichkeiten einen Term auf.<br />
• (6) Überprüfe die Aussage von Aquamaxx<br />
• (7) Setze die beiden Gleichungen gleich <strong>und</strong> interpretiere das Ergebnis<br />
Mögliche Lösungen:<br />
• (2) angenommen, 12 Flaschen à 0,7 l kosten 7,60 DM (ohne Pfand)<br />
• (3) Jedes Kind eine Flasche, Eltern zusammen 3 bis 4 am Tag: ca. 6 Flaschen. 3-4 Kisten pro<br />
Woche, fast 30 l<br />
• (4)<br />
100 l 200 l 300 l<br />
Aquamaxx 48,5 DM + 120 DM 81,70 DM + 120 DM 130,55 DM + 120 DM<br />
Kasten 91,20 DM 182,40 DM 240 DM<br />
• (5) Kasten: K = 91,2 x. Aquamaxx: A = 16,34 x +120 (in DM; x in 40 l-Einheiten)<br />
• (6) A: 100 l Leitungswasser kosten 0,85DM, also kosten 40 l 0,34 DM. Dazu kommen 16 DM<br />
für die Patrone. Also kosten 40 l Mineralwasser 16,34 DM.<br />
K: In einem Kasten sind 8,4 l, also braucht man für 40 l ca. 4,8 Kisten <strong>und</strong> die kosten ca.<br />
36,48 DM. Differenz also 20,14 DM. Damit macht sich die Anschaffung nach 6 Patronen bezahlt<br />
<strong>und</strong> das sind 240 l Mineralwasser, d.h. die Aussage stimmt.<br />
• (7) 91,20 x = 36,48 x ⇔ x = 5,96 also nach der 6. Patrone.<br />
23
Vorschlag 5.15: Aufstellen von Formeln für Umfang <strong>und</strong> Flächeninhalt<br />
Stelle eine Formel für den Umfang <strong>und</strong> eine Formel für den Flächeninhalt<br />
der folgenden Figur auf:<br />
d<br />
b<br />
c<br />
a<br />
Aufstellen von Formeln für Umfang <strong>und</strong> Flächeninhalt: Anregungen zum Unterrichtseinsatz<br />
Ziele:<br />
• Einführung des Distributivgesetzes<br />
• Vernetzung (Flächeninhalt, Umfang)<br />
• Wiederholung (Flächeninhalt, Umfang bei Vielecken)<br />
Mögliche Variationen:<br />
• Schüler finden in Partnerarbeit andere Figuren <strong>und</strong> lassen ihre Nachbarn die Aufgabe bearbeiten.<br />
Mögliche Lösungen:<br />
• U = a + b + c + d + ( c + a)<br />
+ ( d + b)<br />
= 2a<br />
+ 2b<br />
+ 2c<br />
+ 2d<br />
= 2( a + b + c + d)<br />
A = a⋅(<br />
b + d)<br />
+ c ⋅d<br />
= ( a + c)<br />
⋅d<br />
+ a ⋅b<br />
= ( a + c)<br />
⋅(<br />
b + d)<br />
− b⋅c<br />
= ab + ad + cd<br />
24
Vorschlag 5.16: Wortform von Termen<br />
1<br />
2<br />
Gib einen Term mit einer <strong>Variablen</strong> an, der zu jeder Zahl, die man für die<br />
Variable einsetzt,<br />
a) das Doppelte der Zahl;<br />
b) die Hälfte der Zahl, vermindert um 3;<br />
c) die Hälfte der um drei verminderten Zahl;<br />
d) das Quadrat der Zahl;<br />
e) den Kehrwert der Zahl;<br />
f) den Vorgänger der Zahl;<br />
g) das Dreifache des Kehrwerts;<br />
h) den Kehrwert des Dreifachen der Zahl<br />
liefert.<br />
Der Term 2 ⋅ n für n ∈N<br />
beschreibt eine beliebige gerade Zahl. Beschreibe<br />
durch einen Term<br />
a) eine beliebige durch 3 teilbare Zahl;<br />
b) eine beliebige ungerade Zahl;<br />
c) eine beliebige Quadratzahl.<br />
d) Finde weitere Beschreibungen <strong>und</strong> den dazugehörigen Term.<br />
3<br />
4<br />
Ein Paket wiegt a kg, ein anderes b kg.<br />
Was bedeuten die folgenden Aussagen?<br />
a) a + b = 10 b) a = b + 10 c) b = 1<br />
2<br />
⋅a<br />
d) a = 1,5⋅b<br />
− 2<br />
Es seien a, b <strong>und</strong> c natürliche Zahlen, wobei a > b + c ist.<br />
a) Beschreibe die Aussage a − ( b + c)<br />
= ( a − b)<br />
− c<br />
b) Stelle die Aussage mit Hilfe von Strecken dar.<br />
c) Erfinde eine Geschichte zu dieser Aussage, z.B.: „In einem Reisebus<br />
befinden sich a Personen...“.<br />
Quelle: MatheNetz7, S. 220 (leicht verändert)<br />
Wortform von Termen: Anregungen zum Unterrichtseinsatz<br />
Ziele:<br />
• Übersetzen von Sachsituationen in Terme<br />
25
Vorschlag 5.17: Das Brot duckt sich! - Spiel<br />
26
Das Brot duckt sich! - Spiel: Anregungen für den Unterrichtseinsatz<br />
Ziele:<br />
• Übung zur Multiplikation von Summen<br />
Das Spiel dauert 20-30 Minuten <strong>und</strong> ist bei den Schülern sehr beliebt.<br />
Spielbeschreibung:<br />
Die Klasse wird in Zweiergruppen eingeteilt. Jede<br />
Zweiergruppe erhält acht Karten, auf denen Klammerausdrücke<br />
abgebildet sind. Die Spielkarten werden<br />
gemischt <strong>und</strong> mit der Rückseite nach oben auf<br />
dem Tisch verteilt. Nun ziehen die Schüler jeweils<br />
zwei mal zwei Karten <strong>und</strong> die Karten des ersten Zugs,<br />
bzw. des zweiten Zugs werden als Kartenpaar offen<br />
auf den Tisch gelegt. Jeder Spieler besitzt jetzt zwei<br />
Kartenpaare.<br />
Jedes Kartenpaar entspricht einer bestimmten Punktzahl.<br />
Um diese zu ermitteln, müssen die Spieler die<br />
Klammerausdrücke jedes ihrer Kartenpaare miteinander<br />
multiplizieren <strong>und</strong> dann den dadurch entstandenen<br />
Summenterm auf der Punkteliste suchen. Die neben<br />
dem Summenterm stehende Punktzahl wird auf einem<br />
Blatt als Gewinnpunkte notiert.<br />
Ist kein geeigneter Term zu finden, wurde die Aufgabe<br />
falsch berechnet <strong>und</strong> der Spieler erhält für dieses<br />
Kartenpaar keine Punkte. Nachdem alle Zahlenpaare<br />
die auf dem Tisch liegen berechnet wurden, werden<br />
die Karten gemischt <strong>und</strong> erneut wie oben verteilt.<br />
Da jeder Spieler zwei Kartenpaare pro Spieldurchgang<br />
zu berechnen hat, kann er maximal 9 Punkte<br />
erreichen. Gewonnen hat der Spieler, der zuerst 30<br />
Punkte erreicht hat.<br />
Variationen:<br />
• Damit auch Aufgaben mit binomischen Formeln<br />
auftreten, bietet es sich an, mit zwei Kartensätzen<br />
je Gruppe zu spielen. In dieser Variation können<br />
auch je vier Spieler an einem Spiel teilnehmen. Die<br />
Lösungsterme befinden sich bereits auf der nebenstehenden<br />
Karte.<br />
• Man kann das “Brot duckt sich” auch mit der ganzen<br />
Klasse spielen, indem der Lehrer den Summenterm<br />
vorgibt <strong>und</strong> die Schüler herausfinden<br />
müssen, aus welchem Produktterm er entstanden<br />
ist.<br />
SUMMENFORM<br />
PUNKTE<br />
i 2 + u 2 + 2ui 1<br />
25x 2 + 9z 2 + 30xz 1<br />
- 10x 2 + 15xy - 6xz + 9yz 5<br />
- 5x 2 - 3z 2 - 8xz 2<br />
5x 2 + 5xy + 3xz + 3yz 3<br />
- 5x 2 - 3xz + 25x + 15z 1<br />
4x 2 + 9y 2 - 12xy 1<br />
2x 2 - 3xy - 10x + 15y 2<br />
- 2x 2 + 3y 2 + xy 2<br />
2x 2 - 3xy + 2xz - 3yz 4<br />
x 2 + y 2 + 2xy 1<br />
x 2 + z 2 + 2xz 1<br />
- x 2 - xy - xz - yz 2<br />
- x 2 - xy + 5x + 5y 2<br />
x 2 + xz - 5x - 5z 3<br />
x 2 - 10x + 25 1<br />
9y 2 - 12yz + 8xz - 6xy 2<br />
9y 2 + 16z 2 - 24yz 3<br />
6y 2 - 4xy + 6x - 9y 3<br />
6y 2 - 8yz - 9y + 12z 3<br />
4y 2 - 12y + 9 2<br />
3y 2 + 3xy - 4xz - 4yz 3<br />
2y 2 + 2xy - 3x - 3y 4<br />
-12z 2 + 15xy - 20xz + 9yz 3<br />
4z 2 - 3xy + 4xz - 3yz 3<br />
- 5ix - 3iz - 5ux - 3zu 2<br />
2ix - 3iy + 2ux - 3uy 2<br />
- ix - iy - ux - uy 3<br />
ix + iz + ux + uz 2<br />
ix + ux - 5i - 5u 2<br />
- 3iy + 4iz - 3uy + 4uz 3<br />
- 2iy - 2uy + 3i + 3u 3<br />
10xy + 6yz - 15x - 9z 3<br />
- 3xy + 4xz + 15y - 20z 2<br />
- 2xy - 2yz + 3x + 3z 3<br />
- 2xy + 3x + 10y - 15 4<br />
Quelle: mathe spielend lernen 8, Klett 2000<br />
27
1<br />
Vorschlag 5.18: Algebra mit Zahlenmauern<br />
Du kennst vielleicht schon sogenannte Zahlenmauern.<br />
In der untersten Reihe können beliebige Zahlen<br />
geschrieben werden. In die übrigen Felder wird nun<br />
jeweils die Summe aus den Zahlen in den beiden<br />
darunter liegenden Steinen geschrieben.<br />
21 12<br />
5 12 9<br />
Kannst du die oben stehende Zahlenmauer vervollständigen?<br />
Welche Zahl steht ganz oben? Wie viele Zahlen müssen mindestens vorgegeben<br />
werden, damit jeder die gleiche Zahlenmauer erhält?<br />
Vielleicht wolltet ihr euch bei der Beantwortung der<br />
ersten Frage schon auf bestimmte Felder beziehen.<br />
Aus diesem Gr<strong>und</strong> führen wir die folgenden Bezeichnungen<br />
ein:<br />
F10<br />
F8 F9<br />
F5 F6 F7<br />
F1 F2 F3 F4<br />
2<br />
Was passiert nun beispielsweise mit der Zahl im Feld F10, wenn wir die Zahl in F2 um<br />
eins erhöhen? Zur Beantwortung ist es hilfreich, einen Punkt zu betrachten, der die<br />
zusätzliche Eins darstellt:<br />
Fülle die Zahlenmauer vollständig aus. Erkläre damit,<br />
wie sich F10 verändert, wenn man die Zahl in F2<br />
[F1; F3] um eins erhöht.<br />
••<br />
•<br />
•<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
Wie wirken sich die Veränderungen aus Aufgabe 2 aus fünfreihige Zahlenmauern aus?<br />
Wie verändert sich die Zahl in F10 in vierreihigen Zahlenmauern, wenn man die Zahl in<br />
F2 um 2 erhöht? Untersuche dies auch für die anderen Felder.<br />
Im Folgenden untersuchen wir ganz spezielle Zahlenmauern. Bei diesen stehen in der<br />
untersten Reihe aufeinander folgende natürliche Zahlen (Also zum Beispiel 5, 6, 7). Für<br />
die Zahl im ersten Feld schreiben wir ganz allgemein „n“, wobei dieses n für irgendeine<br />
natürliche Zahl steht. Wir starten mit dreireihigen Mauern:<br />
Fülle die Tabelle allgemein aus. Welche Zahl steht im ersten<br />
Feld, wenn im obersten Feld die 128 [176] steht? Denke dir<br />
selbst eine Zahl aus, die im obersten Feld stehen könnte <strong>und</strong><br />
lass deinen Nachbarn die erste Zahl angeben.<br />
Untersuche nun vierreihige Zahlenmauern. Welche<br />
Zahl steht im ersten Feld, wenn im obersten Feld die<br />
124 [188] steht? Denke dir selbst eine Zahl aus, die<br />
im obersten Feld stehen könnte <strong>und</strong> lass deinen<br />
Nachbarn die erste Zahl angeben.<br />
n n+1<br />
Quelle: Margit Kopp: Algebra mit Zahlenmauern.<br />
In: mathematik lehren H. 105 (2001), S. 16-19 (verändert).<br />
28
Algebra mit Zahlenmauern: Anregungen zum Unterrichtseinsatz<br />
Ziele:<br />
• Heranführung an die algebraische Denkweise<br />
• Gr<strong>und</strong>vorstellung von <strong>Variablen</strong><br />
Mögliche Variationen:<br />
• Nach dem erfolgreichen Durchlaufen dieser Aufgaben können leicht allgemeine Zahlenmauern<br />
gerechnet werden. Ggf. können die Schüler die erste Reihe bestimmen.<br />
Mögliche Lösungen:<br />
• (1) Oben steht die 71<br />
• (2) F2, F3 um 1 erhöhen: Erhöhung tritt dreimal auf. Damit erhöht sich F10 um 3<br />
F1 um 1 erhöhen: Erhöhung tritt einmal auf. Damit erhöht sich F10 um 1<br />
• (3) F1 um 1 erhöhen: Erhöhung tritt einmal auf. Damit erhöht sich F10 um 1<br />
F2 um 1 erhöhen: Erhöhung tritt viermal auf. Damit erhöht sich F10 um 4<br />
F3 um 1 erhöhen: Erhöhung tritt sechsmal auf. Damit erhöht sich F10 um 6<br />
• (4) F1: Erhöhung um 2; F2, F3: Erhöhung um 6; F4: Erhöhung um 2;<br />
• (5) Oberstes Feld: 128 → erstes Feld: 31; Oberstes Feld: 176 → erstes Feld: 43<br />
• (6) Oberstes Feld: 124 → erstes Feld: 14; Oberstes Feld: 188 → erstes Feld: 22<br />
Bemerkungen:<br />
• Zur Beantwortung der Frage 2 könnte man natürlich auch mehrere Beispiele ausrechnen <strong>und</strong><br />
sehen, dass sich die Änderung bis F10 verdreifacht. Damit würde die Aufgabe aber arithmetisch<br />
gelöst, ohne dass sie aus einem algebraischen Blickwinkel betrachtet wird.<br />
• Der eingeführte Punkt liefert damit nicht nur die Erklärung des Ergebnisses, sondern vermittelt<br />
indirekt auch eine Betrachtungsweise, die in der Algebra große Bedeutung hat: Verschiedene<br />
Größen getrennt voneinander zu sehen <strong>und</strong> zu beobachten, wie bestimmte Operationen<br />
auf sie wirken.<br />
• Interessant ist der Übergang zu Frage 4: Hier zeichnen manche Schüler einen weiteren Punkt<br />
ein <strong>und</strong> ergänzen das Punktmuster entsprechend. Andere beginnen in Gedanken die zwei<br />
Punkte durch die Mauer hindurch zu verfolgen. Es gilt nun zu erkennen, dass unabhängig<br />
vom speziellen Wert die Erhöhung bis Feld 10 genau drei mal auftreten wird.<br />
• Die Autoren warnt davor nach Aufgabe 4 sofort die Buchstabenvariablen einzuführen, wie<br />
das hier geschehen ist: „[Dies] würde mehr verwirren als nützen, weil Buchstaben bisher anderen<br />
Erfahrungsbereichen angehören <strong>und</strong> Erklärungen allein nicht ausreichen, um ihnen die<br />
Bedeutung von <strong>Variablen</strong> zu verleihen.“ Allerdings ist der Artikel für das 6./7. Schuljahr geschrieben,<br />
während wir gewisse Vorerfahrungen voraussetzen.<br />
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