Kapitel 5 - Prof. Dr. Hans-Georg Petersen

3.1.3 Preisentwicklung 

Voraussetzung für die optimale 

Ressourcenallokation über den Markt 

•! Eigentumsrechte definiert 

•! Gewinnplanung über die gesamte Laufzeit der 

Ressourcenextraktion 

•! Vollständige Informationen hinsichtlich Lagerstätten 

und Konkurrenz 

•! Keine Marktmacht 

Umweltökonomie Dr. Frank 

Meißner Sommer 2010 

Folie 

25 


Die Preisentwicklung in der kurzen bis mittleren 

Frist ist für zahlreiche natürliche Ressourcen geprägt 

von einem relativ starren Angebot und einer 

unelastischen Nachfrage. Aus dieser Ausgangslage 

können kurzfristig starke Preissprünge resultieren 

Preisentwicklung bei natürlichen Ressourcen, S. 21 

http://www.bafu.admin.ch/publikationen/publikation/01520/index.html?lang=de 



Folie 

26


Frage: Wie erfolgt die Preisbildung bei erschöpfbaren 

(nicht-regenerativen) Ressourcen in der langen Frist? 

Effizienzbedingung bei „gewöhnlichen“ Gütern 

Preis = Grenzkosten 

Nun: Berücksichtigung von Opportunitätskosten 

es existiert absolute Knappheit 



Folie 

27 


Annahmen: 

•! vollkommene Konkurrenz (Preisnehmerverhalten) 

•! Ressourcenvorrat ist für jeden Anbieter gegeben und 

bekannt 

•! Extraktionskosten sind konstant 

•! Preis ist für jeden Anbieter und für jeden Zeitpunkt 

bekannt (perfekte Zukunftsmärkte) 



Folie 

28


Zwei-Perioden Fall 

Anbieter ist indifferent zwischen Extraktion (Verkauf) in 

t=0 plus Verzinsung zum Marktzins r und Extraktion in 

t=1 wenn gilt: p 1 

= p 0 

(1+ r) 

> 

Bei p 1 



Gleichgewichtsprozess 



Folie 

29 


n- Perioden 

p 0 

= p 1 

1+ r = p 2 

(1+ r) 2 = ... = p n 

(1+ r) n 

bei infinitesimal kleinen Perioden 

bzw. , 

p 0 

= p t 

! e "rt p t 

= p 0 

! e rt ! t " 0 



Folie 

30


Herleitung des optimalen Ressourcennutzungspfades 

Hotelling – Regel (1931) 

ohne Extraktionskosten 

fixe Extraktionskosten c 

p t 

= p 0 

! e rt 

p t 

= c + (p 0 

! c)" e rt 

Vergleiche Wacker * Blank, Ressourcenökonomik, Band II S. 16 ff 



Folie 

31 


Der zukünftige Ressourcenpreis (bei vernachlässigten 

Abbaukosten) gibt den Schattenpreis einer im Vorrat 

befindlichen Ressourcen an. 

Die ist die Knappheitsrente des Nutzungsverzichts. 



Folie 

32


http://www.bafu.admin.ch/publikationen/publikation/01520/index.html?lang=de 



Folie 

33 


„ Diese sogenannte Hotelling-Regel stellt sicher, dass 

die relative Wertsteigerung der Ressource in situ pro 

Periode jener eines fest verzinsten Geldvermögens 

entspricht.“ 

Im Ergebnis folgt: 

Der Marktpreis einer erschöpfbaren Ressource liegt 

über den Grenzkosten der Extraktion und enthält 

damit eine Knappheitsrente. 



Folie 

34

3.1.4 Wachstum und erschöpfbare Ressourcen 

Ist dauerhaftes Wachstum trotzt der Erschöpfbarkeit 

von Ressourcen möglich? 

Neoklassische Antwort auf die „Grenzen des 

Wachstums (1972)“ 



Folie 

35 


Modell einer einfachen Volkswirtschaft: 

Produktion: Y t 

= f (K t 

, R t 

) 

Kapitalakkumulation: 

!K t 

= I t 

= Y t 

! C t 

(t = 1,....,!) 

Sozialer Planer maximiert abdiskontierten Konsum 

Ressourcenbestand 

S t 

verringert sich um 

R t 

(kostenlose Extraktion) 



Folie 

36


Wacker u. Blank, Ressourcenökonomik, Band II, S. 101 



Folie 

37 


Es existieren viele mögliche Pfade für das 

Allokationsproblem 

Ein Pfad ist erreichbar, wenn die Nebenbedingungen erfüllt 

sind. 

Das Pareto-Kriterium ermöglicht es, effiziente Pfade zu 

identifizieren 

!!Suche effizienter Ressourcenextraktion und 

Kapitalakkumulation nach Standardmodell 

neoklassischer Theorie erschöpfbarer Ressourcen 

!!Vergleiche die Grundannahmen neoklassischer Theorie! 



Folie 

38


Optimierungsproblem des sozialen Planers 

max 

R t ,C t 

" 

# 

0 

U(C t 

)e !rt dt 

NB: 

!K t 

= F(K t 

, R t 

) ! C t 

!S t 

= !R t 

C t 

, R t 

! 0 

K t 

> 0 

S t 

> 0 



Folie 

39 


Statische Effizienz: Vollbeschäftigung des Kapitals 

(effiziente Faktorallokation) und Nicht-Verschwendung 

der natürlichen Ressourcen 

Intertemporale (dynamische) Effizienz: fordert die 

Erfüllung des Pareto-Kriteriums: Konsum einer Periode 

darf nicht erhöht werden, wenn der Konsum eine anderen 

Periode dabei gesengt würde. 



Folie 

40


Erste intertemporale Effizienzforderung: 

Verbrauch der gesamten Ressource über den 

! 

Planungshorizont 

" R t 

dt = S 0 

0 

Zweite intertemporale Effizienzforderung: 

Hotelling-Regel 



Folie 

41 


Hamiltonfunktion: 

H = U(C t 

) ! " t 

R t 

+ µ t 

[F(K t 

, R t 

) ! C t 

] 

. 

. 

. 

ˆF Rt 

= F K 

Auf einem effizienten Pfad muss die Grenzproduktivität des Kapitals 

gleich der Wachstumsrate der Grenzproduktivität der natürlichen 

Ressource sein! 

Die natürliche Ressource wird durch zunehmenden 

Kapitaleinsatz substituiert! 

Vgl hierzu Wacker,Blank Band II S. 103-104!!! 



Folie 

42


t t+1 Konsum t+1 

Verbrauch einer 

zusätzlichen 

Ressourceneinheit 

Vorverlagerung der 

Nutzung einer 

zusätzlichen 

Ressourceneinheit 

Sozialprodukt steigt 

um 

F Rt 

zusätzliche 

Investitionen in Höhe 

von 

F Rt 

Wacker, Blank Band II, S. 

105 

Sozialprodukt sinkt 

um 

F Rt+1 

Erhöhung des 

Kapitalstocks um 

F Rt+1 

Produktionssteigerung 

um 

Verminderung des 

Konsums um 

F Rt+1 

nicht erforderliche 

Mehrinvestitionen = 

mögliche Konsumsteigerung 

um 

F Rt 

Konsumsteigerung um 

F Rt 

! F Kt+1 F Rt 

! F Kt+1 

Folie 

43 


Überwiegt der positive Effekt 

den negative 

F Rt+1 

F Rt+1 

(1+ F Kt+1 

) 

einer intertemporale Umallokation, wird 

die Ressource in t genutzt und visa versa. 

Intertemporale (dynamische) Effizienz ist gegeben, wenn 

Indifferenz hinsichtlich der Nutzungszeit besteht. 

Positive Effekte = Negative Effekte 

F Rt+1 

(1+ F Kt+1 

) = F Rt+1 

Umformen u. stetige Zeit: 

ˆF Rt 

= F K 



Folie 

44


Die endliche Ressource wird im Zeitablauf durch 

Kapital fortlaufend substituiert. 

Bei utilitaristischer Nutzenfunktion sinkt der Konsum 

im Zeitablauf 

Kann ein bestimmtes Konsumniveau permanent 

gehalten werden? 



Folie 

45 


Ziel: Nutzen der aus Konsum gezogen wird, über alle 

Perioden konstant halten – Rawls-Kriterium 

maxU(C t 

) = max min C t 

C t ,R t 

!S t 

= !R t 

C t 

, R t 

! 0 

K 0 

,S 0 

> 0 



Folie 

46


Hartwick-Regel: gilt für Produktionsfunktionen mit 

Substitutionselastizität von 1 

Cobb-Douglas PF 

als Ergebnis folgt: 

!K t 

= !Y t 

= sY t 

Y = K 1!" # R " s = ! 

s – Sparquote bzw. Investitionsquote 

! - Produktionselastizität der Ressource 

! 

Wacker, Blank Band II, S. 110 



Folie 

47 


Hartwick-Regel: 

“Eine dauerhaft konstante Konsummenge C>0 ist in 

einer Volkswirtschaft, deren Produktionstechnologie 

durch eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion 

beschrieben wird, dann möglich, wenn der Anteil, der 

auf den Einsatz der natürlichen Ressource 

zurückzuführen ist, vollständig investiert wird” 

Wacker, Blank Band II, S. 110 



Folie 

48


Solow-Regel ! constant capital rule 

Das Grenzprodukt des Kapitals, also seine reale 

Verzinsung, soll gleich dem relativen Zuwachs der 

Grenzproduktivität der Ressource sein. (vgl. Folie 43) 

f K 

(t) = f R(t) ! f R 

(t !1) 

f R 

(t !1) 



Folie 

49 

3.1.5 Schwache Nachhaltigkeit 

„The world can, in effect, get along without natural 

resources, so exhaustion is just event, not a 

catastrophe.“ R.Solow 

Konstanz des Aggregats aus künstlichem, natürlichem 

und Humankapital (constant capital rule) 



Folie 

50

3.1.6 Backstop Tetchnologie 

p,c 

bc 

bc 

! t 

p 0 

t 0 

t 1 

t 



Folie 

51 

3.1.7 Empirie zur Preisentwicklung erschöpfbarer 

Ressourcen 

a 



Folie 

52

Begriffe 1 

Reproduzierbarkeit 

Ressourcenverfügbarkeit 

Geologische 

Bestandsaufnahme 

Reichweite 

Abbaukosten 

Preis des 

Extraktionsoutputs 

Nutzungskosten 

Gesamtpotenzial 

Reserven 

Vorkommen 

Ressourcen 



Cake-Eating Problem 

Hotelling – Regel 

Pareto-Kriterium 

Statische Effizienz 

Intertemporale (dynamische) Effizienz 

Rawls-Kriterium 

Hartwick-Regel 

Solow-Regel 

Backstop Tetchnologie 

Schwache Nachhaltigkeit 

Folie 

53 

3.2 Nutzung regenerativer Ressourcen 



Folie 

54

3.2.1 Schaefersche Wachstumskurve 

Darstellung der Veränderung des Bestandes einer 

regenerativen Ressource über die Scheafersche 

Wachstumsfunktion (Schaefer 1957) 

Bestandsveränderung ist Funktion des Bestandes 

dX(t) 

" 

= !X(t) = r * 1! X % 

dt 

# 

$ 

K & 

' * X 

X(t) - Bestand an Biomasse zu Zeitpunkt t 

r 

- intrinsische Wachstumsrate 

K - ökologische Tragfähigkeit 



Folie 

55 


MSY 

!X(t) 

dX(t) 

dt 

" 

= !X(t) = r * 1! X % 

# 

$ 

K & 

' * X 

X MSY 

! ! 

K 

X(t) 



Folie 

56


!X(t) 

dX(t) 

dt 

" 

= !X(t) = r * 1! X % 

# 

$ 

K & 

' * X 

! ! ! 

! 

X M 

Regenerationsfunktion mit kritischer Bestandsgröße 

K 

X(t) 



Folie 

57 


X(t) - Bestand an Biomasse zum Zeitpunkt t 

r - intrinsische Wachstumsrate 

K - ökologische Tragfähigkeit 

dX(t) 

dt 

" 

= !X(t) = r * 1! X % 

# 

$ 

K & 

' * X 



Folie 

58

3.2.2 Aufwands-Ertrags Funktion 

Einbeziehung wirtschaftlicher Aspekte in die 

Ressourcennutzung 

Aufwand – bzgl. Der Ausbeutung der Ressource 

Ertrag – Nutzung der Ressource 



Folie 

59 


Produktionsaufwand E 

Ressourcenbestand X 

Fangertrag Y= G(E,X) (G1) 

Fangertragsfunktion (G2) 

Y = ! * E " * X # 

Y = E * X 

Vereinfachung (G3) 

Einsetzen in das Schaefersche Wachstumsmodell mit 

Befischung: 

!X = F(X) ! Y (T ) 

# 

! !X = rX * 1" X & 

$ 

% 

K ' 

( " E * X 

(G4) 



Folie 

60


Für einen dauerhaften Fangertrag muss 

!X = 0 

gelten 

aus (G5) folgt 

" 

rX 1! X % 

# 

$ 

K & 

' = E * X 

(G6) 

Existenzbedingung für ein bio-ökonomisches Gleichgewicht 

$ 

! E " r 1# X ' 

% 

& 

K ( 

) 



Folie 

61 


(G6) nach X auflösen in (G3) einsetzen 

" 

Y = E K ! K * E % 

# 

$ 

r & 

' = E * K ! K * E 2 

r 

(G7) 

Zur Erinnerung: r intrinsische Wachstumsrate 

Vergleiche !!! zur gesamten Herleitung: 

Wacker, Blank, Ressourcenökonomik Band I, 1998 Oldenborg 

Verlag 



Folie 

62


IV 

MSY 

Y 

I 

X X 1 

X MSY 

Y 1 

E 1 

E MSY 

E 2 r 

45 ! 

E 

Achtung! 

III 

X 1 " K % 

X = K ! 

# 

$ 

2 & 

' * E 

K 

X 

II 



Folie 

63 


IV 

MSY 

Y 

„Grenzertrag“ 

I 

X X 1 

X MSY 

Y 1 

E 1 

E MSY 

E 2 r 

45 ! 

E 

III 

X 1 " K % 

X = K ! 

# 

$ 

2 & 

' * E 

K 

X 

II 



Folie 

64


IV 

MSY 

X X 1 

X MSY 

Y 1 

Y 

E 1 

E MSY 

E 2 r 

45 ! 

I 

!Y 

!E = 0 " E MSY 

= r 2 

E 

III 

X 1 " K % 

X = K ! 

# 

$ 

2 & 

' * E 

K 

X 

II 



Folie 

65 

3.2.3 Statisches bio-ökonomisches Gleichgewicht 

Zwei mögliche Strategien: 

(1)! Konstante Fanganstrengungsrate (E) 

(2)! Konstanter Fangertrag (Y) 



Folie 

66


!X(t) 

Y = E 2 

X 

E 2 

> E 1 

Y = E 1 

X 

(1) Fanganstrengung konstant 

K 

X(t) 



Folie 

67 


!X(t) 

Y 2 

Y 1 

Y 2 

> Y 1 

(2) Fangertrag Y konstant 

K 

X(t) 



Folie 

68


Problem: Stabilitätsverhalten 

Wird maximale dauerhafte Nutzungsmenge Y MSY genutzt 

besteht bei Strategie (2) – konstante Y – die Gefahr, dass 

kleine Störung des Systems zum Zusammenbruch des 

Bestandes führt. Daher hier hohe Kontrollkosten. 

Bei Strategie (1) – konstante Nutzungsrate E – kann flexibler 

reagiert werden und die Nutzungsmenge an den Bestand 

angepasst werden. 



Folie 

69 

3.2.3 Schaefer-Gordon-Fischereimodell 

Erweiterung des Fischereimodells von Schaefer um 

ökonomische Fragen 

Fischereiindustrie mit freiem Zugang (open access) 

kein Ausschluss der Nutzung 

Verkaufspreis: p=1 

!!Gesamterlös TR = Y 

Jede Einheit Fangaufwand E verursacht gleiche Kosten i.H.v. c 

!!Gesamtkosten TC = cE 

!!Gewinn ! = TR " TC =Y " cE 



Folie 

70


TC = cE 

IV 

TC 

TR TC 

} ineffizient! 

C 1 

TR = Y 

I 

C MSY 

E 

C 2 

Y 

X 1 

Y MSY 

II 

III 

X 2 

K 

X 

Schaefersche-Wachstums-Kurve 



Folie 

71 


TC = cE 

IV 

TC 

TR 

TC 

TR = Y 

I 

C MSY 

E 

Y 

X MSY 

Y MSY 

II 

III 

K 

X 



Folie 

72


TC = cE 

IV 

TC 

TR 

C 1 

TC 

} 

TR = Y 

TC > TR 

I 

E 

Y 1 

Y 

X 1 

II 

III 

K 

X 



Folie 

73 


TC = cE 

IV 

TC 

TR 

TC 

TR = Y 

I 

C 2 

effizient aber nicht optimal 

E 

Y 1 

Y 

II 

III 

K 

X 



Folie 

74


TC = cE 

IV 

TC 

TR 

TC 

TR = Y 

I 

optimale Lösung 

E 

Y 

Y MEY 

II 

III 

K 

X 



Folie 

75 


TC 

TR 

0 

MC, AR, 

MR 

0 

TC = cE 

Rente{ 

Gesamterlöse = Gesamtkosten 

bio-ökonomisches Gleichgewicht bei freiem Zugang 

E 

AR 

MR 

Durchschnittserlöse AR =Durchschnittskosten AC 

} 

Rente 

AC = MC = c 

E 

E MEY X E OA 



Folie 

76


TC – Gesamtkosten 

TR – Gesamterlös 

E – Aufwand 

AR – Durchschnittserlöse 

AC – Durchschnittskosten 

MR – Grenzerlöse 

MC – Grenzkosten 



Folie 

77 


Wacker, Blank, Ressourcenökonomik Band I, 1998 

Oldenborg Verlag 

Seite 18. ff 



Folie 

78

Kapitel 5 - Prof. Dr. Hans-Georg Petersen

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