Einsteins Relativitätstheorie... ...relativ einfach erklärt - Senioren ...

Einsteins Relativitätstheorie... 

...relativ einfach erklärt 

Senioren-Universität Luzern 

18. April 2013 

Arthur Ruh

Sehr geehrte Damen und Herren 

Leider erlitt ich ausgerechnet während meines Vortrages eine Attacke einer so 

genannten „Transienten globalen Amnesie“ (TGA). Das ist eine plötzlich einsetzende 

Störung des Neugedächtnisses, die eine bis mehrere Stunden anhalten kann. 

Der oder die Betroffene weiss zwar in der Regel noch, wer er oder sie ist, aber kann 

immer wieder fragen: „Wo bin ich? Wie bin ich hieher gekommen?“ Erstaunlicherweise 

bleibt die Fähigkeit zu komplexen Tätigkeiten, wie z.B. Autofahren, meist erhalten. 

Die Störung bildet sich sich nach einigen Stunden allmählich und vollständig zurück, 

aber es bleibt eine Gedächtnislücke für die Zeit der Störung und manchmal auch für 

eine gewisse Zeit davor. 

Die TGA tritt relativ selten auf, es sind bei 100'000 Personen etwa 5 bis 10 Fälle pro 

Jahr. Bei 75 % der Fälle sind die Betroffenen zwischen 50 und 70 Jahre alt. Männer 

und Frauen sind gleich häufig betroffen. Die Ursachen dieser Störung sind bis jetzt 

nicht bekannt. 

Da ich mich überhaupt nicht mehr an den Beginn des Vortrages erinnern kann, weiss 

ich natürlich nicht, ab wann ich begonnen habe, Unsinn zu reden. Anscheinend 

konnte ich wenigstens am Anfang noch einigermassen vernünftig erklären, was auf 

den Bildern zu sehen war. Es fehlten aber wahrscheinlich von allem Anfang an 

zusätzliche Erläuterungen zu den Bildern, weil ich für diese Erklärungen zu wenig 

durch das betreffende Bild geführt wurde, sondern auf das Gedächtnis angewiesen war.

Ich habe deshalb hier zu den Bildern die Erklärungen hinzugefügt, die ich eigentlich 

im Vortrag geben wollte. Die Erklärungen sind durch diesen hellgrauen Hintergrund 

kenntlich gemacht. Sie sind in der Regel nach dem Bild zu finden. Wenn nötig, 

können Sie jeweils zwischen dem Bild und der Erklärung mehrmals hin- und 

herblättern. Ich hoffe, dass mit diesen Erklärungen die Präsentation verständlich wird. 

Es tut mir sehr leid, dass ich Sie enttäuscht habe, und ich bedaure sehr, dass ich nicht 

Ihre allfälligen Bemerkungen und Fragen beantworten konnte, auf die ich mich 

bereits gefreut hatte. 

Ich hoffe, dass die Präsentation mit den zusätzlichen Erklärungen wenigstens einen 

kleinen Ersatz für den Vortrag liefert. 

Arthur Ruh


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Albert Einstein 1879 - 1955

Sicher haben Sie schon einmal...

....eines dieser....

....Bilder gesehen.

Was man jedoch selten zu sehen bekommt, ist dieses Bild. 

Dieses Bild zeigt Einstein etwa in dem Alter, als er 1905 seine berühmten 

5 Arbeiten, darunter die (spezielle) Relativitätstheorie, publiziert hatte.

Ebenfalls sehr selten sieht man dieses Bild. 

Es zeigt Einstein zusammen mit seiner (ersten) Frau Mileva. 

Mileva war eine sehr begabte Mathematik-Studentin. Es gibt eine Reihe von 

Indizien, die die Frage, ob und wieviel Mileva an der Relativitätstheorie 

beteiligt war, als nicht ganz ungerechtfertigt erscheinen lassen.

Es ist unglaublich, wofür der arme Einstein ständig seinen Kopf oder seinen 

Namen hinhalten muss. 

Das ist eine Werbung. Ich weiss nicht mehr, wofür, aber sie ist mir aufgefallen, 

weil schon die Titelzeile irreführend ist. 

Vielleicht fliegen Raumschiffe nach seinen Berechnungen, aber jedenfalls nicht unsere. 

Dafür sind sie nämlich nicht schnell genug.

Im rot eingerahmten Text hat es zwei Fehler.

„Noch heute werden nach seinen Berechnungen die Flugbahnen von Raumschiffen und 

-sonden programmiert.“ 

Es sollte heissen „Heute werden noch nicht nach seinen Berechnungen...“, 

denn unsere Raumschiffe- und sonden erreichen nur Geschwindigkeiten von weniger 

als etwa 30 km/s, das ist 10'000 mal weniger als die Lichtgeschwindigkeit. 

Deshalb müssen die Flugbahnen nicht mit Hilfe der relativistischen Beziehungen 

berechnet werden, sondern die viel einfacheren klassischen Gleichungen sind weitaus 

genau genug. 

„Seine Gleichung E = mc 2 schuf die Grundlage für den Bau der Atombombe.“ 

Auch wenn man das immer wieder lesen oder hören kann – es ist falsch. Darauf werde 

ich noch zurückkommen.

Ich habe nie verstanden, warum diese Sendereihe „Einstein“ heisst. 

Soll damit suggeriert werden, dass die Autoren dieser Sendung so genial sind, 

oder ist gemeint, dass die Zuschauer dieser Sendung so genial sein müssen? 

Können Sie mir das vielleicht erklären?





Wenn man von „Einsteins Relativitätstheorie“ spricht, muss man eigentlich fragen....


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Welche ?

Es gibt nämlich zwei.

Zwei Relativitätstheorien

Zwei Relativitätstheorien 

1 Spezielle Relativitätstheorie 

Geradlinig gleichförmig bewegte Bezugssysteme 

(Inertialsysteme) 

(1905)





(1905) 

2 Allgemeine Relativitätstheorie 

Beliebig bewegte Bezugssysteme 

Theorie der Gravitation 

(1915)





(1905) 

2 Allgemeine Relativitätstheorie 

Beliebig bewegte Bezugssysteme 

Theorie der Gravitation 

(1915)

Wir werden uns hier nur mit der Speziellen Relativitätstheorie befassen, 

mit einer kleinen Ausnahme, wir werden an einer Stelle kurz ein Resultat 

der Allgemeinen Relativitätstheorie verwenden.

Relativitätstheorie 

l Bezugssysteme, Relativitätsprinzip 

l Zeitdilatation, Zwillingsparadoxon 

l Masse bewegter Körper 

l E = mc 2





l E = mc 2

Als erstes müssen wir uns kurz mit Bezugssystemen befassen.

Bezugssystem 

Koordinatensystem, relativ zu dem die Bewegungen 

der betrachteten Körper beschrieben werden 

Uhren, mit denen die Zeitpunkte von Ereignissen 

bestimmt werden

Ein Bezugssystem besteht aus Uhren und einem Koordinatensystem.

Koordinatensystem

Um die Position eines Punktes im Raum zu beschreiben, braucht man ein 

Koordinatensystem. Häufig verwendet man ein rechtwinkliges Koordinatensystem, 

d.h. man hat drei Koordinatenachsen, x, y, und z, die rechtwinklig 

zueinander stehen.

Koordinaten 

Punkt P im Raum: 

x, y, z

Ein Punkt im Raum kann also durch drei Koordinaten, x, y und z, beschrieben werden. 

Man kann zum Beispiel vereinbaren: „Wir treffen uns in dem Haus, das auf diesem 

Stadtplan x mm vom linken Planrand und y mm vom unteren Planrand entfernt ist.“ 

Dann kann man noch vereinbaren: „Wir treffen uns im dritten Stock.“ Das wäre dann 

die z-Koordinate.

Koordinaten 

Punkt P im Raum: 

x, y, z 

Punkt P in Raum und Zeit: x, y, z, t

Ein Ereignis findet an einem Ort (x, y, z) im Raum zu einer bestimmten Zeit (t) statt. 

Wenn man ein Treffen vereinbaren will, muss man nicht nur den Ort nennen, sondern 

man muss auch sagen, wann man sich treffen will.

Ereignisse

Wenn ein Ereignis in einem Diagramm aufgezeichnet werden soll, wird eine Achse 

des Diagramms für die Zeit benötigt. In einer zweidimensionalen Darstellung kann 

dann nur noch eine Ortskoordinate gezeichnet werden (in einer perspektivischen 

Zeichnung können neben der Zeitachse noch zwei räumliche Achsen gezeichnet 

werden). 

Es stellt sich heraus, dass es zweckmässig ist, statt der Zeit t (in Sekunden), die mit 

der Lichtgeschwindigkeit multiplizierte Zeit ct (in Metern) aufzuzeichnen.

Ereignisse 

Die Ereignisse A und B sind gleichzeitig.

Die Ereignisse A und B liegen im Diagramm genau übereinander, 

d.h. für A und für B wird auf der ct-Achse der gleiche Wert abgelesen. 

A und B haben die gleiche ct-Koordinate und damit auch die gleiche 

Zeitkoordinate, sie finden zur gleichen Zeit statt. 

A und B sind gleichzeitig. 

C hat eine grössere ct-Koordinate als A und B. C findet später als A und B statt.

Ruhendes Bezugssystem ?

Meistens wird stillschweigend vorausgesetzt, dass wir uns in einem ruhenden 

Bezugssystem befinden. 

Ist diese Voraussetzung richtig?

Ruhendes Bezugssystem ? 

Erdrotation: 

316 m/s (auf 47° nördlicher Breite)

Wir befinden uns natürlich keineswegs in einem ruhenden Bezugsssystem. 

Allein schon infolge der Erdrotation bewegen wir uns (in einer geographischen 

Breite von 47°) mit 316 m/s auf einer Kreisbahn um die Erdachse.


Erdrotation: 

316 m/s (auf 47° nördlicher Breite) 

Umlauf der Erde um die Sonne: 29.8 km/s

Die Erde hat auf ihrer Umlaufbahn um die Sonne eine Geschwindigkeit 

von 29.8 km/s.


Erdrotation: 


Umlauf der Erde um die Sonne: 29.8 km/s 

Umlauf des Sonnensystems um das Galaxiszentrum: 250 km/s

Unser Sonnensystem bewegt sich als Ganzes mit einer Geschwindigkeit 

von rund 250 km/s um das Zentrum unserer Milchstrasse.


Erdrotation: 



Umlauf des Sonnensystems um das Galaxiszentrum: 250 km/s 

Bewegung der Galaxis: 600 km/s

Unsere Galaxie bewegt sich schliesslich mit einer Geschwindigkeit von rund 600 km/s 

in Richtung des Virgohaufens. Der Virgohaufen ist ein grosser Galaxienhaufen in 

etwa 54 Millionen Lichtjahre Abstand von unserer Galaxie.


Erdrotation: 



Umlauf des Sonnensystems um das Galaxiszentrum: 250 km/s 

Bewegung der Galaxis: 600 km/s 

Bewegte Bezugssysteme

Man muss sich also überlegen, wie die physikalischen Gesetze in einem 

bewegten Bezugssystem aussehen.

Geradlinig gleichförmig bewegtes Bezugssystem

Der einfachste Fall ist ein Bezugssystem, das sich mit konstanter Geschwindigkeit 

auf einer Geraden bewegt, ein geradlinig gleichförmig bewegtes Bezugssystem.


Denken Sie sich einen Eisenbahnwagen oder einen Triebwagen, der auf einer 

geraden Strecke mit konstanter Geschwindigkeit erschütterungsfrei und lautlos fährt. 

Die beste Realisation dieses Idealfalls dürfte eine Magnetschienenbahn sein.


In dieser geradlinig gleichförmig bewegten Magnetschienenbahn 

sei ein Laboratorium eingerichtet.


Ein Physiker soll nun in diesem fahrenden Labor alle möglichen Versuche durchführen.

Einfachstes Experiment 

Gehen im fahrenden Wagen

Ein ganz einfaches Experiment können Sie in einem fahrenden Eisenbahnwagen 

selber anstellen: Marschieren Sie im Wagen in Fahrtrichtung.

Einfachstes Experiment 

Gehen im fahrenden Wagen: 

genau gleich wie im stillstehenden Wagen

Unter der Voraussetzung, dass der Eisenbahnwagen erschütterungsfrei mit konstanter 

Geschwindigkeit geradeaus fährt, fühlt sich das Gehen genau gleich an wie in einem 

stillstehenden Wagen.

Addition von Geschwindigkeiten 

Geschwindigkeit des Zuges: 

Geschwindigkeit des Passagiers relativ zum Wagen: 

Geschwindigkeit des Passagiers relativ zum Bahndamm: 

v 

u' 

u = v u '

Wenn der Eisenbahnwagen mit der Geschwindigkeit 100 km/h fährt 

und Sie mit der Geschwindigkeit 5 km/h in der Fahrtrichtung im Wagen marschieren, 

dann ist Ihre Geschwindigkeit vom Bahndamm aus gesehen offensichtlich 105 km/h. 

Denken Sie sich die Wände des Wagens vollständig aus Glas, damit der Beobachter 

neben dem Bahndamm Ihre Geschwindigkeit besser messen kann.

Geschwindigkeit 

Betrag und Richtung !

Geschwindigkeit 

Betrag und Richtung ! 

Die Geschwindigkeit ist ein Vektor.

Für eine Geschwindigkeit muss immer der Betrag (z.B. in m/s oder km/h) 

und die Richtung angegeben werden. 

Physikalische Grössen, die durch einen Betrag und eine Richtung charakterisiert sind, 

können (in der Regel) durch so genannte Vektoren dargestellt werden.

v = 50 km/h

Dass die Richtung der Geschwindigkeit eine wesentliche Rolle spielt und dass die 

die Angabe des Geschwindigkeitsbetrages nicht immer eine hinreichende Information 

liefert, sieht man an diesem Beispiel. 

Das Bild zeigt eine Strassenkreuzung. Sie sind im Begriff, auf dem Fussgängerstreifen 

die Strasse zu überqueren. Sie werden durch den blauen Punkt oben im Bild dargestellt. 

Unten im Bild ist ein Auto, das aus Gründen, die gleich klar werden, seltsamerweise 

einen quadratischen Grundriss hat. Das Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von 

50 km/h. Offensichtlich reicht diese Information nicht aus, um die Gefahr der Situation 

zu beurteilen.

v = 50 km/h

Wenn das Auto in der Richtung des grünen Pfeils fährt, ist alles in Ordnung.

v = 50 km/h

Wenn das Auto aber in Richtung des roten Pfeils fährt, ist die Situation offenbar 

ziemlich kritisch, und Sie sollten besser schnell drei Schritte rückwärts machen. 

Die Richtung der Geschwindigkeit ist also (meistens) wesentlich.

Passagier marschiert in Fahrtrichtung:

Wenn wir wieder das Beispiel des Eisenbahnwagens betrachten, der diesmal mit 

20 km/h fährt und in dem Sie mit 5 km/h nach vorne marschieren, dann haben Sie 

offensichtlich eine Geschwindigkeit von 25 km/h relativ zum Bahndamm.

Passagier marschiert in Fahrtrichtung: 

Passagier marschiert gegen die Fahrtrichtung:

Wenn Sie dagegen genau entgegengesetzt zur Fahrtrichtung marschieren, 

dann subtrahiert sich natürlich Ihre Geschwindigkeit von der des Zuges und 

Sie haben eine Geschwindigkeit von 15 km/h gegenüber dem Bahndamm.

Passagier marschiert quer zur Fahrtrichtung: 

a 2 b 2 = c 2 c = a 2 b 2

Wenn Sie quer zur Fahrtrichtung gehen, so dass Ihre Geschwindigkeit genau senkrecht 

steht zur Fahrtrichtung des Wagens, bilden die Geschwindigkeit des Zuges bezüglich 

des Bahndamms, Ihre Geschwindigkeit bezüglich des Eisenbahnwagens und Ihre 

Geschwindigkeit bezüglich des Bahndamms ein rechtwinkliges Dreieck. 

Für ein rechtwinkliges Dreieck gilt der Satz von Pythagoras. 

Für den Fall, dass Sie den Satz des Pythagoras nicht kennen oder ihn wieder vergessen 

haben, sei er hier kurz erklärt. 

Nach dem Satz von Pythagoras ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem 

Quadrat der Hypothenuse. Das Quadrat von a bedeutet a mit sich selbst multipliziert 

(a 2 = a mal a). 

Werden also die Quadrate von a und b addiert, ergibt sich eine Zahl z = c 2 , die das 

Quadrat der gesuchten Zahl c ist. Man sucht jetzt eine Zahl c, die mit sich selbst 

multipliziert die gegebene Zahl z ergibt. Man sagt „c ist die Wurzel von z“ und schreibt 

c = z .

Wurzeln 

2⋅2 = 4 4 = 2 

3⋅3 = 9 9 = 3 

6⋅6 = 36 36 = 6 

2 = 1.414213 

3 = 1.732050

Aus 2 mal 2 gleich 4 folgt sofort, dass die Wurzel aus 4 gleich 2 ist. 

Mit „Wurzel“ ist hier immer die Qudratwurzel gemeint. 

Wurzeln können aber nicht nur aus den Quadratzahlen der ganzen Zahlen gezogen 

werden. Die Wurzel lässt sich aus einer beliebigen positiven Zahl ziehen (es ist sogar 

die Wurzel aus einer negativen Zahl definiert, aber darauf wird hier nicht weiter 

eingegangen). 

Die Quadratwurzel aus einer Nichtquadratzahl ist irrational, d.h. sie kann nicht als 

Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden und ihre Darstellung als 

Dezimalbruch bricht nicht ab und ist nicht periodisch. 

In der Beschreibung des Vortrags wurde gesagt, es würden keinerlei mathematischen 

Kenntnisse vorausgesetzt. Wenn wir jetzt schon dabei sind, den Begriff der 

Qudratwurzel zu erklären, können wir gleich auch noch den Begriff der Zehnerpotenz 

erklären.

Zehnerpotenzen 

10 1 = 10 

10 2 = 100 

10 3 = 1000 

10 4 = 10000

Zu dieser Tabelle könnte man eigentlich schreiben „Ohne Worte“, 

denn die Tabelle erklärt sich selbst. 

Die kleine hochgestellte Zahl, der so genannte Exponent, ist einfach 

gleich der Zahl der Nullen hinter der Eins.


10 1 = 10 

10 2 = 100 

10 3 = 1000 

10 4 = 10000 

10 –1 = 0.1 

10 –2 = 0.01 

10 –3 = 0.001 

10 –4 = 0.0001

Genau so einfach sind die negativen Zehnerpotenzen definiert.


10 1 = 10 

10 2 = 100 

10 3 = 1000 

10 4 = 10000 

10 –1 = 0.1 

10 –2 = 0.01 

10 –3 = 0.001 

10 –4 = 0.0001 

10 2 • 10 3 = 10 2 + 3 = 10 5 

10 2 • 10 – 4 = 10 2 – 4 = 10 – 2 

10 2 / 10 4 = 10 2 – 4 = 10 – 2 

10 2 • 10 – 2 = 10 2 – 2 = 10 0 = 1

Mit Zehnerpotenzen kann besonders einfach gerechnet werden. 

Bei einer Multiplikation werden einfach die Exponenten addiert, 

und bei einer Division wird der Exponent des Nenners vom Exponenten 

des Zählers subtrahiert. 

Die Tabelle ist wieder weitgehend selbsterklärend. 

Die letzte Zeile zeigt, dass es sinnvoll und konsequent ist, die zunächst nicht 

definierte Zehnerpotenz 10 0 als 1 zu definieren. 

Dass Zehnerpotenzen sehr nützlich sind, zeigt das folgende Beispiel.

Strahlungsleistung der Sonne: 

385'000'000'000'000'000'000'000'000 W

Zunächst einmal ist es offensichtlich sehr mühsam, eine solche Zahl zu schreiben. 

Stellen Sie sich jetzt vor, Sie müssten diese Zahl jemandem am Telefon übermitteln. 

Selbst wenn Sie wissen, wie man diese Zahl ausspricht, ist es unsicher, ob auch Ihr 

Gesprächspartner, weiss, wie es nach Trillionen, Quadrillionen, Quintillionen usw. 

weitergeht. Also sagen Sie doch besser „3 8 5 und dann noch 24 Nullen“. Und das 

lässt sich eben am einfachsten folgendermassen sagen.

Strahlungsleistung der Sonne: 

385'000'000'000'000'000'000'000'000 W 

3.85·10 26 W

So lässt sich die Zahl nicht nur viel einfacher und sicherer sagen und übermitteln, 

sondern so lässt sich die Zahl auch viel einfacher und sicherer schreiben.

Passagier marschiert quer zur Fahrtrichtung: 

a 2 b 2 = c 2 c = a 2 b 2

Wir waren dabei, Ihre Geschwindigkeit relativ zum Bahndamm zu berechnen, 

wenn Sie mit 5 km/h quer zur den 20 km/h des Eisenbahnzuges marschieren. 

Nach Pythogoras rechnen wir also 20 2 + 5 2 = 400 + 25 = 425 und ziehen dann 

die Wurzel aus 425 und erhalten 20.6.

Geradlinig gleichförmig bewegtes Laboratorium

Das Marschieren im Eisenbahnwagen war ja nur das einfachste Beispiel eines 

Experiments in einem geradlinig gleichförmig bewegten Bezugssystem. Wir stellen 

jetzt einem Physiker alle Apparate, Geräte und Messinstrumente zur Verfügung, die 

er sich nur wünschen kann. Währendem vorhin der Eisenbahnwagen durchsichtig war, 

damit man die Bewegung des marschierenden Passagiers von aussen besser beobachten 

konnte, kleben wir jetzt perfiderweise alle Fenster zu, damit der Physiker nicht 

hinausschauen kann. Um ganz sicher zu gehen, versetzen wir den armen Kerl in Narkose, 

damit er das Anfahren des Zuges nicht feststellen kann. 

Wenn dann der Zug mit konstanter Geschwindigkeit (und völlig erschütterungsfrei und 

absolut lautlos!) dahingleitet und der Physiker aus der Narkose erwacht, soll er mit 

seinen Experimenten beginnen. Wir lassen ihm genügend Zeit, aber dann fragen wir 

ihn: „Fährt der Zug oder steht er still?“ Es stellt sich heraus, dass er überhaupt keine 

Möglichkeit hat, das festzustellen.

Alle Experimente verlaufen im fahrenden Labor 

genau gleich wie im stillstehenden Labor.

Mit „fahrendem Labor“ ist wieder ein Bezugssystem gemeint, das sich mit 

konstanter Geschwindigkeit geradlinig bewegt. 

Da alle Experimente im „fahrenden Labor“ genau gleich ablaufen wie im 

„ruhenden Labor“, kann gar nicht entschieden werden, welches Labor das 

„ruhende“ ist. 

Ein Bezugssystem, in dem ein Körper, auf den keine Kräfte wirken, sich geradlinig 

gleichförmig bewegt, wird „Inertialsystem“ genannt. Ein Bezugssytem, das sich 

gegenüber einem Inertialsystem geradling gleichförmig bewegt, ist ebenfalls ein 

Inertialsystem.

Relativitätsprinzip 

Die physikalischen Gesetze haben 

in jedem Bezugssystem die gleiche Form.

Bevor ein Physiker empört aufspringt und „Unsinn!“ schreit, präzisieren wir das zu:

Relativitätsprinzip 

Die physikalischen Gesetze haben 

in jedem Inertialsystem die gleiche Form.

Da also ein „ruhendes“ Bezugssystem in keiner Weise gegenüber einem 

Inertialsystem ausgezeichnet ist, macht es eigentlich gar keinen Sinn, 

überhaupt von einem „ruhenden“ Bezugssystem zu sprechen. 

Wenn trotzdem im Folgenden der Einfachheit halber von einem „ruhenden“ Bezugssystem 

die Rede sein wird, ist genaugenommen damit ein Inertialsystem gemeint, 

das willkürlich herausgegriffen als ruhendes System bezeichnet wird und bezüglich 

dessen die Bewegungen der anderen Bezugssysteme beschrieben werden.

Koordinatensysteme 

x = x ' v t ' 

y = y ' 

z = z ' 

t = t '

Es werden nun zwei relativ zueinander bewegte Bezugssysteme betrachtet. 

Das blaue Koordinatensystem x,y,z sei das „ruhende“. 

Das rote Koordinatensystem x',y',z' bewege sich in Richtung der x-Achse 

mit der Geschwindigkeit v. Die Achsen y und y' und die Achsen z und z' seien 

je parallel zueinander. Die Achsen x und x' sollen zusammenfallen, der Deutlichkeit 

halber sind jedoch etwas versetzt gezeichnet. Zur Zeit t = 0 sollen die beiden 

Koordinatenursprünge (x = y = z = 0 und x' = y' = z' = 0) zusammenfallen. 

Die Koordinaten in y- und z-Richtung stimmen überein: y = y' und z = z'. 

Zu der Koordinate x' im roten System kommt die vom roten im blauen System in der 

Zeit t' zurückgelegte Strecke vt'. Das ergibt sofort: x = x' + vt'. 

Dass t = t' gilt, d.h. dass die Zeit im bewegten und im ruhenden Bezugssystem 

genau gleich abläuft, wurde in der klassischen Physik stets als selbstverständlich 

betrachtet.

Koordinatentransformationen 

Galilei-Transformation 

x = x ' v t ' 

y = y ' 

z = z ' 

t = t '

Die eben hergeleiteten Beziehungen zwischen x',y',z',t' und x,y,z,t werden als 

Galilei-Transformation bezeichnet. 

Während die Galilei-Transformation sehr gut mit den Resultaten von mechanischen 

Experimenten übereinzustimmen schien, zeigten sich in der Elektrodynamik 

immer mehr Widersprüche. Insbesondere zeigte das berühmte Experiment von 

Michelson und Morley1987, dass die Lichtgeschwindigkeit im bewegten und 

im ruhenden Bezugssystem den gleichen Wert hat. Das ist jedoch völlig im 

Widerspruch zur Galilei-Transformation. Da die Galiei-Transformation zudem 

das Relativitätsprinzip nicht erfüllt, müssen offenbar die Transformations- 

Gleichungen geändert werden. Einstein sah ein, dass die als selbstverständlich 

betrachtete Annahme t = t' falsch sein muss. 

Die Galilei-Transformation muss durch die Lorentz-Transformation ersetzt werden.

Koordinatentransformationen 

Galilei-Transformation 

x = x ' v t ' 

y = y ' 

z = z ' 

Lorentz-Transformation 

x = x ' v t ' 

 

2 

v 

1 − 

c 2 

y = y ' 

z = z ' 

t = t ' 

t = 

t ' v c 2 

x ' 

1 − v2 

c 2

Die Transformations-Gleichung für die x-Koordinate in der Lorentz-Transformation 

unterscheidet sich von der Transformations-Gleichung in der Galilei-Transformation 

durch den Nenner mit der Wurzel 

 

v 2 

1− 

c . 2 

Solange die Geschwindigkeit v klein ist verglichen mit der Lichtgeschwindigkeit c, 

hat die Wurzel nahezu den Wert 1, so dass die Lorentz-Transformation sich kaum 

unterscheidet von der Galilei-Transformation. 

Ziemlich dramatisch ist nun die Beziehung für t', die zeigt, dass die Zeit im 

bewegten Koordinatensystem nicht gleich abläuft wie im ruhenden System.


Raumschiff 

Torpedo 

u' = 3 4 c 

v = 3 4 c

Aus der Lorentz-Transformation folgen einige verblüffende Resultate. 

Als erstes betrachten wir die Addition von Geschwindigkeiten. 

Ein Raumschiff fliege mit ¾ der Lichtgeschwindigkeit und schiesse ein 

„Raumtorpedo“ ab, das gegenüber dem Raumschiff eine Geschwindigkeit hat, 

die gleich ¾ der Lichtgeschwindigkeit ist. Ob das technisch machbar ist, braucht 

uns hier nicht weiter zu kümmern.


Raumschiff 

Torpedo 

u' = 3 4 c 

v = 3 4 c 

Klassisch: 

u = v u' = 3 4 c 3 4 c = 1 1 2 c

Wenn wir klassisch rechnen, d.h. genau so, wie wir das beim Passagier im 

Eisenbahnwagen gemacht haben, erhalten wir offensichtlich für die 

Geschwindigkeit des Torpedos, die ein „ruhender“ Beobachter messen würde: 

¾ c + ¾ c = 1½ c.


Raumschiff 

Torpedo 

u' = 3 4 c 

v = 3 4 c 

Relativistisch: 

u = v u' 

1 vu ' 

c 2 = 

3 

4 c 3 4 c 

1 9 16 

= 

6 

4 c 

16 9 

16 

= 24 

25 c

Wenn wir dagegen die Geschwindigkeiten richtig, d.h. mit der relativistisch 

gültigen Gleichung, addieren, ergibt sich ein anderes Resultat. Die relativistische 

Gleichung unterscheidet sich von der klassischen Gleichung durch den eigenartigen 

Nenner, der dafür sorgt, dass das Resultat stets kleiner ist als die Lchtgeschwindigkeit, 

solange v und u' kleiner sind als c. 

Mit den gewählten Geschwindigkeiten v = ¾ c und u' = ¾ c ergibt sich für die 

vom ruhenden Beobachter gemessene Geschwindigkeit u = 24/25 c. 

Wird dagegen u' = c gewählt, d.h. sendet das Raumschiff einen Laserstrahl nach 

vorne, so ergibt sich – wie leicht nachgerechnet werden kann – für die vom 

ruhenden Beobachter gemessene Geschwindigkeit u des Laserlichts die gleiche 

Geschwindigkeit c.





l E = mc 2

Zeitdilatation 

t = 

t ' 

1 − v2 

c 2

Wohl eines der verblüffendsten Resultate der Relativitätstheorie ist die so 

genannte Zeitdilatation. 

Die aus der Lorentz-Transformation folgende Beziehung für Δt und Δt' zeigt, 

dass ein Zeitintervall Δt' des bewegten Beobachters dem ruhenden Beobachter 

gedehnt erscheint.


t = 

t ' 

1 − v2 

c 2 

Beispiel: 

v = 0.8c 

v 

c = 0.8


t = 

t ' 

1 − v2 

c 2 

Beispiel: 

v = 0.8c 

v 

c = 0.8 

t = 

t ' 

1 − 0.8 2 = 

t ' 

1 − 0.64 = t ' 

0.36 = t ' 

0.6 = 5 3 t '

Das Beispiel zeigt: 

Wenn an Bord eines Raumschiffs, das sich gegenüber dem ruhenden Beobachter 

mit 80 % der Lichtgeschwindigkeit bewegt, 3 Stunden ablaufen, vergehen für 

den ruhenden Beobachter 5 Stunden.

Ist das nicht alles nur Theorie?

Jetzt ist man vielleicht versucht, zu protestieren: 

„Das ist doch alles nur Theorie!“

Experimente zur Zeitdilatation

Tatsächlich gibt es jedoch eine Reihe von Experimenten, welche die 

Zeitdilatation bestätigen.

Myonenzerfall 

e e

Myonen sind Elementarteilchen, die in Elektronen, Elektronen-Antineutrinos 

und Myon-Neutrinos zerfallen. 

Was Elektronen-Antineutrinos und Myon-Neutrinos sind, braucht uns in diesem 

Zusammenenhang nicht weiter zu kümmern. 

Uns interessiert hier nur die Halbwertszeit.

Myonenzerfall 

e e 

Halbwertszeit: 

T = 1.5⋅10 −6 

s

Die Myonen zerfallen mit einer Halbwertszeit von 1.5 Mikrosekunden. 

Das bedeutet: Nach 1.5 Millionstelsekunden existieren noch die Hälfte der anfänglich 

vorhandenen Myonen, nach 3 Mikrosekunden, dh. nach 2 Halbwertszeiten, noch ein 

Viertel, nach 4.5 μs noch ein Achtel, usw.

Myonenzerfall 

e e 


T = 1.5⋅10 −6 

s 

Myonen werden in der Atmosphäre in grosser Höhe 

durch die kosmische Strahlung erzeugt.

Myonenzerfall 

e e 


T = 1.5⋅10 −6 

s 


durch die kosmische Strahlung erzeugt. 

Geschwindigkeit: 

v = 0.9997 c ≈ c

Myonenzerfall 

e e 


T = 1.5⋅10 −6 

s 


durch die kosmische Strahlung erzeugt. 

Geschwindigkeit: 

v = 0.9997 c ≈ c 

In einer Halbwertszeit zurückgelegter Weg: 

s = v⋅T = 3⋅10 8 ⋅1.5⋅10 −6 = 450 s = 450 

m

Da die Myonen sich nahezu mit Lichtgeschwindigkeit (≈ 3·10 8 m/s) bewegen, 

legen sie in in einer Halbwertszeit (1.5·10 -6 s) 

3·10 8·m/s·1.5·10 -6 s = 450 m zurück.

Myonenzerfall 

6 Halbwertszeiten: 

6 · 450 m = 2700 m 

(½) 6 = 1/ 64 

500 / 64 = 7.8

Nach 6 Halbwertszeiten haben die Myonen 6·450 m = 2700 m zurückgelegt. 

Nach 6 Halbwertszeiten sind nur noch (1/2) 6 = 1/64 der ursprünglichen Myonen 

vorhanden. 

Wenn also in einer Höhe von 3500 m über Meer 500 Myonen (mit einem 

bestimmten Detektor in einem bestimmten Zeitintervall) gemessen werden, 

dann sollten in der Höhe 3500 m – 2700 m = 800 m nur noch 500/64 = 7.8 

Myonen gemessen werden.

Myonenzerfall 

6 Halbwertszeiten: 

6 · 450 m = 2700 m 

(½) 6 = 1/ 64 

500 / 64 = 7.8

Gemessen werden aber 450 Myonen. Es sind also viel weniger Myonen zerfallen. 

Das ist darauf zurückzuführen, dass im schnell bewegten Bezugssystem 

der Myonen viel weniger als 6 Halbwertszeiten vergangen sind, weil in 

diesem Bezugssystem die Zeit langsamer vergeht als auf der Erde.

Elementarteilchen.... 

.... ja – vielleicht.... 

.... aber auch richtige Uhren ?

Jetzt sagen Sie vielleicht: „Elementarteilchen – ja gut, das kann ja vielleicht sein, 

aber so etwas passiert doch sicher nicht mit richtigen Uhren!“

Zeitdilatations-Experiment 

J. Hafele und R. Keating, 1971: Erdumfliegung mit 4 Atomuhren

Tatsächlich wurde 1971 ein Experiment mit Atomuhren gemacht. 

Zwei Physiker umflogen mit 4 Atomuhren die ganze Erde einmal in Richtung Osten 

und einmal in Richtung Westen.


J. Hafele und R. Keating, 1971: Erdumfliegung mit 4 Atomuhren 

Zeitunterschiede Ostflug Westflug 

gerechnet ns ns 

Geschwindigkeit -184 ± 18 +96 ±10

Die Erde dreht sich von Westen nach Osten (daher bewegen sich die Sonne, der Mond 

und die Sterne scheinbar von Osten nach Westen). 

Ein Ort auf dem Aequator bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von rund 460 m/s 

Deshalb läuft eine Uhr am Aequator langsamer als eine Uhr, die sich zwar mit der 

Erde um die Sonne bewegt, aber die Erddrehung um die Erdachse nicht mitmacht. 

Bei einem Flugzeug, das nach Osten fliegt, addiert sich die Fluggeschwindigkeit 

zur der durch Erddrehung bewirkten Geschwindigkeit. Daher läuft die Uhr 

im Flugzeug noch langsamer verglichen mit der Uhr ausserhalb der Erde und 

auch langsamer verglichen mit der Uhr auf der Erde. Die Uhr im Flugzeug geht 

also nach. 

Bei einem Flugzeug, das nach Westen fliegt, subtrahiert sich die Fluggeschwindigkeit 

von der Drehgeschwindigkeit der Erde. Das Flugzeug bewegt sich also von einem 

Punkt ausserhalb der Erde gesehen langsamer als ein Punkt auf dem Aequator. 

Somit geht die Uhr im Flugzeug weniger nach gegenüber der Uhr ausserhalb der 

Erde als die Uhr auf dem Aequator. Das bedeutet aber, dass die Uhr im Flugzeug 

verglichen mit der Uhr auf dem Aequator vor geht.

Bei diesen Ueberlegungen wurde immer von Uhren gesprochen. 

Es ist aber nicht etwa die Uhr, die durch die Bewegung irgendwie beeinflusst würde, 

es ist die Zeit als solche, die in den verschiedenen Bezugssystemen unterschiedlich 

schnell vergeht.





Geschwindigkeit -184 ± 18 +96 ±10 

Gravitation 

+144 ± 14 +179 ±18

Zu diesem durch die Fluggeschwindigkeit bewirkten Effekt kommt ein Effekt hinzu, 

der durch die Gravitation verursacht wird. 

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird gezeigt, dass in einem 

Gravitationsfeld die Zeit langsamer verläuft als ausserhalb des Feldes. 

Da das Schwerefeld der Erde mit der Höhe über der Erde abnimmt, ist das 

Gravitationsfeld an Bord des Flugzeuges etwas weniger stark als auf der 

Erdoberfläche. Deshalb läuft die Zeit an Bord des Flugzeuges schneller 

und die Uhr im Flugzeug geht vor.






Gravitation 

+144 ± 14 +179 ±18 

Gesamteffekt 

-40 ± 23 +275 ± 21

Während beim Flug in Richtung Osten die Effekte der Geschwindigkeit und 

der Gravitation sich voneinander subtrahieren, addieren sie sich beim Flug 

nach Westen. 

Da sowohl die Flughöhe als auch die Fluggeschwindigkeit nicht in jedem 

Moment ganz genau bekannt waren, sind die berechneten Effekte mit einer 

gewissen Unsicherheit behaftet.






Gravitation 

+144 ± 14 +179 ±18 

Gesamteffekt 

gemessen 

Uhr 1 

-40 ± 23 

-57 

+275 ± 21 

+277 

Uhr 2 -74 +284 

Uhr 3 -55 +266 

Uhr 4 -51 +266






Gravitation 

+144 ± 14 +179 ±18 

Gesamteffekt 

-40 ± 23 +275 ± 21 

gemessen 

Uhr 1 -57 +277 

Uhr 2 -74 +284 

Uhr 3 -55 +266 

Uhr 4 -51 +266 

Mittelwerte 

-59 ± 10 +273 ± 7

Auch die von den Atomuhren gemessenen Zeiten sind natürlich mit 

unvermeidlichen Messfehlern behaftet. 

(Jedes Messgerät misst nur mit einer begrenzten Genauigkeit.) 

Die theoretischen und die gemessenen Zeitunterschiede stimmen bei 

Berücksichtigung der theoretischen und experimentellen Fehler 

bestens überein. 

− 40 ± 23 = − 59 ± 10 

+ 275 ± 21 = + 273 ± 7

Das Zwillingsparadoxon 

Albert: Erde 

Eugen: Raumschiff mit v = 0.8c

Ein besonders eindrückliches Beispiel für die Zeitdilatation 

ist das so genannte Zwillingsparadoxon. 

Während Albert auf der Erde zurückbleibt, fliegt sein Zwillingsbruder, Eugen, 

mit einem Raumschiff mit 80 % der Lichtgeschwindigkeit weg zu einem weit 

entfernten Stern und kehrt dann mit der gleichen Geschwindigkeit sofort wieder 

zurück. 

Dass man nicht augenblicklich von Null auf die Lichtgeschwindigkeit 

beschleunigen kann, ist ein „kleines technisches Detail“ (!), um das wir uns 

zunächst nicht weiter kümmern. 

Die Wahl des Namens „Albert“ braucht wohl nicht weiter begründet zu werden, 

aber vielleicht sollte erklärt werden, an wen beim Namen „Eugen“ gedacht wurde.

Eugen Sänger 1905 - 1964

Prof. Eugen Sänger war wohl der erste, der Raumflüge mit relativistischen 

Geschwindigkeiten berechnete. 

Sänger, Eugen: „Zur Mechanik der Photonen-Strahlantriebe“ 

Oldenburg, München 1956.


Albert: Erde 

Eugen: Raumschiff mit v = 0.8c


Albert: Erde 

Eugen: Raumschiff mit v = 0.8c 

Entfernung des Zielsterns: 4 Lichtjahre

Eugen fliege zu einem Stern, der 4 Lichtjahre entfernt ist. 

Zwar existiert in 4 Lichtjahren Entfernung kein Stern. Der nächste Stern ist 

4.3 Lichtjahre entfernt, aber mit 4 Lichtjahren wird die Rechnung einfacher. 

Ein Lichtjahr ist nicht etwa eine Zeiteinheit (wie gelegentlich irrtümlicherweise 

geglaubt wird), sondern die Strecke, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. 

1 Lichtjahr = 9.45·10 15 m


Albert: Erde 


Entfernung des Zielsterns: 4 Lichtjahre 

Reisezeit von der Erde aus gesehen: 

Reisezeit an Bord des Raumschiffs: 

5 

3 

Jahre 

Jahre

Da Eugen mit 80 % der Lichtgeschwindigkeit fliegt, braucht er für die 4 Lichtjahre 

5 Jahre. 

Für eine Geschwindigkeit von 0.8 c hatten wir schon berechnet, dass für 

3 Zeiteinheiten im bewegten System 5 Zeiteinheiten im ruhenden System 

vergehen. 

Wenn also die Reise von der Erde aus gesehen 5 Jahre dauert, 

vergehen an Bord des Raumschiffs nur 3 Jahre.


Albert: Erde 





Vom Raumschiff aus gesehen: 

Erde entfernt sich mit v = 0.8c 

5 

3 

Jahre 

Jahre

Wenn, wie vorausgesetzt, das Raumschiff mit konstanter Geschwindigkeit fliegt, 

ist es ein Inertialsystem, und Eugen kann sich auf den Standpunkt stellen: 

„Ich stehe still, aber Albert entfernt sich mit der Erde von mir mit 80 % der 

Lichtgeschwindigkeit. Folglich läuft seine Zeit nur 3/5 mal so schnell wie meine. 

Somit sind für ihn nur 3/5 · 3 Jahre, also 1.8 Jahre, vergangen.“


Albert: Erde 








Reisezeit auf der Erde: 

5 

3 

3 

1.8 

Jahre 

Jahre 

Jahre 

Jahre

Während also für Albert die Reise von Eugen 5 Jahre dauert, könnte Eugen 

meinen, für Albert seien nur 1.8 Jahre vergangen, wenn er (Eugen) beim 

Zielstern ankommt. 

Das führt zunächst zu keinem dramatischen Widerspruch, weil Albert und Eugen 

nicht direkt miteinander kommunizieren können. Jedes Signal zwischen Albert 

und Eugen ist ja 4 Jahre unterwegs. Wenn Eugen Albert eine Frage stellt, 

muss er 8 Jahre auf die Antwort warten.


Albert: Erde 









Reisezeit für Hin- und Rückflug: 

Albert: 

Eugen: 

Albert aus der Sicht Eugens: 

5 

3 

3 

1.8 

10 

6 

3.6 

Jahre 

Jahre 

Jahre 

Jahre 

Jahre 

Jahre 

Jahre


Albert: Erde 










Albert: 

Eugen: 


Differenz für Alberts Alterung: 

5 

3 

3 

1.8 

10 

6 

3.6 

6.4 

Jahre 

Jahre 

Jahre 

Jahre 

Jahre 

Jahre 

Jahre 

Jahre

Wenn dagegen Eugen zurückkehrt, wird die Situation seltsam. 

Albert stellt fest an Hand des Kalenders, dass Eugen 10 Jahre unterwegs war. 

Andererseits zeigt Eugens Kalenderuhr, dass er nur 6 Jahre unterwegs war, 

und er ist auch nur 6 Jahre älter geworden. Auf Grund der Relativitätstheorie 

erwartet er aber, dass für Albert nur 3.6 Jahre vergangen sind.


Albert: Erde 





5 

3 

Jahre 

Jahre 





3 

1.8 

Jahre 

Jahre 


Albert: 

Eugen: 



10 

6 

3.6 

6.4 

Jahre 

Jahre 

Jahre 

Jahre 

Paradox?

Das ist das Paradoxon: Wenn Eugen zurückkommt, ist Albert 10 Jahre älter geworden. 

Eugen ist jedoch überzeugt, dass Albert nur 3.6 Jahre älter geworden sein kann. 

Wie kommt es zu dieser Differenz von 6.4 Jahren? 

Oder anders ausgedrückt: 

Albert ist überzeugt, dass Eugen 4 Jahre jünger ist als Albert, wenn er zurückkommt. 

Eugen ist jeoch überzeugt, dass Albert 2.4 Jahre jünger ist als Eugen, wenn er Albert 

wieder trifft.

Also ist doch alles ganz falsch?

Um das besser zu verstehen, müssen wir erst einmal ein Weg-Zeit-Diagramm 

betrachten.

Weg-Zeit-Diagramm

In einem Weg-Zeit-Diagramm ist der Ort eines Körpers als Funktion der Zeit 

aufgetragen. Dort, wo die Kurve (oder Gerade) steil ansteigt, bewegt sich der 

Körper offenbar schnell, während dort, wo die Kurve flach verläuft, der Körper 

sich langsam bewegt. Wenn die Kurve horizontal, d.h. parallel zur t-Achse, 

verläuft, steht der Körper still, da sich seine Ortskoordinate x nicht ändert.

Koordinatensysteme

Wir betrachten jetzt ein (rotes) Koordinatensystem x'y'z', das sich mit der 

Geschwindigkeit v relativ zum „ruhenden“ (blauen) Koordinatensystem xyz in 

Richtung der x-Achse bewegt. Die beiden Achsen x und x' sollen zusammenfallen, 

sie sind jedoch der Deutlichkeit halber etwas versetzt gezeichnet. 

Zur Zeit t = 0 sei der Ort x' = 0 am Ort x = 0. 

Die t'-Achse entspricht dem Ort x' = 0.

v = 0.167c

Das „gestrichene Koordinatensystem“ x'y'z' bewege sich mit der Geschwindigkeit 

v = 0.167c, d.h. seine Geschwindigkeit beträgt 16.7 % der Lichtgeschwindigkeit. 

Zweckmässigerweise sind hier wieder statt der Zeiten t und t' die mit der 

Lichtgeschwindigkeit multiplizierten Zeiten aufgetragen, also die Strecken ct und ct'. 

Da sich der Punkt x' = 0 mit der Geschwindigkeit v im Koordinatensystem xyz 

bewegt, ist die ct'-Achse geneigt, denn sie ist nichts anderes als das Weg-Zeit- 

Diagramm des Punktes x' = 0 im System xyz. 

So weit sieht alles genau gleich aus wie in der klassichen Physik.

v = 0.167c

Was hingegen nur in der relativistischen Physik auftritt, ist die Neigung der x'-Achse. 

Die Punkte auf der x-Achse haben ja alle die gleiche Zeit t = 0, 

und die Punkte auf der x'-Achse haben alle die Zeit t' = 0. 

In der klassischen Physik würden die beiden Achsen x und x' zusammenfallen, 

weil die Zeit im bewegten System genau gleich ist wie im ruhenden System. 

In der relativistischen Physik ist jedoch die x'-Achse nicht parallel zur x-Achse, 

sondern geneigt.

v = 0.8 c

Je grösser die Geschwindigkeit ist, umso stärker sind die Neigungen der 

x'- und ct'-Achsen. 

Für die ct'-Achse ist das unmittelbar klar. Sie stellt ja das Weg-Zeit-Diagramm des 

Punktes x' = 0 dar, und dieses verläuft umso steiler, je grösser die Geschwindigkeit ist. 

Die x'-Achse ist umso stärker geneigt, je grösser die Geschwindgkeit ist, weil die 

Zeitdilatation mit der Geschwindigkeit zunimmt. 

Im bewegten Koordinatensystem sind diejenigen Ereignisse gleichzeitig, die auf 

Parallelen zur x'-Achse liegen.

Ereignisse 

System x, y, z: 

Die Ereignisse A und B sind gleichzeitig.

Wir hatten gesehen, dass im System xyz die Ereignisse gleichzeitig sind, welche 

die gleiche ct-Koordinate haben. Das sind diejenigen Punkte, die auf Parallelen 

zur x-Achse liegen, d.h. die senkrecht bezüglich der ct-Achse übereinander liegen, 

also z.B. die Punkte A und B.

Ereignisse 

System x', y', z': 

Die Ereignisse A und C sind gleichzeitig.

Im System x'y'z' dagegen sind die Ereignisse gleichzeitig, die auf Parallelen 

zur x'-Achse liegen, also z.B. die Punkte A und C.

Gleichzeitigkeit 

Es gibt keine absolute Gleichzeitigkeit.


Es gibt keine absolute Gleichzeitigkeit. 

Der Begriff „gleichzeitig“ ist relativ.


Es gibt keine absolute Gleichzeitigkeit. 

Der Begriff „gleichzeitig“ ist relativ. 

Zwei relativ zueinander bewegte Beobachter 

nehmen unterschiedliche Paare von 

Ereignissen als gleichzeitig wahr.

Dieses Bild ist das Weg-Zeit-Diagramm von Eugen auf seiner Hinreise.

Das Bild zeigt das Weg-Zeit-Diagramm von Eugens Hin- und Rückreise.

Ereignisse 

System x', y', z': 

Die Ereignisse A und C sind gleichzeitig.

Auf der Hinreise, d.h. während Eugen sich in Richtung der x-Achse bewegt, 

sind für ihn die Ereignisse gleichzeitig, die auf Parallelen zur x'-Achse liegen, 

also z.B. die Ereignisse A und C.

Wir zeichnen jetzt eine Gerade der Gleichzeitigkeit in dasWeg-Zeit-Diagramm ein...

...für den Moment, in dem er beim Zielstern ankommt, aber immer noch die 

Geschwindigkeit v = 0.8 c hat.

Man kann leicht ausrechnen, wo diese Gerade der Gleichzeitigkeit die Zeitachse t 

schneidet, und erhält 1.8 Jahre nach dem Start von Eugen. 

Wenn also Eugen am Ziel ankommt (aber sich immer noch mit 80 % der 

Lichtgeschwindigkeit bewegt), findet er, dass auf der Erde nur 1.8 Jahre 

vergangen sind. 

Er hat natürlich keine Möglichkeit, dies direkt nachzuprüfen. 

Wenn er nun augenblicklich(!) abgebremst hat, ist er in Ruhe in Bezug auf das 

System xyz. Damit hat er die gleiche Zeit wie Albert, d.h. 5 Jahre nach dem Start. 

Während des Abbremsvorgangs sind also für ihn auf der Erde 3.2 Jahre 

vergangen. Auch das kann er natürlich nicht direkt feststellen.

Wenn er sich nun auf die Rückreise begibt und wieder augenblicklich auf die 

Geschwindigkeit 0.8c beschleunigt, bewegt er sich entgegengesetzt zur Richtung 

der x-Achse. Damit ist seine Gerade der Gleichzeitigkeit in diese Richtung 

geneigt. Die Rechnung zeigt, dass diese Gerade die Zeitachse t bei 8.2 Jahren 

schneidet. In dem Moment, da Eugen (instantan) am Zielort umgekehrt ist, 

sind für ihn auf der Erde 6.4 Jahre (in einem einzigen Augenblick) vergangen. 

Wie gesagt, kann er das nicht direkt nachprüfen. Wenn er aber wieder auf der 

Erde ankommt, sind auf der Erde nicht 3.6 Jahre vergangen, wie er berechnet hat, 

ohne seine Fahrtrichtungsänderung beim Umkehren zu berücksichtigen, 

sondern tatsächlich 10 Jahre, wie auch Albert auf seiner Kalenderuhr abliest.


Albert: Erde 





5 

3 

Jahre 

Jahre 





3 

1.8 

Jahre 

Jahre 


Albert: 

Eugen: 



10 

6 

3.6 

6.4 

Jahre 

Jahre 

Jahre 

Jahre 

Paradox?

Die 6.4 Jahre, die während Eugens Fahrtrichtungsänderung auf der Erde vergehen, 

sind genau die Differenz, die sich bei den beiden Rechnungen in Alberts und 

Eugens Bezugssystemen ergeben haben. 

Es ist also kein Paradoxon. Ein Paradoxon ergibt sich nur, wenn nicht richtig 

gerechnet wird.

Kein Paradoxon! 

Albert ist wirklich 10 Jahre älter geworden, 

während für Eugen nur 6 Jahre vergangen sind.

Eine augenblickliche Beschleunigung von 0 auf 0.8c ist natürlich nicht nur technisch, 

sondern auch physikalisch unmöglich. 

Denkbar wäre ein Raumschiff, mit dem konstant mit 10 m/s 2 beschleunigt wird, 

d.h. in jeder Sekunde nimmt die Geschwindigkeit des Raumschiffs um 10 m/s zu 

(von einem momentan mit konstanter Geschwindigkeit mitbewegten System aus 

gesehen).

Wenn wir ein solches Raumschiff haben, beschleunigen wir bis zur Wegmitte 

mit 10 m/s 2 , schalten das Triebwerk ab, drehen das Schiff um 180° herum,...

...schalten das Triebwerk wieder ein und bremsen bis zum Ziel konstant ab mit 

10 m/s 2 , d.h. in jeder Sekunde wird das Raumschiff 10 m/s langsamer (von einem 

momentan mit konstanter Geschwindigkeit mitbewegten System aus gesehen).

Raumschiff: konstante Beschleunigung mit 10 m/s 2 

Die Passagiere spüren ihr normales Gewicht. 

„Unten“ ist das Heck des Schiffes.

Raumschiff: konstante Beschleunigung mit 10 m/s 2 

Die Passagiere spüren ihr normales Gewicht. 

„Unten“ ist das Heck des Schiffes. 

Erde: 

mit zunehmender Geschwindigkeit nimmt die 

Beschleunigung des Raumschiffes immer mehr ab 

und geht gegen null

Während Eugen an Bord des Raumschiffs auf Grund seiner Messungen (und 

seines gefühlten „Gewichts“) schliesst, dass er konstant mit 10 m/s 2 beschleunigt, 

würde Albert feststellen, dass die Beschleunigung von Eugens Schiff immer 

kleiner wird.

Reisezeiten für relativistische Reisen 

Distanz Reisezeit in Jahren 

Lichtjahre 

Erdzeit Bordzeit Erdzeit Bordzeit 

Hinflug 

Retour 

Zielstern 

Alpha Centauri 4.3 5.90 3.52 11.8 7.04

Fliegen wir also auf diese Weise zum nächsten Fixstern, zum Alpha Centauri, 

der 4.3 Lichtjahre entfernt ist. 

Genau genommen ist Alpha Centauri ein Doppelsternsystem, und es ist umstritten, 

ob auch der 4.22 Lichtjahre entfernte Zwergstern Proxima Centauri zu diesem 

System gehört. 

Von der Erde aus gesehen dauert die Reise 5.9 Jahre, aber an Bord vergehen nur 

3.5 Jahre. Wenn wir zurückkommen, sind auf der Erde 11.8 Jahre vergangen, 

während wir an Bord des Raumschiffes nur 7 Jahre älter geworden sind.



Zielstern 

Lichtjahre 


Hinflug 

Retour 

Alpha Centauri 4.3 5.90 3.52 11.8 7.04 

Sirius 8.6 10.3 4.55 20.6 9.10

Je weiter wir fliegen, d.h. je länger wir beschleunigen und je näher wir an die 

Lichtgeschwindigkeit herankommen, umso grösser wird der Zeitdilatations-Effekt. 

Wenn wir von einer Reise zum Sirius zurückkommen, sind wir nur etwas mehr als 

9 Jahre älter geworden, während auf der Erde mehr als 20 Jahre vergangen sind.



Zielstern 

Lichtjahre 


Hinflug 

Retour 


Sirius 8.6 10.3 4.55 20.6 9.10 

Wega 25 26.8 6.35 53.6 12.7

Wenn wir zur Wega fliegen, sind wir bei der Rückkehr weniger als 13 Jahre älter 

geworden, aber auf der Erde sind mehr als 53 Jahre vergangen. 

Und viel weiter als bis zur Wega dürfen wir nicht reisen, wenn wir bei der Rückkehr 

die Menschen noch treffen wollen, die wir gekannt haben.



Zielstern 

Lichtjahre 


Hinflug 

Retour 


Sirius 8.6 10.3 4.55 20.6 9.10 

Wega 25 26.8 6.35 53.6 12.7 

Aldebaran 62 63.9 8.00 128 16.0



Zielstern 

Lichtjahre 


Hinflug 

Retour 


Sirius 8.6 10.3 4.55 20.6 9.10 

Wega 25 26.8 6.35 53.6 12.7 

Aldebaran 62 63.9 8.00 128 16.0 

Polarstern 400 402 11.5 804 23.0

Wenn wir vom Polarstern zurückkommen, sind wir 16 Jahre älter geworden, 

während auf der Erde mehr als 800 Jahre vergangen sind.



Zielstern 

Lichtjahre 


Hinflug 

Retour 


Sirius 8.6 10.3 4.55 20.6 9.10 

Wega 25 26.8 6.35 53.6 12.7 

Aldebaran 62 63.9 8.00 128 16.0 

Polarstern 400 402 11.5 804 23.0 

Galaxiszentrum 28'000 28'000 19.6 56'000 39.6

Sogar das 28'000 Lichtjahre entfernte Zentrum unserer Milchstrasse kann in 

nur 20 Jahren Bordzeit erreicht werden. 

Wenn Sie dorthin fliegen, nehmen Sie doch einen Astrophysiker mit. Den machen 

Sie damit überglücklich. Der kommt auch mit, wenn Sie sagen, es gebe keine 

Rückfahrkarte. 

Wenn (falls !) Sie zurückkommen, sind Sie nur 40 Jahre älter geworden, 

aber auf der Erde sind 56'000 Jahre vergangen.



Zielstern 

Lichtjahre 


Hinflug 

Retour 


Sirius 8.6 10.3 4.55 20.6 9.10 

Wega 25 26.8 6.35 53.6 12.7 

Aldebaran 62 63.9 8.00 128 16.0 

Polarstern 400 402 11.5 804 23.0 

Galaxiszentrum 28'000 28'000 19.6 56'000 39.6 

Andromeda 2.3 M 2.3 M 27.9 4.6 M 55.8

Auch die nächste Galaxie, die Andromeda-Galaxie, ist erreichbar. 

Wenn wir zurückkommen, sind wir „nur“ 56 Jahre älter geworden, 

aber auf der Erde sind inzwischen 4.6 Millionen Jahre vergangen. 

Es fragt sich, ob dann die „Heim“-Reise sich überhaupt noch lohnt...

Gute Nachricht:

Gute Nachricht: 

Mit einem Raumschiff, das mit 10 m/s 2 beschleunigt, 

kann innerhalb eines Menschenlebens jeder beliebige Punkt 

des (bekannten) Universums erreicht werden.

Gemeint ist damit nur die „einfache Fahrt“ ohne Rückfahrt. Weil während der 

ganzen Fahrt ständig beschleunigt wird, kommt das Raumschiff immer näher 

an die Lichtgeschwindigkeit heran, und die Zeitdilatation wird immer grösser.




des (bekannten) Universums erreicht werden. 

Schlechte Nachricht:




des (bekannten) Universums erreicht werden. 

Schlechte Nachricht: 

Wie ist das aber mit dem Antrieb?

Rakete 

Ausströmgeschwindigkeit des Treibstrahls: u 

Chemische Triebwerke: 

Nukleare Triebwerke: 

Ionentriebwerke: 

4.5 km/s 

10 km/s 

250 km/s

Rakete 





4.5 km/s 

10 km/s 

250 km/s 

v = u ln m 0 

m

m 0 

/m ist das so genannte Massenverhältnis der Rakete. m 0 

ist Anfangsmasse der 

Rakete, d.h. die Masse der mit Treibstoff vollgetankten Rakete. m ist die Endmasse 

der Rakete, d.h. die Masse der Rakete, wenn aller Treibstoff verbraucht worden ist. 

ln ist der natürliche Logarithmus. Man muss diese Funktion nicht kennen, um 

das in der folgenden Tabelle wiedergegebene Resultat zu verstehen. 

Die Formel gilt für eine Rakete, die nicht in einem Schwerefeld startet. Wenn die 

Rakete beim Aufstieg „ihre Schwerkraft überwinden“ muss, ist die erreichte 

Endgeschwindigkeit natürlich kleiner. Bei einem interstellaren Flug wird aber 

nahezu die ganze Wegstrecke in einem praktisch schwerefreien Raum zurückgelegt.

Rakete 





4.5 km/s 

10 km/s 

250 km/s 

v = u ln m 0 

m 

Massenverhältnis 

der Rakete 

10 

30 

1000 

1000000 

Endgeschwindigkeit 

der Rakete 

2.3 u 

3.4 u 

6.9 u 

13.8 u

Wenn die Rakete ein Massenverhältnis von 10 aufweist, ist die Endgeschwindigkeit, 

die sie erreicht, nur 2.3 mal grösser als die Ausströmgeschwindigkeit des 

Treibstrahls. 

Ein Massenverhältnis von 10 ist schon ein sehr hoher Wert. 

Das kann am Beispiel eines Autos veranschaulicht werden.

Auto mit Massenverhältnis 10

Auto mit Massenverhältnis 10 

Auto vollgetankt: 

1500 kg

Auto mit Massenverhältnis 10 

Auto vollgetankt: 

1500 kg 

Auto mit leerem Tank: 150 kg

Ein Auto mit einem Massenverhältnis von 10, das im vollgetankten Zustand eine 

Masse von 1500 kg hat, darf mit leerem Tank nur eine Masse von 150 kg haben. 

Chassis, Motor, Räder und Fahrer dürfen also zusammen nicht mehr als 150 kg Masse 

haben. Für eine Karosserie reicht es wohl nicht mehr.

Rakete 





4.5 km/s 

10 km/s 

250 km/s 

v = u ln m 0 

m 

Massenverhältnis 

der Rakete 

10 

30 

1000 

1000000 

Endgeschwindigkeit 

der Rakete 

2.3 u 

3.4 u 

6.9 u 

13.8 u 

Lichtgeschwindigkeit: 300'000 km/s

Selbst mit einem absurden Massenverhältnis von 1'000'000 könnte nur das 

13.8-fache der Treibstrahl-Geschwindigkeit erreicht werden, also bestenfalls 

rund 3500 km/s. Das ist ein wenig mehr als 1 % der Lichtgeschwindigkeit. 

Ein Vergrössern des Massenverhältnisses führt offenbar nicht zum Ziel. 

Viel mehr bringt ein Vergrössern der Strahlgeschwindigkeit.

Ziel: möglichst grosse Strahlgeschwindigkeit

Ziel: möglichst grosse Strahlgeschwindigkeit 

Radikale Lösung: 

u = c

Die maximale Treibstrahl-Geschwindigkeit, die (theoretisch) erreicht werden kann, 

ist die Lichtgeschwindigkeit c. 

Da Lichtquanten Photonen genannt werden, wird eine Rakete, die einen 

Lichtstrahl als Antrieb verwendet, als Photonenrakete bezeichnet.

Ziel: möglichst grosse Strahlgeschwindigkeit 

Radikale Lösung: 

u = c 

Photonenrakete

Gibt es denn Photonenraketen?

Gibt es denn Photonenraketen? 

Ja, seit über 100 Jahren!

Taschenlampe als Photonenrakete 

a = P mc 

v = at 

s = vt 

2

Auch wenn einem diese drei Formeln nichts sagen, kann man trotzdem 

wieder das Resultat verstehen.


a = P mc 

v = at 

s = vt 

2 

m = 1 kg P = 2 

W

Die Taschenlampe habe eine Masse von 1 kg und gebe einen Lichtstrahl 

mit einer Leistung von 2 W ab. 

Die Taschenlampe werde irgendwo im Weltraum, weit weg von Schwerefeldern 

von irgendwelchen Körpern (Sterne, Planeten usw.) deponiert und eingeschaltet. 

Die Batterie liefere für unbegrenzte Zeit Strom, und die Glühlampe habe eine 

unbegrenzte Lebensdauer. 

Durch das abgestrahlte Licht erfährt die Taschenlampe einen Rückstoss und 

wird beschleunigt. Die Beschleunigung ist allerdings sehr klein.


a = P mc 

v = at 

s = vt 

2 

m = 1 kg P = 2 

W 

a = 6.67⋅10 −9 ms −2

Damit die Bewegung der Taschenlampe besser festgestellt werden kann, 

wird neben ihr eine „Boje“ deponiert. 

Nach einem Jahr schauen wir wieder nach, was passiert ist.


a = P mc 

v = at 

s = vt 

2 

m = 1 kg P = 2 

W 

a = 6.67⋅10 −9 ms −2 

Nach 1 Jahr: 

v = 21 cm/s

Nach einem Jahr ununterbrochener Beschleunigung hat also unsere Photonenrakete 

die phantastische Geschwindigkeit von 21 cm/s erreicht.


a = P mc 

v = at 

s = vt 

2 

m = 1 kg P = 2 

W 

a = 6.67⋅10 −9 ms −2 

Nach 1 Jahr: 

v = 21 cm/s 

s = 3320 km

Aber immerhin hat sie in dieser Zeit eine Strecke von 3320 km zurückgelegt. 

Zu Fuss wäre man allerdings weiter gekommen...

Photonenrakete mit einer Beschleunigung von 10 m/s 2

Wir möchten aber eine Photonenrakete, die eine Beschleunigung von 10 m/s 2 erreicht.

Photonenrakete mit einer Beschleunigung von 10 m/s 2 

Spezifische Leistung: 3000 MW / kg

Dazu müsste das Triebwerk eine spezifische Leistung von 3000 MW/kg haben, 

genauer gesagt, nicht das Triebwerk, sondern das ganze Raumschiff müsste 

diese spezifische Leistung haben. 

Das bedeutet, dass zum Beispiel diese Taschenlampe, die eine Masse von 1 kg hat, 

einen gerichteten Lichtstrahl mit einer Leistung von 3000 Megawatt liefern müsste, 

und das während Jahren. 

Bei einem Raumschiff stände ja nicht die ganze Masse für das Triebwerk zur 

Verfügung, sondern ein (grosser) Teil der Masse würde auf die Hülle des Schiffs, 

den Treibstoff und die Nutzlast entfallen. 

Eine solche Leistungsdichte scheint auch für eine noch so fortgeschrittene Technik 

nicht möglich zu sein. 

Für eine interstellare Reise muss man sich also etwas Besseres als eine Photonenrakete 

einfallen lassen...





l E = mc 2

Masse und Impuls 

m = m 0 

1 − v2 

c 2

In vielen populärwissenschaftlichen Texten über Relativitätstheorie findet man 

diese Formel und/oder die Feststellung, dass die Masse eines Körpers mit der 

Geschwindigkeit zunehme.


m = m 0 

1 − v2 

c 2


m = m 0 

1 − v2 

c 2 

m 0 

m

Die Physiker verwenden jedoch diese Formel nicht und brauchen auch nicht 

den Begriff „relativistische Masse“, weil diese im Prinzip gar nicht gemessen 

werden kann. 

Wenn sie von „Masse“ sprechen, meinen sie stets die Masse m 0 

des ruhenden 

Teilchens, aber nennen das nicht „Ruhmasse“, sondern nur einfach Masse.


m = m 0 

1 − v2 

c 2 

m 0 

m 

p = 

mv 

 

2 

v 

1 − 

c 2

Was die Physiker brauchen, ist der Impulserhaltungssatz 

und die Formel für den Impuls. 

Was daraus folgt, kann am folgenden einfachen Beispiel veranschaulicht werden.

Kollision von PW und LKW 

PW: 1 Tonne 

LKW: 40 Tonnen

Ein Personenwagen mit einer Masse von 1000 kg pralle gegen einen stillstehenden 

Lastwagen mit einer Masse von 40 Tonnen.


PW: 1 Tonne 

LKW: 40 Tonnen 

Kollisionsenergie: 

Q = 0.976 T

Der Lastwagen wird sich durch den Aufprall kaum bewegen, und der Personenwagen 

wird sofort praktisch vollständig abgebremst. Dadurch wird nahezu seine ganze 

kinetische Energie (Bewegungsenergie) T in Kollisionsenergie (das ist eigentlich 

„Formänderungsarbeit“) Q umgewandelt. 

97.6 % der kinetischen Energie wird in Kollisionsenergie umgesetzt.


PW: 1 Tonne 

LKW: 40 Tonnen 

Kollisionsenergie: 

Q = 0.0244 T

Wenn dagegen der Lastwagen gegen den stillstehenden Personenwagen prallt, 

schiebt er diesen vor sich her und wird dabei nur wenig verlangsamt. Nur ein 

kleiner Bruchteil (2.4 %) seiner kinetischen Energie wird in Kollisionsenergie 

umgewandelt. 

Da seine Masse 40 mal grösser ist als die Masse des Personenwagens, ist bei 

gleicher Geschwindigkeit auch seine kinetische Energie 40 mal grösser als die 

des Personenwagens. Die „Formänderungsarbeit“ ist daher in beiden Fällen gleich 

gross.

Inelastischer Stoss von Protonen

Bei Autozusammenstössen ist die „Formänderungsarbeit“ sehr unerwünscht. 

In der Teilchenphysik dagegen sind die Physiker sehr interessiert an möglichst 

hohen Kollisionsenergien.

Inelastischer Stoss von Protonen 

Reaktionsenergie 

Klassisch: 

Q = 1 2 T

Wenn zum Beispiel Protonen gegen ruhende Protonen (Kerne von Wasserstoffatomen) 

geschossen werden, dann ist in der klassischen Physik die Kollisionsenergie gleich 

der Hälfte der kinetischen Energie der Protonen. 

Q = ½ T. 

Der Teilchenbeschleuniger muss also die Protonen auf eine Energie beschleunigen, 

die doppelt so gross ist wie die erwünschte Reaktionsenergie (Kollisionsenergie). 

Das ist nicht weiter schlimm.

Inelastischer Stoss von Protonen 

Reaktionsenergie 

Relativistisch (für T >> mc 2 ): 

Q = 2 mc 2 T

In der Relativitätstheorie ergibt sich leider ein ganz anderes Resultat. 

Die Reaktionsenergie ist bei hohen Energien proportional zur Wurzel aus der 

kinetischen Energie der Teilchen. 

Wenn also die Theoretiker den Experimentalphysikern sagen „Bei einer 10 mal 

höheren Energie könnte man dieses interessante Resultat der Theorie testen“, 

dann müssen die Experimentalphysiker nicht eine Maschine bauen, die eine 

10 mal höhere Teilchenenergie liefert, sondern eine Maschine, die eine 100 mal 

höhere Energie liefert.

Kollidierende Strahlen

Um diese Schwierigkeit zu vermeiden, ist man auf die Idee der 

„kollidierenden Strahlen“ gekommen.

Kollidierende Strahlen

Zwei gleiche Teilchen, zum Beispiel Protonen, werden mit gleicher Geschwindigkeit 

frontal gegeneinander geschossen. Nach dem Impulserhaltungssatz bewegen 

sich die Teilchen nach dem Stoss nicht mehr. Das folgt schon aus Symmetriegründen. 

In welche Richtung sollten sich die Teilchen denn bewegen? Nach links oder nach 

rechts? 

Da also nach dem Stoss keine kinetische Energie mehr vorhanden ist, wurde die 

ganze kinetische Energie der beiden Teilchen in Reaktionsenergie umgesetzt.

LHC 

Large Hadron Collider

Das Prinzip der kollidierenden Strahlen wird beim Large Hadron Collider 

des CERN eingesetzt.

CERN 

CERN photo

LHC 

CERN photo

Der LHC ist ein Beschleuniger, der in einem Ringtunnel von 27 km Umfang 

untergebracht ist. 

Wenn Sie diesen Beschleuniger zu Fuss ganz besichtigen möchten, müssten 

Sie etwa 5 Stunden marschieren!

LHC 

Large Hadron Collider 

Zwei kollidierende Protonenstrahlen mit je 7 TeV

Wenn der LHC seine volle Leistung erreicht hat, werden zwei Protonenstrahlen 

mit je 7 TeV gegeneinander geschossen. 

eV bedeutet Elektronvolt. Das Elektronvolt ist eine Energieeinheit, die im Bereich 

der Atom-, Kern- und Teilchenphysik zweckmässig ist. 

T ist die Abkürzung für Tera. Der Vorsatz Tera bedeutet 10 12 .

Elektronvolt 

Durchläuft eine Elementarladung im leeren Raum eine 

Potentialdifferenz von 1 Volt, so gewinnt sie eine Energie 

von 1 Elektronvolt. 

1 eV = 1.602 · 10 −19 J

1 TeV = 10 12 eV

LHC 


Zwei kollidierende Protonenstrahlen mit je 7 TeV

LHC 


Zwei kollidierende Protonenstrahlen mit je 7 TeV 

Kollisionsenergie: 14 TeV (14 ⋅ 10 12 eV)

LHC 



Kollisionsenergie: 14 TeV (14 ⋅ 10 12 eV) 

Kollisionsenergie für Protonen mit 7 TeV auf ruhende 

Protonen: 

0.113 TeV

Wenn Protonen mit einer Energie von 7 TeV auf ruhende Protonen geschossen 

würden, ergäbe sich eine Kollisionsenergie von nur 0.113 TeV.

LHC 





Protonen: 

0.113 TeV 

Notwendige Energie eines Beschleunigers für eine Kollisionsenergie 

von 14 TeV bei Beschuss von ruhenden Protonen: 

105'000 TeV

Wollte man beim Beschuss von ruhenden Protonen eine Reaktionsenergie von 

14 TeV erreichen, müsste der Beschleuniger eine Energie von 105'000 TeV 

liefern. 

Dieser Beschleuniger hätte (bei sonst gleichen Maschinenparametern) einen 

Durchmesser von 128'000 km.

LHC 





Protonen: 

0.113 TeV 

Notwendige Energie eines Beschleunigers für eine Kollisionsenergie 

von 14 TeV bei Beschuss von ruhenden Protonen: 

105'000 TeV 

Durchmesser dieser Maschine: 128'000 km





l E = mc 2

E = mc 2

E = mc 2 ist wohl die berühmteste physikalische Gleichung.

Es ist jedoch keineswegs eine „Wunderformel“. 

Was soll das heissen? 

Die Maxwellschen Gleichungen des Elektromagnetismus könnte man als 

„Wunderformeln“ bezeichnen, denn diese vier Gleichungen (in 

relativistischer Formulierung nur zwei Gleichungen) beschreiben alle 

Phänomene des Elektromagnetismus und der Optik. 

Die Gleichung E = mc 2 beschreibt dagegen keine Phänomene und erklärt 

nichts, sondern ist „nur“ eine „Bilanzgleichung“, die allerdings oft recht 

nützlich ist.

E = mc 2

Einstein hat in seiner berühmten Arbeit „Ist die Trägheit eines Körpers von 

seinem Energieinhalt abhängig?“ von 1905 die Beziehung zwischen Masse 

und Energie gar nie in der Form E = mc 2 geschrieben, sondern seine Gleichung 

sah folgendermassen aus:

E = mc 2 

K 0 − K 1 = L V 2 v 2 

2

In der heutigen Schreibweise würde diese Beziehung so aussehen:

E = mc 2 

m = E 

c 2

Die Physiker verwenden weder die eine noch die andere Gleichung, 

sondern die folgenden Beziehungen:

E = mc 2 

m = E 

c 2 

E 0 = mc 2 E = mc2 

 

2 

v 

1 − 

c 2 

E = mc 2 T

E = mc 2 

m = E 

c 2 

E 0 = mc 2 E = mc2 

 

2 

v 

1 − 

c 2 

E = mc 2 T 

E 2 = m 2 c 4 p 2 c 2

E = mc 2 

Grundlage der Atombombe ?

1. Juli 1946

E = mc 2 


Immer wieder kann man hören oder lesen, die Gleichung E = mc 2 sei die 

Grundlage der Atombombe. 

Das ist Unsinn. 

Es ist zwar nicht völlig falsch, aber vollkommen irreführend. 

Wenn E = mc 2 als Grundlage der Atombombe betrachtet wird, dann ist diese 

Gleichung ebenso sehr die Grundlage für einen Benzinmotor, eine Oelheizung, 

eine Kerzenflamme oder sogar den Stoffwechsel eines Eichhörnchens. 

Die Beziehung gilt nämlich ganz allgemein und gilt nicht nur für kernphysikalische 

Reaktionen, sondern ebenso zum Beispiel für chemische Prozesse. 

Der Unterschied zwischen kernphysikalischen und chemischen Vorgängen besteht 

lediglich darin, dass für chemische Reaktionen die Massenunterschiede so klein 

sind, dass sie nicht gemessen werden können. 

Für die Entwicklung der Atombombe wurde die Gleichung E = mc 2 nicht wirklich 

gebraucht. Die Atombombe hätte auch entwickelt werden können, wenn diese 

Gleichung gar nicht bekannt gewesen wäre.

E = mc 2 ist, wie gesagt, wohl die bekannteste physikalische Gleichung. 

Sie ist aber zugleich leider auch die wohl am häufigsten missverstandene Gleichung. 

Auch wenn man es immer wieder hören oder lesen kann: 

Bei einer Atombombe wird nicht Materie in Energie umgewandelt. 

Die Zahl der Protonen und der Neutronen vor und nach der Spaltung der 

Uranatome (oder Plutoniumatome) ist gleich gross. 

Die Gesamtmasse der Spaltprodukte und der Neutronen nach der Spaltung eines 

Urankerns (oder Plutoniumkerns) ist jedoch kleiner als die Masse des Urankerns 

vor der Spaltung. 

Genau genommen ist die bei der Kernspaltung freiwerdende Energie gleich dem Unterschied der 

Coulomb-Energien des Urankerns (oder Plutoniumkerns) und der Kerne der Spaltprodukte. Eine 

Uran- oder Plutonium-Bombe ist eigentlich eine elektrische Bombe. Nur bei den Fusionswaffen 

(„Wasserstoffbomben“) wird die freiwerdende Energie durch die Kernkräfte verursacht. Das heisst, 

nur Fusionswaffen sind im eigentlichen Sinn des Wortes Kernwaffen.

E = mc 2 


Die Gleichung E = mc 2 erklärt zwar nicht die Fusionsprozesse 

in der Sonne, aber sie erlaubt, den Massenverlust der Sonne 

einfach zu berechnen.

Leuchtkraft der Sonne

Am Ort der Erde beträgt die Strahlungsintensität S der Sonne 1.37 kW/m 2 . 

Wenn dieser Strahlungsfluss mit der Oberfläche der Kugel multipliziert wird, 

deren Radius gleich dem Erdbahnradius ist, ergibt sich die von der Sonne total 

abgestrahlte Leistung.

Leuchtkraft der Sonne 

Leuchtkraft, total abgestrahlte Leistung: 

L = 4 R 2 S

Die Oberfläche einer Kugel mit Radius R ist 4π R 2 .

Leuchtkraft der Sonne 

Leuchtkraft, total abgestrahlte Leistung: 

L = 4 R 2 S 

L = 41.50⋅10 11 2 ⋅1.37⋅10 3 = 3.87⋅10 26

Der Radius R der (nahezu kreisförmigen) Erdbahn ist rund 150 Millionen km, 

also 1.5·10 11 m. 

Damit ergibt sich für die von der Sonne total abgestrahlte Leistung 3.87·10 26 W. 

(Der Unterschied zu dem am Anfang genannten Wert von 3.85·10 26 W ist darauf 

zurückzuführen, dass für die Rechnung hier leicht gerundete Werte für R und S 

verwendet wurden.)

Massenverlust der Sonne 

m = E c 2 = 3.87⋅1026 

3⋅10 8 2 = 4.30⋅10 9

Für die Masse, welche die Sonne pro Sekunde verliert, ergibt sich: 

m = E/c 2 = 4.3·10 9 kg.


m = E c 2 = 3.87⋅1026 

3⋅10 8 2 = 4.30⋅10 9 

Massenverlust der Sonne durch Strahlung: 

4.3 Millionen Tonnen pro Sekunde


m = E c 2 = 3.87⋅1026 

3⋅10 8 2 = 4.30⋅10 9 


4.3 Millionen Tonnen pro Sekunde 

Massenverlust der Sonne durch Sonnenwind:


m = E c 2 = 3.87⋅1026 

3⋅10 8 2 = 4.30⋅10 9 



Massenverlust der Sonne durch Sonnenwind: 

≈ 1 Million Tonnen pro Sekunde


m = E c 2 = 3.87⋅1026 

3⋅10 8 2 = 4.30⋅10 9 




≈ 1 Million Tonnen pro Sekunde 

Totaler Massenverlust der Sonne:


m = E c 2 = 3.87⋅1026 

3⋅10 8 2 = 4.30⋅10 9 




≈ 1 Million Tonnen pro Sekunde 

Totaler Massenverlust der Sonne: 

≈ 5.3 Millionen Tonnen pro Sekunde


5.3 Millionen Tonnen pro Sekunde



Wie lange kann die Sonne das überleben?

Massenverlust der Sonne in 10 Milliarden Jahren: 

weniger als 1 Promille

Missverständnisse

Missverständnisse 

Nur ganz wenige Leute verstehen die Relativitästheorie

Nicht nur jeder Physik-Student kann die (spezielle) Relativitätstheorie verstehen, 

sondern auch jeder Laie, der sich genügend Zeit nimmt und sich die nötigen 

elementaren Mathematik-Kenntnisse aneignet.


Nur ganz wenige Leute verstehen die Relativitästheorie 

Alles ist relativ

Keineswegs. Im Gegenteil: In allen Inertialsystemen haben die physikalischen 

Gesetze die gleiche Form. 

Es wäre viel besser und weniger missverständlich gewesen, wenn man die 

Relativitätstheorie „Invariantentheorie“ genannt hätte.



Alles ist relativ 

Im Weltraum gehen die Uhren langsamer

Nein! Eine Uhr im Weltraum, die sich relativ zur Erde nicht bewegt, 

geht schneller, weil sie sich in einem schwächeren Gravitationsfeld befindet 

als eine Uhr auf der Erdoberfläche. Hinzu kommt der Effekt, dass die Uhr 

auf der Erde infolge der Geschwindigkeit, die sie wegen der Erddrehung hat, 

langsamer geht.




Im Weltraum gehen die Uhren langsamer 

Alles nur Theorie

Keineswegs. Die Resultate der Relativitätstheorie wurden in zahllosen 

Experimenten immer wieder bestätigt gefunden.




Im Weltraum gehen die Uhren langsamer 

Alles nur Theorie

Was würde nicht richtig funktionieren, 

wenn die Relativitätstheorie falsch wäre?


wenn die Relativitätstheorie falsch wäre? 

Grosse Teilchenbeschleuniger 

z.B.: CERN, DESY, Fermilab




z.B.: CERN, DESY, Fermilab 

Navigationssysteme 

LORAN ( Long Range Aid to Navigation ) 

GPS ( Global Positioning System )




z.B.: CERN, DESY, Fermilab 

Navigationssysteme 

LORAN ( Long Range Aid to Navigation ) 

GPS ( Global Positioning System ) 

Synchronisation des weltweiten Systems von Atomuhren

Die spezielle Relativitätstheorie 

ist eine der am besten bestätigten 

Theorien der Physik

Herzlichen Dank 

für Ihr Interesse

Eine etwas erweiterte und leicht modifizerte Fassung 

des Vortrages steht als Skript zur Verfügung. 

Google: „Einsteins Relativitätstheorie relativ einfach erklärt“

Kann man ohne Mathematik 

eine physikalische Theorie wirklich verstehen?


eine physikalische Theorie wirklich verstehen? 

Aussagen und Resultate der Theorie verstehen: grösstenteils



Aussagen und Resultate der Theorie verstehen: grösstenteils 

Herleitungen und Beweise verstehen, 

verstehen warum: 

nur sehr beschränkt






nur sehr beschränkt 

Aussagen und Resultate sich vorstellen







Aussagen und Resultate sich vorstellen 

Klassische Physik: 

weitgehend







Aussagen und Resultate sich vorstellen 

Klassische Physik: 

Relativitätstheorie, Quantenmechanik: 

weitgehend 

kaum

Roman Sexl, Herbert Kurt Schmid 

Raum – Zeit – Relativität 

Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 1978 

Horst Melcher 

Relativitätstheorie in elementarer Darstellung 

Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974 

Jürgen Freund 

Spezielle Relativitätstheorie für Studienanfänger 

vdf Hochschulverlag, ETH Zürich 2005 

Ulrich E. Schröder 

Spezielle Relativitätstheorie 

Harri Deutsch, Thun 1987

Jürgen Neffe 

Einstein. Eine Biographie 

Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 2005 

Robert Schulmann 

Seelenverwandte. 

Der Briefwechsel zwischen 

Albert Einstein und Heinrich Zangger (1910 – 1947) 

NZZ Libro, Zürich 2012 

Desanka Trbuhović-Gjurić 

Im Schatten Albert Einsteins 

Das tragische Leben der Mileva Einstein-Marić 

Verlag Paul Haupt, Bern und Stuttgart 1988

Albert Einstein 

geb. 14. 3. 1879 in Ulm 

gest. 18. 4. 1955 in Princeton 

1905: Einsteins „Wunderjahr“ (Annus mirabilis)


geb. 14. 3. 1879 in Ulm 


1905: Einsteins „Wunderjahr“ (Annus mirabilis) 

1. Eine neue Bestimmung der 

Moleküldimensionen 

Molekülgrösse


geb. 14. 3. 1879 in Ulm 





2. Über die von der molekularkinetischen 

Theorie der Wärme geforderte Bewegung 

von in ruhenden Flüssigkeiten 

suspendierten Teilchen. 

Molekülgrösse 

Brownsche 

Bewegung


geb. 14. 3. 1879 in Ulm 









3. Zur Elektrodynamik bewegter Körper 


Brownsche 

Bewegung 

Relativitätstheorie


geb. 14. 3. 1879 in Ulm 










4. Ist die Trägheit eines Körpers von 

seinem Energieinhalt abhängig? 


Brownsche 

Bewegung 



( E = mc 2 )


geb. 14. 3. 1879 in Ulm 










4. Ist die Trägheit eines Körpers von 

seinem Energieinhalt abhängig? 

5. Über einen die Erzeugung und 

Verwandlung des Lichtes betreffenden 

heuristischen Gesichtspunkt 


Brownsche 

Bewegung 



( E = mc 2 ) 

Lichtquanten 

(Photonen)

Einstein war nicht der erste, der einen Zusammenhang 

zwischen Masse und Energie gefunden hat:

Masse und Energie 

Samuel Tolver Preston 

Henri Poincaré 

Olinto de Pretto 

Hendrik Lorentz 

Friedrich Hasenöhrl 

1875 

1900 

1903 

1904 

1904

Einsteins Relativitätstheorie... ...relativ einfach erklärt - Senioren ...

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