Lehrstuhl Verbrennungskraftmaschinen und Flugantriebe ...
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+ + − y A [ 1 − e ] l = k ⋅ y ⋅ Gl. 2.51 Nach Baldwin und Lomax [6] bestimmen wir den Betrag der Verwirbelung mit 2 2 2 ⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎛ ∂v ∂w ⎞ ⎛ ∂w ∂u ⎞ ϖ = ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ Gl. 2.52 ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎝ ∂z ∂y ⎠ ⎝ ∂x ∂z ⎠ und den normierten Wandabstand + y ρ W ⋅ u τ ⋅ y ρW ⋅τW y = = ⋅ µ W µ W Gl. 2.53 Die Wirbelviskosität µ t für den äußeren Bereich wird nach Baldwin und Lomax [6] mit der algebraischen Gl. 2.54 bestimmt. ( ) = K ⋅C ⋅ ρ ⋅ F ⋅ F ( y) µ t outer CP WAKE KLEB Gl. 2.54 Die Clauser-Konstante K sowie die Konstante C P werden in der Tabelle 2.1 angegeben. Die Größe F WAKE berechnet sich mit der Gl. 2.55. ⎧ ymax ⋅ Fmax ⎫ F WAKE = min⎨ 2 ⎬ Gl. 2.55 ⎩CWK ⋅ ymax ⋅uDIF Fmax ⎭ Die Größen F max und y max werden mit dem Maximum der Funktion + + − y A ( y) = y ⋅ ⋅ [ 1 − e ] F ϖ Gl. 2.56 an der Stelle y = y max bestimmt. Die Größe u DIF ist die Differenz der maximalen und minimalen Absolutgeschwindigkeiten im Grenzschichtprofil. u DIF ⎛ ⎞ ⎛ 2 2 2 2 2 2 = ⎜ u + v + w ⎟ − ⎜ u + v + w Gl. 2.57 ⎝ ⎠max ⎝ min ⎟ ⎠ ⎞ Die Intermittenz-Funktion von Klebanoff F KLEB lautet 26
F KLEB ( y) 6 −1 ⎡ ⎛ CKLEB ⋅ y ⎞ ⎤ = ⎢1 + 5.5 ⋅ ⎥ ⎢ ⎜ y ⎟ Gl. 2.58 max ⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ Der Effekt des turbulenten Überganges kann simuliert werden, wenn die Wirbelviskosität µ t im Geschwindigkeitsprofil unter der Voraussetzung null gesetzt wird, so daß der maximale berechnete Wert der Wirbelviskosität µ t in der Grenzschicht kleiner als der spezielle Wert C MUTM ·µ ∞ ist. µ wenn ( ) ∞ t = 0 < ⋅ µ µ t max im Pr ofil C MUTM In der Tabelle 2.1 sind die Konstanten zum Baldwin-Lomax-Modell aufgeführt. A + C CP C KLEB C WK k K Pr Pr t C MUTM 26 1.6 0.3 0.25 0.4 0.0168 0.72 0.9 14 Tab. 2.1 – Konstanten des Baldwin-Lomax-Modells Neben der Lösung der zeitlich gemittelten Impulsgleichungen benötigen wir zusätzlich die zeitlich gemittelte Energiegleichung. In diesen Gleichungen treten Schwankungsgrößen auf, die entsprechend modelliert werden müssen. Ist die turbulente Prandtlzahl Pr t bekannt, haben wir eine Möglichkeit diese Schwankungsgrößen in der Gl. 2.59 zu bestimmen. Es besteht der Zusammenhang Pr t = c µ ⋅ c p t p µ t ⋅ ⇒ kt = Gl. 2.59 kt Prt Hier zeigt sich der Nachteil des Baldwin-Lomax-Modells, da bei empirischen Untersuchungen am äußeren Rand turbulente Prandtlzahlen Pr t von ≈ 0.6 … 0.7 festgestellt wurden, und in Wandnähe die Prandtlzahl Werte von 1.5 annahm. Oertel [31]. Baldwin und Lomax [6] legen jedoch die turbulente Prandtlzahl Pr t auf 0.9 fest, Tab. 2.1. Diese Abhängigkeit der turbulenten Austauschgrößen µ t und k t von den örtlichen Geschwindigkeitsprofilen verhindert die Berücksichtigung des Turbulenzgrades (z.B. gemessen mit Hitzedrahtanemometer) stromauf und stromab der Strömung. Desweiteren macht sich beim Baldwin-Lomax-Modell wie für sämtliche Turbulenz-Modelle, die auf dem Prandtlschen Mischwegkonzept basieren, der Nachteil der ungenügenden Beschreibung abgelöster und sich wieder anlegender Strömungen bemerkbar, so daß der Turbulenzgrad an den Stellen ∂u/∂z = 0 falsch berechnet wird, Oertel [31]. Um gute Ergebnisse mit dem Baldwin-Lomax-Modells zu erhalten, ist die hinreichende Auflösung der Grenzschicht erforderlich. 27
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+ +<br />
− y A<br />
[ 1 − e ]<br />
l = k ⋅ y ⋅<br />
Gl. 2.51<br />
Nach Baldwin <strong>und</strong> Lomax [6] bestimmen wir den Betrag der Verwirbelung mit<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎛ ∂u<br />
∂v<br />
⎞ ⎛ ∂v<br />
∂w<br />
⎞ ⎛ ∂w<br />
∂u<br />
⎞<br />
ϖ = ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟<br />
Gl. 2.52<br />
⎝ ∂y<br />
∂x<br />
⎠ ⎝ ∂z<br />
∂y<br />
⎠ ⎝ ∂x<br />
∂z<br />
⎠<br />
<strong>und</strong> den normierten Wandabstand<br />
+<br />
y<br />
ρ W ⋅ u τ ⋅ y ρW<br />
⋅τW<br />
y<br />
= =<br />
⋅<br />
µ W µ W<br />
Gl. 2.53<br />
Die Wirbelviskosität µ t für den äußeren Bereich wird nach Baldwin <strong>und</strong> Lomax [6] mit der<br />
algebraischen Gl. 2.54 bestimmt.<br />
( ) = K ⋅C<br />
⋅ ρ ⋅ F ⋅ F ( y)<br />
µ t outer CP WAKE KLEB<br />
Gl. 2.54<br />
Die Clauser-Konstante K sowie die Konstante C P werden in der Tabelle 2.1 angegeben. Die<br />
Größe F WAKE berechnet sich mit der Gl. 2.55.<br />
⎧ ymax<br />
⋅ Fmax<br />
⎫<br />
F WAKE = min⎨<br />
2 ⎬<br />
Gl. 2.55<br />
⎩CWK<br />
⋅ ymax<br />
⋅uDIF<br />
Fmax<br />
⎭<br />
Die Größen F max <strong>und</strong> y max werden mit dem Maximum der Funktion<br />
+ +<br />
− y A<br />
( y) = y ⋅ ⋅ [ 1 − e ]<br />
F ϖ Gl. 2.56<br />
an der Stelle y = y max bestimmt. Die Größe u DIF ist die Differenz der maximalen <strong>und</strong><br />
minimalen Absolutgeschwindigkeiten im Grenzschichtprofil.<br />
u<br />
DIF<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎛<br />
2 2 2<br />
2 2 2<br />
= ⎜ u + v + w ⎟ − ⎜ u + v + w<br />
Gl. 2.57<br />
⎝<br />
⎠max<br />
⎝<br />
min<br />
⎟ ⎠<br />
⎞<br />
Die Intermittenz-Funktion von Klebanoff F KLEB lautet<br />
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