Lehrstuhl Verbrennungskraftmaschinen und Flugantriebe ...

Auf die genaue Berechnung turbulenter Strömungen mit der Direkten Numerischen
Simulation wird aufgrund ihrer Kompliziertheit und dem sich hieraus ergebenden hohen
Rechneraufwand verzichtet. Man bedient sich daher der Erfassung zeitlicher Mittelwerte der
turbulenten Bewegung. Es ergeben sich jedoch grundlegende Schwierigkeiten, die
Erhaltungsgleichungen nur mit mittleren Bewegungen auszustatten. Die turbulente Bewegung
ist mit der mittleren Bewegung stark gekoppelt. So entstehen bei der Aufstellung der
Erhaltungsgleichungen für die mittlere Bewegung durch zeitliche Mittelwertbildung der
Navier-Stokes-Gleichungen zusätzliche Terme, die durch die turbulente Schwankungsbewegung
bestimmt werden. Diese Terme stellen für die Berechnung der mittleren Bewegung
zusätzliche Unbekannte dar. Wir haben im Gleichungssystem also mehr Unbekannte als
Gleichungen. Wir benötigen weitere Gleichungen, welche die von den Schwankungsbewegungen
herrührenden Zusatzterme mit dem Geschwindigkeitsfeld der mittleren Bewegung
in Verbindung bringen. Dieses Schließproblem kann nicht aus der Bilanzierung von Masse,
Impuls und Energie gelöst werden. Es ist muß ein Zusammenhang zwischen mittlerer
Bewegung und Schwankungsbewegung modelliert werden.
2.8 Mittlere Bewegung und Schwankungsbewegung
Das Geschwindigkeitsfeld ist an das Temperaturfeld gekoppelt, wenn die Stoffwerte nicht
mehr konstant sind, sondern von der Temperatur abhängen. Bei den Stoffwerten handelt es
sich um die Dichte ρ, die Viskosität µ, die isobare spezifische Wärmekapazität c p und die
Wärmeleitfähigkeit λ. Im allgemeinsten Fall hängen sie von der Temperatur und dem Druck
ab.
Die zeitlich abhängigen Größen werden in den zeitlichen Mittelwert und den
Schwankungsgrößen aufgeteilt. Somit gilt für instationäre mittlere Strömungen sowie
inkompressible Fluide
( x, y,z) + ρ′
( t,x, y,z)
ρ = ρ
ρ′
= 0
u = u
v = v
( x, y,z) + u′
( t,x, y,z)
( x, y,z) + v′
( t,x, y,z)
M
u′
= 0
v′
= 0
Gl. 2.38
unter Beachtung der Rechenvorschrift für den Mittelwert einer schwankenden Größe Ω.
t + ∆t
0
1
Ω ( x,t
r ) = ∫ Ω ⋅ dt und Ω ′ = 0
Gl. 2.39
∆t
t
0
22