Lehrstuhl Verbrennungskraftmaschinen und Flugantriebe ...
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und den diffusen (viskosen) Flußvektoren E r v , F r v , G r v . r E v = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ τ τ v 0 σ x xy xz ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ r F v = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥ τ ⋅ v ⎢ ⎥ x − q& x ⎥ τ ⋅ v y − q& y ⎢ τ ⋅ v z − q& z ⎦ ⎣ τ σ τ v 0 xy y yz ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ r G v = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ τ τ 0 xz zz σ z v ⎤ Gl. 2.11 Der symmetrische Schubspannungstensor τ ⎡σ x τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ τ = ⎢τ yx σ y τ yz ⎥ Gl. 2.12 ⎢ ⎥ ⎣ τ zx τ zy σ z ⎦ setzt sich aus den Normalspannungen ∂u σ = 2 ⋅ µ ⋅ + µ ′⋅ ∂x ∂u ⎛ ∂u ∂v ∂w ⎞ ( ∇ ⋅ v) = 2 ⋅ µ ⋅ + ′⋅ ⎜ + + ⎟ ⎠ x µ r ∂x ⎝ ∂x ∂y ∂z r ∂v ⎛ ∂u ∂v ∂w ⎞ ( ∇ ⋅ v ) = 2 ⋅ µ ⋅ + ′ ⋅ ⎜ + + ⎟ ⎠ ∂v σ y = 2 ⋅ µ ⋅ + µ ′ ⋅ µ ∂y ∂y ∂w σ = 2 ⋅ µ ⋅ + µ ′⋅ ∂z ⎝ ∂x ∂y ∂z ∂w ⎛ ∂u ∂v ∂w ⎞ ( ∇ ⋅ v) = 2 ⋅ µ ⋅ + ′⋅ ⎜ + + ⎟ ⎠ z µ r ∂z ⎝ ∂x ∂y ∂z Gl. 2.13 Gl. 2.14 Gl. 2.15 und den Schubspannungen zusammen, Gl. 2.16, Gl. 2.17 und Gl. 2.18. ⎛ ∂u ∂v ⎞ τ xy = τ yx = µ ⋅ ⎜ + ⎟ ⎝ ∂y ∂y ⎠ Gl. 2.16 ⎛ ∂u ∂w ⎞ τ xz = τ zx = µ ⋅ ⎜ + ⎟ ⎝ ∂z ∂x ⎠ Gl. 2.17 ⎛ ∂v ∂w ⎞ τ yz = τ zy = µ ⋅ ⎜ + ⎟ Gl. 2.18 ⎝ ∂z ∂y ⎠ 14
Einen Zusammenhang zwischen der Volumenviskosität µ′ und der dynamischen Viskosität µ stellt die Stokes‘sche Hypothese her, Anderson [1]. 2 µ ′ = − ⋅ µ 3 Gl. 2.19 Die Wärmeflüsse ergeben sich aus den Temperaturgradienten und dem Wärmeleitkoeffizienten λ. ∂T ∂T ∂T q& x = −λ ⋅ q& y = −λ ⋅ q& z = −λ ⋅ Gl. 2.20 ∂x ∂y ∂z Die innere Energie e und die Enthalpie h werden mit den kalorischen Zustandsgleichungen bestimmt. 1 e = cV ⋅T = ⋅ R ⋅T κ − 1 κ h = c p ⋅T = ⋅ R ⋅T κ − 1 et = cV ⋅Tt = κ 1 ⋅ R ⋅Tt − 1 ht = c p ⋅Tt κ = ⋅ R ⋅Tt κ − 1 Gl. 2.21 Das Gleichungssystem schließen wir mit der thermischen Zustandsgleichung für ideale Gas. p = R ⋅T ρ Gl. 2.22 Die Proportionalitätsfaktoren der diffusen Flüsse –Wärmeübergangskoeffizient λ und dynamische Viskosität µ - sind Funktionen des Gaszustands. Die dynamische Viskosität µ ist stark von der Temperatur abhängig, während wir den Druckeinfluß bei idealen Gasen vernachlässigen. Es gilt somit mit guter Näherung das Gesetz von Sutherland 3 T 2 Gl. 2.23 ⎛ T ⎞ T + T µ = µ 0 ⎜ ⎟ ⋅ ⎝ T0 ⎠ T + TS ( ) = µ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 0 S = ρ ν mit der Bezugstemperatur T 0 = 273,15 K der Sutherland-Konstante T S = 110,0 K und der dynamischen Viskosität bei Bezugstemperatur µ 0 = 1.717 · 10 -5 kg m -1 s -1 . 15
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Einen Zusammenhang zwischen der Volumenviskosität µ′ <strong>und</strong> der dynamischen Viskosität µ<br />
stellt die Stokes‘sche Hypothese her, Anderson [1].<br />
2<br />
µ ′ = − ⋅ µ<br />
3<br />
Gl. 2.19<br />
Die Wärmeflüsse ergeben sich aus den Temperaturgradienten <strong>und</strong> dem<br />
Wärmeleitkoeffizienten λ.<br />
∂T<br />
∂T<br />
∂T<br />
q& x = −λ<br />
⋅ q&<br />
y = −λ<br />
⋅ q&<br />
z = −λ<br />
⋅<br />
Gl. 2.20<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
Die innere Energie e <strong>und</strong> die Enthalpie h werden mit den kalorischen Zustandsgleichungen<br />
bestimmt.<br />
1<br />
e = cV ⋅T<br />
= ⋅ R ⋅T<br />
κ − 1<br />
κ<br />
h = c p ⋅T<br />
= ⋅ R ⋅T<br />
κ − 1<br />
et<br />
= cV<br />
⋅Tt<br />
=<br />
κ<br />
1<br />
⋅ R ⋅Tt<br />
− 1<br />
ht<br />
= c p ⋅Tt<br />
κ<br />
= ⋅ R ⋅Tt<br />
κ − 1<br />
Gl. 2.21<br />
Das Gleichungssystem schließen wir mit der thermischen Zustandsgleichung für ideale Gas.<br />
p<br />
= R ⋅T<br />
ρ<br />
Gl. 2.22<br />
Die Proportionalitätsfaktoren der diffusen Flüsse –Wärmeübergangskoeffizient λ <strong>und</strong><br />
dynamische Viskosität µ - sind Funktionen des Gaszustands.<br />
Die dynamische Viskosität µ ist stark von der Temperatur abhängig, während wir den<br />
Druckeinfluß bei idealen Gasen vernachlässigen. Es gilt somit mit guter Näherung das Gesetz<br />
von Sutherland<br />
3<br />
T<br />
2<br />
Gl. 2.23<br />
⎛ T ⎞ T + T<br />
µ = µ 0 ⎜ ⎟<br />
⋅<br />
⎝ T0<br />
⎠ T + TS<br />
( ) = µ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 0 S = ρ ν<br />
mit der Bezugstemperatur T 0 = 273,15 K der Sutherland-Konstante T S = 110,0 K <strong>und</strong> der<br />
dynamischen Viskosität bei Bezugstemperatur µ 0 = 1.717 · 10 -5 kg m -1 s -1 .<br />
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