Lehrstuhl Verbrennungskraftmaschinen und Flugantriebe ...
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2.3 Gleichungssysteme Die Erhaltungsgleichungen instationärer, reibungsbehafteter Strömungen lassen sich in einem stetigen Strömungsfeld mit einem beliebigen, raumfesten Kontrollraum herleiten. Exemplarisch soll am Beispiel der Masse die Kontinutätsgleichung bestimmt werden, Gl. 2.1. der ∂ ⋅ dV ∂t ∫∫∫ ρ 14243 V 4 zeitliche Änderung Masse im Kontrollraum + über die ∫∫ A r r ρv ⋅ dA 14243 Massenfluß Flächen des Kontrollraums = 0 Gl. 2.1 ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ Verwenden wir den Nabla-Operator ∇ = ⎜ + + ⎟ so können wir die Gl. 2.1 bei ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ vorausgesetzter stetiger Differenzierbarkeit in die Integralform ∂ ∫∫∫ ∫∫∫ r ρ ⋅ dV + ∇ ⋅ ρv ⋅ dV = 0 Gl. 2.2 ∂t V V bzw. die konservative Differentialform ∂ρ r + ∇ ⋅ρv = 0 ∂t Gl. 2.3 mit r r r ∇ ⋅ ρv = ρ∇ ⋅ v + v ⋅ ∇ρ Gl. 2.4 überführen. Möglich wird dies durch die Annahme, daß sich das finite Kontrollvolumen im karthesischen Raum in Ruhe befindet, die Integrationsgrenzen in der Gl. 2.2 konstant sind, und sich somit die Ableitung ∂ ∂t innerhalb des Integrals bringen läßt. ∂ρ ∂t ∫∫∫ ⋅ dV + ∫∫ ρv ⋅ dA = V A r r 0 Gl. 2.5 Unter Verwendung des Gaußschen Divergenztheorems können wir das Oberflächen-Integral in der Gl. 2.5 durch das Volumen-Integral 12
∫∫ ρ v ⋅ dA = ∫∫∫ ∇ ⋅ ρv ⋅ A r r V r dV Gl. 2.6 substituieren und erhalten die Integralform ⎡∂ρ ⎣ ∂t r⎤ ⎦ ∫∫∫ ⎢ + ∇ ⋅ ρv ⎥ ⋅ dV = V 0 Gl. 2.7 Für ein willkürlich festgelegtes finites Kontrollvolumen des stetigen Strömungsfelds innerhalb des Kontrollraums gilt, daß wir das Integral in der Gl. 2.7 gleich null annehmen können und somit die konservative Differentialform Gl. 2.3 erhalten, da für ein mitbewegtes Systemvolumen dm = 0 mit m ( t ) = dt ∫∫∫ ρ ⋅ dV V () Gl. 2.8 t gilt. Die Integralform Gl. 2.7 und die konservative Differentialform Gl. 2.3 besitzen die gleiche mathematische Bedeutung. Für die numerische Behandlung ergeben sich jedoch aufgrund der unterschiedlichen Reihenfolge der Approximationen verschiedener Diskretisierungsverfahren, deren Methoden unter den Begriffen der Finiten-Volumen- Diskretisierung für die Integralform sowie der Finiten-Differenzen-Verfahren für die konservative Differentialform zusammengefaßt werden, Hildebrandt [19]. Wenden wir die in Gl. 2.3 und Gl. 2.7 exemplarisch an der Masse dargestellte allgemeine Erhaltungsgleichung der Masse auf die Erhaltung von Impuls und Energie an, folgt das System der Navier-Stokes- Gleichungen. Die Erhaltungsgleichungen lauten in konservativer Form nach Hildebrandt [19] r r r ∂Q ∂ + ∂t ∂x ( E − Ev ) ∂( F − Fv ) ∂( G − Gv ) = 0 + r ∂y r + r ∂z r Gl. 2.9 ⎡ ρ ⎤ ⎢ ρ ⋅ u ⎥ r ⎢ ⎥ Q = ⎢ ρ ⋅ v ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ρ ⋅ w ⎥ ⎢⎣ ρ ⋅ et ⎥⎦ ⎡ ρ ⋅ u ⎤ ⎢ 2 ρ ⋅ u + p ⎥ r ⎢ ⎥ E = ⎢ ρ ⋅ v ⋅ u ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ρ ⋅ w ⋅ u ⎥ ⎢⎣ ρ ⋅ ht ⋅ u ⎥⎦ r F ⎡ ρ ⋅ v ⎤ ⎢ ρ ⋅ u ⋅ v ⎥ ⎢ ⎥ 2 = ⎢ρ ⋅ v + p⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ρ ⋅ w ⋅ v ⎥ ⎢⎣ ρ ⋅ ht ⋅ v ⎥⎦ mit dem Lösungsvektor Q r und den konvektiven Flußvektoren E r , F r , G r ⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥ ⎦ ⎡ ρ ⋅ w ⎤ ⎢ ρ ⋅ u ⋅ w r ⎢ G = ⎢ ρ ⋅ v ⋅ w ⎢ 2 ⎢ ρ ⋅ w + w ⎢⎣ ρ ⋅ ht ⋅ w Gl. 2.10 13
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2.3 Gleichungssysteme<br />
Die Erhaltungsgleichungen instationärer, reibungsbehafteter Strömungen lassen sich in einem<br />
stetigen Strömungsfeld mit einem beliebigen, raumfesten Kontrollraum herleiten.<br />
Exemplarisch soll am Beispiel der Masse die Kontinutätsgleichung bestimmt werden, Gl. 2.1.<br />
der<br />
∂<br />
⋅ dV<br />
∂t<br />
∫∫∫ ρ<br />
14243 V 4<br />
zeitliche<br />
Änderung<br />
Masse im Kontrollraum<br />
+<br />
über<br />
die<br />
∫∫<br />
A<br />
r r<br />
ρv<br />
⋅ dA<br />
14243<br />
Massenfluß<br />
Flächen des Kontrollraums<br />
=<br />
0<br />
Gl. 2.1<br />
⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞<br />
Verwenden wir den Nabla-Operator ∇ = ⎜ + + ⎟ so können wir die Gl. 2.1 bei<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
⎠<br />
vorausgesetzter stetiger Differenzierbarkeit in die Integralform<br />
∂<br />
∫∫∫ ∫∫∫<br />
r<br />
ρ ⋅ dV + ∇ ⋅ ρv<br />
⋅ dV = 0<br />
Gl. 2.2<br />
∂t V V<br />
bzw. die konservative Differentialform<br />
∂ρ<br />
r<br />
+ ∇ ⋅ρv<br />
= 0<br />
∂t<br />
Gl. 2.3<br />
mit<br />
r r r<br />
∇ ⋅ ρv<br />
= ρ∇ ⋅ v + v ⋅ ∇ρ<br />
Gl. 2.4<br />
überführen.<br />
Möglich wird dies durch die Annahme, daß sich das finite Kontrollvolumen im karthesischen<br />
Raum in Ruhe befindet, die Integrationsgrenzen in der Gl. 2.2 konstant sind, <strong>und</strong> sich somit<br />
die Ableitung ∂ ∂t<br />
innerhalb des Integrals bringen läßt.<br />
∂ρ<br />
∂t<br />
∫∫∫ ⋅ dV + ∫∫ ρv<br />
⋅ dA =<br />
V<br />
A<br />
r<br />
r<br />
0<br />
Gl. 2.5<br />
Unter Verwendung des Gaußschen Divergenztheorems können wir das Oberflächen-Integral<br />
in der Gl. 2.5 durch das Volumen-Integral<br />
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