Lehrstuhl Verbrennungskraftmaschinen und Flugantriebe ...
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Brandenburgische Technische Universität Cottbus<br />
Fakultät Maschinenbau,<br />
Elektrotechnik <strong>und</strong> Wirtschaftsingenieurwesen<br />
EINSATZ EINES KOMMERZIELLEN STRÖMUNGSLÖSERS<br />
ZUR NUMERISCHEN BERECHNUNG DER<br />
FLUIDSTRÖMUNG BEI DER FILMKÜHLUNG IN<br />
GEBIETEN MIT VERZÖGERTER HAUPTSTRÖMUNG<br />
Diplomarbeit von<br />
cand. ing. Stefan Bischoff<br />
Cottbus, im Februar 1999<br />
angefertigt <strong>und</strong> vorgelegt am<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>Verbrennungskraftmaschinen</strong> & <strong>Flugantriebe</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. H. P. Berg<br />
Betreuer:<br />
Dipl.-Ing. Roland Dückershoff
I. EIDESSTATTLICHE ERKLÄRUNG<br />
Ich versichere, die vorliegende Studienarbeit allein angefertigt <strong>und</strong> keine anderen außer den<br />
angegebenen Hilfsmitteln verwendet zu haben.<br />
Cottbus, den 28.02.99<br />
Stefan Bischoff<br />
2
II. INHALTSVERSZEICHNIS<br />
I. EIDESSTATTLICHE ERKLÄRUNG ....................................................................................... 2<br />
II. INHALTSVERSZEICHNIS ........................................................................................................ 3<br />
III. VERWENDETE FORMELZEICHEN ...................................................................................... 5<br />
IV. NUMERISCHE SIMULATION UND FILMKÜHLUNG........................................................ 8<br />
1 EINLEITUNG................................................................................................................................8<br />
1.1 Untersuchungsmethoden........................................................................................................ 8<br />
1.2 Aufgabestellung...................................................................................................................... 9<br />
2 NUMERISCHE STRÖMUNGSLÖSUNG – COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS.............................. 9<br />
2.1 IGG V3.6 – interactiv grid generator .................................................................................. 10<br />
2.2 Euranus flow solver V4.3..................................................................................................... 11<br />
2.3 Gleichungssysteme............................................................................................................... 12<br />
2.4 Koordinatentransformation ................................................................................................. 16<br />
2.5 Zeitabhängigkeit der Erhaltungsgleichungen...................................................................... 18<br />
2.6 Diskretisierungstechniken.................................................................................................... 18<br />
2.6.1.1 Explizite Methode................................................................................................... 19<br />
2.6.1.2 Implizite Methode................................................................................................... 20<br />
2.7 Erzeugung von Turbulenz .................................................................................................... 20<br />
2.8 Mittlere Bewegung <strong>und</strong> Schwankungsbewegung ................................................................. 22<br />
2.9 Turbulenzmodelle................................................................................................................. 24<br />
2.9.1 Nullgleichungs-Modell – Baldwin-Lomax-Modell..................................................... 25<br />
2.9.2 Zweigleichungs-Modell - k-ε Modell.......................................................................... 28<br />
2.9.3 Turbulenzmodelle von FINE/TURBO V3.0 ............................................................... 30<br />
2.10 Anfangs- <strong>und</strong> Randbedingungen .......................................................................................... 31<br />
2.10.1 Anfangsbedingungen................................................................................................... 31<br />
2.10.2 Randbedingungen........................................................................................................ 31<br />
2.10.2.1 Ein- <strong>und</strong> Ausströmrand........................................................................................... 32<br />
2.10.2.2 Festkörperrand ........................................................................................................ 32<br />
2.10.2.3 Innere Randbedingungen ........................................................................................ 33<br />
2.10.2.4 Externe Randbedingung.......................................................................................... 33<br />
2.11 Rechenverfahren .................................................................................................................. 33<br />
2.12 CVF V3.7-31-computational field visualization .................................................................. 36<br />
2.13 Residuum.............................................................................................................................. 37<br />
3
3 MODELLRECHNUNGEN ............................................................................................................. 37<br />
3.1 Kanalströmung..................................................................................................................... 37<br />
3.1.1 Randbedingungen........................................................................................................ 38<br />
3.1.2 Rechennetz <strong>und</strong> Turbulenzmodell............................................................................... 39<br />
3.1.3 Rechnung..................................................................................................................... 40<br />
3.1.4 Ergebnisse ................................................................................................................... 40<br />
3.1.5 Bewertung ................................................................................................................... 44<br />
3.2 AGTB-Kaskade .................................................................................................................... 44<br />
3.2.1 Randbedingungen........................................................................................................ 46<br />
3.2.2 Rechennetz <strong>und</strong> Turbulenzmodell............................................................................... 48<br />
3.2.3 Rechnung..................................................................................................................... 49<br />
3.2.4 Ergebnisse ................................................................................................................... 50<br />
3.2.5 Bewertung ................................................................................................................... 66<br />
3.3 Plattenumströmung.............................................................................................................. 66<br />
3.3.1 Plattenumströmung ohne Ausblasung......................................................................... 68<br />
3.3.1.1 Randbedingungen ................................................................................................... 68<br />
3.3.1.2 Rechennetz <strong>und</strong> Turbulenzmodell .......................................................................... 69<br />
3.3.1.3 Rechnung ................................................................................................................ 69<br />
3.3.1.4 Ergebnisse............................................................................................................... 69<br />
3.3.1.5 Bewertung............................................................................................................... 90<br />
3.3.2 Plattenumströmung mit Ausblasung ........................................................................... 92<br />
3.3.2.1 Mischung von Kühlluftströmung <strong>und</strong> Hauptströmung ........................................... 92<br />
3.3.2.2 Einflußfaktoren ....................................................................................................... 94<br />
3.3.2.3 Adiabate Filmkühleffektivität................................................................................. 97<br />
3.3.2.4 Randbedingungen ................................................................................................... 98<br />
3.3.2.5 Rechennetz <strong>und</strong> Turbulenzmodell .......................................................................... 99<br />
3.3.2.6 Rechnung .............................................................................................................. 101<br />
3.3.2.7 Ergebnisse............................................................................................................. 103<br />
3.3.2.8 Bewertung............................................................................................................. 103<br />
4 BEWERTUNG VON FINE/TURBO V3.0.................................................................................. 118<br />
4.1 Anforderungen an die Hardware ....................................................................................... 118<br />
4.2 Fehler im numerischen Strömungslöser ............................................................................ 119<br />
5 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK .................................................................................... 121<br />
V. LITERATUR ............................................................................................................................ 123<br />
4
III. VERWENDETE FORMELZEICHEN<br />
LATEINISCHE BUCHSTABEN<br />
Symbol Bedeutung SI-Einheit<br />
m& Massenstrom kg⋅s -1<br />
q& Wärmestrom J⋅s -1<br />
A Fläche m²<br />
a Schallgeschwindigkeit m⋅s -1<br />
c, v Strömungsgeschwindigkeit m⋅s -1<br />
c P spez. Wärmekapazität bei const p J⋅kg -1 ⋅K -1<br />
c V spez. Wärmekapazität bei const V J⋅kg -1 ⋅K -1<br />
e innere Energie J⋅kg -1<br />
h Enthalpie J·kg -1<br />
k turbulente kinetische Energie m 2 ⋅s -2<br />
l<br />
Länge, Sehnenlänge, charakteristische<br />
geometrische Größe<br />
L turbulentes Längenmaß m<br />
l k Kolmogorovsches Längenmaß m<br />
m Masse kg<br />
n Anzahl der Meßwerte -<br />
n Exponent der Analogiefunktion -<br />
p statischer Druck N⋅m²<br />
P Prod turbulenter Produktionsterm Kg⋅m⋅s -3<br />
q Wärme J<br />
R spezielle Gaskonstante J⋅kg -1 ⋅K -1<br />
r Radius mm<br />
t Teilung -<br />
t Zeit s<br />
T statische Temperatur K<br />
Tu Turbulenzgrad -<br />
u, v, w<br />
Geschwindigkeitskomponenten im<br />
kartesischen Koordinatensystem<br />
m<br />
m⋅s -1<br />
V Volumen m 3 5
x Lauflänge m<br />
x, y, z Koordinaten des karthesischen Raums -<br />
y + dimensionsloser Wandabstand -<br />
VEKTOREN UND TENSOREN<br />
Symbol<br />
q r &<br />
Bedeutung<br />
Wärmestromvektor<br />
R<br />
q r & turbulenter Wärmestromvektor<br />
τ<br />
Schubspannungstensor<br />
R<br />
τ Reynoldt-Schubspannungstensor<br />
v r<br />
Geschwindigkeitsvektor<br />
Q r , q r<br />
Lösungsvektor<br />
E r , F r r<br />
, G Flußvektoren<br />
E r , F r<br />
, G r<br />
. Viskose Flußvektoren<br />
D<br />
v<br />
v<br />
v<br />
Determinante<br />
GRIECHISCHE BUCHSTABEN<br />
Symbol Bedeutung SI-Einheit<br />
α Strömungswinkel °<br />
β Strömungswinkel °<br />
λ Wärmeleitfähigkeit<br />
-1<br />
W·K<br />
-1·m<br />
δ ij Kroneckersymbol -<br />
ε<br />
Dissipationsrate der turbulenten<br />
kinetischen Energie<br />
m²⋅s -3<br />
ρ Stoffdichte Kg⋅m - ³<br />
τ transformierte Zeitkoordinate -<br />
ξ, η, ζ<br />
transformierte Koordinaten des<br />
numerischen Rechenraums<br />
τ W Wandschubspannung N⋅m²<br />
-<br />
6
µ dynamische Viskosität<br />
-1<br />
Kg·m<br />
-1·s<br />
µ t Wirbelviskosität<br />
-1<br />
Kg·m<br />
-1·s<br />
µ‘ Volumenviskosität<br />
-1<br />
Kg·m<br />
-1·s<br />
ν Kinematische Viskosität m²/s<br />
κ Isentropenexponent -<br />
Ω physikalische Schwankungsgröße -<br />
DIMENSIONSLOSE KENNZAHLEN<br />
Symbol Bedeutung SI-Einheit<br />
Ma = a/c Machzahl -<br />
Pr = µ·c p /λ Prandtlzahl -<br />
Re = v·L/ν Reynoldszahl -<br />
INDIZES<br />
Symbol<br />
∞<br />
Bedeutung<br />
1, 2 Eintritt, Austritt<br />
H<br />
K<br />
W<br />
Umgebungsbedingung, außerhalb der<br />
Grenzschicht<br />
Hauptstrom<br />
Kühlluftstrom<br />
Wand<br />
′, ″ Schwankungsgröße<br />
¯, ˜ Mittelwert, gemittelt<br />
t<br />
krit<br />
Turbulent<br />
kritisch<br />
7
IV. NUMERISCHE SIMULATION UND FILMKÜHLUNG<br />
1 EINLEITUNG<br />
Der Entwicklungsingenieur moderner Flugtriebwerke ist bestrebt, die Turbineneintrittstemperatur<br />
der gewählten Verdichterförderhöhe anzupassen, um einen bestimmten<br />
spezifischen Schub bzw. eine benötigte Wellenleistung realisieren zu können. Entsprechend<br />
dieser Forderung erhöht er die Turbineneintrittstemperatur. Um die eingestellten hohen<br />
Turbineneintrittstemperaturen von über 1700 K beherrschen zu können, sind ausgereifte<br />
Kühlverfahren notwendig. Ein sehr effektives Kühlverfahren ist die Filmkühlausblasung. Es<br />
bestehen jedoch gegenwärtig noch Unsicherheiten bei den Auslegungsmethoden, da die<br />
auftretenden Strömungsformen im Bereich der Filmkühlung sehr komplex sind. Neben der<br />
Steigerung des inneren Turbinenwirkungsgrades mittels Erhöhung der Turbineneintrittstemperatur<br />
wird die Optimierung des Stufenwirkungsgrades der Turbine über eine<br />
Steigerung der aerodynamischen Kenndaten der filmgekühlten Turbinenschaufel angestrebt.<br />
Mit der Forderung nach größerer Strömungsumlenkung entsteht in der Turbinenstufe Gebiete<br />
mit verzögerter Hauptströmung. Es wächst die Gefahr der Bildung lokaler Ablöseblasen. Für<br />
diesen speziellen Fall verzögerter Hauptströmung, mitunter bei lokaler, kurzfristiger<br />
Ablösung in der Turbine, sind umfassende Betrachtungen der Temperaturbelastung an der<br />
Schaufel <strong>und</strong> der Wirkung des Kühlfilms notwendig. In Abhängigkeit von der Ausblaserate<br />
M, der Ausblasegeometie <strong>und</strong> den externen Strömungsbedingungen an der Ausblasestelle<br />
nimmt der Kühlfilm mehr oder weniger starken Einfluß auf lokale Verzögerungs- bzw.<br />
Ablösegebiete. Für die Auslegung der filmgekühlten Turbinenschaufel benötigt der<br />
Entwicklungsingenieur Angaben zur Filmkühleffektivität η stromab der Ausblaseöffnungen,<br />
um die Wandtemperaturverteilung bestimmen zu können. Hierzu sind bereits ein Reihe von<br />
Untersuchungen experimenteller <strong>und</strong> numerischer Art durchgeführt worden, über die Boehme<br />
[10] in seiner Arbeit einen ausführlichen Überblick gibt.<br />
1.1 Untersuchungsmethoden<br />
Zur Untersuchung strömungsmechanischer Phänomene existieren heute drei methodische<br />
Ansätze. Die Lösung des analytischen Ansatzes gelingt nur für einfache Sonderfälle, eine<br />
Beschreibung komplexer Strömungen, wie sie in Turbomaschinen auftreten, ist mit ihm nicht<br />
möglich.<br />
Der praktische Ansatz geht auf die Untersuchung von Strömungen im Experiment zurück.<br />
Wir verwenden unterschiedliche Geräte <strong>und</strong> Meßinstrumente um komplexe Strömungen am<br />
Modell oder unter realen Bedingungen zu erfassen. Das Experiment liefert weitgehend<br />
authentische Ergebnisse <strong>und</strong> wird auch noch heute als Maß für viele auf anderen Wegen<br />
gewonnene Ergebnisse angesehen. Jedoch sind experimentelle Untersuchungen aufgr<strong>und</strong> des<br />
hohen Rüstaufwands sehr teuer <strong>und</strong> zeitintensiv. Die durch die Meßmethodik festgelegten<br />
Randbedingungen erzwingen oft Abstriche bei der Einhaltung der Ähnlichkeit von Geometrie,<br />
8
Mach- oder Reynoldszahl. Die Meßtechnik kann unter Umständen aufgr<strong>und</strong> ihrer räumlichen<br />
Abmessungen Strömungsphänomene stören bzw. verfälschen. Jedes Meßgerät verfügt auch<br />
über eine begrenzte Auflösung, so daß kleinste interessierende Strömungsphänomene nicht<br />
erfaßt werden können.<br />
Mit der Entwicklung der digitalen Rechentechnik konnte der numerische Ansatz verwirklicht<br />
werden. Die numerische Simulation ist heute ein leistungsfähiges Werkzeug um komplizierte<br />
Strömungen bei einer Fülle von Parametervariationen in kurzer Zeit untersuchen zu können.<br />
Sie liefert eine Fülle von Informationen, insbesondere bei der Berechnung dreidimensionaler<br />
Strömungsfelder. Jedoch ist die genügende Diskretisierung des physikalischen Rechenraums<br />
Voraussetzung für gute Ergebnisse. Diese stellt hohe Anforderungen an Speicherplatz <strong>und</strong><br />
Rechenleistung, insbesondere für die Untersuchung instationärer dreidimensionaler<br />
Strömungen. Aktuelle Fragestellung der numerischen Simulation sind z.B. die Suche nach<br />
Methoden, die zur Lösung des diskretisierten Strömungsproblems beitragen<br />
(Mehrgitterverfahren, Multilevel- <strong>und</strong> Multiskalentechniken) sowie bei möglichst effektiver<br />
Speicherplatzverwaltung das Strömungsproblem gut approximieren können (Adaptivität,<br />
Fehlerschätzer), Griebel [16].<br />
Weiteres Entwicklungspotential liegt in der Implementierung geeigneter Turbulenzmodelle in<br />
den numerischen Strömungslöser, um Strömungsphänomene auch unter komplexen<br />
geometrischen Bedingungen korrekt erfassen zu können. Problematisch ist in diesem<br />
Zusammenhang die korrekte Berechnung der laminar-turbulenten Transition insbesondere in<br />
Turbomaschinen.<br />
1.2 Aufgabestellung<br />
Im Rahmen der Diplomarbeit wird der kommerzielle Strömungslöser FINE/TURBO V3.0 zur<br />
numerischen Berechnung der Filmkühlung in Gebieten mit verzögerter Hauptströmung<br />
eingesetzt. Das Ziel der Untersuchungen ist die sichere Berechnung des Strömungsfeldes bei<br />
Filmkühlung in Gebieten mit verzögerter Hauptströmung. Unter Einhaltung der Reynoldschen<br />
Ähnlichkeit soll dies sowohl für die kompressible Strömungsbedingung als auch<br />
inkompressible Strömungsbedingung möglich sein.<br />
2 NUMERISCHE STRÖMUNGSLÖSUNG – COMPUTATIONAL<br />
FLUID DYNAMICS<br />
Mit numerischen Strömungslösern ist die Berechnung der Erhaltungsgleichungen für Masse,<br />
Impuls <strong>und</strong> Energie möglich. Die Erhaltungsgleichungen beschreiben das Strömungsfeld<br />
unter Vernachlässigung der Volumenkräfte, also der Schwerkräfte sowie Kräften, die<br />
aufgr<strong>und</strong> magnetischer Felder entstehen. Das Gleichungssystem der Erhaltungsgleichungen<br />
ist analytisch nicht lösbar. Es stehen daher numerische Algorithmen <strong>und</strong> Methoden zu<br />
Verfügung, um eine Lösung der Erhaltungsgleichungen zu erhalten.<br />
9
Den physikalischen Raum diskretisieren wir in einen numerischen Rechenraum. Das<br />
analytisch nicht lösbare System wird in ein approximiertes System algebraischer<br />
Differenzengleichungen umgewandelt. Bei hinreichend kleinen Kontrolvolumina nähern sich<br />
die Lösungen der Differential-Differenzengleichungen an, bis sie bei hinreichend kleinem<br />
Kontrollvolumen mathematisch gleichwertig werden. Im Rahmen dieser Arbeit wird der<br />
kommerzielle Strömungslöser FINE /TURBO V3.0 eingesetzt.<br />
Der Algorithmus zur numerischen Lösungsfindung für die Erhaltungsgleichungen läßt sich in<br />
drei Prozesse unterteilen, wobei FINE/TURBO V3.0 für jeden Prozeß ein eigenes<br />
Programmodul zu Verfügung stellt.<br />
preprocessing – Diskretisierung <strong>und</strong> Definition<br />
Der physikalische Rechenraum wird diskretisiert, d.h. in kleine Kontrollvolumina zerlegt. Es<br />
werden Linien erzeugt, die über Knotenpunkte verb<strong>und</strong>en sind. Wir generieren ein Netz mit<br />
entsprechenden Definitionen der Berandungen. Für diesen Arbeitsschritt steht uns in<br />
FINE/TURBO V3.0 der IGG – Interaktiv Grid Generator zur Verfügung.<br />
processing - Berechnung<br />
Der numerische Algorithmus des Euranus-Codes löst das Gleichungssystem der algebraischen<br />
Differentialgleichungen. Um den Lösungsfortschritt der Rechnung beurteilen zu können,<br />
verwenden wir das Residuum unterschiedlicher Lösungsgrößen oder Differenzen zwischen<br />
Eintritts- <strong>und</strong> Austrittsmassenstrom bzw. eingesetzter <strong>und</strong> berechneter Zustandsgrößen des<br />
Strömungsfeldes. In FINE/TURBO V3.0 findet erst vor Beginn der Rechnung eine<br />
Quantifizierung der Anfangs- <strong>und</strong> Randbedingungen statt. Dies macht insbesondere für die<br />
Variationen der Anfangs- <strong>und</strong> Randbedingungen <strong>und</strong> unveränderten Definitionen der<br />
entsprechenden Berandungen Sinn.<br />
postprocessing – Auswertung<br />
Der Arbeitsprozeß postprocessing macht uns die in der numerischen Simulation erzeugten<br />
Daten zugänglich <strong>und</strong> ermöglicht es uns, die Qualität der Daten zu beurteilen. Das umfaßt<br />
auch die Datenreduktion <strong>und</strong> Mittelung sowie Ableitung von Daten, die für die Auslegung<br />
technischer System wichtig sind, z.B. Wirkungsgrade, Massenstrom. Im wesentlichen werden<br />
kommerzielle Graphikprogramme für die Visualisierung der Daten verwendet.<br />
2.1 IGG V3.6 – interactiv grid generator<br />
IGG ist der interaktive Netzgenerator für dreidimensionale Netze. Er besteht aus drei<br />
Modulen.<br />
Geometrie –Modul<br />
Das Geometrie-Modul ermöglicht den Import von CAD Daten, in der vorliegenden Version<br />
des IGG V3.6 ist eine CAD - Computer Aided Design - Schnittstelle für IGES - Initial<br />
Graphics Exchange Specification - vorgesehen, die sich definitionsgemäß nicht immer mit<br />
10
konvertierten CAD-Dateien verträgt. Es sollen daher in Zukunft weitere hochwertige CAD-<br />
Schnittstellen eingesetzt werden, z.B. STEP - Standard for the Exchange of Product Model<br />
Data – um Konvertierungsfehler zu umgehen. Mit dem Geometrie-Modul erzeugen wir<br />
Linien, Funktionen <strong>und</strong> Flächen. Es sind ähnliche logischen Funktionen wie in einem dreidimensionalen<br />
CAD-System verfügbar, wobei wir in IGG nur ein absolutes<br />
Koordinatensystem verwenden.<br />
Topologie-Modul<br />
Mit dem Topologie-Modul erstellen wir die Topologie des Diskretisierungsnetzes mit der<br />
entsprechenden Netzpunktverteilung an den Kanten. Das Topologie-Modul ermöglicht die<br />
Zerlegung komplexer Probleme in verschiedene strukturierte Blöcke, die miteinander<br />
verb<strong>und</strong>en sind. Wir erhalten strukturierte Mehrblocknetze für strukturierte Netze.<br />
Randbedingungs-Modul<br />
Mit dem Randbedingungs-Modul wird die Art der Netzränder definiert. Wir können<br />
Randbedingungen der folgenden Typen einstellen.<br />
• inlet<br />
• outlet<br />
• mirror bo<strong>und</strong>ary<br />
• periodic bo<strong>und</strong>ary<br />
• solid bo<strong>und</strong>ary<br />
• external bo<strong>und</strong>ary<br />
Auf die verschiedenen Arten von Randbedingungen wird im Kapitel 2.10.2 näher<br />
eingegangen.<br />
2.2 Euranus flow solver V4.3<br />
Der Strömungslöser basiert auf dem Euranus/Turbo-Code, der in Fortran 77 implementiert<br />
wurde. Um den Code bedienerfre<strong>und</strong>licher <strong>und</strong> übersichtlicher zu gestalten, wurde ein<br />
grafisches Interface mit einer auf TCL/Tk - Tool Command Language / Tickle - basierenden<br />
Kommandosprache geschaffen. Die Bedienoberfläche wird um ein zentrales Verzeichnis<br />
organisiert, wobei eine Zweigstruktur um die Projektbasis die sukzessive Abarbeitung aller<br />
Seiten mit den notwendigen Parametereinstellungen für die numerische Simulation durch den<br />
Anwender sicherstellt. Die Einstellung <strong>und</strong> Auswahl der Parameter erfolgt mittels buttons<br />
sowie Eingabefelder. Es ist das Arbeiten im normal oder expert Modus möglich. Der normal<br />
Modus ist ein vereinfachter expert Modus. Es werden hier Voreinstellungen vorausgesetzt, die<br />
im expert Modus frei verändert werden können, z.B. Wahl des Turbulenzmodells, Ordnung<br />
des Runge-Kutta-Verfahrens etc. Im expert Modus ist im besonderen die Steuerung des<br />
Strömungslösers über Integer- sowie Fließkommaparameter vorgesehen, eine direkte Form<br />
der Einflußnahme auf den Euranus/Turbo-Code.<br />
11
2.3 Gleichungssysteme<br />
Die Erhaltungsgleichungen instationärer, reibungsbehafteter Strömungen lassen sich in einem<br />
stetigen Strömungsfeld mit einem beliebigen, raumfesten Kontrollraum herleiten.<br />
Exemplarisch soll am Beispiel der Masse die Kontinutätsgleichung bestimmt werden, Gl. 2.1.<br />
der<br />
∂<br />
⋅ dV<br />
∂t<br />
∫∫∫ ρ<br />
14243 V 4<br />
zeitliche<br />
Änderung<br />
Masse im Kontrollraum<br />
+<br />
über<br />
die<br />
∫∫<br />
A<br />
r r<br />
ρv<br />
⋅ dA<br />
14243<br />
Massenfluß<br />
Flächen des Kontrollraums<br />
=<br />
0<br />
Gl. 2.1<br />
⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞<br />
Verwenden wir den Nabla-Operator ∇ = ⎜ + + ⎟ so können wir die Gl. 2.1 bei<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
⎠<br />
vorausgesetzter stetiger Differenzierbarkeit in die Integralform<br />
∂<br />
∫∫∫ ∫∫∫<br />
r<br />
ρ ⋅ dV + ∇ ⋅ ρv<br />
⋅ dV = 0<br />
Gl. 2.2<br />
∂t V V<br />
bzw. die konservative Differentialform<br />
∂ρ<br />
r<br />
+ ∇ ⋅ρv<br />
= 0<br />
∂t<br />
Gl. 2.3<br />
mit<br />
r r r<br />
∇ ⋅ ρv<br />
= ρ∇ ⋅ v + v ⋅ ∇ρ<br />
Gl. 2.4<br />
überführen.<br />
Möglich wird dies durch die Annahme, daß sich das finite Kontrollvolumen im karthesischen<br />
Raum in Ruhe befindet, die Integrationsgrenzen in der Gl. 2.2 konstant sind, <strong>und</strong> sich somit<br />
die Ableitung ∂ ∂t<br />
innerhalb des Integrals bringen läßt.<br />
∂ρ<br />
∂t<br />
∫∫∫ ⋅ dV + ∫∫ ρv<br />
⋅ dA =<br />
V<br />
A<br />
r<br />
r<br />
0<br />
Gl. 2.5<br />
Unter Verwendung des Gaußschen Divergenztheorems können wir das Oberflächen-Integral<br />
in der Gl. 2.5 durch das Volumen-Integral<br />
12
∫∫ ρ v ⋅ dA = ∫∫∫ ∇ ⋅ ρv<br />
⋅<br />
A<br />
r<br />
r<br />
V<br />
r<br />
dV<br />
Gl. 2.6<br />
substituieren <strong>und</strong> erhalten die Integralform<br />
⎡∂ρ<br />
⎣ ∂t<br />
r⎤<br />
⎦<br />
∫∫∫ ⎢<br />
+ ∇ ⋅ ρv<br />
⎥<br />
⋅ dV =<br />
V<br />
0<br />
Gl. 2.7<br />
Für ein willkürlich festgelegtes finites Kontrollvolumen des stetigen Strömungsfelds<br />
innerhalb des Kontrollraums gilt, daß wir das Integral in der Gl. 2.7 gleich null annehmen<br />
können <strong>und</strong> somit die konservative Differentialform Gl. 2.3 erhalten, da für ein mitbewegtes<br />
Systemvolumen<br />
dm = 0 mit m ( t ) =<br />
dt<br />
∫∫∫ ρ ⋅ dV<br />
V ()<br />
Gl. 2.8<br />
t<br />
gilt. Die Integralform Gl. 2.7 <strong>und</strong> die konservative Differentialform Gl. 2.3 besitzen die<br />
gleiche mathematische Bedeutung. Für die numerische Behandlung ergeben sich jedoch<br />
aufgr<strong>und</strong> der unterschiedlichen Reihenfolge der Approximationen verschiedener<br />
Diskretisierungsverfahren, deren Methoden unter den Begriffen der Finiten-Volumen-<br />
Diskretisierung für die Integralform sowie der Finiten-Differenzen-Verfahren für die<br />
konservative Differentialform zusammengefaßt werden, Hildebrandt [19]. Wenden wir die in<br />
Gl. 2.3 <strong>und</strong> Gl. 2.7 exemplarisch an der Masse dargestellte allgemeine Erhaltungsgleichung<br />
der Masse auf die Erhaltung von Impuls <strong>und</strong> Energie an, folgt das System der Navier-Stokes-<br />
Gleichungen. Die Erhaltungsgleichungen lauten in konservativer Form nach Hildebrandt [19]<br />
r r r<br />
∂Q<br />
∂<br />
+<br />
∂t<br />
∂x<br />
( E − Ev ) ∂( F − Fv<br />
) ∂( G − Gv<br />
)<br />
= 0<br />
+<br />
r<br />
∂y<br />
r<br />
+<br />
r<br />
∂z<br />
r<br />
Gl. 2.9<br />
⎡ ρ ⎤<br />
⎢<br />
ρ ⋅ u<br />
⎥<br />
r ⎢ ⎥<br />
Q = ⎢ ρ ⋅ v ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
ρ ⋅ w<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
ρ ⋅ et<br />
⎥⎦<br />
⎡ ρ ⋅ u ⎤<br />
⎢ 2<br />
ρ ⋅ u + p<br />
⎥<br />
r ⎢ ⎥<br />
E = ⎢ ρ ⋅ v ⋅ u ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
ρ ⋅ w ⋅ u<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
ρ ⋅ ht<br />
⋅ u ⎥⎦<br />
r<br />
F<br />
⎡ ρ ⋅ v ⎤<br />
⎢<br />
ρ ⋅ u ⋅ v<br />
⎥<br />
⎢ ⎥<br />
2<br />
= ⎢ρ<br />
⋅ v + p⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
ρ ⋅ w ⋅ v<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
ρ ⋅ ht<br />
⋅ v ⎥⎦<br />
mit dem Lösungsvektor Q r <strong>und</strong> den konvektiven Flußvektoren E r , F r , G r ⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥ ⎦<br />
⎡ ρ ⋅ w ⎤<br />
⎢<br />
ρ ⋅ u ⋅ w<br />
r ⎢<br />
G = ⎢ ρ ⋅ v ⋅ w<br />
⎢ 2<br />
⎢<br />
ρ ⋅ w + w<br />
⎢⎣<br />
ρ ⋅ ht<br />
⋅ w<br />
Gl. 2.10<br />
13
<strong>und</strong> den diffusen (viskosen) Flußvektoren<br />
E r v , F r v ,<br />
G r v .<br />
r<br />
E<br />
v<br />
=<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
τ<br />
τ<br />
v<br />
0<br />
σ<br />
x<br />
xy<br />
xz<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
r<br />
F<br />
v<br />
=<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥ τ ⋅ v<br />
⎢ ⎥<br />
x − q&<br />
x ⎥ τ ⋅ v y − q&<br />
y ⎢ τ ⋅ v z − q&<br />
z ⎦<br />
⎣<br />
τ<br />
σ<br />
τ<br />
v<br />
0<br />
xy<br />
y<br />
yz<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
r<br />
G<br />
v<br />
=<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
τ<br />
τ<br />
0<br />
xz<br />
zz<br />
σ z<br />
v<br />
⎤<br />
Gl. 2.11<br />
Der symmetrische Schubspannungstensor τ<br />
⎡σ<br />
x τ xy τ xz ⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
τ = ⎢τ<br />
yx σ y τ yz ⎥<br />
Gl. 2.12<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣<br />
τ zx τ zy σ z ⎦<br />
setzt sich aus den Normalspannungen<br />
∂u<br />
σ = 2 ⋅ µ ⋅ + µ ′⋅<br />
∂x<br />
∂u<br />
⎛ ∂u<br />
∂v<br />
∂w<br />
⎞<br />
( ∇ ⋅ v) = 2 ⋅ µ ⋅ + ′⋅ ⎜ + + ⎟<br />
⎠<br />
x µ<br />
r<br />
∂x<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
r ∂v<br />
⎛ ∂u<br />
∂v<br />
∂w<br />
⎞<br />
( ∇ ⋅ v ) = 2 ⋅ µ ⋅ + ′ ⋅ ⎜ + + ⎟<br />
⎠<br />
∂v<br />
σ y = 2 ⋅ µ ⋅ + µ ′ ⋅<br />
µ<br />
∂y<br />
∂y<br />
∂w<br />
σ = 2 ⋅ µ ⋅ + µ ′⋅<br />
∂z<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
∂w<br />
⎛ ∂u<br />
∂v<br />
∂w<br />
⎞<br />
( ∇ ⋅ v) = 2 ⋅ µ ⋅ + ′⋅ ⎜ + + ⎟<br />
⎠<br />
z µ<br />
r<br />
∂z<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
Gl. 2.13<br />
Gl. 2.14<br />
Gl. 2.15<br />
<strong>und</strong> den Schubspannungen zusammen, Gl. 2.16, Gl. 2.17 <strong>und</strong> Gl. 2.18.<br />
⎛ ∂u<br />
∂v<br />
⎞<br />
τ xy = τ yx = µ ⋅ ⎜ + ⎟<br />
⎝ ∂y<br />
∂y<br />
⎠<br />
Gl. 2.16<br />
⎛ ∂u<br />
∂w<br />
⎞<br />
τ xz = τ zx = µ ⋅ ⎜ + ⎟<br />
⎝ ∂z<br />
∂x<br />
⎠<br />
Gl. 2.17<br />
⎛ ∂v<br />
∂w<br />
⎞<br />
τ yz = τ zy = µ ⋅ ⎜ + ⎟<br />
Gl. 2.18<br />
⎝ ∂z<br />
∂y<br />
⎠<br />
14
Einen Zusammenhang zwischen der Volumenviskosität µ′ <strong>und</strong> der dynamischen Viskosität µ<br />
stellt die Stokes‘sche Hypothese her, Anderson [1].<br />
2<br />
µ ′ = − ⋅ µ<br />
3<br />
Gl. 2.19<br />
Die Wärmeflüsse ergeben sich aus den Temperaturgradienten <strong>und</strong> dem<br />
Wärmeleitkoeffizienten λ.<br />
∂T<br />
∂T<br />
∂T<br />
q& x = −λ<br />
⋅ q&<br />
y = −λ<br />
⋅ q&<br />
z = −λ<br />
⋅<br />
Gl. 2.20<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
Die innere Energie e <strong>und</strong> die Enthalpie h werden mit den kalorischen Zustandsgleichungen<br />
bestimmt.<br />
1<br />
e = cV ⋅T<br />
= ⋅ R ⋅T<br />
κ − 1<br />
κ<br />
h = c p ⋅T<br />
= ⋅ R ⋅T<br />
κ − 1<br />
et<br />
= cV<br />
⋅Tt<br />
=<br />
κ<br />
1<br />
⋅ R ⋅Tt<br />
− 1<br />
ht<br />
= c p ⋅Tt<br />
κ<br />
= ⋅ R ⋅Tt<br />
κ − 1<br />
Gl. 2.21<br />
Das Gleichungssystem schließen wir mit der thermischen Zustandsgleichung für ideale Gas.<br />
p<br />
= R ⋅T<br />
ρ<br />
Gl. 2.22<br />
Die Proportionalitätsfaktoren der diffusen Flüsse –Wärmeübergangskoeffizient λ <strong>und</strong><br />
dynamische Viskosität µ - sind Funktionen des Gaszustands.<br />
Die dynamische Viskosität µ ist stark von der Temperatur abhängig, während wir den<br />
Druckeinfluß bei idealen Gasen vernachlässigen. Es gilt somit mit guter Näherung das Gesetz<br />
von Sutherland<br />
3<br />
T<br />
2<br />
Gl. 2.23<br />
⎛ T ⎞ T + T<br />
µ = µ 0 ⎜ ⎟<br />
⋅<br />
⎝ T0<br />
⎠ T + TS<br />
( ) = µ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 0 S = ρ ν<br />
mit der Bezugstemperatur T 0 = 273,15 K der Sutherland-Konstante T S = 110,0 K <strong>und</strong> der<br />
dynamischen Viskosität bei Bezugstemperatur µ 0 = 1.717 · 10 -5 kg m -1 s -1 .<br />
15
Schlichting [35] gibt zur Berechnung der kinematischen Viskosität µ auch Gl. 2.24 an.<br />
−6<br />
0.76<br />
17,1 ⋅10<br />
⎛ T ⎞<br />
µ = µ ( T ) = ⋅<br />
⎜ ⋅ Pa ⋅ s<br />
T<br />
⎟<br />
Gl. 2.24<br />
ρ ⎝ 0 ⎠<br />
Der Wärmeleitkoeffizient λ wird mit<br />
κ µ c p ⋅ µ<br />
λ = ⋅ R ⋅ =<br />
Gl. 2.25<br />
κ − 1 Pr Pr<br />
bestimmt. Für Luft wird eine konstante Prandtlzahl Pr = 0,72 angenommen.<br />
Die Berücksichtigung besonderer Gasspezies, insbesondere bei der Simulation von<br />
Verbrennungsvorgängen in Brennkammern, kann mittels zusätzlicher skalarer<br />
Transportgleichungen in den Erhaltungsgleichungen Gl. 2.9 ermöglicht werden.<br />
Die diffusen Flüsse<br />
E r , F r<br />
, G r<br />
verschwinden unter der Vernachlässigung von Viskosität<br />
v<br />
v<br />
v<br />
<strong>und</strong> Wärmeleitung. Die Navier-Stokes-Gleichungen vereinfachen sich zu den Euler-<br />
Gleichungen.<br />
2.4 Koordinatentransformation<br />
Die im vorherigen Kapitel beschriebenen Erhaltungsgleichungen gelten in dem orthogonal<br />
kartesischen Koordinatensystem. Sie sind somit nur für einfachste Fälle der<br />
Strömungsmechanik anwendbar.<br />
Um komplexe Geometrien erfassen zu können, ist die Umwandlung der Navier-Stokes-<br />
Gleichungen des krummlinien, konturangepassten physikalischen Raums (t, x, y, z) in den<br />
orthogonal karthesischen Rechenraum (τ, ξ, η, ζ) unter Verwendung äquidistanter Inkremente<br />
∆ ξ = ∆η = ∆ζ<br />
= 1 notwendig, Hildebrandt [19].<br />
Die Transformationsvorschriften<br />
ξ = ξ<br />
η = η<br />
ζ = ζ<br />
( t,x, y,z)<br />
( t,x, y,z)<br />
( t,x, y,z)<br />
τ = t<br />
Gl. 2.26<br />
16
sind eindeutig <strong>und</strong> voneinander unabhängig, wenn die Determinante der Jacobi-Matrix positiv<br />
definit ist.<br />
1<br />
D<br />
∂<br />
=<br />
∂<br />
( ξ , µ , ζ )<br />
( x, y,z)<br />
=<br />
∂ξ<br />
∂x<br />
∂η<br />
∂x<br />
∂ζ<br />
∂z<br />
∂ξ<br />
∂y<br />
∂η<br />
∂y<br />
∂ζ<br />
∂x<br />
∂ξ<br />
∂z<br />
∂η<br />
∂z<br />
∂ζ<br />
∂x<br />
≠ 0<br />
Gl. 2.27<br />
Die Navier-Stokes-Gleichungen schreiben sich dann<br />
∂ E ~ E ~<br />
D Q<br />
⎜ v<br />
⎝<br />
⎛ v r<br />
r −<br />
∂ ⋅<br />
+<br />
∂τ<br />
∂ξ<br />
⎟⎞<br />
⎠<br />
∂⎜<br />
F ~ F ~<br />
v<br />
⎝<br />
⎛ r r<br />
−<br />
+<br />
∂η<br />
⎟⎞<br />
⎠<br />
∂⎜<br />
⎛ G ~ r<br />
G ~ r<br />
− v<br />
+<br />
⎝<br />
∂ζ<br />
⎟⎞<br />
⎠<br />
= 0<br />
Gl. 2.28<br />
Die Flußvektoren E ~r , F ~r , G ~r sind<br />
⎛ ∂ ∂<br />
E ~ r<br />
= D ⋅ ⎜ E ⋅<br />
ξ + F ⋅<br />
ξ + G ⋅<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
⎛ ∂ ∂<br />
F ~ r<br />
= D ⋅ ⎜ E ⋅<br />
η + F ⋅<br />
η + G ⋅<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂ ξ ⎞<br />
⎟<br />
∂z<br />
⎠<br />
∂ η ⎞<br />
⎟<br />
∂z<br />
⎠<br />
Gl. 2.29<br />
⎛ ∂ ∂<br />
G ~ r<br />
= D ⋅ ⎜ E ⋅<br />
ζ + F ⋅<br />
ζ + G ⋅<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂ ζ ⎞<br />
⎟<br />
∂z<br />
⎠<br />
Für die Metrikkoeffizienten gilt in der Kurzschreibweise ζ = ∂ζ<br />
∂x<br />
nach Hildebrandt [19]<br />
x<br />
ξ<br />
η<br />
x<br />
x<br />
=<br />
=<br />
yη<br />
⋅ zζ<br />
− zη<br />
⋅ yζ<br />
D<br />
yζ<br />
⋅ zξ<br />
− zζ<br />
⋅ yξ<br />
D<br />
ξ<br />
η<br />
y<br />
y<br />
=<br />
=<br />
zη<br />
⋅ xζ<br />
− xη<br />
⋅ zζ<br />
D<br />
zζ<br />
⋅ xξ<br />
− xζ<br />
⋅ zξ<br />
D<br />
ξ<br />
η<br />
z<br />
z<br />
=<br />
=<br />
xη<br />
⋅ yζ<br />
− yη<br />
⋅ xζ<br />
D<br />
xζ<br />
⋅ yξ<br />
− yζ<br />
⋅ xξ<br />
D<br />
Gl. 2.30<br />
ζ<br />
x<br />
=<br />
yξ<br />
⋅ zη<br />
− zξ<br />
⋅ yη<br />
D<br />
ζ<br />
y<br />
=<br />
zξ<br />
⋅ xη<br />
− xξ<br />
⋅ zη<br />
D<br />
ζ<br />
z<br />
=<br />
xξ<br />
⋅ yη<br />
− yξ<br />
⋅ xη<br />
D<br />
17
2.5 Zeitabhängigkeit der Erhaltungsgleichungen<br />
Die Navier-Stokes-Gleichungen sind ein Gleichungssystem gekoppelter, nichtlinearer,<br />
partieller Differentialgleichungen. Wir können Differentialgleichungen ellyptischen,<br />
parabolischen sowie hyperbolischen Typs beschreiben, wobei der Typ der<br />
Differentialgleichung wesentlichen Einfluß auf die Art der eingesetzten Lösungsalgorithmen<br />
hat.<br />
Die Navier-Stokes-Gleichungen sind im mathematischen Sinne immer von der Zeit abhängig.<br />
Ein stationärer Fall ergibt sich dann, wenn alle zeitabhängigen Terme der<br />
Erhaltungsgleichungen verschwindend klein werden, ∂ ∂t = 0 .<br />
Aus den Navier-Stokes-Gleichungen lassen sich für die Annahme des Grenzfalles Re → ∞ die<br />
Euler-Gleichungen herleiten. Stationäre Euler-Gleichungen stellen im Unterschall Ma < 1 den<br />
ellyptischen Typ im Überschall Ma > 1 den hyperbolischen Typ eines Differentialgleichungssystems<br />
dar. Insbesondere in transsonischen Turbomaschinen wechselt der Typ der<br />
stationären Euler-Gleichungen bei der Veränderung des Strömungszustands an der Saugseite<br />
der Turbinensschaufel. Instationär formulierte Euler–Gleichungen sind unabhängig vom<br />
Strömungszustand. Sie sind vom hyperbolischem Typ.<br />
Man setzt daher in Fällen wechselnder Strömungszustände Lösungsalgorithmen des<br />
hyperbolischen Typs ein, um den aufwendigen Wechsel bei der Anwendung der Lösungsverfahren<br />
zu vermeiden.<br />
In der Strömungsmechanik existieren neben den Euler-Gleichungen noch weitere vereinfachte<br />
Formen der Navier-Stokes-Gleichungen, welche vom parabolischen Typ sind. Werden nur die<br />
Terme der viskosen Schubspannungen vernachlässigt, so erhalten wir Navier-Stokes-<br />
Gleichungen parabolischen Typs.<br />
Die diffusen Flüsse der Navier-Stokes-Gleichungen behalten unabhängig von der Machzahl<br />
ihren ellyptischen Charakter. Da die Größenordnung der diffusen Flüsse E r<br />
v , F r<br />
v , G r<br />
v in der<br />
Regel für weite Teile des Lösungsgebietes klein ist, können die Lösungsalgorithmen des<br />
hyperbolischen Typs zur Lösung der stationären sowie instationären Navier-Stokes-<br />
Gleichungen beibehalten werden, wobei es für instationäre Strömungen keine Rolle spielt, ob<br />
Unterschall oder Überschall herrscht.<br />
2.6 Diskretisierungstechniken<br />
Gr<strong>und</strong>lage für die Diskretisierungstechniken sind die Herleitungen von Substitutionen der<br />
Ableitungen in den Erhaltungsgleichungen nach dem Satz von Taylor.<br />
r 2 r rt<br />
+ ∆t<br />
rt<br />
rt<br />
rt<br />
rt<br />
⎡ 2<br />
t<br />
4<br />
t<br />
2 ⎤<br />
∂q<br />
∂ q qi<br />
− qi<br />
qi<br />
1 − 2⋅<br />
qi<br />
+ q ⎛<br />
i 1<br />
u ⎞ t ⎛ u ⎞<br />
⎢ ⎜<br />
∂<br />
⎜<br />
∂ x<br />
− =<br />
− +<br />
−<br />
⎟ ∆ ⎟ ∆<br />
+ − ⋅ + ⋅ + K⎥<br />
t 2<br />
x<br />
t<br />
2<br />
2<br />
x<br />
⎢<br />
t<br />
2<br />
4<br />
t<br />
12 ⎥<br />
14243<br />
∂ ∂ 144444<br />
∆<br />
2444444<br />
∆ 3<br />
Differenti i<br />
i<br />
Taylor Glied<br />
gleichung<br />
al<br />
⎣<br />
⎝ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ⎠<br />
⎦<br />
− −<br />
1444444<br />
244444<br />
43<br />
erster <strong>und</strong> zweiter Ordnung<br />
Taylor−Glieder<br />
höherer Ordnung<br />
R<strong>und</strong>ungsfehler<br />
=<br />
0<br />
18
Wir unterscheiden zwei wichtige Diskretisierungstechniken der Zeitabhängigkeit, die<br />
explizite Methode <strong>und</strong> die implizite Methode.<br />
2.6.1.1 Explizite Methode<br />
Ersetzen wir die zeitlichen <strong>und</strong> räumlichen Ableitungen der Erhaltungsgleichungen in<br />
konservativer Differentialform Gl. 2.31 durch die zentralen Differenzen, so erhalten wir für<br />
r<br />
q<br />
t+<br />
∆t<br />
i<br />
r<br />
− q<br />
∆t<br />
t<br />
i<br />
=<br />
den Lösungsvektor Q r ( ) 2 t<br />
r<br />
q<br />
t<br />
i+<br />
1<br />
r<br />
+ 2 ⋅ q<br />
∆x<br />
t<br />
i<br />
r<br />
+ q<br />
i−1<br />
Gl. 2.31<br />
Der Index i beschreibt die Position des betrachteten Knotenpunktes im eindimensionalen<br />
rt<br />
t<br />
Diskretisierungsraum mit der Netzweite ∆ x . Wir erkennen, daß der Lösungsvektor qi<br />
+ ∆<br />
t<br />
zum Zeitpunkt t + ∆t<br />
ausschließlich von der Lösung Q r<br />
zum Zeitpunkt t abhängig ist.<br />
Die Gl. 2.31 kann einfach in den numerischen Diskretisierungsansatz implementiert <strong>und</strong><br />
berechnet werden. Von Nachteil ist die Beschränkung der numerischen Schrittweite ∆ t über<br />
die Dimension der Netzweite ∆ x .<br />
Für eine stabile Rechnung darf ein numerischer Zeitschritt expliziter Verfahren ∆ t nur so<br />
groß sein, daß eine sich mit lokaler Schallgeschwindigkeit a ausbreitende Störung nicht das<br />
lokale Einflußgebiet von ∆ x verläßt, Hirsch [21]. Die Courant-Friedrichs-Lewy –CFL-<br />
Bedingung wird mit der CFL-Zahl beschrieben, wobei für die explizite Methode 0 < CFL ≤ 1<br />
gilt, Gl. 2.32.<br />
∆t<br />
CFL = a ⋅<br />
Gl. 2.32<br />
∆x<br />
Aus der Courant-Friedrichs-Lewy Bedingung <strong>und</strong> dem begrenzten Verhältnis von Zeitschritt<br />
<strong>und</strong> Netzauflösung ∆ t ∆x<br />
folgt eine große Anzahl von Zeitschritten <strong>und</strong> ein<br />
dementsprechend hoher Rechenaufwand, der für feine Netze bei gleichbleibendem Verhältnis<br />
von Zeitschritt <strong>und</strong> Netzauflösung ∆ t ∆x<br />
noch zunimmt.<br />
Moderne explizite Lösungsalgorithmen verwenden stabilere Diskretisierungsansätze mit<br />
teilweise impliziten Formulierungen, die höhere CFL-Zahlen zulassen. Desweiteren werden<br />
Konvergenzbeschleunigungstechniken verwendet, die lokale anstatt globale Zeitschritte<br />
verwenden. Diese Techniken finden nur für stationäre Strömungsprobleme aufgr<strong>und</strong> deren<br />
Unempfindlichkeit gegenüber zeitlichen Verzerrungen Anwendung, Hildebrandt [19].<br />
19
2.6.1.2 Implizite Methode<br />
Wir können die zeitlichen Ableitungen der Erhaltungsgleichung in konservativer<br />
Differentialform Gl. 2.3 durch die Crank-Nicolson Form substituieren, die sich aus der Gl.<br />
2.33 ergibt.<br />
rt<br />
qi<br />
+<br />
∆t<br />
rt<br />
− qi<br />
∆t<br />
=<br />
1<br />
2<br />
rt<br />
q<br />
⋅ i<br />
+<br />
+<br />
∆t<br />
rt<br />
1 + qi<br />
+<br />
rt<br />
1 − 2 ⋅ qi<br />
+<br />
∆t<br />
rt<br />
− 2 ⋅ qi<br />
∆x<br />
rt+<br />
∆t<br />
rt<br />
+ qi<br />
−1<br />
+ qi<br />
−1<br />
Gl. 2.33<br />
rt<br />
t<br />
Der unbekannte Lösungsvektor qi<br />
+ ∆<br />
t<br />
ist jetzt nicht nur von der Lösung Q r abhängig, es<br />
rt<br />
t<br />
existieren auch Abhängigkeiten zu den räumlich benachbarten Lösungen q<br />
∆ rt<br />
t<br />
<strong>und</strong> q<br />
∆ .<br />
Wir können so durch Invertierung mit den Informationen aus sämtlichen N Netzpunkten ein<br />
algebraisches Gleichungssystem erstellen, das innerhalb eines einzelnen Schrittes lösbar wäre.<br />
Betrachten wir die Dimension des Lösungsraums mit N 3 würden sich ca. N 7<br />
Rechenoperationen ergeben, Hildebrandt [19]. Man hat daher für die implizite Methode auch<br />
iterative Algorithmen entwickelt, die eine sehr stabile Lösung des algebraischen<br />
Gleichungssystems innerhalb weniger Zeitschritte ermöglichen.<br />
Von Nachteil sind die umfangreichen Algorithmen, die aufwendig implementiert werden<br />
müssen, sowie die aufwendigen Matrizenoperationen je Zeitschritt.<br />
i+<br />
+ 1<br />
i−<br />
+ 1<br />
2.7 Erzeugung von Turbulenz<br />
In den wenigsten Fällen treten in der Technik rein laminare Strömungen auf, die durch<br />
geschichtete, weitgehend parallele Bewegungen charakterisiert sind. Die meisten Strömungen<br />
können als turbulent betrachtet werden. Turbulente Strömungen zeichnen sich durch<br />
hochfrequente instationäre Schwankungen der integralen Zustands- <strong>und</strong> Bewegungsgrößen in<br />
zeitlicher <strong>und</strong> räumlicher Abhängigkeit um einen Mittelwert aus. Die Berücksichtigung der<br />
Turbulenz in Strömungen ist äußerst wichtig, da die Turbulenz einen wesentlichen Einfluß auf<br />
das Strömungsverhalten hat. Die Turbulenz ist maßgeblich für den größeren Widerstand der<br />
turbulenten Strömung. Andererseits ermöglicht die Turbulenz einen größeren Druckanstieg in<br />
Diffusoren oder entlang von Flugzeugtragflügeln <strong>und</strong> Gebläseschaufeln, da sie das vorzeitige<br />
Ablösen der Strömung verhindert. Wir können uns dieses Phänomen mit dem Auftreten einer<br />
zusätzlich zur Vikosität µ entstehenden Wirbelviskosität µ t erklären, die ihre Ursache nicht in<br />
den molekularen Reibungskräften hat, sondern in der turbulenten Schwankungsbewegung der<br />
Strömung.<br />
Erreicht die Reynoldszahl<br />
ρ ⋅ v ⋅ l<br />
Re = Gl. 2.34<br />
η<br />
20
einen bestimmten kritischen Betrag Re krit , so schlägt die laminare Strömung in eine turbulente<br />
Strömung um.<br />
An ebenen Platten gilt so nach Baehr [3] eine auf die Plattenlauflänge bezogene kritische<br />
Reynoldszahl von Re krit = 3·10 5 ... 5·10 5 . Hildebrandt [19] gibt für Schaufelgitterströmungen<br />
in Turbomaschinen eine auf die Profillänge l bezogene kritische Reynoldszahl von Re krit ≈<br />
3.5·10 5 an.<br />
Neben der Reynoldszahl haben weitere integrale Zustands- <strong>und</strong> Bewegungsgrößen sowie<br />
geometrische Randbedingungen Einfluß auf die Einstellung einer laminaren oder turbulenten<br />
Strömung, nach Hildebrandt [19] sind das.<br />
• Wärmeflüsse<br />
• Druckgradienten<br />
• Schall <strong>und</strong> Vibrationen<br />
• Oberflächenrauhigkeiten<br />
• Anfachung durch Einblasen in die Grenzschicht bzw. Dämpfung durch<br />
Absaugen der Grenzschicht oder Einblasen<br />
• Turbulenzgrad Tu der Hauptströmung bzw. benachbarter Strömungsgebiete<br />
Die hochfrequenten instationären Schwankungen der integralen Zustands- <strong>und</strong><br />
Bewegungsgrößen beziehen sich auf Turbulenzballen entsprechender Abmessungen, welche<br />
einer natürlichen Dämpfung unterliegen, die sich aus der Dissipation, also der Umwandlung<br />
von kinetischer Energie der mittleren Bewegung in innere Energie, beim Zerfallen in kleinere<br />
Turbulenzballen ergibt. Somit wird das Entstehen unendlich kleiner Wirbelelemente<br />
verhindert. Ein hinreichendes Maß für die Beschreibung der Feinstruktur der Turbulenz bei<br />
der Annahme lokalisotroper Turbulenz liefert die Kolmogorov-Länge<br />
lk<br />
−3<br />
4<br />
= Rel<br />
⋅ l<br />
Gl. 2.35<br />
<strong>und</strong> der Zeitmaßstab<br />
tk<br />
−3<br />
2 −1<br />
= Rel<br />
⋅ l ⋅ν Gl. 2.36<br />
im eindimensionalen Raum. Kolomogorov [23] gibt die Anzahl N der für die Direkte<br />
Numerische Simulation einer turbulenten Strömung im dreidimensionalen Raum notwendigen<br />
Netzpunkte an, Gl. 2.37.<br />
9 4<br />
N ∝ Re Gl. 2.37<br />
l<br />
21
Auf die genaue Berechnung turbulenter Strömungen mit der Direkten Numerischen<br />
Simulation wird aufgr<strong>und</strong> ihrer Kompliziertheit <strong>und</strong> dem sich hieraus ergebenden hohen<br />
Rechneraufwand verzichtet. Man bedient sich daher der Erfassung zeitlicher Mittelwerte der<br />
turbulenten Bewegung. Es ergeben sich jedoch gr<strong>und</strong>legende Schwierigkeiten, die<br />
Erhaltungsgleichungen nur mit mittleren Bewegungen auszustatten. Die turbulente Bewegung<br />
ist mit der mittleren Bewegung stark gekoppelt. So entstehen bei der Aufstellung der<br />
Erhaltungsgleichungen für die mittlere Bewegung durch zeitliche Mittelwertbildung der<br />
Navier-Stokes-Gleichungen zusätzliche Terme, die durch die turbulente Schwankungsbewegung<br />
bestimmt werden. Diese Terme stellen für die Berechnung der mittleren Bewegung<br />
zusätzliche Unbekannte dar. Wir haben im Gleichungssystem also mehr Unbekannte als<br />
Gleichungen. Wir benötigen weitere Gleichungen, welche die von den Schwankungsbewegungen<br />
herrührenden Zusatzterme mit dem Geschwindigkeitsfeld der mittleren Bewegung<br />
in Verbindung bringen. Dieses Schließproblem kann nicht aus der Bilanzierung von Masse,<br />
Impuls <strong>und</strong> Energie gelöst werden. Es ist muß ein Zusammenhang zwischen mittlerer<br />
Bewegung <strong>und</strong> Schwankungsbewegung modelliert werden.<br />
2.8 Mittlere Bewegung <strong>und</strong> Schwankungsbewegung<br />
Das Geschwindigkeitsfeld ist an das Temperaturfeld gekoppelt, wenn die Stoffwerte nicht<br />
mehr konstant sind, sondern von der Temperatur abhängen. Bei den Stoffwerten handelt es<br />
sich um die Dichte ρ, die Viskosität µ, die isobare spezifische Wärmekapazität c p <strong>und</strong> die<br />
Wärmeleitfähigkeit λ. Im allgemeinsten Fall hängen sie von der Temperatur <strong>und</strong> dem Druck<br />
ab.<br />
Die zeitlich abhängigen Größen werden in den zeitlichen Mittelwert <strong>und</strong> den<br />
Schwankungsgrößen aufgeteilt. Somit gilt für instationäre mittlere Strömungen sowie<br />
inkompressible Fluide<br />
( x, y,z) + ρ′<br />
( t,x, y,z)<br />
ρ = ρ<br />
ρ′<br />
= 0<br />
u = u<br />
v = v<br />
( x, y,z) + u′<br />
( t,x, y,z)<br />
( x, y,z) + v′<br />
( t,x, y,z)<br />
M<br />
u′<br />
= 0<br />
v′<br />
= 0<br />
Gl. 2.38<br />
unter Beachtung der Rechenvorschrift für den Mittelwert einer schwankenden Größe Ω.<br />
t + ∆t<br />
0<br />
1<br />
Ω ( x,t<br />
r ) = ∫ Ω ⋅ dt <strong>und</strong> Ω ′ = 0<br />
Gl. 2.39<br />
∆t<br />
t<br />
0<br />
22
Für stationäre Strömungen sowie kompressibler Fluide ist nach Favre eine massengewichtete<br />
zeitliche Mittelung einzuführen. Hierbei werden die Dichte ρ, der Druck p, die Temperatur T<br />
sowie die Stoffwerte µ, λ <strong>und</strong> c p weiterhin konventionell gemittelt. Für die Geschwindigkeiten<br />
<strong>und</strong> die spezifischen Enthalpien erfolgt die massengewichtete Mittelung.<br />
u = u ~<br />
u = v ~<br />
w = w ~<br />
( x, y,z) + u′′<br />
( t,x, y,z)<br />
( x, y,z) + v′′<br />
( t,x, y,z)<br />
( x, y,z) + w′′<br />
( t,x, y,z)<br />
ρ ⋅ u′′<br />
= 0<br />
ρ ⋅ v′′<br />
= 0<br />
ρ ⋅ w′′<br />
= 0<br />
Gl. 2.40<br />
h = h ~<br />
( x, y,z) + h′′<br />
( t,x, y,z) ρ ⋅ h′′<br />
= 0<br />
Wobei für die Schwankungsgröße Ω jetzt<br />
ρ ⋅ Ω<br />
Ω = ~ Ω + Ω ′′ = + Ω ′<br />
Gl. 2.41<br />
ρ<br />
gilt, Hirsch [21]. Werden die massengewichteten Geschwindigkeiten bzw. spezifischen<br />
Enthalpien in die Navier-Stokes-Gleichungen eingeführt, erhalten wir zusätzliche<br />
Spannungsterme bzw. Wärmeströme.<br />
Die Reynolds-Spannungen τ R<br />
, auch scheinbare Spannungen genannt, sind in der Gl. 2.42<br />
dargestellt.<br />
τ<br />
R<br />
R<br />
xx<br />
⎡σ<br />
⎢<br />
r r<br />
= − ⋅ v′′<br />
× v′′<br />
= ⎢ R<br />
ρ τ yx<br />
⎢<br />
⎢ R<br />
τ<br />
⎣<br />
zx<br />
τ<br />
σ<br />
τ<br />
R<br />
xy<br />
R<br />
yy<br />
R<br />
zxy<br />
R<br />
xz<br />
R<br />
yz<br />
τ ⎤ ⎡ ρ ⋅ u′′⋅<br />
u′′<br />
⎥ ⎢<br />
τ ⎥ = −⎢<br />
ρ ⋅ v′′<br />
⋅ u′′<br />
⎥<br />
R ⎢<br />
σ ⎥ ⎢⎣<br />
ρ ⋅ w′′<br />
⋅ u′′<br />
zz<br />
⎦<br />
ρ ⋅ u′′⋅<br />
v′′<br />
ρ ⋅ v′′<br />
⋅ v′′<br />
ρ ⋅ w′′⋅<br />
v′′<br />
ρ ⋅ u′′<br />
⋅ w′′<br />
⎤<br />
⎥<br />
ρ ⋅ v′′⋅<br />
w′′<br />
⎥<br />
⎥<br />
ρ ⋅ w′′⋅<br />
w′′<br />
⎥⎦<br />
Gl. 2.42<br />
Für den turbulenten Wärmestromvektor<br />
R<br />
q r & mit der turbulenten Wärmeleitfähigkeit λ t gilt<br />
r<br />
R<br />
q &<br />
⎡q&<br />
R ⎤<br />
x ⎡ ρ ⋅ h′′⋅<br />
u′′<br />
⎤<br />
⎢<br />
T ~ Pr T ~<br />
R ⎥ ⎢ ⎥ ∂<br />
∂<br />
= ⎢q&<br />
y ⎥ = ⎢ ρ ⋅ h′′⋅<br />
v′′<br />
⎥ = −λt<br />
⋅ r = ⋅ µ t ⋅ r<br />
⎢<br />
∂x<br />
Prt<br />
∂x<br />
R<br />
q&<br />
⎥ ⎢<br />
z<br />
h w ⎥<br />
⎣<br />
ρ ⋅ ′′⋅ ′′<br />
⎣ ⎦<br />
⎦<br />
Gl. 2.43<br />
Die scheinbaren Spannungen treten gemeinsam mit den gewöhnlichen viskosen Spannungen<br />
der Stokes-Spannungshypothese auf <strong>und</strong> versteifen die Erhaltungsgleichungen zusätzlich.<br />
23
2.9 Turbulenzmodelle<br />
Im allgemeinen kommen bei der Modellierung partielle Differentialgleichungen zum Einsatz,<br />
nach deren Ordnungen wir die Turbulenzmodelle kategorisieren. So können wir einen<br />
Zusammenhang zwischen den turbulenten Schubspannungen <strong>und</strong> den Größen der mittleren<br />
Bewegung mit einem Eingleichungs-Modell bzw. Zweigleichungs-Modell bzw. bei einem<br />
Verzicht auf Differentialgleichungen mit der Verwendung von ausschließlich algebraischen<br />
Gleichungen ein Nullgleichungs-Modell herstellen.<br />
Es existieren zwei wichtige Modellansätze, das Reynoldsspannungsmodell <strong>und</strong> das<br />
Wirbelviskositätsmodell. Das Reynoldsspannungsmodell berücksichtigt das anisotrope<br />
Verhalten der Turbulenz, welches mit der Erhöhung der Anzahl zu lösender Gleichungen <strong>und</strong><br />
somit des Rechenaufwands einher geht. Jedoch werden die Strömungsphänomene sehr gut<br />
erfaßt.<br />
Das Wirbelviskositätsmodell geht von der Annahme isotroper Turbulenz nach dem<br />
Bossinesq-Ansatz Gl. 2.44 aus. Sämtliche Schwankungsbewegungen werden in den drei<br />
Raumrichtungen als identisch angenommen, so daß die Reynolds-Spannungen mit gleicher<br />
Gewichtung in die Wirbelviskosität µ t eingehen.<br />
u ′<br />
= v′′<br />
= w′<br />
Die in dieser Arbeit verwendeten Turbulenzmodelle basieren ausschließlich auf dem<br />
Wirbelviskositätsmodell.<br />
Die scheinbaren Spannungen der turbulenten Strömung werden mit dem Bossinesq-Ansatz<br />
modelliert.<br />
⎛ ∂v ~ v ~ 2 u ~ 2<br />
v v<br />
i ∂ k ∂ k ⎞<br />
− ρ ⋅ i′′⋅<br />
′′ j = µ t ⋅<br />
⎜ + − ⋅δij<br />
⋅ − ⋅ ij ⋅ ⋅ k<br />
xk<br />
xi<br />
3 x<br />
⎟ δ ρ<br />
Gl. 2.44<br />
⎝ ∂<br />
∂ k ⎠ 3<br />
Des weiteren gelten<br />
1<br />
h ~ h ~ u ~ 2<br />
ρ 2<br />
t = + ⋅ + k ρ ⋅ htv′′<br />
= ρ ⋅ h′′⋅<br />
v′′<br />
+ ⋅ q ⋅ v′′<br />
− u ~ ⋅τ<br />
t<br />
2<br />
2<br />
2 2 2 2<br />
q = u′′<br />
+ v′′<br />
+ w′<br />
Gl. 2.45<br />
sowie mit der kinetischen Energie k der turbulenten Schwankungsbewegung<br />
k =<br />
2<br />
ρ ⋅ q<br />
=<br />
2 ⋅ ρ<br />
1<br />
⋅ q ~<br />
2<br />
2<br />
Gl. 2.46<br />
24
Die Turbulenz einer Strömung kann nicht nur durch die Intensität ihrer<br />
Schwankungsbewegungen, dem Turbulenzgrad Tu, sondern auch mit der kinetischen Energie<br />
k beschrieben werden,<br />
Tu =<br />
1<br />
⎜<br />
⎛ ′′<br />
2<br />
′′<br />
2<br />
⋅ u + v + w′<br />
3 ⎝<br />
u<br />
∞<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
=<br />
2 ⋅ k<br />
u<br />
∞<br />
3<br />
Gl. 2.47<br />
wobei unter Annahme anisotropen Verhaltens der Strömung Gl. 2.48 gilt.<br />
2<br />
u′′<br />
Tu = u ∞<br />
Gl. 2.48<br />
2.9.1 Nullgleichungs-Modell – Baldwin-Lomax-Modell<br />
Das Baldwin-Lomax-Modell gehört zur Gruppe der algebraischen Turbulenzmodelle. Die<br />
Gr<strong>und</strong>gleichungen für die numerische Lösungen stellen die Navier-Stokes-Gleichungen dar.<br />
Die Turbulenzeffekte werden durch die angenommene Wirbelviskosität µ t hervorgerufen.<br />
Baldwin <strong>und</strong> Lomax [6] unterteilen die innere <strong>und</strong> äußere Grenzschicht in zwei Bereiche.<br />
Somit werden bezogen auf die Navier-Stokes-Gleichungen für laminare Anströmung die<br />
Viskosität µ durch den Term µ + µ t ersetzt. Für den Wärmeverlust ersetzen wir analog k/c p =<br />
µ/Pr durch den Ausdruck µ/Pr + µ t /Pr. Die Wirbelviskosität µ t für den inneren Bereich wird<br />
gemäß des Prandtlschen Mischwegekonzeptes bestimmt, im äußeren Bereich mit Hilfe einer<br />
algebraischen Formel, die aus empirischen Untersuchungen der Grenzschicht abgeleitet<br />
wurde.<br />
Für die Zuordnung der Wirbelviskosität µ t ergibt sich somit folgende Darstellung:<br />
( µ t )<br />
inner y ≤ ycrossover<br />
( µ ) y < y<br />
⎧<br />
µ t = ⎨<br />
Gl. 2.49<br />
⎩ t outer crossover<br />
Der Wandabstand y crossover stellt den der kleinsten Wert von y dar, bei dem das Ergebnis der<br />
inneren <strong>und</strong> äußeren Gleichung identisch ist.<br />
Zur Beschreibung des inneren Bereichs wird die Prandtl-Van-Driest-Gleichung Gl. 2.50<br />
verwendet.<br />
2<br />
( µ ) = ρ ⋅ ⋅ ϖ<br />
t inner<br />
l Gl. 2.50<br />
wobei die Mischweglänge l mit der Gl. 2.51 bestimmt wird.<br />
25
+ +<br />
− y A<br />
[ 1 − e ]<br />
l = k ⋅ y ⋅<br />
Gl. 2.51<br />
Nach Baldwin <strong>und</strong> Lomax [6] bestimmen wir den Betrag der Verwirbelung mit<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎛ ∂u<br />
∂v<br />
⎞ ⎛ ∂v<br />
∂w<br />
⎞ ⎛ ∂w<br />
∂u<br />
⎞<br />
ϖ = ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟<br />
Gl. 2.52<br />
⎝ ∂y<br />
∂x<br />
⎠ ⎝ ∂z<br />
∂y<br />
⎠ ⎝ ∂x<br />
∂z<br />
⎠<br />
<strong>und</strong> den normierten Wandabstand<br />
+<br />
y<br />
ρ W ⋅ u τ ⋅ y ρW<br />
⋅τW<br />
y<br />
= =<br />
⋅<br />
µ W µ W<br />
Gl. 2.53<br />
Die Wirbelviskosität µ t für den äußeren Bereich wird nach Baldwin <strong>und</strong> Lomax [6] mit der<br />
algebraischen Gl. 2.54 bestimmt.<br />
( ) = K ⋅C<br />
⋅ ρ ⋅ F ⋅ F ( y)<br />
µ t outer CP WAKE KLEB<br />
Gl. 2.54<br />
Die Clauser-Konstante K sowie die Konstante C P werden in der Tabelle 2.1 angegeben. Die<br />
Größe F WAKE berechnet sich mit der Gl. 2.55.<br />
⎧ ymax<br />
⋅ Fmax<br />
⎫<br />
F WAKE = min⎨<br />
2 ⎬<br />
Gl. 2.55<br />
⎩CWK<br />
⋅ ymax<br />
⋅uDIF<br />
Fmax<br />
⎭<br />
Die Größen F max <strong>und</strong> y max werden mit dem Maximum der Funktion<br />
+ +<br />
− y A<br />
( y) = y ⋅ ⋅ [ 1 − e ]<br />
F ϖ Gl. 2.56<br />
an der Stelle y = y max bestimmt. Die Größe u DIF ist die Differenz der maximalen <strong>und</strong><br />
minimalen Absolutgeschwindigkeiten im Grenzschichtprofil.<br />
u<br />
DIF<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎛<br />
2 2 2<br />
2 2 2<br />
= ⎜ u + v + w ⎟ − ⎜ u + v + w<br />
Gl. 2.57<br />
⎝<br />
⎠max<br />
⎝<br />
min<br />
⎟ ⎠<br />
⎞<br />
Die Intermittenz-Funktion von Klebanoff F KLEB lautet<br />
26
F<br />
KLEB<br />
( y)<br />
6<br />
−1<br />
⎡<br />
⎛ CKLEB<br />
⋅ y ⎞<br />
⎤<br />
= ⎢1<br />
+ 5.5 ⋅<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎜<br />
y<br />
⎟<br />
Gl. 2.58<br />
max ⎥<br />
⎣<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎦<br />
Der Effekt des turbulenten Überganges kann simuliert werden, wenn die Wirbelviskosität µ t<br />
im Geschwindigkeitsprofil unter der Voraussetzung null gesetzt wird, so daß der maximale<br />
berechnete Wert der Wirbelviskosität µ t in der Grenzschicht kleiner als der spezielle Wert<br />
C MUTM ·µ ∞ ist.<br />
µ wenn ( ) ∞<br />
t = 0<br />
< ⋅ µ<br />
µ t max im Pr ofil<br />
C MUTM<br />
In der Tabelle 2.1 sind die Konstanten zum Baldwin-Lomax-Modell aufgeführt.<br />
A + C CP C KLEB C WK k K Pr Pr t C MUTM<br />
26 1.6 0.3 0.25 0.4 0.0168 0.72 0.9 14<br />
Tab. 2.1 – Konstanten des Baldwin-Lomax-Modells<br />
Neben der Lösung der zeitlich gemittelten Impulsgleichungen benötigen wir zusätzlich die<br />
zeitlich gemittelte Energiegleichung. In diesen Gleichungen treten Schwankungsgrößen auf,<br />
die entsprechend modelliert werden müssen.<br />
Ist die turbulente Prandtlzahl Pr t bekannt, haben wir eine Möglichkeit diese<br />
Schwankungsgrößen in der Gl. 2.59 zu bestimmen. Es besteht der Zusammenhang<br />
Pr<br />
t<br />
=<br />
c<br />
µ ⋅ c<br />
p<br />
t p<br />
µ t ⋅ ⇒ kt<br />
=<br />
Gl. 2.59<br />
kt<br />
Prt<br />
Hier zeigt sich der Nachteil des Baldwin-Lomax-Modells, da bei empirischen<br />
Untersuchungen am äußeren Rand turbulente Prandtlzahlen Pr t von ≈ 0.6 … 0.7 festgestellt<br />
wurden, <strong>und</strong> in Wandnähe die Prandtlzahl Werte von 1.5 annahm. Oertel [31]. Baldwin <strong>und</strong><br />
Lomax [6] legen jedoch die turbulente Prandtlzahl Pr t auf 0.9 fest, Tab. 2.1.<br />
Diese Abhängigkeit der turbulenten Austauschgrößen µ t <strong>und</strong> k t von den örtlichen<br />
Geschwindigkeitsprofilen verhindert die Berücksichtigung des Turbulenzgrades (z.B.<br />
gemessen mit Hitzedrahtanemometer) stromauf <strong>und</strong> stromab der Strömung.<br />
Desweiteren macht sich beim Baldwin-Lomax-Modell wie für sämtliche Turbulenz-Modelle,<br />
die auf dem Prandtlschen Mischwegkonzept basieren, der Nachteil der ungenügenden<br />
Beschreibung abgelöster <strong>und</strong> sich wieder anlegender Strömungen bemerkbar, so daß der<br />
Turbulenzgrad an den Stellen ∂u/∂z = 0 falsch berechnet wird, Oertel [31].<br />
Um gute Ergebnisse mit dem Baldwin-Lomax-Modells zu erhalten, ist die hinreichende<br />
Auflösung der Grenzschicht erforderlich.<br />
27
Der Vorteil des Baldwin-Lomax-Modells besteht in der einfachen Integrierbarkeit, da mit den<br />
algebraischen Gleichungen keine komplizierten gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichungen<br />
gelöst werden müssen. Diese Eigenschaft ermöglicht das schnelle Konvergieren<br />
der Rechnung Des weiteren ist die Verwendung des Full-Multigrid-Modus in der<br />
vorliegenden Version von FINE/TURBO mit dem Baldwin-Lomax-Modell möglich.<br />
Trotz der beschriebenen Nachteile wird das Baldwin-Lomax-Modells sehr häufig bei freien<br />
Umströmungen angewendet, wenn keine Informationen über die Qualität der Turbulenz in der<br />
Hauptströmung bekannt sind.<br />
2.9.2 Zweigleichungs-Modell - k-ε Modell<br />
Das k-ε Modell ist ein Zweigleichungs-Modell <strong>und</strong> schließt das Gleichungssystem der<br />
Erhaltungsgleichungen.<br />
Mit der Berücksichtigung der Reynoldspannungen τ R<br />
sowie der turbulenten Wärmeströme<br />
q r & R gehen die Navier-Stokes-Gleichungen in die reynoldsgemittelten Navier-Stokes-<br />
Gleichungen über, Schlichting [35].<br />
( ρ ⋅ v ⋅ k)<br />
∂ i ∂ ⎛⎛<br />
µ t ⎞ ∂k<br />
⎞<br />
= ⋅ ⎜ µ<br />
⎟ P<br />
~<br />
Prod {<br />
ρ ε<br />
xi<br />
x<br />
⎜ +<br />
+<br />
− ⋅<br />
i σ<br />
⎟ ⋅<br />
∂<br />
∂<br />
k x<br />
⎝ ⎠ ∂ 123<br />
14243<br />
⎝<br />
i<br />
144 44 24444<br />
3⎠<br />
Turbulenz−<br />
Dissipatio n Gl. 2.60<br />
Konvektion viskose <strong>und</strong> turbulente Produktion<br />
Diffusion<br />
∂ ~<br />
i<br />
∂x<br />
14243 i<br />
Konvektion<br />
( ρ ⋅ v ⋅ε<br />
)<br />
=<br />
∂ ⎛⎛<br />
µ t ⎞ ∂~<br />
ε ⎞<br />
⋅ ⎜ µ<br />
⎟<br />
x<br />
⎜ +<br />
i σ ~<br />
⎟<br />
∂<br />
⋅<br />
ε x<br />
i<br />
1444<br />
⎝⎝<br />
∂<br />
24444<br />
⎠<br />
3⎠<br />
viskose <strong>und</strong> turbulente<br />
Diffusion<br />
+<br />
ε<br />
Cε<br />
1 ⋅ ⋅ PProd<br />
144<br />
k243<br />
4<br />
Turbulenz−<br />
Produktion durch<br />
Wirbelfadenstreckung<br />
−<br />
~ 2<br />
ε<br />
Cε<br />
2 ⋅ ρ ⋅<br />
14243k<br />
viskose Vernichtung<br />
Gl. 2.61<br />
Die Wirbelviskosität µ t wird zu den zwei Turbulenzparametern kinetische Energie k <strong>und</strong><br />
Dissipation ε ~ mit Gl. 2.62 in Beziehung gesetzt.<br />
2<br />
= C ⋅ ρ ⋅ k ~ ε<br />
Gl. 2.62<br />
µ t µ<br />
Für Luft als strömendes Medium wird äquivalent zum Baldwin-Lomax-Modell eine konstante<br />
turbulente Prandtlzahl Pr t von 0.9 festgelegt, vgl. Gl. 2.59. Für die in den Modellgleichungen<br />
auftretenden empirischen Konstanten gelten die Standardwerte in der Tab. 2.2.<br />
28
Der Dissipationsterm ist<br />
~ ∂ v r ′<br />
ρ ⋅ε<br />
= τ ⋅ r<br />
Gl. 2.63<br />
∂x<br />
cµ<br />
c~<br />
ε 1 c~<br />
ε 2 σ k<br />
σ ~ ε<br />
Tab. 2.2 – Konstanten des k-ε Modells<br />
0.09 1.44 1.92 1.0 1.3<br />
Die Turbulenz erzeugen wir mit dem Produktionsterm P Prod unter Vernachlässigung einer<br />
möglichen Anisotropie der Turbulenz, alle Reynolds-Spannungen werden mit der gleichen<br />
turbulenten Viskosität berechnet.<br />
PProd<br />
∂vi<br />
⎛ ⎛ ∂v ~ i ∂v ~ k 2 ∂u ~ k ⎞ 2 ⎞ ∂v<br />
= −ρ ⋅ v<br />
i<br />
i′′⋅<br />
v ′′ j ⋅ = ⎜ t<br />
ij<br />
ij k ⎟ ⋅<br />
x<br />
µ ⋅<br />
⎜ + − ⋅δ<br />
⋅ − ⋅ ⋅ ⋅<br />
j xk<br />
xi<br />
3 x<br />
⎟ δ ρ<br />
∂<br />
k 3<br />
Gl. 2.64<br />
⎝ ⎝ ∂<br />
∂ ⎠<br />
⎠ ∂x<br />
j<br />
Die Dissipation ~ ε interpretieren wir als die Umwandlung von turbulenter kinetischer Energie<br />
in innere Energie. Die Disspation ~ ε wirkt somit energieverzehrend. Demgegenüber ist der<br />
Term der Turbulenzproduktion im allgemeinen positiv, Gl. 2.64. Sollten in einer turbulenten<br />
Strömung die Terme für die Turbulenz-Produktion <strong>und</strong> Dissipation sehr viel größer sein als<br />
die übrigen Beträge zum Energiehaushalt, entstehen Gleichgewichtsbereiche, da hier<br />
näherungsweise die Turbulenz-Produktion gleich der Dissipation ist.<br />
Es können auch negative Turbulenz-Produktionen auftreten, wenn die Energie der<br />
Schwankungsbewegung in die mittlere Bewegung zurückfließt. Das k-ε Modell wird im<br />
Hoch-Reynoldszahlenbereich eingesetzt. Es ist nicht anwendbar in der viskosen Unterschicht<br />
in direkter Wandnähe. Diese Schicht wird nicht aufgelöst, da der erste Netzpunkt außerhalb<br />
der viskosen Unterschicht gelegt werden muß, möglichst in einen Bereich, in dem der<br />
normierter Wandabstand y + Werte von 30 bis 100 annimmt, jedoch in jedem Fall der<br />
dimensionslose Wandabstand y + > 11 sein muß.<br />
y<br />
+<br />
=<br />
y ⋅<br />
ν<br />
u τ<br />
Gl. 2.65<br />
In diesem Bereich gilt das logarithmische Wandgesetz für die Geschwindigkeitsverteilung<br />
<strong>und</strong> der Verteilung der Turbulenz. Turbulenzproduktion <strong>und</strong> Dissipation sind näherungsweise<br />
im lokalen Gleichgewicht.<br />
Daher ist für die Einstellung der korrekten Netzauflösung an der Grenzschicht die schrittweise<br />
Anpassung des Rechennetzes nach mehrfachem Anrechnen erforderlich.<br />
29
Das k-ε Modell wird auch in speziellen Modifikationen für den Niedrig-Reynoldszahlbereich<br />
verwendet, wenn die Gl. 2.62 mit der Dämpfungsfunktion f µ ergänzt wird.<br />
2<br />
= C ⋅ f ⋅ ρ ⋅ k ~ ε<br />
Gl. 2.66<br />
µ t µ µ<br />
Des weiteren werden in Abhängigkeit vom modifizierten Turbulenzmodell zusätzliche<br />
Funktionen in die reynoldsgemittelten Navier-Stokes-Gleichungen eingefügt. Die<br />
Beschreibung der Funktionen entnehmen wir NUMECA [30].<br />
Eine besondere Form der Turbulenzmodelle sind Zweischichtenmodelle, die auf modifizierten<br />
Versionen des Eingleichungsmodells bzw. der k-ε Modelle beruhen.<br />
Bei einer Art der Zweischichtenmodelle wird in der viskosen Unterschicht auf ein einfacheres<br />
Eingleichungsmodell umgeschaltet, das keine ε-Gleichung löst, sondern die<br />
Längenmaßverteilung empirisch vorgibt, Rodi [33]. Das Eingleichungsmodell wird nur in<br />
direkter Wandnähe eingesetzt, während die wandfernen Strömungsgebiete mit dem Standardk-ε<br />
Modell berechnet werden. Das Umschalten vom Eingleichungsmodell in Wandnähe auf<br />
das Standard k-ε Modell im äußeren Bereich erfolgt an einer Stelle, bei der die<br />
Dämpfungsfunktion f µ den Wert 0,95 erreicht, d.h. wo die viskosen Effekte vernachlässigt<br />
werden können.<br />
Eine weitere Art der Zweischichtmodelle ist die Verwendung eines modifizierten Niedrig-<br />
Reynoldszahl-k-ε Modells für die viskose Unterschicht <strong>und</strong> des Standard k-ε Modells bei<br />
einem normierten Wandabstands y + . In FINE/TURBO V3.0 ist die Verwendung der<br />
letztbeschriebenen Art des Zweischichtenmodells unter Verwendung des k-ε Modells der<br />
Version Yang <strong>und</strong> Shi im Bereich der viskosen Unterschicht <strong>und</strong> das Standard k-ε Modell im<br />
äußeren Bereich ab einem normierten Wandabstand von y + (f µ =0,95)=260,5 möglich.<br />
2.9.3 Turbulenzmodelle von FINE/TURBO V3.0<br />
Folgende Turbulenzmodelle sind im Euranus/Turbo-Code von FINE/TURBO V3.0<br />
implementiert.<br />
• Baldwin-Lomax-Modell<br />
• k-ε Modell Standard<br />
• k-ε Modell Chien<br />
• k-ε Modell La<strong>und</strong>er & Sharma<br />
• k-ε Modell Yang & Shi<br />
• Zweigleichungsmodell k-ε Modell Yang & Shi<br />
Das Beeinflussen der spezifischen Turbulenzparameter ist ebenfalls möglich.<br />
30
2.10 Anfangs- <strong>und</strong> Randbedingungen<br />
Zur Lösung der Erhaltungsgleichungen ist die Vorgabe von bestimmten Anfangs- <strong>und</strong><br />
Randbedingungen notwendig. Dies umfaßt sämtliche konservative Größen.<br />
2.10.1 Anfangsbedingungen<br />
Der zeitgenauen oder instationären Berechnung geht eine Linearisierung der Erhaltungsgleichungen<br />
zum Zeitpunkt t = 0 voraus, um den exakten Lösungsvektor der Erhaltungsgleichungen<br />
im betrachtenen Rechenraum zu erhalten.<br />
Eine triviale Lösung wäre die Null-Strömung-Annahme, die jedoch aufgr<strong>und</strong> ihrer<br />
schwierigen numerischen Beherrschbarkeit nicht angewendet wird, Null-Geschwindigkeitskomponenten,<br />
konstanter Druck <strong>und</strong> Temperaturverteilung. Die Null-Strömung-Annahme<br />
erfordert einen hohen numerischen Aufwand, denn je näher die Anfangsbedingung<br />
letztendlich der endgültigen Lösung ist, ums so schneller erfolgt die numerische<br />
Approximation.<br />
Stationäre Strömungen werden allein durch die Randbedingungen bestimmt. Passen wir die<br />
Anfangsbedingungen dem erwarteten Strömungsverlauf an, so erhalten wir eine stabilere <strong>und</strong><br />
schnellere Konvergenz der Rechnungen. Somit ist die Angabe einer approximierten<br />
Anfangsbedingung immer sinnvoll. Des weiteren bieten sich Rechnungen im Rahmen des full<br />
multi grid modus auf einem groben Netz an, um deren Ergebnisse dann als Startbedingung in<br />
ein feineres Netz interpolieren zu können.<br />
Diese Funktion ist in FINE/TURBO V3.0 jedoch nur für der Lösung der Euler-Gleichungen<br />
sowie für die turbulenten Navier-Stokes-Gleichungen nur bei Verwendung des Baldwin-<br />
Lomax-Modells vorgesehen.<br />
2.10.2 Randbedingungen<br />
An den Rändern des Rechenraums müssen sämtliche konservative Größen bekannt sein.<br />
Physikalisch lassen sich die Randbedingungen durch Formulierungen von Dirichlet <strong>und</strong><br />
Neumann beschreiben. Die Dirichlet-Randbedingung legt die Strömungsgröße am Rand fest.<br />
Die Neumann-Randbedingug definiert den Fluß dieser Größe, d.h. die zeitliche Abbleitung<br />
der Strömungsgröße senkrecht zur Berandung.<br />
Wir unterscheiden Ein- <strong>und</strong> Ausströmrand, Festkörperwand sowie Festlegungen für innere<br />
Randbedingungen, wie periodische Randbedingungen, Symmetrierandbedingungen,<br />
Verbindungsrandbedingungen sowie externe Randbedingungen für die freie Umströmung.<br />
31
2.10.2.1 Ein- <strong>und</strong> Ausströmrand<br />
Die Startbedingungen am Ein- <strong>und</strong> Ausströmrand setzen eine homogene Strömung voraus.<br />
Die Ein- <strong>und</strong> Auströmränder müssen einen genügend großen Abstand zu inhomogenen<br />
Strömungsgebieten haben.<br />
Es werden typischerweise folgende Randbedingungen festgelegt.<br />
inkompressibel kompressibel<br />
Einströmrand p 1 , T t1 , ρ 1 , t 1 , v r p 1 , T t1 , ρ 1 , t 1 , v r<br />
Ausströmrand p 2 bzw. Massenstrom extrapoliert<br />
Mit den k-ε Modellen können wir Turbulenz am Einströmrand beschreiben. Im allgemeinen<br />
werden die Gl. 2.67 <strong>und</strong> Gl. 2.68 als Startbedingung am Einströmrand verwendet.<br />
k<br />
3<br />
2<br />
( Tu ⋅ ) 2<br />
1 = ⋅ u∞<br />
Gl. 2.67<br />
k1 1,<br />
5<br />
ε = Gl. 2.68<br />
λ ⋅ l<br />
mit λ·l als charakteristisches Längenmaß, wobei λ = 0,05 ist, Vogel [38].<br />
Die Turbulenz wird am Austrittsrand extrapoliert.<br />
2.10.2.2 Festkörperrand<br />
Am Festkörperrand –solid- gelten die Neumannschen Randbedingungen. Massen-, Impuls<strong>und</strong><br />
Energieströme durch die Wand verschwinden. Nur für die nicht adiabate Wand ist ein<br />
Energiestrom aufgr<strong>und</strong> der Wärmeleitfähigkeit zugelassen. In diesem Fall ist die Vorgabe<br />
einer Wandtemperatur oder eines Wandwärmestromes notwendig. In FINE/TURBO V3.0 ist<br />
es nur möglich die isotherme <strong>und</strong> die adiabate Festkörperrandbedingung festzulegen. Für<br />
verlustbehaftete Strömungen werden die Reibungseffekte berücksichtigt.<br />
Die Dirichlet-Randbedingung für die Strömungsgeschwindigkieten hat direkt an der Wand<br />
Gültigkeit, u = v = w = 0.<br />
Neben den Haftbedingungen <strong>und</strong> der Nullsetzung sämtlicher Ströme durch die Wand gilt das<br />
Verschwinden der wandnormalen Gradienten des statischen Drucks sowie der statischen<br />
Temperatur.<br />
32
2.10.2.3 Innere Randbedingungen<br />
Innere Randbedingungen werden durch periodische Randbedingungen –periodic-,<br />
Symmetrierandbedingungen –mirror-, Verbindungsrandbedingungen –connection- vorgesehen.<br />
Verbindungsrandbedingungen entstehen in Mehrblocknetzen. Hier ist der vollständige<br />
Austausch der Lösungen verschiedener Blöcke über sogenannte blockcuts sicherzustellen.<br />
Symmetrierandbedingungen verhalten sich wie blockcuts, wobei der Strömungsvektor mit<br />
dem negativen Einheitsnormalenvektor der Symmetriebene multipliziert wird. Die<br />
randnormalen Gradienten der Strömungsgrößen werden zu null gesetzt.<br />
Periodische Randbedingungen sind insbesondere für die Berechnung von Turbomaschinen<br />
von Bedeutung.<br />
2.10.2.4 Externe Randbedingung<br />
Externe Randbedingungen –external- kommen für den Fall der freien Umströmung von festen<br />
Körpern zum Einsatz. Das Strömungsfeld reicht um den festen Körper bis ins Unendliche.<br />
Die Strömung, die durch den Körper verursacht wird, klingt im Unendlichen ab.<br />
Da wir einen unendlichen Randabstand nicht diskretisieren können, muß der Abstand des<br />
Festkörperrandes zum externen Rand doch so groß sein, daß Strömungsinhomogenitäten nicht<br />
in den externen Rand hineinreichen. In den externen Randbedingungen legen wir die<br />
Riemannschen Invarianten fest, die für die in den physikalischen Rechenraum ein- <strong>und</strong><br />
austretenden Impuls- <strong>und</strong> Energieströme unveränderliche Variablen darstellen.<br />
2.11 Rechenverfahren<br />
CFD-Rechnungen werden in verschiedensten Ingenieurgebieten eingesetzt. Entsprechend<br />
umfangreich sind die Eigenschaften der verwendeten Algorithmen <strong>und</strong> Programmpackete,<br />
wobei Kriterien zur Unterscheidung <strong>und</strong> Einordnung der Rechenverfahren notwendig sind.<br />
Dieses Vorgehen gewinnt um so mehr an Bedeutung, da die CFD-Rechnungen heute nunmehr<br />
ein Bestandteile komplexer Rechnungen in der Entwicklungsarbeit für die Auslegung von<br />
technischen Systemen bzw. Bauwerken sind <strong>und</strong> eine Kopplung der Gleichungen von<br />
Strömungsmechanik <strong>und</strong> Strukturmechanik unter Beachtung der thermischen<br />
Wechselwirkung mit dem Gesamtsystem angestrebt wird.<br />
Wir werden den Strömungslöser FINE/TURBO V3.0 entsprechend der Beurteilungskriterien<br />
nach Hildebrandt [19] einordnen. FINE/TURBO verwendet als Lösungsbasis den<br />
Euranus/Turbo-Code.<br />
Anwendungsgebiet<br />
Der Strömungslöser FINE/TURBO V3.0 ist ein kommerzielles Programmpaket ohne<br />
Implementierung der CHT-Technik - Conjugate Heat Transfer and flow simulation – d.h. die<br />
Temperaturgradienten in festen Körpern aufgr<strong>und</strong> der nicht adiabaten Wandrandbedingungen<br />
können nicht erfaßt werden. Des weiteren ist die Berücksichtigung von<br />
33
Mehrphasenströmungen, Reaktionen <strong>und</strong> veränderlichen Wandrandbedingungen nicht<br />
möglich.<br />
Der in FINE/TURBO V3.0 verwendete Euranus/Turbo-Code deckt die gesamte Bandbreite<br />
kompressibler <strong>und</strong> inkompressibler Strömungen ab. Mit ihm können wir Berechnungen<br />
ausschließlich stationärer Strömung vornehmen. Die Behandlung instationärer Strömungen ist<br />
in der vorliegenden Version 3.0 nicht vorgesehen.<br />
Das Diskretisierungsgebiet kann im kartesischen Koordinatensystem <strong>und</strong> im zylindrischen<br />
(rotierend oder nicht rotierendes) Koordinatensystem aufgebaut werden, so daß die<br />
Berechnung von Turbomaschinen in ihrer axialsymmetrischen Konfiguration möglich ist.<br />
Approximationsgrad<br />
Die höchste Stufe der Approximation stellt die Direkte Numerische Simulation – DNS dar,<br />
die aufgr<strong>und</strong> des hohen numerischen Aufwandes noch unpraktikabel ist. Abhilfe schafft die<br />
Large Eddy Simulation - LES, da hier Turbulenzballen bis zur Größenordnung des<br />
Rechennetzes direkt erfaßt werden <strong>und</strong> eine weitere Auflösung durch statistische<br />
Turbulenzmodelle erfolgt.<br />
Der Euranus/Turbo-Code löst die dreidimensionalen Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-<br />
Gleichungen, deren Genauigkeit aufgr<strong>und</strong> der Beschreibung der turbulenten<br />
Schwankungsgrößen auf Basis der Reynolds-Mittelung beschränkt ist.<br />
Eine zusätzliche Implementierung von zweidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen ist<br />
nicht vorhanden. In diesem Fall ist ein dreidimensionales Netz mit einer Zellenauflösung von<br />
eins in der vernachlässigten Koordinatenrichtung des Rechenraums zu verwenden, NUMECA<br />
[30].<br />
Räumliche Diskretisierung<br />
Wir unterscheiden Finite-Volumen-, Finite-Differenzen- <strong>und</strong> Finite-Elemente-Verfahren, die<br />
aus der Differential- <strong>und</strong> Integralform der Navier-Stokes-Gleichungen ableitbar sind,<br />
Anderson [1] <strong>und</strong> Hirsch [21].<br />
Der Euranus/Turbo-Code arbeitet als Finites-Volumen-Verfahren.<br />
Zeitliche Diskretisierung<br />
Zur zeitlichen Diskretisierung stehen implizit <strong>und</strong> explizit formulierte Methoden zur<br />
Verfügung.<br />
Der Euranus/Turbo-Code wurde mit expliziten Methoden realisiert. Der Lösungsalgorithmus<br />
ist expliziter Runge-Kutta 4. <strong>und</strong> 5. Ordnung mit einer impliziten Ergänzung zur<br />
Residuumglättung.<br />
Rechennetze<br />
Die Rechennetze bilden den physikalischen Rechenraum in Form von kleinen, diskreten<br />
Kontrollvolumina nach. Sie ermöglichen mit entsprechender Koordinatentransformation die<br />
Anpassung der Navier-Stokes-Gleichungen mit ihrer Gültigkeit im karthesischen<br />
Koordinatensystem an das krummlinige Koorrdinatensystem des numerischen Rechenraums.<br />
Wir können die Rechennetze entsprechend der Art ihres Aufbaus sowie der Anzahl ihrer<br />
Netzpunkte N beurteilen. Auf feinen Netzen erhalten wir insbesondere für Rechnnungen mit<br />
34
Turbulenzmodellen bessere Ergebnisse als auf groben Netzen. Ein hohe Qualität der<br />
Rechennetze können wir aus einem kleinen Expansions- <strong>und</strong> Streckungsverhältnis sowie einer<br />
geringen Netzverscherung ableiten.<br />
Vom Aufbau der Rechennetze unterscheiden wir den unstrukturierten <strong>und</strong> den strukturierten<br />
Typ.<br />
Unstrukturierte Netze<br />
Unstrukturierte Netze bestehen in ihren Einzelelementen aus willkürlich zusammengesetzten<br />
Tetra- <strong>und</strong> Hexaedern.<br />
Für die Erzeugung unstrukturierter Netze stehen automatische Vernetzungsalgorithmen zu<br />
Verfügung, die eine selbständige Adaption der unstrukturierten Netzes vornehmen, was eine<br />
große Zeitersparnis mit sich bringt.<br />
Unstrukturierte Netze werden vorwiegend unter industriellen Bedingungen eingesetzt. Da<br />
Informationen über Art, Lage <strong>und</strong> Identität der benachbarten Zellen gespeichert werden<br />
müssen, sind die Rechenverfahren numerisch sehr aufwendig. Aufgr<strong>und</strong> der teilweise starken<br />
Verzerrungen in den Netzen sind hinsichtlich der numerischen Genauigkeit Einschränkungen<br />
hinzunehmen.<br />
Unstrukturierten Netze werden ausschließlich für Finite-Elemente-Verfahren eingesetzt.<br />
Strukturierte Netze<br />
Strukturierte Netze bestehen in ihren Einzelelementen aus geordneten Rechtecken. Die<br />
Erzeugung von strukturierten Netzen ist sehr aufwendig, insbesondere für die Vernetzung von<br />
komplizierten Geometrien. Algorithmen zur automatischen Netzadaption sind nur bedingt<br />
verfügbar. Jedoch ist der Hauptspeicherbedarf gegenüber unstrukturierten Netzen geringer,<br />
die Konvergenzzeiten sind kürzer.<br />
Strukturierte Netze werden im wesentlichen für Finite-Differenzen- bzw. Finite-Volumen-<br />
Verfahren verwendet.<br />
Hybride Netze<br />
Hybride Netze werden sowohl aus strukturierten als auch aus unstrukturierten Netzgebieten<br />
aufgebaut. Insbesondere an Festkörperrandgebieten können auftretende Grenzschichten mit<br />
strukturierten Netzten diskretisiert werden, der verbleibende physikalische Rechenraum wird<br />
mit unstrukturierten Netzzellen aufgefüllt.<br />
Der numerische Aufwand ist mit dem unstrukturierter Netze vergleichbar. Auf hybriden<br />
Netzen wird mit dem Finite-Elemente-Verfahren gerechnet.<br />
Strukturierte Mehrblocknetze<br />
Strukturierte Mehrblocknetze ermöglichen die beliebige Diskretisierung komplexer<br />
Geometrien mit strukturierten Netzen. Die Blocknetze sind mit blockcuts verb<strong>und</strong>en, über die<br />
Lösungsvektoren ausgetauscht werden. Mehrblockstrukturen lassen sich einfach auf<br />
Parallelrechnern implementieren.<br />
Das IGG-Modul von FINE/TURBO V3.0 erzeugt strukturierte Mehrblocknetze.<br />
35
Anordnung der Variablen<br />
Die Variablen, mit denen die Erhaltungsgleichungen gelöst werden, lassen sich aus der<br />
Anordnung im numerischen Rechenraum mit zwei wichtigen Methoden bestimmen.<br />
Die am einfachsten zu implementierende Methode ist die cell-centered Methode, welche die<br />
Anordnung der Lösungsvariablen aus der geometrischen Mitte der Knotenpunkte des<br />
Kontrollvolumens berechnet. Die cell-centered Methode hat den Nachteil, daß sie<br />
insbesondere bei groben <strong>und</strong> stark verscherten Netzen ungenaue Ergebnisse liefert.<br />
Der Euranus/Turbo-Code arbeitet zur Bestimmung der Anordnung der Lösungsvariablen im<br />
numerischen Rechenraum mit der cell-centered Methode.<br />
Eine numerisch aufwendigere Methode ist die cell-vertex Methode, die auch auf mangelhaften<br />
Netzen gute Ergebnisse liefert. Die Anordnung der Lösungsvariablen wird aus den<br />
korrespondierenden Mittelpunkten der die Lösungsvariable umgebenden Kontrollvolumina<br />
gebildet.<br />
2.12 CVF V3.7-31-computational field visualization<br />
Für die Auswertung der Rechenergebnisse steht das CFV -Computational Field Visualization<br />
System- zur Verfügung. Mit CFV können wir Strömungsfelder, die auf strukturierten als auch<br />
auf unstrukturierten Netzen gerechnet wurden, visualisieren <strong>und</strong> auswerten.<br />
Die Arbeitsumgebung ist Windows orientiert. CFV erreicht jedoch nicht den Bedienkomfort<br />
eines MS-Windows Betriebsystems.<br />
CFV besteht aus einem in C++ erstellten objektorientierten Programmcode (OOP), in dem die<br />
interviews class Bibliothek <strong>und</strong> die HOOPS Grafik Bibliothek implementiert wurden.<br />
HOOPS ist ein von der Firma Autodesk entwickelter 3D Grafikstandard, der entsprechend<br />
umfangreich <strong>und</strong> effizient genug ist, um hochwertige dreidimensionale Grafiken zu<br />
verarbeiten.<br />
Die von FINE/TURBO V3.0 erzeugten binären Ergebnisdateien werten wir direkt mit dem<br />
CFV aus. Sollte im Full-Multi-Grid Modus gearbeitet werden, wird eine .aout Datei erzeugt,<br />
die sämtliche Lösungen der letzten Rechnung im ASCI Format beinhaltet <strong>und</strong> das erneute<br />
Starten der Rechnung im full multi grid Modus für weitere numerische Randbedingungen z.B.<br />
veränderte CFL-Zahl erlaubt. Das Stoppen <strong>und</strong> erneute Starten von FINE/TURBO im full<br />
multi grid Modus ist jedoch nur im feinsten Netz möglich. Der Versuch einer geordneten<br />
Unterbrechung der Rechnung bleibt auf den gröberen Netzen unberücksichtigt <strong>und</strong> setzen erst<br />
auf dem feinsten Netz ein.<br />
FINE/TURBO V3.0 errechnet eine Reihe von charakteristischen Feldgrößen, die auch<br />
oberflächengemittelt ausgewertet werden können. Des weiteren werden globale Daten, wie<br />
die globalen Massenströme m& am inlet <strong>und</strong> outlet bestimmt, die bei einer reinen<br />
Kanalströmung in ihrer Differenz eine gute Abschätzung über den Zustand <strong>und</strong> den Stand der<br />
Rechnung geben.<br />
36
2.13 Residuum<br />
Mit dem Residuum bestimmen wir die Güte des berechneten Ergebnisses. Das Residuum ist<br />
als die Funktion der Änderung des Lösungsvektors in Abhängigkeit von der Zeit definiert,<br />
welche mit fortlaufender erfolgreicher Rechnung einen konvergierenden Verlauf annimmt,<br />
Gl. 2.69.<br />
lim<br />
t→∞<br />
RES<br />
r<br />
∂Q<br />
= lim<br />
∂t<br />
t→∞<br />
= 0<br />
Gl. 2.69<br />
Um das Residuum einer komplexen Rechnung beurteilen zu können, wird der RMS-Wert der<br />
Einzelresidien der Ergebnisgrößen im Lösungvektor bestimmt,<br />
RMS<br />
RES<br />
=<br />
∑∑∑<br />
j i k<br />
RES<br />
i ⋅ j ⋅ k<br />
2<br />
i, j, k<br />
Gl. 2.70<br />
wobei eine Gewichtung der Residien der verschiedenen Lösungsgrößen vorgenommen<br />
werden sollte.<br />
3 MODELLRECHNUNGEN<br />
In der vorliegenden Arbeit werden Rechnungen an der AGTB-Kaskade nach Ardey [2],<br />
Beeck [7], Rodi [33], Vogel [38], an längs angeströmten ebenen Platten sowie einer<br />
Ausblasekonfiguration an der ebenen Platte mit r<strong>und</strong>er Nasengeometrie durchführt, die<br />
experimentell von Leschik [25] mit dem remissionsfotometrischen Verfahren untersucht wird.<br />
Wir versuchen jedoch auch, eine von Boehme [10] experimentell untersuchte Kanalströmung<br />
zu berechnen.<br />
3.1 Kanalströmung<br />
Wir berechnen die Kanalströmung einer Meßkammer. Die berechnete Meßkammer wurde von<br />
Boehme [10] zur Untersuchung der aktiven Unterdrückung der Strömungsablösung mittels<br />
Lufteinblasung in die verzögerte Hauptströmung vermessen.<br />
Die Meßkammer war im Göttinger Umluftwindkanal des <strong>Lehrstuhl</strong>s <strong>Verbrennungskraftmaschinen</strong><br />
<strong>und</strong> <strong>Flugantriebe</strong> implementiert. Die Kanalströmung wies ein instationäres<br />
Verhalten auf, für deren Ausbildung die Art der Konstruktion der verwendeten Meßkammer<br />
als wesentliche Ursache ermittelt wurde.<br />
37
Boehme [10] verweist in seiner Arbeit auf eine Reihe von möglichen Ursachen für die<br />
Ausbildung der hochturbulenten, instationären Kanalströmung.<br />
Dabei ist insbesondere die Art der Einlaufform der Meßkammer in ihrer Ausführung als<br />
angespitzte Fase maßgebend. In verschiedenen Arbeiten wurde bereits festgestellt, daß die<br />
spitze Platte unter den gegebenen Strömungsbedingungen immer zur Strömungsablösung<br />
führt, Kottke [24] <strong>und</strong> Bischoff [9]. Die von Boehme [10] verwendete Meßkammer ohne<br />
Einblasekonfiguration ist in der Abb. 3.1 dargestellt.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Abb. 3.1 – Meßkammer ohne Einblasekonfiguration nach Boehme [10]<br />
Auf eine Berechnung der von Boehme [10] verwendeten Einblasekonfiguration wird<br />
verzichtet, da der Kanal von Boehme [10] eine Reihe von konstruktiven Störstellen am<br />
Einlauf als auch an der Kanalwand aufweist, die nicht oder nur sehr aufwendig modelliert<br />
werden können. Die Störstellen sind im wesentlichen im aerodynamisch nicht idalen Einlauf<br />
der Meßkammer als auch in der Meßkammer selbst in Form von Bauteilstufungen zu finden.<br />
3.1.1 Randbedingungen<br />
Wir behandeln die Kanalströmung in der Meßkammer als internal flow. Die Kanalwandungen<br />
definieren wir als Festkörperrand, <strong>und</strong> sind Ein- <strong>und</strong> Ausströmrand, mit bezieht<br />
sich die Symmetrierandbedingung auf die beiden noch verbleibenden Seitenflächen des<br />
untersuchten Kanals, Abb. 3.1.<br />
Aus den von Boehme [10] in seiner Arbeit gemachten Angaben leiten wir die in der Tabelle<br />
3.1 aufgeführten numerischen Randbedingungen her.<br />
38
Referenzgrößen<br />
Referenzlänge l 1000 mm<br />
Referenzgeschwindigkeit v 20 m/s<br />
Dichte ρ 1,169 kg/m³<br />
Totaltemperatur T 298 K<br />
Wärmekapazität bei konst. p c p 1004,5 J/(Kg·K)<br />
Isentropenexponent κ 1,4<br />
Prandtlzahl Pr 0,72<br />
Reynoldszahl Re 1333334<br />
Einströmrand<br />
Anströmgeschwindigkeit v 1 20 m/s<br />
statische Temperatur T 1 298 K<br />
Ausströmrand<br />
statischer Druck p 2 100000 Pa<br />
Tab. 3.1 – numerische Randbedingungen der Meßkammer<br />
3.1.2 Rechennetz <strong>und</strong> Turbulenzmodell<br />
Das verwendete Rechennetz wird als H-Netz mit 515x129x2 Netzpunkten ausgeführt,<br />
welches somit eine Gesamtnetzpunktzahl von 132870 hat. NUMECA rät zur Verwendung<br />
eines dreidimensionalen Netzes, da FINE/TURBO V3.0 die dreidimensionalen Reynoldsgemittelten<br />
Navier-Stokes-Gleichungen löst <strong>und</strong> die vorhandene Implementierung der zweidimensionalen<br />
Berechnung weniger gute Ergebnisse liefert. Wir wählen die hohe<br />
Netzpunktzahl, um eine gute Auflösung der Grenzschicht <strong>und</strong> der Kanalströmung <strong>und</strong><br />
Erfassung möglicher Strömungsinhomogenitäten zu erreichen.<br />
Als Turbulenzmodell verwenden wir das Baldwin-Lomax-Modell, da die Meßkammer unter<br />
der Vorstellung einer idealen turbulenzfreien Einströmung der turbulenzarmen Kanalluft des<br />
Göttinger Umluft-windkanal der Turbulenzgrad Tu sehr niedrig sein müßte. Bischoff [9]<br />
stellte in der Kernströmung an der Düsenmündungsebene des Göttinger Umluftwindkanals für<br />
eine Anströmgeschwindigkeit v von 20 m/s einen sehr niedrigen Turbulenzgrad Tu von 0,3 %<br />
fest.<br />
Boehme [10] jedoch bestimmte für seine Untersuchungen im Bereich der festen Randzone der<br />
Meßkammer einen Turbulenzgrad Tu von 20 % bis 38%, in der Kernströmung einen<br />
niedrigen Turbulenzgrad Tu von 1 % <strong>und</strong> weniger. Die Meßergebnisse von Boehme [10]<br />
lassen sich nur bedingt in ein entsprechendes Turbulenzmodell implementieren. Am<br />
Einströmrand können wir bei Verwendung des k-ε Modells die kinetische Energie k <strong>und</strong> die<br />
39
Dissipation ε vorgeben. Dieses Vorgehen beinhaltet jedoch nicht die Definition der<br />
turbulenten Grenzschicht, die am Einlauf der Meßkammer induziert wurde.<br />
Abb. 3.2 – Rechennetz der Meßkammer<br />
3.1.3 Rechnung<br />
Für die Berechnung der Meßkammer stand eine O2 Workstation des Herstellers Silicon<br />
Graphic Inc. –SGI- zur Verfügung. Die O2 Workstation wird im Kapitel 4.1 näher<br />
beschrieben. Da wir als Turbulenzmodell das Baldwin-Lomax-Modell gewählt haben, bietet<br />
sich der Einsatz des full multi grid Modus an. Die Berechnung kovergiert auf drei Netzen in<br />
40 h. Problematisch waren Berechnungsversuche des inkompressiblen Strömungsfeldes. Erst<br />
mit dem Umschalten auf kompressibles Rechnen erhalten wir eine konvergierende Rechnung.<br />
3.1.4 Ergebnisse<br />
In der Meßkammer stellen wir keine abgelöste Strömung fest, Abb. 3.3. In den Abb. 3.5 <strong>und</strong><br />
Abb. 3.6 sind die Skalarfelder für die Geschwindigkeitskomponenten v x <strong>und</strong> v y der<br />
resultierenden Geschwindigkeit v dargestellt. Wir erkennen keine Rückströmzonen sondern<br />
lediglich eine zur Hauptströmungsrichtung konform gerichtete, verzögerte Kanalströmung.<br />
Die Meßkammer wirkt als Niedergeschwindigkeitsdiffusor.<br />
40
Abb. 3.3 – Stromlinien in der Meßkammer, Baldwin-Lomax-Modell, Maßstab 33:240<br />
Abb. 3.4 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang der Profilänge x, Baldwin-Lomax-Modell<br />
41
Abb. 3.5 – Geschwindigkeitskomponente v x in m/s, Baldwin-Lomax-Modell, Maßstab 33:240<br />
Abb. 3.6 – Geschwindigkeitskomponente v y in m/s, Baldwin-Lomax-Modell, Maßstab 33:240<br />
42
Abb. 3.7 – Isolinien der Machzahl Ma, Baldwin-Lomax-Modell, Maßstab 33:240<br />
Abb. 3.8 – Isolinien des statischen Drucks p in Pa, Baldwin-Lomax-Modell, Maßstab 33:240<br />
43
Die Machzahl Ma in der Meßkammer ist aus der Abb. 3.7 ersichtlich. Für die auftretenden<br />
Machzahlen Ma von weniger als 0,07 können wir eine quasi-inkompressible Strömung<br />
annehmen. Da das Strömungsfeld kompressibel gerechnet wurde, können wir auch die<br />
Isolinen des statischen Drucks p sowie seine Verteilung im Strömungsfeld sowie entlang der<br />
festen Wandkontur oder Profillänge x in den Abb. 3.8 <strong>und</strong> Abb. 3.4 angeben.<br />
3.1.5 Bewertung<br />
Die numerische Berechung der Kanalströmung nach Boehme [10] ergeben eine stationäre<br />
Strömung, welche im Niedergeschwindigkeitsdiffussor kontinuierlich verzögert wird.<br />
Strömungsablösungen bzw. Zonen mit Rückströmungen können nicht festgestellt werden.<br />
Untersuchungen von Boehme [10] zeigen, daß die Strömung am Einlauf der Meßkammer<br />
stark gestört wird. Dieser Sachverhalt hat maßgeblichen Einfluß auf die Kanalströmung in<br />
seinem Meßkammer-Experiment. Das Meßkammer-Experiment können wir nicht als<br />
Referenzfall für die vorliegende numerische Berechnung verwenden.<br />
3.2 AGTB-Kaskade<br />
Das Profil des ebenen Turbinengitters AGTB stellt einen Meridianschnitt einer kühlbaren<br />
Hochdruckturbinen-Rotorschaufel dar. Es wurde bei der Motoren- <strong>und</strong> Turbinen-Union<br />
München zu Forschungszwecken entwickelt.<br />
Abb. 3.9 –Turbinen-Kaskade, Quelle DGLR – Luft- <strong>und</strong> Raumfahrt [13]<br />
44
Neben den einfachen zweidimensionalen Untersuchungen wurde das Turbinengitter AGTB<br />
mit verschiedenen Kühlluftausblasekonfigurationen versehen, die Aussagen zum Verhalten<br />
der Filmkühleffektivität am Schaufelwandbereich bzw. unter dem Einfluß der Querwirbelablösungen<br />
an der Endwand der AGTB-Kaskade ermöglichten. Ardey [2], Wilfert [40] <strong>und</strong><br />
Beeck [7] haben die AGTB-Kaskade vorwiegend experimentell, Vogel [38] <strong>und</strong> Rodi [33]<br />
numerisch untersucht. Die Abb. 3.9 ist der DGLR – Luft- <strong>und</strong> Raumfahrt [13] entnommen.<br />
Sie zeigt die Schlierenaufnahme der AGTB-Kaskade auf dem Prüfstand der MTU –Motoren<strong>und</strong><br />
Turbinen-Union unter realen Anströmbedingungen mit deutlicher Stoßausprägung.<br />
In der vorliegenden Arbeit berechnen wir das zweidimensionale Strömungsfeld der skalierten<br />
AGTB-Kaskade im Meridianschnitt ohne Kühlluftausblasekonfigurationen nach Angaben von<br />
Ardey [2], Wilfert [40] <strong>und</strong> Beeck [7].<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Abb. 3.10 – AGTB–Kaskade nach Wilfert [40]<br />
Die Gitterdaten für den Auslegungsfalls sind nach Angaben von Ardey [2], Wilfert [40] <strong>und</strong><br />
Beeck [7] in der Tabelle 3.2 aufgeführt.<br />
Turbinengitter AGTB<br />
Schaufelzahl 3<br />
Sehnenlänge<br />
l = 250 mm<br />
Schaufelhöhe<br />
h = 300 mm<br />
Teilungsverhältnis<br />
t/l = 0,714 mm<br />
Tab. 3.2 – Gitterdaten der AGTB-Kaskade<br />
45
Das Turbinengitter AGTB wird mit folgenden aerodynamischen Daten ausgelegt.<br />
Anströmung<br />
Abströmung (theoretisch)<br />
Machzahl Ma 1 = 0,37 Ma 2 = 0,95<br />
Reynoldszahl Re 1 = 368000 Re 2 = 695000<br />
Winkel β 1 = 133,0° β 2 = 28,3°<br />
Tab. 3.3 – aerodynamische Daten der AGTB-Kaskade<br />
3.2.1 Randbedingungen<br />
Die Kanalströmung in der AGTB-Kaskade berechnen wir als internal flow. Für die<br />
Oberfläche der Turbinenschaufel gelten die Bedingungen des Festkörperrands. Mit <strong>und</strong><br />
kennzeichnen wir in der Abb. 3.10 Ein- <strong>und</strong> Ausströmrand. Die für Turbomaschinen<br />
typische periodische Randbedingung ist in der Abb. 3.10 mit markiert.<br />
Das Turbinengitter AGTB ist am Hochgeschwindigkeits-Gitterwindkanal HGK der<br />
B<strong>und</strong>eswehr Universität vermessen worden, wobei am Einströmrand ein statischer Druck p 1<br />
von 20000 Pa <strong>und</strong> eine Anströmdichte ρ 1 von 0,2⋅kg/m³ eingestellt wurde, Ardey [2], Beeck<br />
[7] <strong>und</strong> Wilfert [40]. Wir bestimmen aus den aerodynamischen Daten die numerischen<br />
Randbedingungen.<br />
Da wir ein inkompressibles Strömungsfeld untersuchen, gilt die Machzahl Ma nach Gl. 3.1<br />
v<br />
Ma = Gl. 3.1<br />
a<br />
mit der Schallgeschwindigkeit a.<br />
a = R ⋅T<br />
⋅κ<br />
Gl. 3.2<br />
Aus Gl. 2.24, Gl. 3.1 <strong>und</strong> Gl. 3.2 erhalten wir die Gl. 3.3 für die Berechnung der statischen<br />
Temperatur T 1 am Einströmrand der AGTB-Kaskade.<br />
T1<br />
=<br />
1 ⎛ Re1⋅<br />
µ<br />
⋅ 1<br />
R<br />
⎜<br />
⋅κ<br />
⎝ l ⋅ Ma1<br />
2<br />
⎟ ≈<br />
⎠ R ⋅<br />
−<br />
1 ⎟<br />
1 ⋅ l ⋅ Ma ⎟<br />
1 ⎠<br />
2<br />
0,<br />
6<br />
( T ) ⎞ 1 ⎛ −<br />
17,1 ⋅ 10 ⋅ Re ⎞ 52<br />
κ<br />
⋅ ⎜<br />
⎜ 0, 76<br />
⎝ T0<br />
⋅<br />
ρ<br />
Gl. 3.3<br />
Mit den Angaben aus Tab. 3.3 berechnen wir mit dem Energieerhaltungssatz für verlustfreie<br />
Strömung bei einer spezifischen Wärmekapazität für konstanten Druck c p die numerischen<br />
Randbedingungen<br />
46
2<br />
v<br />
c p ⋅ T0<br />
= c p ⋅ T +<br />
Gl. 3.4<br />
2<br />
sowie für kompressible Strömungen im hohen Unterschall bzw. Überschall in Abhängigkeit<br />
von der Machzahl Ma <strong>und</strong> dem Isentropenexponenten κ <strong>und</strong> erhalten für die kompressible<br />
Strömung.<br />
2<br />
T0 u κ − 1 u κ − 1<br />
= 1 + = 1 + ⋅ = 1 + ⋅ Ma<br />
T 2 ⋅ c ⋅T<br />
2 κ ⋅ R ⋅T<br />
2<br />
p<br />
2<br />
2<br />
Gl. 3.5<br />
Unter Annahme eines idealen Gases gilt<br />
p<br />
ρ0<br />
⋅T<br />
= ρ ⋅T<br />
p0<br />
0<br />
Gl. 3.6<br />
<strong>und</strong> es ergibt sich<br />
cp = κ ⋅ c v c p = R + cv<br />
cv<br />
= cp<br />
− R<br />
c p<br />
κ ⋅ R<br />
= κ − 1<br />
Gl. 3.7<br />
κ<br />
p0 ⎡ κ − 1 1<br />
1 Ma 2 ⎤κ<br />
−<br />
=<br />
p ⎢<br />
+ ⋅<br />
⎣ 2 ⎥<br />
⎦<br />
Nehmen wir isentrope Strömung an, so gilt<br />
p 01 = p 02<br />
Gl. 3.8<br />
<strong>und</strong> wir erhalten den statischen Druck p 2 am Abströmrand, Gl. 3.8.<br />
κ<br />
κ −<br />
⎡ κ − 1 2 ⎤ 1<br />
⎢<br />
1 + ⋅ Ma1<br />
p p 2 ⎥<br />
2 = 1 ⋅ ⎢<br />
= 12299<br />
κ − 1 ⎥<br />
2<br />
⎢1<br />
+ ⋅ Ma2<br />
⎥<br />
⎣ 2 ⎦<br />
Pa<br />
Gl. 3.9<br />
47
Die numerischen Randbedingungen für die Berechnung der AGTB-Kaskade sind in der Tab.<br />
3.4 aufgeführt.<br />
Referenzgrößen<br />
Referenzlänge l 250 mm<br />
Referenzgeschwindigkeit v 144,162 m/s<br />
Dichte ρ 0,2 kg/m³<br />
Totaltemperatur T 377,531 K<br />
Wärmekapazität für konst. p c p 1004,5 J/(Kg·K)<br />
Isentropenexponent κ 1,4<br />
Prandtlzahl Pr 0,72<br />
Reynoldszahl Re 368000<br />
Einströmrand<br />
Anströmgeschwindigkeit<br />
x-Komponente<br />
Anströmgeschwindigkeit<br />
y-Komponente<br />
v x<br />
v y<br />
98,32 m/s<br />
105,433 m/s<br />
statischer Druck p 1 20000 Pa<br />
statische Temperatur T 1 377 K<br />
Kinetische Energie k 200 m/s 2<br />
Turbulenzgrad Tu 4% / 8 %<br />
Ausströmrand<br />
statischer Druck p 2 12299 Pa<br />
Tab. 3.4 – numerische Randbedingungen, AGTB-Kaskade ohne Kühlluftausblasekonfiguration<br />
3.2.2 Rechennetz <strong>und</strong> Turbulenzmodell<br />
Die AGTB-Kaskade diskretisieren wir mit einem strukturierten, zweidimensionalen Netz,<br />
welches aus drei Blöcken besteht. Der erste Block umfaßt den Vorlaufbereich mittels einer H-<br />
Netz-Topologie bestehend aus 33x33x2 Netzpunkten. Der zweite Block besteht aus einem O-<br />
Netz mit 129x513x2 Netzpunkten. Der Kaskadennachlauf wird als H-Topologie <strong>und</strong> 33x33x2<br />
Netzpunkten diskretisiert. Es ergibt sich somit ein Rechennetz mit der Gesamtpunktzahl von<br />
136710 Netzpunkten.<br />
Die AGTB-Kaskade berechnen wir mit dem Baldwin-Lomax-Modell sowie dem k-ε Modell<br />
in der Modifikation von Chien mit den Turbulenzgraden 4% <strong>und</strong> 8%, wobei zwei<br />
48
unterschiedliche Netze für die Berechnungen mit dem Baldwin-Lomax-Modell <strong>und</strong> dem k-ε<br />
Modell verwendet werden.<br />
3.2.3 Rechnung<br />
Die Berechnung der AGTB-Kaskade führen wir auf der schon erwähnten O2 von SGI durch.<br />
Auf dem Diskretisierungsnetz wird im full multi grid Modus mit dem Baldwin-Lomax-<br />
Modell auf zwei Netzen gerechnet. Eine ausreichend konvergierte Lösung erhalten wir in<br />
einem Zeitraum von 40 h.<br />
Die Konfiguration mit dem k-ε Modell berechnen wir auf einem gröberen Netz, da wir den<br />
full multi grid Modus aufgr<strong>und</strong> dessen fehlenden Implementierung für das k-ε Modell hier<br />
nicht anwenden können. Das Umschalten vom gröberen auf das feine Netz im Rahmen des<br />
full multi grid Modus ist dann nicht vorgesehen. Die Rechnung konvergiert entsprechend<br />
langsamer, in einem Zeitraum von 60 h.<br />
Das k-ε Modell in der Modifikation von Chien ist ein Turbulenzmodell für hohe als auch für<br />
niedrige Reynoldszahlen. Die viskose Unterschicht der Grenzschicht an der Profiloberfläche<br />
kann so hinreichend aufgelöst werden. Ein notwendiges Anpassen des normierten<br />
Wandabstandes y + des ersten Netzpunktes entfällt. In den Abb. 3.11 <strong>und</strong> Abb. 3.12 sind die<br />
typischen Verteilungen von y + des ersten Netzpunktes entlang der Profiloberfläche<br />
dargestellt, für das Netz auf dem mit Baldwin-Lomax-Modell bzw. mit dem k-ε Modell<br />
gerechnet wurde. Die Saugseite der Turbinenschaufel ist mit einem die Druckseite mit<br />
einem gekennzeichnet.<br />
Abb. 3.11 – normierter Wandabstand y + der ersten Netzzelle für Berechung mit Baldwin-Lomax-Modell<br />
49
Abb. 3.12 – normierter Wandabstand y + der ersten Netzzelle für Berechung mit k-ε Modell<br />
3.2.4 Ergebnisse<br />
Die Strömung wird in der AGTB-Kaskade beschleunigt <strong>und</strong> stark umgelenkt. Die<br />
Strömungsgrenzschicht folgt der Kontur der Schaufeloberfläche. Auf der Saug- <strong>und</strong> auf der<br />
Druckseite stellen wir eine laminare Grenzschicht fest, Abb. 3.13.<br />
Gr<strong>und</strong>sätzlich besteht für stark umgelenkte Strömungen die Gefahr der Grenzschichtablösung.<br />
Diese wurde in den Ergebnissen der Berechnungen mit dem Baldwin-Lomax-Modell als auch<br />
für das k-ε Modell nicht festgestellt. In ihrer Charakteristik sind die Ergebnisse der<br />
Berechnungen mit den Baldwin-Lomax-Modell <strong>und</strong> dem modfizierten k-ε Modell identisch.<br />
Das Phänomen der Grenzschichtablösung tritt entlang einer festen Wandkontur auf, wenn der<br />
statische Druck p bei gleichzeitig zunehmender Strömungsgeschwindigkeit zunächst abfällt.<br />
Danach fließt die Außenströmung langsamer. Nach <strong>und</strong> nach erschöpft sich die kinetische<br />
Energie der Grenzschicht aufgr<strong>und</strong> der Reibungseffekte an der festen Wandkontur. Für den<br />
Fall der Grenzschichtablösung wird ein Punkt erreicht, wo die Strömung in der viskosen<br />
Unterschicht zum Stillstand kommt <strong>und</strong> ein weiterer Druckanstieg strömabwärts nicht mehr<br />
möglich ist, während die Außenströmung ihren Druckanstieg fortsetzt. Die Außenströmung<br />
bricht an dieser Stelle in die energiearme Zone ein, wobei es in den wandnahen Bereichen zur<br />
Rückströmung kommt.<br />
50
In der Genzschicht werden stark verwirbelte <strong>und</strong> verlustbehaftete Grenzschichtanteile<br />
angesammelt, die mit der Bildung eines Totwassergebietes den aerodynamischen Widerstand<br />
entlang der Lauflänge der Turbinenschaufel erhöhen könnte.<br />
In der AGTB-Kaskade besteht ohne Kühlluftausblasekonfiguration keine Gefahr einer<br />
Grenzschichtablösung.<br />
In den Abb. 3.14 bis Abb. 3.19 sind die Geschwindigkeitsvektorfelder <strong>und</strong> Stromlinien in den<br />
Nasen- bzw. Nachlaufzonen der AGTB-Kaskade der Berechungen mit dem Baldwin-Lomax-<br />
Modell <strong>und</strong> dem modifizierten k-ε Modell nach Chien dargestellt.<br />
Die Strömungsfelder der Nachlaufzonen für die AGTB-Kaskade unterscheiden sich in der<br />
unterschiedlichen Ausprägung der Wirbelstrukturen für die Berechnungen mit dem Baldwin-<br />
Lomax-Modell <strong>und</strong> dem modifizierten k-ε Modell nach Chien. Zeigt das Ergebnis der<br />
Berechnung mit dem Baldwin-Lomax-Modell je einen Wirbel in der Teilung von Druck- <strong>und</strong><br />
Saugseite, so wird nur ein Wirbel auf der Saugseite bei der Berechnung mit dem modifizierten<br />
k-ε Modell erfaßt, Abb. 3.17 <strong>und</strong> Abb. 3.19.<br />
Die Ursache für dieses Ergebnis ist numerischer Art <strong>und</strong> nicht in der Auswahl des<br />
entsprechenden Turbulenzmodells begründet. Für die Berechnungen mit dem modifizierten k-<br />
ε Modell verwendeten wir ein in den Randzonen gröberes Netz als für die Berechnung mit<br />
dem Baldwin-Lomax-Modell, Abb. 3.14 <strong>und</strong> Abb. 3.15.<br />
Hier zeigt sich der Vorteil der Hochauflösung fester Randzonen. Mit feineren Netzen <strong>und</strong><br />
hochaufgelöster Diskretisierung der Grenzschicht lassen sich gute Ergebnisse erzielen.<br />
Abb. 3.13 – Stromlinien in der AGTB-Kaskade für Berechnung mit Baldwin-Lomax-Modell, Maßstab 27:125<br />
51
Abb. 3.14 – Geschwindigkeitsfeld in der Nasenzone der AGTB-Kaskade, Baldwin-Lomax-Modell<br />
Abb. 3.15 – Geschwindigkeitsfeld in der Nachlaufzone der AGTB-Kaskade, Baldwin-Lomax-Modell<br />
52
Abb. 3.16 Geschwindigkeitsfeld in der Nasenzone der AGTB-Kaskade, k-ε Modell nach Chien / Tu = 4%<br />
Abb. 3.17 – Geschwindigkeitsfeld in der Nachlaufzone der AGTB-Kaskade, k-ε Modell nach Chien / Tu = 4%<br />
53
Abb. 3.18 – Geschwindigkeitsfeld in der Nasenzone der AGTB-Kaskade, k-ε Modell nach Chien / Tu = 8%<br />
Abb. 3.19 – Geschwindigkeitsfeld in der Nachlaufzone der AGTB-Kaskade, k-ε Modell nach Chien / Tu = 8%<br />
54
In den Abb. 3.20 bis Abb. 3.22 sind die Isolinien des statischen Drucks p für die<br />
Berechnungen mit dem Baldwin-Lomax-Modell <strong>und</strong> dem modifizierten k-ε Modell<br />
dargestellt. Die Ergebnisse der Rechnungen mit den verschiedenen Turbulenzmodellen bzw.<br />
unterschiedlichen Turbulenzgraden Tu sind weitestgehend identisch.<br />
Betrachten wir den hinteren Bereich der Saugseite genauer, so fällt auf, daß hier eine lokale<br />
Erhöhung des statischen Drucks p auftritt. Die lokale Erhöhung des statischen Drucks p ist in<br />
dem Ergebnis der Berechnung mit dem Baldwin-Lomax-Modell stärker ausgeprägt als in dem<br />
Ergebnis der Berechnung mit dem modifizierten k-ε Modell.<br />
Wie schon in der vorhergehenden Betrachtung für das Geschwindigkeitsfeld müssen wir als<br />
Ursache für diese Abweichung, die unterschiedlich gewählte Diskretisierung des<br />
physikalischen Rechenraums bzw. die geringere Auflösung der Grenzschicht an der festen<br />
Randzone für die Berechnung mit dem modifizierten k-ε Modell im Vergleich mit dem<br />
Ergebnis der Berechnung mit dem Baldwin-Lomax-Modell annehmen.<br />
In den Abb. 3.23 bis Abb. 3.25 ist die Verteilung des statischen Drucks p entlang der<br />
Profillänge x dargestellt. Die Verteilung ist für alle Ergebnisse der Berechnungen gleich. Nur<br />
im Endbereich der AGTB-Kaskade hat die schon mit den Abb. 3.17 bis Abb. 3.19<br />
beschriebene, verschiedenartige Ausbildung der Wirbel in der Nachlaufzone der AGTB-<br />
Kaskade auf die Verteilung des statischen Drucks p entlang der Profillänge x einen Einfluß.<br />
Auffallend ist auch der lokale Einbruch des statischen Drucks p für die Berechnungen mit<br />
dem Baldwin-Lomax-Modell <strong>und</strong> dem modifizierten k-ε Modell / Tu = 4% auf der Saugseite<br />
der Turbinenschaufel an der Position 55 mm, der im Ergebnis der Berechnung mit dem<br />
modifizierten k-ε Modell / Tu = 8% vergleichsweise schwach ausfällt.<br />
Baldwin-Lomax-<br />
Modell<br />
k-ε Modell nach<br />
Chien / Tu = 4%<br />
k-ε Modell nach<br />
Chien / Tu = 8%<br />
maximales p<br />
Nasenzone<br />
maximales p<br />
Nachlaufzone<br />
minimales p<br />
Nachlaufzone<br />
p [Pa] x [mm] p [Pa] x [mm] p [Pa] x [mm]<br />
20000 -10 20400 -10 20400 -10<br />
12400 225 11900 225 12500 225<br />
10200 218 10200 218 10500 218<br />
Saugseite<br />
minimales p 8000 165 7500 167 8000 160<br />
minimales p<br />
lokal<br />
11500 55 11500 55 13500 55<br />
Druckseite<br />
maximales p 18450 75 18500 75 18450 75<br />
Tab. 3.5 – Maxima <strong>und</strong> Minima in der Verteilung von p entlang der Profillänge x<br />
55
Abb. 3.20 – Isolinien des statischen Drucks p in Pa, Baldwin-Lomax-Modell, Maßstab 33:240<br />
Abb. 3.21 – Isolinien des statischen Drucks p in Pa, k-ε Modell nach Chien / Tu = 4%, Maßstab 33:240<br />
56
Abb. 3.22 – Isolinien des statischen Drucks p in Pa, k-ε Modell nach Chien / Tu = 8%, Maßstab 33:240<br />
Abb. 3.23 – Verteilung von p in Pa entlang der Profillänge x in m, Baldwin-Lomax-Modell<br />
57
Abb. 3.24 – Verteilung von p in Pa entlang der Profillänge x in m, k-ε Modell nach Chien / Tu = 4%<br />
Abb. 3.25 – Verteilung von p in Pa entlang der Profillänge x in m, k-ε Modell nach Chien / Tu = 8%<br />
58
In den Abb. 3.26 bis Abb. 3.28 sind die Isolinien der Machzahl Ma aufgetragen. Die sich am<br />
Einströmrand bzw. am Ausströmrand einstellende Machzahl Ma beträgt für alle drei untersuchten<br />
Konfigurationen ≈ 0,44 bzw. ≈ 0,8. In der Nasenzone der Turbinenschaufel bildet<br />
sich der charakteristische Staupunkt aus, in dem die Machzahl Ma den Wert null annimmt,<br />
bzw. der statische Druck p sein Maximum erreicht, siehe Tab. 3.5. Am hinteren Bereich der<br />
Saugseite stellt sich eine Zone mit erhöhter Machzahl Ma ein, die im Ergebnis der Berechnung<br />
mit dem Baldwin-Lomax-Modell den Wert ≈ 1.15 <strong>und</strong> im Ergebnis der Berechnung<br />
mit dem k-ε Modell den Wert ≈ 1.2 annimmt. Dieses Phänomen deckt sich mit der oben angeführten<br />
Aussage, daß die Abnahme des statischen Drucks p mit einer Erhöhung der<br />
Strömungsgeschwindigkeit einhergeht. In den Abbildungen wird deutlich, daß die im Nachlauf<br />
entstehenden Strömungsinhomogenitäten bis in den Ausströmrand des physikalischen<br />
Rechenraums reichen. Es besteht dann die Gefahr der Beeinflussung der numerischen Ergebnisse.<br />
Wir müssen in jeden Fall darauf achten, daß sich der Ausströmrand in ausreichender<br />
Entfernung möglicher Strömungsinhomogenitäten befindet. Entsprechend der Gasgleichung<br />
für ideales Gas hat der Druckanstieg Auswirkungen auf die integralen Zustandsgrößen, wie<br />
statische Temperatur T <strong>und</strong> Dichte ρ, deren Isolinien für die berechneten Fälle mit dem<br />
Baldwin-Lomax-Modell <strong>und</strong> mit dem modifizierten k-ε Modell in den Abb. 3.29 bis Abb.<br />
3.34 dargestellt werden. Verwenden wir das modifizierte k-ε Modell so gewinnen wir eine<br />
Aussage über die Entwicklung der Turbulenz in der AGTB-Kaskade.<br />
In den Abb. 3.35 <strong>und</strong> Abb. 3.36 sind die Isolinien der turbulenten Viskosität µ t /µ aufgetragen.<br />
Die turbulente kinetische Energie k ist ein direktes Maß der isotropen Turbulenz, Abb. 3.37<br />
<strong>und</strong> Abb. 3.38.<br />
Abb. 3.26 – Isolinien der Machzahl Ma, Baldwin-Lomax-Modell, Maßstab 33:240<br />
59
Abb. 3.27 – Isolinien der Machzahl Ma, k-ε Modell nach Chien / Tu = 4%, Maßstab 33:240<br />
Abb. 3.28 – Isolinien der Machzahl Ma, k-ε Modell nach Chien / Tu = 8%, Maßstab 33:240<br />
60
Abb. 3.29 – Isolinien der statischen Temperatur T in K, Baldwin-Lomax-Modell, Maßstab 33:240<br />
Abb. 3.30 – Isolinien der statischen Temperatur T in K, k-ε Modell nach Chien / Tu = 4%, Maßstab 33:240<br />
61
Abb. 3.31 – Isolinien der statischen Temperatur T in K, k-ε Modell nach Chien / Tu = 8%, Maßstab 33:240<br />
Abb. 3.32 – Isolinien der Dichte ρ in kg/m³, Baldwin-Lomax-Modell, Maßstab 33:240<br />
62
Abb. 3.33 – Isolinien der Dichte ρ in kg/m³, k-ε Modell nach Chien / Tu = 4%, Maßstab 33:240<br />
Abb. 3.34 – Isolinien der Dichte ρ in kg/m³, k-ε Modell nach Chien / Tu = 8%, Maßstab 33:240<br />
63
Abb. 3.35 – Isolinien der Wirbelviskosität µ t /µ, k-ε Modell nach Chien / Tu = 4%, Maßstab 33:240<br />
Abb. 3.36 – Isolinien der Wirbelviskosität µ t /µ, k-ε Modell nach Chien / Tu = 8%, Maßstab 33:240<br />
64
Abb. 3.37 – Isolinien der kinetischen Energie k in m 2 /s 2 , k-ε Modell nach Chien / Tu = 4%, Maßstab 33:240<br />
Abb. 3.38 – Isolinien der kinetischen Energie k in m 2 /s 2 , k-ε Modell nach Chien / Tu = 8%, Maßstab 33:240<br />
65
β<br />
α<br />
3.2.5 Bewertung<br />
Die Ergebnisse der Berechnung der AGTB-Kaskade sind weitestgehend identisch.<br />
Abweichungen in den Ergebnissen haben ihre Ursachen mehr in der unterschiedlichen<br />
numerischen Diskretisierung des physikalischen Rechenraums für die verschiedenen<br />
Turbulenzmodelle als in der Auswahl des Turbulenzmodells oder der Variation des<br />
Turbulenzgrades Tu in der Kanalströmung. Bezüglich der Bewertung der Güte von<br />
Rechennetzen sowie deren Auswirkung auf die Qualität der berechneten Ergebnisse wurden<br />
bereits Aussagen in Kapitel 3.2.4 gemacht.<br />
Ein quantitativer Vergleich der berechneten Ergebnisse mit Messungen von Beeck [7] zeigt<br />
Übereinstimmung mit den berechneten Ergebnissen.<br />
3.3 Plattenumströmung<br />
Die folgenden Berechnungen von Plattenumströmungen mit <strong>und</strong> ohne Ausblasung stellen<br />
Voruntersuchungen für die Arbeit „Filmkühlung in Gebieten mit verzögerter Hauptströmung<br />
<strong>und</strong> Strömungsablösung“ von Dückershoff [14] dar.<br />
Sie beruhen auf dem Modell einer ebenen Platte mit spitzer bzw. kreisr<strong>und</strong>er Nasengeometrie/<br />
Form A bzw. Form B sowie einer entsprechenden variablen Ausblasekonfiguration.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Abb. 3.39 – Anstellung der Platte mit kreisr<strong>und</strong>er Nasengeometrie<br />
66
Unser Ziel ist es, in Abhängigkeit vom Anstellwinkel α der Platte sowie der entsprechenden<br />
Auswahl der Nasengeometrie eine definierte Verzögerung der Hauptströmung bzw.<br />
Ablöseblase im Bereich der Plattenvorderkante zu erzeugen, in die wir einen Kühlstrahl mit<br />
einem spezifischen Ausblaseverhältnis M zur Hauptströmung <strong>und</strong> Ausblasewinkel β<br />
ausblasen, Abb. 3.39.<br />
In der vorliegenden Arbeit wurde auf den quer zur Hauptströmung gerichteten Anteil der<br />
Ausblasegeschwindigkeit, also laterale Geschwindigkeitskomponente verzichtet.<br />
Die Platte mit kreisr<strong>und</strong>er Nasengeometrie / Form A erscheint für die definierte Induzierung<br />
einer Ablöseblase günstiger als die Platte mit spitzer Nasengeometrie / Form B, da der<br />
Kantennachlauf für den Fall der kreisr<strong>und</strong>en Nase für jeden Anstellwinkel α von 0° bis 45°<br />
immer geometrisch identisch bleibt.<br />
Dies ist für die Platte mit spitzer Nasengeometrie nicht der Fall. Sie läßt jedoch schon für<br />
kleine Anstellwinkel α große Ablösungen erwarten.<br />
Leschik [25] führt parallel zu den Berechnungen in dieser Arbeit Messungen an den Platten<br />
Abb. 3.40 mit einem remissionsfotometrischen Verfahren unter Ausnutzung der Wärme-<br />
Stoff-Analogie nach Kottke [24] <strong>und</strong> Friedrichs [15] durch.<br />
Abb. 3.40 – Plattengeometrien der Form A <strong>und</strong> Form B mit Ausblasekonfiguration <strong>und</strong> Absaugeeinrichtungen<br />
für Kalibrierung der Meßtechnik, Quelle Leschik [25]<br />
67
3.3.1 Plattenumströmung ohne Ausblasung<br />
Die Berechnungen der Plattenumströmung ohne Ausblasung sind Voruntersuchungen für die<br />
numerisch aufwendigeren Berechnungen der Plattenströmungen mit Ausblasung.<br />
Wir berechnen die Platte mit kreisr<strong>und</strong>er <strong>und</strong> spitzer Nasengeometrie für verschiedene<br />
Anstellwinkel α. Die Ablösung tritt an der Platte mit spitzer Nasengeomtrie bereits für den<br />
Anstellwinkel α von 0° auf, Bischoff [9].<br />
Wir wissen auch, daß die Art der spitzen Nasengeometrie einen Einfluß auf den Umfang der<br />
zu erwartenden Ablösung hat. Ist die Kante sehr spitz, so erwarten wir eine größere Ablösung<br />
als für eine gebrochene bzw. ger<strong>und</strong>ete Kante. Wir berechnen die Plattenströmung ohne<br />
Ausblasung mit kreisr<strong>und</strong>er Nasengeometrie Form A sowie mit spitzer Nasengeometrie Form<br />
B/I (R<strong>und</strong>ungswinkel, r = 0,2 mm) <strong>und</strong> ideal spitzer Nasengeometrie Form B/II (kein<br />
R<strong>und</strong>ungswinkel, r = 0 mm).<br />
3.3.1.1 Randbedingungen<br />
Die Berechnung der freien Anströmung einer Platte erfolgt als external flow, Kapitel 2.10.2.4.<br />
Der äußere Rand der Platte wird als Festkörperrand definiert. Mit markieren wir das<br />
Strömungsfeld, welches wir mittels externer Randbedingung einhüllen.<br />
In der Tab. 3.6 sind die numerischen Randbedingungen für die Berechnung angegeben.<br />
Referenzgrößen<br />
Referenzlänge l 500 mm<br />
Referenzgeschwindigkeit v 20 m/s<br />
Dichte ρ 1,169 kg/m³<br />
Totaltemperatur T 298 K<br />
Wärmekapazität konst. p c p 1004,5 J/(Kg·K)<br />
Isentropenkoeffizient κ 1,4<br />
Prandtlzahl Pr 0,72<br />
Reynoldszahl Re 666667<br />
Externe Randbedingung<br />
Anströmgeschwindigkeit v H 20 m/s<br />
Anstellwinkel α 0° – 45°<br />
statischer Druck p H 100000 Pa<br />
statische Temperatur T H 298 K<br />
Tab. 3.6 – numerische Randbedingungen, Platte ohne Ausblasung<br />
68
Den Anstellwinkel α stellen wir über die angepaßte Anströmrichtung der Hauptströmung ein,<br />
d.h. die Anströmgeschwindigkeit wird entsprechend der Winkelbeziehung in x- <strong>und</strong> y-Anteile<br />
zerlegt <strong>und</strong> diese als externe Randbedingung definiert. Der Anstellwinkel α ist gleich<br />
Abströmwinkel α.<br />
3.3.1.2 Rechennetz <strong>und</strong> Turbulenzmodell<br />
Der physikalische Rechenraum diskretisieren wir mit einem O-Netz um die ebene Platte <strong>und</strong><br />
257x65x2 Netzpunkten. Die Gesamtnetzpunktzahl beträgt 33410 Netzpunkte.<br />
Wir verwenden das Baldwin-Lomax-Modell als Turbulenzmodell, da Bischoff [9] im freien<br />
Strömungsfeld des Göttinger Umlaufwindkanals einen Turbulenzgrad Tu von nur 0,3%<br />
festgestellt hat, <strong>und</strong> wir somit den Turbulenzgrad Tu in der externen Randbedingung nicht<br />
berücksichtigen. Bedingung für gute Ergebnisse mit dem Baldwin-Lomax-Modell ist eine<br />
genügend hohe Auflösung der Grenzschicht mit dem normierten Wandabstand der ersten<br />
Netzzelle y + von 5. Im übrigen gelten bezogen auf den Göttinger Umluftwindkanal die<br />
gleichen Feststellungen wie im Kapitel 3.3.1.2.<br />
Wie bereits beschrieben reicht das Strömungsfeld um einen festen Körper bis ins Unendliche.<br />
Die Strömung bzw. deren Inhomogenitäten, die durch den Körper verursacht werden, klingen<br />
im Unendlichen ab. Somit muß der äußere Rand mit der externen Randbedingung<br />
entsprechend entfernt von den induzierten Strömungsinhomenitäten sein.<br />
3.3.1.3 Rechnung<br />
Die Berechnung findet auf der O2 Workstation von SGI statt. Wir berechnen das<br />
Strömungsfeld im full multi grid Modus auf drei Diskretisierungsnetzen. Die Strömung wird<br />
kompressibel berechnet, da in FINE/TURBO V3.0 für freie Strömungen noch kein<br />
Algorithmus für die inkompressible Strömungen implementiert ist. Wir müssen also unnötig<br />
lange Konvergenzzeiten sowie unter Umständen eine niedrigere Qualität der Ergebnisse in<br />
Kauf nehmen. Wir erhalten jedoch aufgr<strong>und</strong> der niedrigen Gesamtnetzpunktzahl bereits nach<br />
6 h ausreichend konvergierte Ergebnisse.<br />
3.3.1.4 Ergebnisse<br />
In den Abb. 3.41 bis Abb. 3.81 sind die Ergebnisse der Berechnungen mit Variationen der<br />
Anströmrichtung <strong>und</strong> somit des Anstellwinkels α aufgeführt. Für die Interpretation der<br />
Ergebnisse soll die Darstellung der Vektoren des Geschwindigkeitsfeldes <strong>und</strong> der Stromlinien<br />
ausreichend sein. Mit der Verwendung der Stromlinien lassen sich sehr gut die Zonen mit<br />
Ablösung dedektieren. Neben den Geschwindigkeitsfeldern sind die Verteilungen des<br />
statischen Drucks p entlang der Plattenlauflänge x angegeben. Mit größerem Anstellwinkel<br />
steigt das Druckgefälle von der Plattenoberseite (Saugseite) zur Plattenunterseite<br />
(Druckseite). Genügend große Zonen mit Ablösung erkennen wir an lokalen Druckmaxima<br />
auf der Saugseite.<br />
69
Abb. 3.41 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, α = 0°, Maßstab 1:4<br />
Abb. 3.42 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, Nasenzone, α = 0°, Maßstab 15:10<br />
70
Abb. 3.43 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form A, α = 0°<br />
Abb. 3.44 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, α = 10°, Maßstab 1:4<br />
71
Abb. 3.45 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, Nasenzone, α = 10°, Maßstab 15:10<br />
Abb. 3.46 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form A, α = 10°<br />
72
Abb. 3.47 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, α = 15°, Maßstab 1:4<br />
Abb. 3.48 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, Nasenzone, α = 15°, Maßstab 15:10<br />
73
Abb. 3.49 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form A, α = 15°<br />
Abb. 3.50 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, Anströmwinkel α = 20°, Maßstab 1:4<br />
74
Abb. 3.51 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, Nasenzone, α = 20°, Maßstab 15:10<br />
Abb. 3.52 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form A, α = 20°<br />
75
Abb. 3.53 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, α = 25°, Maßstab 1:4<br />
Abb. 3.54 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form A, α = 25°<br />
76
Abb. 3.55 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, α = 30°, Maßstab 1:4<br />
Abb. 3.56 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form A, α = 30°<br />
77
Abb. 3.57 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, α = 35°, Maßstab 1:4<br />
Abb. 3.58 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form A, α = 35°<br />
78
Abb. 3.59 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, α = 40°, Maßstab 1:4<br />
Abb. 3.60 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form A, α = 40°<br />
79
Abb. 3.61 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/I, α = 0°, Maßstab 1:4<br />
Abb. 3.62 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/I, Nasenzone, α = 0°, Maßstab 15:10<br />
80
Abb. 3.63 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form B/I, α = 0°<br />
Abb. 3.64 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/I, α = 5°, Maßstab 1:4<br />
81
Abb. 3.65 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/I, Nasenzone, α = 5°, Maßstab 15:10<br />
Abb. 3.66 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form B/I, α = 5°<br />
82
Abb. 3.67 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/I, α = 10°, Maßstab 1:4<br />
Abb. 3.68 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/I, Nasenzone, α = 10°, Maßstab 15:10<br />
83
Abb. 3.69 – Verteilung von p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form B/I, α = 10°<br />
Abb. 3.70 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/I, α = 15°, Maßstab 1:4<br />
84
Abb. 3.71 – Verteilung von p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form B/I, α = 15°<br />
Abb. 3.72 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/I, α = 20°, Maßstab 1:4<br />
85
Abb. 3.73 – Verteilung von p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form B/I, α = 20°<br />
Abb. 3.74 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/II, α = 0°, Maßstab 1:4<br />
86
Abb. 3.75 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/II, Anströmwinkel α = 0°, Maßstab 15:10<br />
Abb. 3.76 – Verteilung von p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form B/II, α = 0°<br />
87
Abb. 3.77 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/II, α = 5°, Maßstab 1:4<br />
Abb. 3.78 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/II, Nasenzone, α = 5°, Maßstab 15:10<br />
88
Abb. 3.79 – Verteilung von p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form B/II, α = 5°<br />
Abb. 3.80 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/II, α = 10°, Maßstab 1:4<br />
89
Abb. 3.81 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/II, Nasenzone, α = 10°, Maßstab 15:10<br />
3.3.1.5 Bewertung<br />
Mit den Abb. 3.82 bis Abb. 3.83 beschreiben wir die geometrische Ausdehnung <strong>und</strong> Position<br />
der Zonen mit Ablösung. Wir stellen fest, daß mit steigendem Anstellwinkel α die<br />
Wahrscheinlichkeit einer Ablösung bzw. nach deren Eintreten der Umfang der Ablösung<br />
zunimmt.<br />
Für die kreisr<strong>und</strong>e Nasengeometrie der Form A ist die Neigung zur Ablösung im Vergleich<br />
mit den Platten der Form B/I <strong>und</strong> Form B/II am geringsten. Ein Ablösung wird erst für einen<br />
Anstellwinkel α von 10° festgestellt. Der Umfang der Ablösung wächst nur allmählich mit<br />
steigendem Anstellwinkel α.<br />
Für die spitze Nasengeometrie der Form B/I mit einer Nase, deren Spitze mit einem<br />
R<strong>und</strong>ungsradius r von 0,2 mm versehen ist, tritt schon für den Anstellwinkel α von 0° eine<br />
Ablöseblase an der Nasenvorderkante auf. Für die ideal spitze Nasengeometrie der Form B/II<br />
ist die Ablöseblase an der Nasenvorderkante bei einem Anstellwinkel α von 0° noch größer.<br />
Die Ausdehnungen der Ablösezonen für die Platten der Form B/I <strong>und</strong> der Form B/II scheinen<br />
sich jedoch mit größerem Anstellwinkel α anzugleichen.<br />
Das Zentrum des Ablösewirbels entfernt sich mit größerem Anstellwinkel α <strong>und</strong> wachsenden<br />
Umfang der Ablösung von der Nasenspitze der untersuchten Platte in Richtung<br />
Plattenlauflänge x, wobei sich an der Nasenvorderkante der Platte mit kreisr<strong>und</strong>er<br />
Nasengeometrie der Form A gut beschreibbare Ablösezonen herausbilden. Die Platten mit<br />
spitzer Nasengeometrie der Form B sind für weitere Untersuchungen weniger gut geeignet.<br />
90
Wir halten schließlich fest, daß neben der Reynoldszahl Re, dem Anstellwinkel α sowie der<br />
Form der Nasengeometrie die Charakteristik der Gr<strong>und</strong>geometrie des umströmten festen<br />
Körpers z.B. Dicke der Platte oder gekrümmte Oberfläche auf die Ausprägung der Zonen mit<br />
Ablösung einen gr<strong>und</strong>legenden Einfluß hat.<br />
Form A Form B/I Form B/II<br />
Höhe h [mm]<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
0 5 10 15 20 25 30 35 40<br />
Anstellwinkel α [°]<br />
Abb. 3.82 – Höhe h der Ablösezone in mm in Abhängigkeit vom Anstellwinkel α in °<br />
250<br />
Form A Form B/I Form B/II<br />
Länge l [mm]<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
0<br />
0 5 10 15 20 25 30 35 40<br />
Anstellwinkel α [°]<br />
Abb. 3.83 – Länge l der Ablösezone in mm in Abhängigkeit vom Anstellwinkel α in °<br />
91
Form A Form B/I Form B/II<br />
Abstand a [mm]<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
0 5 10 15 20 25 30 35 40<br />
Anstellwinkel α [°]<br />
Abb. 3.84 – Abstand a des Zentrums des Ablösewirbels von der Nasenspitze in mm in Abhängigkeit vom<br />
Anstellwinkel α in °<br />
3.3.2 Plattenumströmung mit Ausblasung<br />
In den Berechnungen der Plattenumströmung mit Ausblasung möchten wir zwei wesentliche<br />
Phänomene erfassen. Erstens haben wir im Kapitel 3.3.1 die Induzierung von Ablösungen an<br />
der Nasenvorderkante untersucht. Sollte keine Ablösung erfolgen, so haben wir es dennoch<br />
mit Gebieten einer verzögerten Hauptrömung zu tun, in welche wir zweitens mit einer<br />
definierten Ausblaserate M einen Kühlluftstrom aus einer Ausblaseöffnung eingeblasen.<br />
Die Folge ist die Ausbildung charakteristischer Wirbelstrukturen Ω x , welche die Mischung<br />
von Hauptstrom <strong>und</strong> Kühlluftstrom <strong>und</strong> somit die kalorimetrischen Bedingungen in der<br />
Grenzschicht sowie an der festen Wand beeinflussen.<br />
3.3.2.1 Mischung von Kühlluftströmung <strong>und</strong> Hauptströmung<br />
Es existieren bereits eine Reihe von Publikationen, die sich mit Mischprozessen bei der<br />
Ausblasung eines Kühlluftstroms in den Hauptstrom befassen.<br />
Im Verlauf des Mischprozesses Kühlluftstrom <strong>und</strong> Hauptstrom entwickeln sich vier<br />
charakteristische Wirbelstrukturen nach Abb. 3.85, Ardey [2], Beeck [7], Vogel [38] <strong>und</strong><br />
Wilfert [40].<br />
92
Schornsteinwirbel Ω 1<br />
Der Schornsteinwirbel entsteht als eine Ringwirbelstruktur infolge der aerodynamischen<br />
Sperrung der Hauptströmung am geneigten freien Zylinder des Kühlluftstrahls.<br />
Hufeisenwirbel Ω 3<br />
Der Hufeisenwirbel hat seinen Ursprung im positiven Druckgradienten der am Kühlluftstrahl<br />
aufgestauten Hauptströmungsgrenzschicht. Die Trägheitskräfte in den äußeren Schichten sind<br />
größer als in den unteren Schichten, daher ist das Kräftegleichgewicht zwischen Druckkraft<br />
<strong>und</strong> der Trägheitskraft im wandnahen Bereich der Grenzschicht weiter stromauf erreicht als<br />
im oberen Teil.<br />
Stromabwärts bewirkt der positive Druckgradient eine Rückströmung aufgr<strong>und</strong> der größeren<br />
Druckkraft. Die weiter außen liegenden Grenzschichten rollen zur Versorgung der unteren<br />
Grenzschichten gegen den Kühlluftstrahl ein <strong>und</strong> schwimmen seitlich am zylinderförmigen<br />
Kühlluftstrahl ab.<br />
Abb. 3.85 – Wirbelstrukturen im Ausblasestrahl, Quelle Vogel [38]<br />
Nierenwirbel Ω 2<br />
Der Nierenwirbel resultiert aus den Trägheitskräften in der freien Scherschicht des<br />
Kühlluftstrahls, die nicht ausreichen, um die Strömung der Strahltrajaktorie folgen zu lassen.<br />
Die Druckkräfte bewirken die Aufwärtsdrift im Strahlkern.<br />
Es entstehen im Fall einer nicht lateralen Ausblasung zwei symmetrische, gegendrehende<br />
Wirbel. Tritt der Kühlluftstrahl im Hauptstrom aus, so werden seine äußeren Randschichten<br />
erfaßt <strong>und</strong> die Strahlablenkung verstärkt.<br />
93
Totwasserwirbel Ω 4<br />
Totwasserwirbel entstehen durch instationäre Vorgänge stromabwärts von der<br />
Ausblaseöffnung <strong>und</strong> sind von ihrer Charakteristik den Wirbeln im Nachlauf von Zylindern<br />
ähnlich. Die Totwasserwirbel entstehen an der Grenzschicht des freien Kühlluftstrahls in<br />
Gebieten mit negativen Druckgradienten. Sollte sich der Kühlluftstrahl vollständig in der<br />
Grenzschicht des Hauptstroms befinden, so können sich oberhalb des Kühlluftstrahls<br />
aufgr<strong>und</strong> der Scherwirkung der Drehbewegung des Nierenwirbels zwei kleine Wirbel bilden.<br />
3.3.2.2 Einflußfaktoren<br />
Wir können folgende Einflußfaktoren auf den Mischprozeß benennen, nach Ardey [2]:<br />
Aerodynamische Faktoren<br />
Geschwindigkeitsverhältnis<br />
Temperatur- bzw. Dichteverhältnis<br />
Turbulenzgrad der Hauptströmung<br />
statische Temperatur<br />
Grenzschichtdicke<br />
Geometrische Faktoren<br />
Plattenanstellwinkel α<br />
Bohrungsform<br />
Bohrungslänge<br />
Bohrungsteilung<br />
Platten- bzw. Anlaufnase<br />
Ausblasewinkel β<br />
Tab. 3.7 – Einflußfaktoren<br />
Das Geschwindigkeitsverhältnis c K /c H <strong>und</strong> das Dichteverhältnis ρ K /ρ H bestimmen gemeinsam<br />
das Impulsverhältnis I bzw. das Massenstromverhältnis M, im folgenden Ausblaserate M<br />
genannt.<br />
I<br />
=<br />
ρ<br />
ρ<br />
K<br />
H<br />
⋅ c<br />
⋅ c<br />
2<br />
K<br />
2<br />
H<br />
Gl. 3.10<br />
M<br />
ρK<br />
⋅c<br />
= ρ ⋅c<br />
H<br />
K<br />
H<br />
Gl. 3.11<br />
Ist die Menge der Kühlluftströmung im Vergleich zur Hauptströmung klein, so paßt sich die<br />
Strömungsrichtung der Kühlluft direkt nach Verlassen der Ausblaseöffnung der Richtung der<br />
Hauptströmung an. Wesentliche Anteile der Kühlluft verbleiben dann an der Wandoberfläche,<br />
Ardey [2].<br />
94
Impulsverhältnis I <strong>und</strong> Ausblaserate M<br />
Ist das Impulsverhältnis I bzw. die Ausblaserate M der Kühlluftströmung entsprechend groß,<br />
so wird stromabwärts der Ausblasung die Strömungsrichtung der Kühlluft nur graduell an die<br />
Richtung der Hauptströmung angepaßt, wobei in den betroffenen Scherströmgebieten große<br />
aerodynamische Verluste auftreten. Infolge der durch die Kühlluftströmung eingebrachten<br />
hohen kinetischen Energie hebt in diesem Fall die Kühlluftströmung von der Wandoberfläche<br />
ab <strong>und</strong> verringert damit die Kühlwirkung im Ausblasebereich.<br />
Um eine hohe effektive Kühlwirkung zu erhalten, ist ein großer Massenstrom notwendig, da<br />
mit der Erhöhung der Menge an vorhandenem Kühlmedium in einem bestimmten Volumen<br />
die Summe der bezogenen spezifischen Wärmekapazität <strong>und</strong> somit das Potential der<br />
kompensierbaren Wärmemenge ansteigt.<br />
In realen Kühlsystemkonfigurationen stellt sich das Dichteverhältnis ρ K /ρ H von Kühlluft- <strong>und</strong><br />
Hauptluftströmung über das Temperaturverhältnis T K /T H sowie unter anderem von den<br />
Zustandsgrößen der Fluide ein. Unter Modellbedingungen ist oft nur die Einstellung des<br />
entsprechenden Dichteverhältnisses ρ K /ρ H in Abhängigkeit vom verwendeten Meßverfahren<br />
sowie der technischen Randbedingungen mit verschieden schweren Gasen möglich.<br />
Es existieren auch Untersuchungen, bei denen reversible Temperaturverhältnisse eingestellt<br />
wurden, wobei diese Vorgehensweise für den Fall des Auftretens gekoppelter<br />
aerodynamischer Phänomene z.B. Transition infolge Ausblasung wenig geeignet erscheint.<br />
Turbulenz<br />
Wird Turbulenz in der Hauptströmung angenommen, so verhindert die angenommene<br />
Wirbelviskosität die Ausbildung schwächerer Wirbel in der Kühlluftströmung. In den<br />
Scherströmungsgebieten entstehen kleine Turbulenzballen, die durch die größeren<br />
Turbulenzballen der Hauptströmung dominiert werden.<br />
Eine erhöhte Turbulenz bewirkt die Beschleunigung der Vermischung von Kühlluft <strong>und</strong><br />
Hauptströmung. Für Ausblasebohrungsreihen in einer Konfiguration der Filmkühlung ist die<br />
verstärkte Vermischung der Kühlluftströmung mit der Hauptströmung erwünscht, um eine<br />
homogene Kühlwirkung zu erhalten. Parallel wirkt jedoch auch eine normal zur<br />
Wandoberfläche auftretende Mischbewegung thermisch ungünstig, da in diesem Mischprozeß<br />
heißes Fluidmedium der Hauptströmung zur Wandoberfläche <strong>und</strong> Kühlluft von der<br />
Wandoberfläche transportiert wird.<br />
Somit kommt es bei kleinen Ausblaseraten zu einer Verminderung der Kühlwirkung aufgr<strong>und</strong><br />
der verstärkten Vermischung von Kühlluftströmung <strong>und</strong> Hauptströmung. Für große<br />
Ausblaseraten bleibt der Anteil der turbulenzinduzierten, wandnormalen Mischbewegung<br />
konstant, die längsgerichtete Mischbewegung nimmt jedoch zu <strong>und</strong> somit auch die gesamte<br />
Kühlwirkung der Ausblaskonfiguration.<br />
Oberflächenrauhigkeit<br />
Eine erhöhte Oberflächenrauhigkeit hat eine verbesserte Kühlwirkung zur Folge, da die<br />
Ausmischung der Kühlluftströmung im Wandbereich gefördert wird, die wandnormale<br />
Mischbewegung hingegen unbeeinflußt bleibt. Der Einfluß der Oberflächenrauhigkeit wird in<br />
der vorliegenden Arbeit nicht untersucht.<br />
95
Grenzschicht<br />
Die Grenzschicht wird in der Regel an der Ausblasestelle von der Kühlluftströmung<br />
durchstoßen, so daß neben der Grenzschicht auch die Hauptströmung beeinflußt wird. Ist die<br />
Grenzschicht ausreichend dick, verbleibt die Kühlluftströmung ohne eine Beeinflussung der<br />
Hauptströmung innerhalb der Grenzschicht. Somit wird keine Turbulenz in den<br />
Scherschichtgebieten der Kühlluftströmung <strong>und</strong> Hauptluftströmung erzeugt. Es kann<br />
vorkommen, daß durch die Kühlluftausblasung eine laminare Grenzschicht zum Umschlag<br />
gezwungen wird, <strong>und</strong> somit das Auftreten von laminaren Umschlagblasen verhindert werden<br />
kann. Des weiteren kommt es vor, daß eine turbulente Grenzschicht infolge der<br />
Kühlluftausblasung relaminarisiert.<br />
Druckgradient<br />
Durch das Auftreffen der Wandgrenzschicht auf den Kühlluftstrahl an der Ausblaseöffnung<br />
wird der Hufeisenwirbel gebildet. Die Ausprägung <strong>und</strong> Form des Hufeisenwirbels ist von der<br />
Art <strong>und</strong> Struktur der auftreffenden Wandgrenzschicht <strong>und</strong> dem Impulsverhältnis I abhängig.<br />
An der Vorderseite der Ausblasebohrung beschleunigt die Hauptströmung, ein negativer<br />
Druckgradient verringert das Impulsverhältnis I im Nachlauf des Kühlluftstrahls <strong>und</strong><br />
ermöglicht so die Anpassung des Kühlluftstroms an die Hauptströmung mit dem Anlegen der<br />
Kühlluft direkt hinter der Ausblasestelle.<br />
Eine verzögerte Hauptströmung <strong>und</strong> ein positiver Druckgradient hat im Nachlauf des<br />
Kühlluftstrahls ein Ansteigen des Impulsverhältnisses zu Folge <strong>und</strong> bewirkt somit das<br />
Abheben der Kühlluft.<br />
Krümmung der Lauflänge<br />
In der Arbeit von Ardey [2] wird die Ausblasung in der AGTB-Kaskade untersucht. Ardey [2]<br />
macht in diesem Zusammenhang Angaben, inwieweit wir die Ergebnisse von Untersuchungen<br />
an der ebenen Platte mit denen an der Turbinenkaskade vergleichen können.<br />
Die Turbinenkaskade zeichnet sich durch eine konvexe Krümmung der Oberfläche an der<br />
Profilsaugseite aus, welche bei geringerer Ausblaserate M verglichen mit der ebenen Platte zu<br />
einem stärkeren Abheben des Kühlluftstrahls an der Hinterkante der Austrittsöffnung führt.<br />
Für die weitere Stromlinienkrümmung wird immer ein Druckgradient normal zur Oberfläche<br />
erzeugt. So ensteht bei konvexer Krümmmung an der Oberfläche ein Druckminimum. Der<br />
Kühlluftstrahl wird im weiteren Verlauf stärker an die Oberfläche gehalten.<br />
Für hohe Ausblaseraten wird die Kühlwirkung infolge der konvexen Krümmung an der<br />
Profildruckseite gesteigert. Für die konkave Krümmung an der Druckseite der<br />
Turbinenkaskade gilt der gegenteilige Effekt.<br />
Für niedrigere Ausblaseraten veringert sich das Abheben des Kühlluftstrahls an der<br />
Hinterkante der Ausblaseöffnung, in Fällen höherer Ausblaseraten entfernt sich der<br />
Kühlluftstrahl durch den Druckgradienten zunehmend von der Oberfläche, so daß die<br />
Kühlwirkung abnimmt.<br />
Trifft Kühlluft auf die konkave Oberfläche stromab von der Ausblaseöffnung wird sie in<br />
lateraler Richtung homogener verteilt als an ebenen Platten.<br />
96
Orientierung der Ausblasewinkel<br />
Im wesentlichen beschreiben zwei Winkel die Orientierung der Ausblasegeometrie bezogen<br />
normal zur Profiloberfläche der Ausblasewinkel β sowie lateral zur Richtung der<br />
Hauptströmung der Lateralwinkel. Je größer der Ausblasewinkel β ist, umso weiter dringt der<br />
Kühlluftstrom in den Haupstrom ein. Die aerodynamischen Verluste werden so größer, die<br />
Bildung von Totwasserwirbeln Ω 4 nimmt hinter der Ausblaseöffnung zu. Die laterale<br />
Ausblasung erzeugt eine Asymmetrie <strong>und</strong> bewirkt Effekte wie das Abtrennen von<br />
Einzelwirbeln <strong>und</strong> kann so zur Verbesserung der Kühlluftverteilung führen, jedoch auch zur<br />
Erhöhung der aerodynamischem Verluste. Die laterale Ausblasung wird in der vorliegenden<br />
Arbeit nicht untersucht.<br />
Bohrungsteilung<br />
Einen signifikanten Einfluß hat die Bohrungsteilung auf die Homogenität der Vermischung.<br />
Sollten die Bohrungen in einer Reihenanordnung ausreichend dicht angeordnet sein, so<br />
beeinflussen sich die einzelnen Kühlluftstrahlen <strong>und</strong> formen eine geschlossene<br />
Kühlluftschicht mit optimaler Kühlwirkung an der Profiloberfläche, die nicht so weit in die<br />
Hauptströmung eindringt wie ein Einzelstrahl mit gleicher Ausblaserate M.<br />
Ein zu dichtes Setzen von Ausblasebohrungen bzw. Ausblaseschlitzen kann bezogen auf die<br />
Festigkeit des gekühlten Bauteils problematisch sein.<br />
Bohrungsformen<br />
Eine Verbesserung der Kühlluftausbreitung ist mittels Einsatz besonderer Bohrungsformen<br />
für Einzelstrahlen von kreisr<strong>und</strong> bis trichterförmig mögllich. Die Fächerform führt zu einer<br />
geringen Störung der Hauptströmung durch Kühlluft. Für die Trichterform neigt die Kühlluft<br />
hinter der Bohrungshinterkante weniger zum Abheben, Vogel [38].<br />
Bohrungslänge<br />
Die Bohrungslänge hat Einfluß auf die Rohrströmungshomogenität, lange Bohrungen bilden<br />
ausgeprägte Rohrströmungen aus. Für kurze Bohrungen können sich Strömungsinhomogenitäten,<br />
die am Bohrungseintritt entstehen, noch im Bohrungsaustritt auswirken.<br />
3.3.2.3 Adiabate Filmkühleffektivität<br />
Die adiabate Filmkühleffektivität η bestimmen wir mit dem Verhältnis der Differenz von<br />
adiabater Wandtemperatur T W <strong>und</strong> statischer Temperatur des Hauptstroms T H <strong>und</strong> der<br />
Differenz von statischer Temperatur des Kühlluftstroms T K <strong>und</strong> statischer Temperatur des<br />
Hauptstroms T W , Gl. 3.12.<br />
TW<br />
− TH<br />
η =<br />
Gl. 3.12<br />
TK<br />
− TH<br />
97
3.3.2.4 Randbedingungen<br />
Wie schon bei der freien Anströmung einer Platte ohne Ausblasung wird die Option external<br />
flow berechnet, Kapitel 2.10.2.4. Wir definieren den äußeren Rand der Platte als<br />
Festkörperrand . Die Platte wird vom freien Strömungsfeld umgeben, welches an der<br />
externen Randbedingung endet. Desweiteren definieren wir einen inlet , an dem die<br />
Einströmrandbedingungen gelten.<br />
In der Tab. 3.8 geben wir die numerischen Randbedingungen für die Berechnung an.<br />
Referenzgrößen<br />
Referenzlänge l 500 mm<br />
Referenzgeschwindigkeit v 20 m/s<br />
Dichte ρ 1,169 kg/m³<br />
Totaltemperatur T 298 K<br />
Wärmekapazität konst. p c p 1004,5 J/(Kg·K)<br />
Isentropenexponent κ 1,4<br />
Prandtlzahl Pr 0,72<br />
Reynoldszahl Re 666667<br />
Externe Randbedingung<br />
Anströmgeschwindigkeit v H 20 m/s<br />
Anstellwinkel α 0° – 45°<br />
statischer Druck p H 100000 Pa<br />
statische Temperatur T H 298 K<br />
Einströmrand<br />
inlet<br />
Anströmgeschwindigkeit v K 10,71 / 15,3 / 18,36 / 21,4 m/s<br />
Ausblasewinkel β 35°<br />
statischer Druck p K 100000 Pa<br />
statische Temperatur T K 228 K<br />
2<br />
Tab. 3.8 – numerische Randbedingungen, Platte mit Ausblasung<br />
Die unterschiedlichen Anstellwinkel α werden wie schon bei den Berechnungen der Platte<br />
ohne Ausblasung mit der angepaßten Anströmrichtung der Hauptströmung eingestellt, Kapitel<br />
3.3.1.<br />
98
3.3.2.5 Rechennetz <strong>und</strong> Turbulenzmodell<br />
Das Rechennetz bauen wir aus zwei Blöcken auf, wobei wir mit Block 1 das freie<br />
Strömungsfeld modellieren. Block 1 ist ein O-Netz <strong>und</strong> umschließt mit seinen 33x175x33<br />
Netzpunkten die berechnete Plattengeometrie der Form A, Abb. 3.86. Auffallend ist die<br />
höhere Netzdichte auf der Seite der Ausblaseöffnung. Diese ist notwendig, um die<br />
interessierenden Phänomene, wie Ablösung sowie die duch die Ausblasung induzierten<br />
Wirbelstrukturen zu erfassen. Das Fehlen weiterer Netzpunkte auf der zur Ausblasung<br />
abgewandten Seite (Druckseite für den Fall einer Anstellung) würde das Gesamtergebnis der<br />
Rechnung weiter verschlechtern, da der umströmte Körper ja selbst im freien Strömungsfeld<br />
Strömungen bzw. Inhomogenitäten erzeugt, die folglich Auswirkungen auf die<br />
interessierenden Gebiete auf der Saugseite der Platte hätten. Mit 33x17x17 Netzpunkten<br />
diskretisieren wir das Ausblaserohr als H-Netz, für deren Randbedingung die solid-, inlet- <strong>und</strong><br />
connection-Bedingung gelten. Die Verbindungsrandbedingung verbindet Block 2 mit<br />
Block 1. In Abb. 3.87 <strong>und</strong> Abb. 3.88 ist der Aufbau des dreidimensionalen Netzes ersichtlich.<br />
Beide Blöcke werden entsprechend den Symmetrierandbedingungen gespiegelt, um den<br />
numerischen Aufwand gering zu halten <strong>und</strong> die physikalischen Vorgaben d.h. eine<br />
Reihenausblasung in ein inkompressibles Strömungsfeld zu realisieren.<br />
Abb. 3.86 – Seitenansicht des Rechennetzes Platte Form A mit Ausblasung<br />
Die gewählte Konfiguration ist die für das berechnete Ausblaseproblem einfachste<br />
Möglichkeit, ein Rechnennetz zu erzeugen. Sie zeichnet sich aber auch durch zusätzliche<br />
Netzverzerrungen in den Randzonen der Ausblaseöffnung sowie im Plattennachlauf aus <strong>und</strong><br />
trägt somit zu der relativ niedrigen Güte des gesamten Rechennetzes bei. Abhilfe würden<br />
aufwendigere Mehr-Block-Strukturen schaffen, die jedoch auch viel Erfahrung bei der<br />
Netzgenerierung voraussetzen.<br />
99
Mit beiden Blöcken ergibt sich die Gesamtnetzpunktzahl von 195488 Netzpunkten. Für den<br />
allgemeinen Aufbau des Netzes sowie der Auswahl des Turbulenzmodells gelten die<br />
Begründungen aus Kapitel 3.3.1.2.<br />
Abb. 3.87 – Rechennetz Platte Form A mit Ausblasung, gesamte Platte<br />
Abb. 3.88 – Rechennetz Platte Form A mit Ausblasung, Nähe Ausblaseöffnung<br />
100
3.3.2.6 Rechnung<br />
Die Berechnung der Platte erfolgt mit verschiedenen, variierten Anfangsbedingungen auf der<br />
O2 Workstation von SGI, Tab. 3.8.<br />
Die O2 Workstation startet die Rechnung mit der maximalen Gesamtnetzpunktzahl von<br />
195488 Netzpunkten <strong>und</strong> beginnt nach der Ausführung zusätzlicher Speicherverwaltungsprozesse<br />
mit dem Auslagern von Daten aus dem Arbeitsspeicher in den Festplattenspeicher<br />
<strong>und</strong> umgekehrt –shifting. Dieser Vorgang behindert den Euranus-Prozeß so bedeutend, daß<br />
wir keinen Fortschritt in der Rechnung erwarten können.<br />
Eine Berechnung ist unter den beschriebenen Umständen aufgr<strong>und</strong> des sehr begrenzten<br />
Umfangs des Arbeitsspeichers nur mit einer geringeren Anzahl von Netzpunkten möglich.<br />
Wir dünnen das Rechennetz folglich mit 33x175x17 Netzpunkte für Block 1 <strong>und</strong> 17x17x17<br />
Netzpunkte für Block 2 auf die Gesamtnetzpunktzahl von nur noch 103088 Netzpunkten aus.<br />
Wie schon für die Platte ohne Ausblasung berechnen wir das Strömungsfeld im full multi grid<br />
Modus auf drei Diskretisierungsnetzen.<br />
In den Abb. 3.89 <strong>und</strong> Abb. 3.90 sind beispielhaft die Verteilungen der Residien der Dichte ρ<br />
für verschiedene Anstellwinkel α in Abhängigkeit der Iterationsschritte n dargestellt. Sehr<br />
deutlich erkennen wir das sprunghafte Ansteigen der Konvergenz nach jedem Umschalten der<br />
Berechnung vom gröberen auf das feinere Netz. Für jedes Rechennetz konvergiert die<br />
Rechnung, <strong>und</strong> das Residuum nimmt mit weiteren Iterationsschritten n einen bestimmten<br />
Grenzwert an, um den das Residuum dann mehr oder weniger gedämpft schwankt. Auffallend<br />
sind die relativ hohen Schwankungen des Residuums mit dem Anstellwinkel α von 30° in<br />
Abb.3.90, als deren Ursachen wir die durch die Anstellung der Platte erzeugten<br />
Strömungsinhomogenitäten sowie die Strömungsablösung an der Nasenvorderkante<br />
identifizieren.<br />
Auch ist das Residuum mit Anstellung der Platte weitaus höher als bei der Berechnung der<br />
Platte ohne Anstellung, Abb. 3.89, was auf die unzureichende Diskretisierung des gesamten<br />
Rechenraums hindeutet. Die Rechnung wird nach einer Konvergenzzeit von ca. 30 h<br />
abgebrochen, da der Wert der Gesamtkonvergenz zu diesem Zeitpunkt ausreichend bzw.<br />
keine weitere Absenkung des Residuums zu erwarten ist.<br />
Die Berechnung der inkompressiblen Strömung muß kompressibel erfolgen, für diese<br />
Entscheidung gelten die Feststellungen aus Kapitel 3.3.1.2.<br />
101
Abb. 3.89 – Residuum der Dichte ρ für Berechnung der Platte Form A mit Massestromverhältnis M = 1,5 <strong>und</strong><br />
Anstellwinkel α = 0°, Skalierung lautet residuals ≡ log Residuum<br />
Abb. 3.90 – Residuum der Dichte ρ für Berechnung der Platte Form A mit Massestromverhältnis M = 1,5 <strong>und</strong><br />
Anstellwinkel α = 30°, Skalierung lautet residuals ≡ log Residuum<br />
102
3.3.2.7 Ergebnisse<br />
In der Abb. 3.91 <strong>und</strong> der Abb. 3.92 ist die Verteilung der adiabaten Wandtemperatur T W über<br />
die Lauflänge x von 130 mm aufgetragen. Um den Bereich in der Nähe der Ausblaseöffnung<br />
näher untersuchen zu können, ist für eine Lauflänge x von 55 mm die Verteilung der<br />
adiabaten Wandtemperaturen entsprechend ihrer Ausblaserate M <strong>und</strong> Anstellwinkel α<br />
geordnet aufgeführt., Abb. 3.93 bis Abb. 3.96. Mit der Darstellung der adiabaten<br />
Wandtemperatur T W in den benannten Abb. ist jedoch noch keine Aussage über die Art des<br />
Strömungsfeldes um die Platte sowie die Form <strong>und</strong> die Ausprägung der Mischprozesse von<br />
Hauptstrom <strong>und</strong> Kühlluftstrom möglich. Hierzu ziehen wir die Ergebnisse der Berechnungen<br />
mit Ausblaseraten M von 0,7 bis 1,4 heran, aus denen der Verlauf der Stromlinien des<br />
Hauptstroms um die Platte <strong>und</strong> des Kühlluftstroms aus der Ausblaseöffnung ersichtlich wird.<br />
In CFV ist es nicht möglich, eigene Ergebnisgrößen wie die adiabate Filmkühleffektivität η zu<br />
definieren. Die notwendige Nachbearbeitung der Ergebnisse ist aufwendig <strong>und</strong> ungenau.<br />
Für die Berechnungen der Platten mit Ausblasung <strong>und</strong> Anstellung werden im Vergleich mit<br />
den Ergebnissen in Kapitel 3.3.1 kleinere Ablösezonen bei gleichem Anstellwinkel α <strong>und</strong><br />
identischen Hauptstromverhältnissen erfaßt. Die Ursache kann, wie schon am Beispiel der<br />
AGTB-Kaskade geschehen, die ungenügende Diskretisierung der Grenzschicht an der<br />
Nasenzone als auch in die aerodynamische Wechselwirkung zwischen verzögertem bzw.<br />
abgelösten Hauptstrom <strong>und</strong> ausgeblasenen Kühlluftstrom sein.<br />
3.3.2.8 Bewertung<br />
Die Ergebnisse aus den Berechnungen stimmen im wesentlichen mit unseren Erwartungen<br />
überein.<br />
Für sämtliche Ergebnisse gilt, daß sich entsprechend der engen Bohrungsteilung eine<br />
geschlossene Kühlluftschicht infolge der gegenseitigen Beeinflussung der einzelnen<br />
Kühlluftstrahlen stromab von der Ausblaseöffnung bildet. Die Kühlluftschicht ist sehr<br />
homogen <strong>und</strong> gewinnt an Effektivität mit Erhöhung der Ausblaserate M. Die Ausbildung der<br />
Kühlluftschicht wird durch die Anstellung der Platte insofern beeinflußt, daß aufgr<strong>und</strong> der<br />
Verzögerung der Strömung <strong>und</strong> der damit verb<strong>und</strong>enen Schwächung der Grenzschicht<br />
einerseits die niedertemperierte Kühlluftschicht in die Zone um bzw. vor die Ausblaseöffnung<br />
wandert <strong>und</strong> andererseits sich der Wirkungsbereich der Kühlluftschicht in der Fernzone in<br />
Richtung der Plattenlauflänge x ausweitet. Diese Effekte werden besondere für die Fälle der<br />
niedrigen Ausblaseraten M von 0,7 <strong>und</strong> 1,0 festgestellt. Für höhere Ausblaseraten wie M =<br />
2,0 sind sie weniger ausgeprägt.<br />
Für die Ergebnisse der Berechnungen mit der Ausblaserate M = 0,7 gilt, daß der<br />
Kühlluftstrahl die Grenzschicht nicht verläßt <strong>und</strong> in ihr in unmittelbarer Wandnähe<br />
stromabwärts triftet. Die Mischprozesse bleiben schwach. Für die Anstellung der Platte mit α<br />
= 40° erhalten wir stromab fern von der Ausblaseöffnung sogar eine höhere Wandtemperatur<br />
T W als für α = 10°.<br />
Das Ergebnis der Berechnung mit der Ausblaserate M = 0,7 <strong>und</strong> ohne Anstellung ist nur<br />
bedingt verwendbar.<br />
103
Die Einflußzone des Kühlluftstrahls mit ihrer niedrigen Wandtemperatur T W reichen sehr weit<br />
in die Gebiete von der Ausblaseöffnung ab in Richtung des Hauptstroms. Dieses Ergebnis ist<br />
nicht mit den Ergebnissen der Berechnungen mit Anstellwinkeln α von 10° <strong>und</strong> 40°<br />
vergleichbar. Als Ursache für die überzogene Ausprägung der Einflußzonen können wir die<br />
unzulässige Ausdünnung des Wandnetzes identifizieren. Sämtliche nachfolgenden<br />
Berechnungen sind mit dem im Kapitel 3.3.2.5 beschriebenen Netz durchgeführt worden.<br />
Jedoch sind allgemein betrachtet, die Ergebnisse der Berechnungen mit der Ausblaserate M =<br />
0,5 fehlerhaft, da unmittelbar hinter der Ausblaseöffnung kalte Wandzonen mit<br />
Wandtemperaturen T W entstehen, die niedriger sind, als die statische Temperatur T K der am<br />
inlet definierten Randbedingung. Sehr ausgeprägt sind diese kalten Wandzonen für die<br />
Ausblasekonfiguration mit der Ausblaserate M = 0,7 <strong>und</strong> dem Anstellwinkel α = 0°, etwas<br />
kleiner für die Anstellwinkel α von 10° <strong>und</strong> 40°. Die Ursachen für das Entstehen der zu kalten<br />
Wandzonen dürften in der nicht ausreichenden Konvergenz der Berechnungen bzw. in der<br />
eigentlich unangepaßten Verwendung der kompressiblen Berechnungsoption von<br />
FINE/TURBO V3.0 für eine inkompressibles Strömungsproblem liegen.<br />
In den Ergebnissen der Berechnungen mit der Ausblaserate M von 1,0 wird ein weiterer<br />
Effekt mit Veränderung des Anstellwinkels α deutlich. Ist der Kühlluftstrom noch für ein α<br />
von 0° anliegend, so kommt es für einen größeren Anstellwinkel α <strong>und</strong> damit verb<strong>und</strong>enen<br />
Verzögerung des Hauptstroms bzw. Ablösung an der Nasenvorderkante zur Verkleinerung der<br />
durch den Kühlluftstrom unmittelbar gekühlten Zonen <strong>und</strong> zur verstärkten Durchmischung<br />
von Hauptstrom <strong>und</strong> Kühlluftstrom. Es entsteht eine im Vergleich mit dem Ergebnis der<br />
Berechnung ohne Anstellung homogenere Kühlluftschicht. Die Wandkühlung ist für den<br />
Anstellwinkel α = 30° am effektivsten. Für den Fall der Berechnung mit dem Anstellwinkel α<br />
von 30° durchtrennt der Strahl des Kühlluftstroms eine Wirbelzone. Im wandferneren Bereich<br />
erfährt der Kühlluftstrom eine aerodynamische Umlenkung <strong>und</strong> trifft stromabwärts wieder auf<br />
die Wand des umströmten Körpers auf. Die Kühlung der Gebiete, die von der<br />
Ausblaseöffnung weiter entfernt sind, nimmt zu.<br />
Wir müssen annehmen, daß es sich bei dem Teilbereich der Wirbelzone stromab von der<br />
Ausblaseöffnung tatsächlich um ein von der Verzögerung des Hauptstroms herrührendes<br />
Teilgebiet der Ablösung handelt, da die Ergebnisse aus Kapitel 3.3.1 größere Ablösegebiete<br />
für identische Anstellwinkel α anzeigen. Inwieweit der ausgetretene Kühlluftstrom<br />
Totwasserwirbel erzeugt oder eine stabilisierende Wirkung hat, muß Gegenstand numerisch<br />
aufwendigerer Untersuchungen sein.<br />
In den Ergebnissen der Berechnungen der Platten mit Ausblasung werden im Vergleich zu<br />
den Ergebnissen in Kapitel 3.3.1 kleinere Ablösezonen bei gleichem Anstellwinkel α <strong>und</strong><br />
identischen Hauptstromverhältnissen erfaßt. Die Ursache hierfür kann, wie schon am Beispiel<br />
der AGTB-Kaskade festgestellt, an der ungenügenden Diskretisierung der Grenzschicht in der<br />
Nasenzone als auch an einer vermuteten aerodynamischen Wechselwirkung zwischen<br />
verzögertem bzw. abgelösten Hauptstrom <strong>und</strong> ausgeblasenen Kühlluftstrom liegen.<br />
Das Ergebnis der Berechnung mit der Ausblaserate M = 1,2 ohne Anstellwinkel ist äquivalent<br />
mit den bereits beschriebenen Ergebnissen der Berechnungen mit niedrigeren Ausblaseraten.<br />
104
Eine Ausnahme nimmt das Ergebnis der Berechnung mit der Ausblaserate M = 1,2 <strong>und</strong> dem<br />
Anstellwinkel α = 30° ein. Die Analyse der Stromlinien zeigt, daß die Zone der Ablösung bis<br />
über den Bereich der Ausblaseöffnung hinaus sehr mächtig ist. Dieser Sachverhalt schlägt<br />
sich in der Verteilung der Wandtemperatur T W mit der weitgehenden Vermischung von<br />
Hauptstrom <strong>und</strong> Kühlluftstrom wieder.<br />
Da das Ergebnis der Berechnung mit der Ausblaserate M = 1,2 <strong>und</strong> dem Anstellwinkel α =<br />
30° mit Ergebnissen für den gleichen Anstellwinkel α nicht vergleichbar ist, muß es als falsch<br />
gelten.<br />
Die warmen Temperaturzonen des Hufeisenwirbels sind für die Berechnungen mit der<br />
Ausblaserate M = 1,4 stärker als bei Berechnungen mit niedrigeren Ausblaseraten ausgeprägt.<br />
Mit dem Einsetzen der Strömungsablösung verschwinden diese warmen Temperaturzonen<br />
seitlich der Nachlaufzone der Ausblaseöffnung.<br />
Trotz variiertem Anstellwinkel α können wir einer durch die Filmkühlausblasung ausgelöste<br />
Ablösung der Hauptströmung stromab von der Ausblaseöffnung keinem Ergebnis der<br />
Berechnungen eindeutig zuordnen, da in den Fällen der Strömungsablösung im<br />
Nachlaufbereich der Ausblaseöffnung bereits vor der Ausblaseöffnung eine Ablösung der<br />
Hauptströmung aufgr<strong>und</strong> des variierten Anstellwinkel α <strong>und</strong> der hierdurch hervorgerufenen<br />
Strömungsverzögerung auftritt. Wir müssen beachten, daß der Kühlluftstrahl eine Sperrung<br />
der verzögerten Hauptströmung in Wandnähe hervorruft <strong>und</strong> somit selbst zur Entwicklung der<br />
Ablösung vor der Ausblaseöffnung bzw. nach der Ausblaseöffnung beiträgt. Ist die<br />
Ausblaserate M kleiner, so können wir den umgekehrten Effekt durch das Einbringen von<br />
kinetischer Energie in die Grenzschicht erwarten <strong>und</strong> die verzögerte Hauptströmung<br />
stabilisieren. Möglicherweise werden für sehr kleine Ausblaseraten M die Ablösezonen aus<br />
aerodynamischer Sicht positiv beeinflußt, d.h. kleiner. Für den Fall höherer Ausblaseraten M<br />
schießt der Kühlluftstrahl, wie bereits beschrieben, durch den Ablösewirbel <strong>und</strong> kommt<br />
stromabwärts von der Ausblaseöffnung an der Wand zum Anliegen.<br />
Letztendlich halten wir bezüglich der Entwicklung der Position des Temperaturminimums<br />
<strong>und</strong> somit Auftreffpunktes des Kühlluftstrahls auf der Wand fest, daß bei niedrigen<br />
Ausblaseraten von 0,7 bis 1,2 mit der Vergrößerung des Anstellwinkels α sich das<br />
Temperaturminimum auf der Wand stromab von der Ausblaseöffnung in Richtung des<br />
Hauptstroms verschiebt.<br />
Für die Ausblaserate M ab 2,0 hingegen nähert sich das Temperaturminimum auf der Wand<br />
mit Vergrößerung des Anstellwinkels α wieder der Ausblaseöffnung. Die Distanz zwischen<br />
Ausblaseöffnung <strong>und</strong> Auftreffpunkt des Kühlluftstrahls verringert sich. Eine Erklärung wäre<br />
mit der Zunahme der Turbulenz <strong>und</strong> somit Wirbelviskosität µ t in der Grenzschicht <strong>und</strong> in den<br />
wandnahen Bereichen der verzögerten bzw. abgelösten Hauptströmung möglich, die den<br />
aerodynamischen Widerstand gegenüber den Kühlluftstrahl erhöht <strong>und</strong> diesen verstärkt<br />
umlenkt.<br />
Um die Ergebnisse der numerischen Simulation zu verbessern, ist eine umfangreichere <strong>und</strong><br />
angepaßte Diskretisierung des physikalischen Rechenraums notwendig. Die Berechnung von<br />
Konfigurationen mit einer weitaus höheren Anzahl von Variationen der Ausblasrate M sowie<br />
des Anstellwinkels α würde die Phänomenologie der Ausblasung weiter erklären helfen.<br />
105
106<br />
Abb. 3.91 – adiabate Wandtemperatur Tw über die Lauflänge x von 130 mm, Maßstab 1,75:1
107<br />
Abb. 3.92 – adiabate Wandtemperatur Tw über die Lauflänge x von 130 mm, Maßstab 1,75:1
Abb. 3.93 – adiabate Wandtemperatur T w über die Lauflänge x von 55 mm <strong>und</strong> M = 0,7; Maßstab 3:1<br />
108
Abb. 3.94 – adiabate Wandtemperatur T w über die Lauflänge x von 55 mm <strong>und</strong> M = 1,0; Maßstab 3:1<br />
109
Abb. 3.95 – adiabate Wandtemperatur T w über die Lauflänge x von 55 mm <strong>und</strong> M = 1,2; Maßstab 3:1<br />
110
Abb. 3.96 – adiabate Wandtemperatur T w über die Lauflänge x von 55 mm <strong>und</strong> M = 1,4; Maßstab 3:1<br />
111
Abb. 3.97 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 0,7 <strong>und</strong> α = 0°<br />
Abb. 3.98 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 0,7 <strong>und</strong> α = 10°<br />
112
Abb. 3.99 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 0,7 <strong>und</strong> α = 30°1<br />
Abb. 3.100 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 0,7 <strong>und</strong> α = 40°<br />
113
Abb. 3.101 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 1,0 <strong>und</strong> α = 0°<br />
Abb. 3.102 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 1,0 <strong>und</strong> α = 10°<br />
114
Abb. 3.103 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 1,0 <strong>und</strong> α = 30°<br />
Abb. 3.104 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 1,2 <strong>und</strong> α = 0°<br />
115
Abb. 3.105 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 1,4 <strong>und</strong> α = 0°<br />
Abb. 3.106 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 1,4 <strong>und</strong> α = 10°<br />
116
Abb. 3.107–Stromlinien um Platte Form A mit M = 1,4 <strong>und</strong> α = 20°<br />
Abb. 3.108 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 1,4 <strong>und</strong> α =40°<br />
117
4 BEWERTUNG VON FINE/TURBO V3.0<br />
Im Rahmen der Diplomarbeit wird die Eignung von FINE/TURBO V3.0 für den Einsatz zur<br />
Berechnung der Filmkühlung in Gebieten mit verzögerter Hauptströmung <strong>und</strong><br />
Strömungsablösung untersucht. Als signifikanter Nachteil des vorliegenden numerischen<br />
Strömungslösers ist in diesem Zusammenhang das Nichtbeherrschen der CHT-Technik, mit<br />
der wir in der Lage wären, Wärmeströme in festen Körpern durch Kopplung der<br />
Thermodynamik der Strömung zu erfassen. Es ist zu hoffen, daß NUMECA in Zukunft<br />
Anstrengungen unternehmen wird, die CHT-Technik in FINE/TURBO einer höheren Version<br />
zu implementieren. Mit dieser Version könnten wir weitaus genauere Ergebnisse bei der<br />
Berechnung moderner Filmkühlkonfigurationen erwarten<br />
FINE/TURBO V3.0 zeigt bei der Berechnung inkompressibler Strömungsfelder noch<br />
Schwächen, insbesondere bei der Berechnung der Kanalströmung in Kapitel 3.1 <strong>und</strong> Platte<br />
Form A mit Ausblasung.<br />
Abschließend können wir jedoch festhalten, daß FINE/TURBO V3.0 ein bedienerfre<strong>und</strong>liches,<br />
universell einsetzbares <strong>und</strong> mächtiges Werkzeug ist, um Strömungen zu<br />
berechnen <strong>und</strong> die so gewonnenen Ergebnisse für die Vorauslegung von Modellen bzw.<br />
technischer Systeme, die insbesondere im Turbomaschinenbau eingesetzt werden.<br />
4.1 Anforderungen an die Hardware<br />
FINE/TURBO V3.0 ist auf sämtlichen UNIX-Plattformen mit Ausnahme von LINUX<br />
lauffähig. Es wird ein Arbeitsspeicher von mindestens 64 Mbyte dynamischen RAM<br />
vorausgesetzt. Für einen Knotenpunkt müssen wir bei der Berechnung der turbulenten Navier-<br />
Stokes-Gleichungen unter kompressiblen Strömungsbedingungen absolut 2000 Byte zu<br />
Verfügung stellen.<br />
FINE/TURBO V3.0 ist ein Einknotenlöser, paralleles Rechnen von Mehrblöcken ist nicht<br />
möglich. Konkurrenzprodukte hingegen, wie Fluent <strong>und</strong> Megacads sehen paralleles Rechnen<br />
in Netzwerken vor. In Zukunft sollte auf paralleles Rechnen ein besonderer Augenmerk gelegt<br />
werden, da sich insbesondere aufwendige <strong>und</strong> hochauflösende Mehrblocknetze mit parallelem<br />
Rechnen in vertretbar kurzer Zeit realisieren lassen. Als vertretbare Rechenzeit für ein<br />
konvergiertes Ergebnis sehen wir maximal 24 h an.<br />
So wäre die Berechnung einer Turbinenkaskade mit einem Rechennetz von über 1 Million<br />
Netzpunkten, einem dynamischen RAM von ≈ 2 Gbyte <strong>und</strong> einer angenommen hohen CPU-<br />
Leistung von über 500 Mhz innerhalb von ca. 48 h zu bewältigen.<br />
Für die Bildverarbeitung ist mindestens X11 window system release 4 im open GL standard<br />
erforderlich.<br />
Die Konfiguration der verwendeten O2 SGI ist für Berechnungen mit geringen bis mittleren<br />
Ansprüchen ausreichend. Die Grenzen beim Arbeiten mit der O2 SGI werden bei > 180000<br />
Netzknoten <strong>und</strong> einer geringen Taktfrequenz der CPU von 180Mhz gesetzt.<br />
Der in dieser Arbeit verwendete Rechner war eine O2 Silicon Graphics Workstation –SGImit<br />
einem überzeugend arbeitendem MVP unit 0 version 1.3 Graphiksystems.<br />
118
Video: MVP unit 0 version 1.3<br />
AV: AV1 Card version 1, O2Cam type 1 version 0 connected.<br />
FLASH PROM version 4.3<br />
On-board serial ports: 2<br />
On-board EPP/ECP parallel port<br />
1 180 MHZ IP32 Processor<br />
FPU: MIPS R5000 Floating Point Coprocessor Revision: 1.0<br />
CPU: MIPS R5000 Processor Chip Revision: 2.1<br />
Data cache size: 32 Kbytes<br />
Instruction cache size: 32 Kbytes<br />
Secondary unified instruction/data cache size: 512 Kbytes on Processor 0<br />
Main memory size: 192 Mbytes<br />
Iris Audio Processor: version A3 revision 0<br />
Integral Ethernet: ec0, version 1<br />
CDROM: unit 4 on SCSI controller 0<br />
Disk drive: unit 1 on SCSI controller 0<br />
CRM graphics installed<br />
Integral SCSI controller 1: Version ADAPTEC 7880<br />
Integral SCSI controller 0: Version ADAPTEC 7880<br />
Vice: TRE<br />
4.2 Fehler im numerischen Strömungslöser<br />
Während der Arbeit mit FINE/TURBO V3.0 treten noch eine Reihe von Problemen auf, deren<br />
Ursache in der noch fehlerbehafteten Programmierung des numerischen Strömungslösers<br />
liegt. Des weiteren leiten sich aus der Arbeit mit FINE/TURBO V3.0 einige<br />
Verbesserungswünsche ab, die sich auf die Form <strong>und</strong> die Art im Bedienalgorithmus beziehen.<br />
IGG V2.6<br />
• Für den Aufbau der Geometrie sind als Positionsangaben nur absolute<br />
Koordinatenangaben zugelassen, relative Koordinatenangaben würden die Bedienung<br />
vereinfachen.<br />
• Der Netzgenerator verfügt über einen weitaus geringeren Bedienkomfort als einfache<br />
CAD-Systeme, es fehlen logische Funktionen.<br />
• Die Schnittstelle für CAD-Daten ist unzureichend. In der vorliegenden Version ist ein<br />
Datenaustausch nur über IGES möglich, Schnittstellen für weitere CAD-Standards wären<br />
wünschenswert<br />
• Problematisch ist zeitweise das Laden von IGES-Daten sowie IGG-eigenen .dat Daten in<br />
ein neuangelegtes IGG-Projekt, die Geometrieelemente werden nicht korrekt<br />
wiedergegeben. Das Problem verschwindet, wenn ein intaktes Netz in IGG geladen <strong>und</strong><br />
geschlossen wurde <strong>und</strong> erst im Anschluß das Laden der betreffenden Geometriedaten<br />
erfolgt.<br />
• Werden innerhalb des Projektes Geometrieelemente kopiert, so sind diese nicht immer<br />
korrekt dargestellt. Dies trifft insbesondere für Kreisbögen sowie NURBS zu.<br />
119
FINE/TURBO V3.0<br />
• Die Nutzung des full multi grid Modus ist nur der Berechnung der Euler-Gleichungen<br />
sowie der turbulenten Navier-Stokes-Gleichungen mit dem Baldwin-Lomax-Modells<br />
vorbehalten. Die Anwendung des full multi grid Modus sollte in Zukunft auch für die<br />
Berechnung der turbulenten Navier-Stokes-Gleichungen mit k-ε Modelle möglich sein.<br />
• Es treten Probleme beim Schalten zwischen den Bedienmoden normal <strong>und</strong> expert auf,<br />
einige Eingabeoptionen im expert Modus werden nicht dargestellt, z.B. unter dem<br />
Menüpunkt general physics wird die Auswahl von Turbulenzmodellen unterdrückt.<br />
Typisch sind in diesem Zusammenhang Fehlermeldungen mit der Ausgabe von Fortran 77<br />
Quelltext im Consolen-Fenster der UNIX Umgebung.<br />
• Die Anzeige für den Menüpunkt computational parameters ist zeitweise gestört. Abhilfe<br />
kann mittels Veränderung des Bildauschnittes innerhalb der FINE/TURBO<br />
Bedienoberfläche geschaffen werden.<br />
• Bisher konnten keine Berechnungen der turbulenten Navier-Stokes-Gleichungen mit dem<br />
Zweigleichungsmodell k-ε Modell für low reynolds <strong>und</strong> high reynolds erfolgen, die<br />
Modelle funktionieren offensichtlich nicht.<br />
• Es existieren keine Schnittstellen für selbst definierte Turbulenzmodelle, es ist lediglich<br />
die Definition der Dämpfungsfunktion f µ sowie C µ , C ε1 , C ε2 , σ k , <strong>und</strong> σ ε möglich, NUMECA<br />
[30].<br />
• Für das Rechnen mit dem k-ε Modell ist eine Ausgabe der Vektorfelder für v xyz nur<br />
möglich, wenn auf mindestens ein Skalarfeld der wählbaren Geschwindigkeitskomponenten<br />
v x , v y <strong>und</strong> v z im Menüpunkt computational variables verzichtet wird.<br />
• Berechnungen mit external bo<strong>und</strong>eries sind problematisch, denn wenn im Menüpunkt<br />
initial solutions vorzugebene Geschwindigkeits- bzw. Temperaturrandbedingungen zu<br />
stark mit den Parametern der betreffenden external bo<strong>und</strong>eries differieren, werden<br />
Randbedingungen während der Rechung falsch gesetzt.<br />
• Inkompressible Berechnungen sind für external flow Bedingungen nicht möglich, dies<br />
führt zur unnötig schlechten Konvergenzwerten <strong>und</strong> langen Konvergenzzeiten.<br />
• Der zu Beginn der Rechnung per Meldung angeforderte <strong>und</strong> dann freigegebene<br />
Arbeitsspeicherbedarf ist nicht ausreichend, der wahre benötigte Speicherbedarf ist<br />
weitaus höher. FINE/TURBO V3.0 warnt nicht vor dem Auslagern von<br />
Arbeitsspeicherinhalten auf die Festplatte, welches sehr viel CPU-Leistung benötigt <strong>und</strong><br />
so die Berechnung bedeutend hemmt –shifting.<br />
• Es fehlen Algorithmen für das automatische Anpassen des normierten Wandabstand y + für<br />
verschiedene Turbulenzmodelle.<br />
• Für die Auswertung der Daten ist keine Definition von eigenen Ergebnisgrößen möglich,<br />
wie z.B Impulsverhältnis oder Filmkühleffektivität.<br />
• Das willkürliche Herausschreiben von Ergebnissdateien ist nicht möglich, z.B. beim<br />
vorzeitigen Abbrechen – kill – oder beim geordneten Stoppen der Rechnung – suspend - ,<br />
für den letztgenannten Fall wird nur eine .aout ASCI-Datei erzeugt, die den Neustart der<br />
Rechnung zuläßt.<br />
120
• Das geordnete Stoppen der Rechnung im full multi grid Modus ist erst im feinsten Netz<br />
möglich. Somit kann die CFL-Zahl nicht für unterschiedliche Netzweiten ∆x beim<br />
Rechnen auf verschiedenen Netzen im full multi grid Modus verändert werden. Von<br />
Vorteil wäre das vorzeitige geordnet Stoppen <strong>und</strong> Neustarten mit veränderter<br />
Parametrisierung der Rechnung schon auf gröberen Netzen.<br />
• Die zu berechnenden Werte werden im Menüpunkt computational parameters festgelegt.<br />
Denkbar wäre es aber, sämtliche Ergebnisdaten herauszuschreiben, <strong>und</strong> erst im CFV eine<br />
Auswertung der Ergebnisse vorzunehmen, um eigene Ergebnisgrößen definieren zu<br />
können. Dies wäre auch in Hinblick auf den heute zur Verfügung stehenden Speicherplatz<br />
auf Festplatten vertretbar.<br />
• Paralleles Multiblockrechnen wird im vorliegenden FINE/TURBO V3.0 nicht angeboten,<br />
was den Umfang der möglicher Netzkonfigrationen einschränkt sowie die Anforderungen<br />
an das Rechnereinzelsystem erhöhen.<br />
CFV<br />
• Für die Erzeugung repräsentativer Darstellungen fehlen logische Funktionen wie<br />
Spiegelungen an Symmetrierandbedingungen.<br />
• Während des Arbeitens mit CFV treten zeitweise Probleme mit der Bildschirmdarstellung<br />
auf. Die Darstellung des Hintergr<strong>und</strong>s erfolgt dann in Fremdfarben. Es wurde ein<br />
ungenügende refresh Funktionalität der Arbeitsoberfläche festgestellt.<br />
5 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK<br />
Mit der vorliegenden Diplomarbeit soll an die Arbeit von Boehme [10] über den numerischen<br />
Ansatz angeknüpft werden. Dies scheitert, da das von Boehme [10] untersuchte instationäre<br />
Strömungsfeld in der Meßkammer unter den im Experiment vorgegebenen Bedingungen<br />
numerisch nicht simuliert werden kann.<br />
Als numerischer Strömungslöser wird FINE/TURBO V3.0 von NUMECA eingesetzt. Wir<br />
überprüfen das Programm auf seine Eignung zur Untersuchung der Filmkühlung in Gebieten<br />
mit verzögerter Hauptströmung <strong>und</strong> Strömungsablösung.<br />
Hierzu berechnen wir die skalierte AGTB-Kaskade ohne Filmkühlausblasekonfigurationen<br />
mit verschiedenen Turbulenzmodellen. Die Ergebnisse zeigen, daß die Berechnungen des<br />
kompressiblen Strömungsfeldes mit FINE/TURBO V3.0 gute Ergebnisse liefern.<br />
Zur Untersuchung der Filmkühlung in Gebieten mit verzögerter Hauptströmung <strong>und</strong><br />
Strömungsablösung werden von Leschik [25] hochauflösende Messungen an Plattenmodellen<br />
mit einem remissionsfotometrischen Meßverfahren nach Kottke [24] <strong>und</strong> Friedrichs [15] zur<br />
Bestimmung der adiabaten Filmkühleffektivität η durchgeführt. Um die Form <strong>und</strong> den<br />
Umfang der Gebiete mit verzögerter Hauptströmung bzw. mit Ablösung bestimmen zu<br />
können, wird das Strömungsfeld um die von Leschik [25] untersuchten Platten bei variierten<br />
Anstellwinkeln α berechnet.<br />
121
Anschließend simulieren wir die Ausblasung des Kühlluftstroms in Gebieten des verzögerten<br />
bzw. abgelösten Hauptstroms mit variierten Anstellwinkeln α <strong>und</strong> Ausblaseraten M mit<br />
FINE/TURBO V3.0.<br />
Die Ergebnisse dieser Berechnungen decken eine Reihe von Problemen auf, die sich sowohl<br />
aus dem Verständnis der Strömungsvorgänge bei der Ausblasung in Gebiete mit verzögerter<br />
Hauptströmung <strong>und</strong> Strömungsablösung <strong>und</strong> der sich hieraus ableitenden Auswahl der<br />
Turbulenzmodelle, den noch nicht genügenden Modellvariationen sowie Schwierigkeiten bei<br />
der Beherrschung des numerischen Strömungslösers ergeben. Einen großen Einfluß auf die<br />
Qualität der berechneten Ergebnisse hat die Art <strong>und</strong> Ausführung der Diskretisierung des<br />
physikalischen Rechenraums <strong>und</strong> der sich hieraus ableitenden Güte des Rechennetzes.<br />
Der numerische Strömungslöser FINE/TURBO wird auch in Zukunft am <strong>Lehrstuhl</strong><br />
<strong>Verbrennungskraftmaschinen</strong> & <strong>Flugantriebe</strong> an der Brandenburgischen Technischen<br />
Universität eingesetzt werden, jedoch in einer verbesserten Version. Die O2 Workstation<br />
bietet sich aufgr<strong>und</strong> ihrer schwachen performance nicht für weitere numerische Simulationen<br />
auf dem in der vorliegenden Arbeit behandelten komplexen Forschungsgebiet an. Sie wird<br />
durch einen leistungsfähigeren Mikrorechner ersetzt werden.<br />
Die numerische Simulation gewinnt neben der experimentellen Arbeit weiter an Bedeutung.<br />
Mit ihr ist es möglich, Modelle für experimentelle Untersuchungen zu dimensionieren bzw.<br />
später die berechneten Ergebnisse mit den Meßergebnisse zu verifizieren.<br />
Die ersten Berechnungen an Platten zur Untersuchung der Filmkühlung in Gebieten mit<br />
verzögerter Hauptströmung <strong>und</strong> Strömungsablösung bestätigen die prinzipielle Eignung des<br />
gewählten Modells <strong>und</strong> zeigen mögliche Schwachstellen auf.<br />
Für das Forschungsthema „Filmkühlung in Gebieten mit verzögerter Hauptströmung <strong>und</strong><br />
Strömungsablösung“ von Dückershoff [14] ergibt sich nach der Auswertung der numerischen<br />
Ergebnisse aus Kapitel 3.3.2 sowie nach Boehme [10] nicht nur die Anforderung des näheren<br />
Verstehens der Mischprozesse von Hauptstrom <strong>und</strong> Kühlluftstrom, sondern auch der aktiven<br />
Beeinflussung der wandnahen Strömungsvorgänge, um z.B. die bereits im Pumpen- <strong>und</strong><br />
Verdichterbau eingesetzte Ausblasung in verzögerte Gebiete zur Stabilisierung der<br />
Wandgrenzschicht <strong>und</strong> zur Vorbeugung von Ablösungen auf die Bedingungen der Turbine zu<br />
übertragen.<br />
Das Ergebnis dieser Untersuchungen wäre die weitere Verbesserung des aerodynamischen<br />
Stufenwirkungsgrades der Turbine bei gleichzeitig sichergestellter effektiver Filmkühlung der<br />
Turbinenschaufeln für höhere Turbineneintrittstemperaturen.<br />
Der Gesamtwirkungsgrad von Flugtriebwerken ließe sich auf diesem Wege bedeutend<br />
erhöhen.<br />
122
V. LITERATUR<br />
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Studienarbeit, <strong>Lehrstuhl</strong> Thermische Maschinen, BTU Cottbus, Cottbus 1998<br />
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123
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125