Berechnungsverfahren für Stromoberschwingungen bei dreipha ...

a)
1
2 Berechnung der Verzerrungsströme
im Zeitbereich
b)
u
U
i
I
Bild 2 Ideale Zeitverläufe der gepulsten und gefilterten
Ausgangsgrößen (simuliert) a) u Umr beim
Spannungs- und b) i Umr beim Stromzwischenkreisumrichter
In Bild 2 sind die idealen Zeitverläufe der jeweils auf
die Zwischenkreisgröße normierten gepulsten Ausgangsgrößen
u umr und i umr , siehe auch Bild 1, für eine
Sinus-Dreieck-PWM (M = 1) und eine Pulsrate von p
= 20 (Verhältnis von Schaltfrequenz zu Grundschwingungsfrequenz)
über zwei Grundschwingungsperioden
aus der Simulation wiedergegeben.
Die jeweils durch ein PT1-Glied geglätteten Größen
geben einen Eindruck vom Verlauf des resultierenden
Stroms i N beim U-Umrichter und der Kondensatorspannung
u C beim I-Umrichter ohne Berücksichtigung
der Quellenspannungen u N .
Der Zeitverlauf der gepulsten Ausgangsgrößen eines
Umrichters lässt sich nur umständlich durch eine Fourierreihendarstellung
ausdrücken [1]. Für relativ hohe
Raten von Pulsfrequenz zu Grundschwingungsausgangsfrequenz
p = f s /f N bzw. die Annahme von Natural
Sampling kann allerdings eine quasikontinuierliche
Betrachtung angesetzt werden, welche es ermöglicht,
eine relativ einfache Effektivwertberechnung für
den Verzerrungsanteil durchzuführen. Daraus resultiert
nach Gleichung (1) eine entsprechende einheitliche
Formel für den Klirrfaktor k der Ausgangsspannung
beim U-Umrichter sowie des gepulsten Ausgangsstroms
beim I-Umrichter [2]. Man beachte dabei
die einheitliche Definition des Modulationsgrades M.
k =
Umr
d
Umr
d
u
U
⎛
⎜e
⎝
i
I
Umr
d
Umr
t
−
τ
d
⎛
⎜e
⎝
t
−
τ
π
1−
M
4
0
-1
⎞
−1⎟
⎠ 0 2π 4π
ωt
1
0
-1
⎞
−1⎟
⎠ 0 2π 4π
ωt
mit M
*
uˆ
N
=
U
d
3 iˆ
=
I
*
N
d
= 0...1
(1)
2.1 Der Pulsstromrichter mit Spannungszwischenkreis
Die aus [1], [3]-[5] bekannten Formeln zur Berechnung
des Ausgangs-Verzerrungsstroms beim U-
Umrichter gehen von einem überwiegend induktiven
Einfluss in der Drehstromlast bzw. im Netzfilter aus.
Auch hier ist die Annahme einer hohen Schaltfrequenz
entscheidend, so dass der Einfluss der ohmschen
Lastanteile auf den Stromverlauf während einer
Schaltperiode vernachlässigt werden kann. Dies bedeutet,
dass die abschnittsweisen Exponentialverläufe
des Stroms bei der Effektivwertberechnung des Verzerrungsstroms
durch Geradenverläufe angenähert
werden können.
Bei dieser Vereinfachung verliert man allerdings die
Information über die Amplitude der Grundschwingung,
so dass keine Klirrfaktorberechnung mehr
möglich ist. Aus der Literatur sind entsprechende
Ausdrücke des effektiven Verzerrungsstroms
OS Ĩ N = f(M) für gängige Modulationsfunktionen, siehe
Bild 3, kombiniert mit einem Dreieckträger (symmetrische
Aufteilung der Ventilansteuerungen über eine
Pulsperiode) bekannt. Die Gleichungen (2)-(6) können
der Reihenfolge nach den Modulationsfunktionen
in Bild 3 (Mod 1 - 5) zugeordnet werden.
1
0
M(ωt)
-1
0
ωt
1
0
M(ωt)
-1
0
ωt
Mod 1
π
Mod 3
π
1
0
2π
2π
M(ωt)
-1
0
ωt
Bild 3 Gängige Modulationsfunktionen jeweils
bei einem Modulationsgrad von M U = 1/√3
1
0
M(ωt)
-1
0
ωt
1
0
M(ωt)
-1
0
ωt
Mod 5
π
2π
Mod 2
π
Mod 4
π
2π
2π

OS
~
I
~
I
N , Mod1
OS
N , Mod 2
OS
~
I
~
I
N , Mod 3
OS
N , Mod 4
~
I
OS
N , Mod 5
U M
d
=
f L
s
f
U
1 ⎛
⋅
⎜1−
384 ⎝
8
⋅ M
3π
U
3
+ ⋅ M
4
U
2 ⎞
⎟
⎠
U
⎛
⎛ ⎞ ⎞
=
d
M
U
1 ⎜ 8 9
⎜
3 3
2
⋅ 1 − ⋅ M + 1 − ⎟ ⋅ ⎟
U
M
U
f L 384 ⎜
⎟
⎝ 3 8 ⎝ 4
s f
π
π ⎠ ⎠
U
d
M
=
f L
s
U
d
M
=
f L
s
f
f
U
U
U M
d
=
f L
s
f
U
1 ⎛
⎜ 8 + 15 3
⋅ 4 − ⋅ M
U
384 ⎜
⎝ 3π
1
384
1
384
⎛
⋅⎜4
−
⎝
⎛
⋅⎜4
−
⎝
35
⋅ M
3π
U
35
⋅ M
3π
U
9 ⎛ ⎞
⎜
3
+ 2 + ⎟ ⋅ M
8
⎝ 2π
⎠
9 ⎛ 9 ⎞
+
⎜2
+
⎟ ⋅ M
8 ⎝ 4 3π
⎠
9 ⎛ 9 ⎞
+
⎜2
+
⎟ ⋅ M
8 ⎝ 4 3π
⎠
U
U
2
U
2
(2)
(3)
⎞
⎟
⎟
⎠
(4)
⎞
⎟ (5)
⎠
2
⎞
⎟ (6)
⎠
Bei diesen Formeln ist wiederum die gängige Definition
des Modulationsgrades M U = 2û * /U d = 0...2/√3
[1] zugrunde gelegt worden, was für die Sinus-
Dreieck-Modulation bekanntlich nur beschränkt gilt.
Es hängt von der jeweiligen Modulationsfunktion in
Kombination mit dem Phasenwinkel des entsprechenden
Betriebspunktes ab, wie hoch speziell die Schaltverluste
in den Leistungshalbleitern ausfallen. Bei den
diskontinuierlichen Modulationsfunktionen (hier
Mod 3 – Mod 5) nimmt man bei geringeren Schaltverlusten
auch einen höheren Verzerrungsstrom als
beispielsweise bei der Raumzeigermodulation mit
gleicher Aufteilung der Nullraumzeiger über eine
PWM-Periode (Mod 2) in Kauf. Eine Zuordnung unterschiedlicher
Raumzeigermodulations-Verfahren
zum entsprechenden Unterschwingungsverfahren
über die jeweilig unterschiedliche Ausnutzung der
Nullraumzeiger ist in [1] und [6] beschrieben. Die
Modulationsfunktionen aus Bild 3 unterscheiden sich
nur durch unterschiedliche Anteile von Harmonischen
der Ordnungszahl drei und Vielfache davon.
0.04
0.02
f L
OS s f
I ~ N
U
d
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
M U
Mod 1
Mod 3 Mod 4Mod 5
Mod 2
Bild 4 Normierte Verzerrungsströme über dem
Modulationsgrad M U
Demnach besteht also ein Zusammenhang zwischen
dem Freiheitsgrad der Nullraumzeigeraufteilung beim
Raumzeiger- und dem der Addition von Harmonischen
der Ordnungszahl drei und deren Vielfachen
beim Unterschwingungs-PWM-Verfahren wie in [1],
[6] beschrieben. In Bild 4 sind die Funktionen des
Verzerrungsstroms OS Ĩ N = f(M) nochmals graphisch
über dem Modulationsgrad M U aufgetragen.
2.2 Pulsstromrichter mit Stromzwischenkreis
Der Klirrfaktor der gepulsten Ausgangsgrößen kann
für beide Umrichterarten - wie im vorigen Abschnitt
beschrieben - gleich angegeben werden. Prinzipiell
kann nun eine Berechnung des Verzerrungsanteils der
Filterkondensator-Spannung beim I-Umrichter analog
zu der Berechnung des Verzerrungsstroms beim U-
Umrichter durchgeführt werden mit der Annahme,
dass das Lastverhalten in den betrachteten Zeitbereichen
einer PWM-Periode vom kapazitiven Anteil des
Filters dominiert wird. Wird anschließend diese so
berechnete Kondensatorspannung als eingeprägt angesehen,
so wirkt sie ähnlich wie beim U-Umrichter
auf eine vorwiegend induktive Last, es wird also dieser
Zeitverlauf ein zweites mal integriert, um eine
Näherungsformel für den Verzerrungsstrom zu erhalten.
Gleichung (7) stellt die damit angenommene
Übertragungsfunktion der eigentlichen gegenüber und
gibt damit den so eingeführten Fehler in Abhängigkeit
der Frequenz der jeweiligen Oberschwingung gleichzeitig
indirekt an. Es ist hieraus auch zu ersehen, dass
dieses Berechnungsverfahren nur für hohe quadratische
Verhältnisse von Schaltfrequenz zu Resonanzfrequenz
(f s /f 0 ) 2 >> 1 befriedigende Ergebnisse liefern
kann.
i
i
N
Umr
1
=
2
1−ω
L C
für
f
f
1
≈
2
ω L C
⎛ f
⎜
⎝ f
2
s
( 2π
⋅ f ) L C = ⎜ ⎟ >> 1
s
f
f
f
f
0
⎞
⎟
⎠
2
(7)
Die Leistungshalbleiter-Verluste lassen sich beim I-
Umrichter nur in Bezug auf die Schaltverluste beeinflussen.
Und auch dies ist nur möglich, wenn die geschalteten
Basisraumzeiger nicht gerade eine gleiche
Anzahl von Schaltphasen während einer PWM-
Periode zugewiesen bekommen [7].
In Tabelle I ist mit Mod 1 die einfachste PWM-
Möglichkeit angegeben. Die Verfahren Mod 2 – 4 repräsentieren
drei zusätzliche Möglichkeiten der
Raumzeiger-Verteilung über eine PWM-Periode,
wenn eine zusätzliche Schalthandlung eingeführt
wird.

Tabelle I
I-Umrichter PWM-Verfahren
Bezeichnung Raumzeigerreihenfolge
Mod 1 1 - 2 - 0
Mod 2 1 - 2 - 1 - 0
Mod 3 2 - 1 - 2 - 0
Mod 4 1 - 0 - 2 - 0
Die Ziffern 1 und 2 kennzeichnen den jeweils ersten
und zweiten Basisraumaumzeiger eines von diesen
aufgespannten 60°-Sektors in der komplexen Raumzeigerebene.
Die Ziffer 0 steht für irgendeinen der
drei möglichen Nullraumzeiger.
Bei symmetrischer Verteilung der geschalteten Basisraumzeiger-Anteile
ergeben sich für die in Tabelle I
gezeigten PWM-Varianten unter der Voraussetzung
(7) die Gleichungen (8) – (10) für den jeweiligen Verzerrungsstrom
beim I-Umrichter [2]. Es sind in diesem
Fall Funktionen abhängig vom Modulationsgrad
M I = î * /I d = 0...1. Dabei ist (8) der Modulationsart
Mod 1 zuzuordnen. Mod 2 und 3 besitzen ein gleiches
Verhalten bezüglich des Verzerrungsstroms nach
Gleichung (9) und Mod 4 erzeugt einen Verzerrungsstrom
gemäß (10). Das zugehörige Diagramm ist in
Bild 5 dargestellt.
~
I
OS
N , Mod1
OS
~
I
~
I
N , Mod 2 / 3
OS
N , Mod 4
I ⋅ M
d
=
C L ⋅
f
f
f
I
2
f
s
f
⋅
I
d
⋅ M
I
=
C L ⋅ f
I ⋅ M
d I
=
C L ⋅ f
f
f
2
s
2
s
⋅
1
288
⋅
(
0.2 − 0.75M
2.56
+ M
π
1
36864
(
3
I
25.6 −
2
I
+
− 0.25M
4
I
)
(8)
⎛ 36 3 ⎞
2
− ⎜96
+ ⎟M
I
+
⎝ π ⎠ (9)
430.88 3
+ M −
I
π
⎛ 20.25 3 ⎞
4
− ⎜34
+ ⎟M
)
I
⎝ π ⎠
1 ⎛
⎜
24 3
20.8 − +
18432
⎝ π
⎛ ⎞
⎜
90 3
2
+ − 72⎟M
I
+
⎝ π ⎠
67.84 3
+ M +
I
π
⎛
⎞ ⎞
4
+ ⎜
20.25 3
−17⎟M
⎟
I
⎟
⎝ π ⎠ ⎠
(10)
OS
2
~ L C f
f f s
I
N
I
d
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Bild 5 Normierte Verzerrungsströme über dem
Modulationsgrad M
3 Berechnung der Spektren der
gepulsten Ausgangsgrößen
3.1 Dualitäten zwischen Strom- und
Spannungszwischenkreis-
Umrichtern
M I
Mod 4
Mod 1
Mod 2
Mod 3
Nach [8], [9] ist bereits bekannt, dass die beiden Umrichtertopologien
ineinander überführbar sind. Da die
Graphen der beiden Schaltungen jedoch nicht planar
sind, sind die allgemein bekannten Dualitätsbeziehungen
nicht ohne weiteres anwendbar. Das ändert
sich, wenn man die beiden Schaltungen vereinfacht
als dreiphasige Netzwerke mit den gepulsten Größen
als ideale Strom- bzw. Spannungsquellen modelliert,
siehe Bild 6.
M
u N1
Z 1
Z 2
i N1
i N1
i N2
i N3
1
Z 1
u 10
1
4
2
u 20
u 10
u 30
Z 3
3
5
U d /2
0
U d /2
1
i N2 Z 2 u 20
i N3
Y 2 i 2 =i
M
N2
0 M 0
2
2
Z 3 u 30
Y 3 i 3 =i N3
3
3
i N3
1'
i N31
Y 12
i 12
i i
Dualiäts-
N1
Y N12
31 2' i 31
Stern-Dreieck-
Transformation
Umwandlung
Y 23 i 23
i N23
i N2
Bild 6 Ersatzschaltbilder der beiden Umrichtertopologien
M
3'
Y 1
Y 2
i N1
i N2
i N3
Y 1
1
4
2
Y 3
3
5
i 1 =i N1
I d

Tabelle II
Dualitätsbeziehungen
Topologische Verhältnisse
Knoten
Masche
Parallele Verbindungen Serielle Verbindungen
Dreieckschaltung Sternschaltung
Physikalische Größen
Spannung
Strom
Spannungszeitfläche Stromzeitfläche
Magnetischer Fluß Elektrische Ladung
Quellen
Spannungsquelle Stromquelle
Passive Netzwerkelemente
Widerstand
Leitwert
Kapazität
Induktivität
Es können zwischen diesen beiden Netzwerken nun
die Dualitätsbeziehungen gemäß Tabelle II angewandt
werden, wenn zuvor für eine der beiden Schaltungen
noch eine Stern-Dreieck-Umwandlung vorgenommen
wurde [10]. Dabei sind die in Bild 6 weiss hinterlegten
Netzwerke die beiden Ersatzschaltbilder, die es
aufgrund ihrer Dualität ermöglichen für den U-
Umrichter bereits bekannte PWM-Verfahren und speziell
deren analytische Behandlung nun auch bewusst
auf den I-Umrichter anzuwenden. So ist es bekannt,
dass die gepulsten Spannungen U 10 – U 30 Werte von
±U d /2 annehmen.
Entsprechendes gilt für die Zeitverläufe der Stromquellen
aus dem untersten Netzwerk, Bild 6, mit dem
Unterschied, dass diese nur diskrete Werte von ±I d /2
annehmen. Es gelten also über den Proportionalitätsfaktor
U d /I d gleiche Verhältnisse bezüglich der PWM.
Da also bereits Berechnungsverfahren für die gepulste
Ausgangsspannung des U-Umrichters nach [11]-[15]
bekannt sind, können diese nun auch auf den I-
Umrichter angewandt werden, wobei die gesuchten
Leiterströme natürlich die Differenzen der so ermittelten
jeweiligen Quellenströme in den Knoten 1‘ – 3‘
sind.
Es ist nun entscheidend, eine Verbindung zwischen
den in Tabelle I wiedergegebenen Beschreibungen
von Raumzeigermodulations-Verfahren für den
Stromzwischenkreisumrichter und dem Unterschwingungsverfahren,
wie es allgemein für den Spannungszwischenkreisumrichter
bekannt ist, herzustellen. Es
werden nun für eine von Tabelle I leicht abweichende
Variante von Mod 1 sowie die Verfahren Mod 2 und 3
des I-Umrichters im Bild 7 Modulations- und zugehörige
Trägerfunktionen den sektorabhängigen Basisraumzeigerschaltsequenzen
gegenübergestellt. Mod 4
hingegen ist auf diese Weise mit einer einheitlichen
Trägerfunktion nicht konstruierbar. Wird also nun jeweils
eine Modulationsfunktion kombiniert mit entsprechendem
Träger gemäß Bild 7 für die PWM der
Stromquellen im I-Umrichter-Ersatzschaltbild, Bild 6,
genutzt, so ergeben sich die dazugehörigen Schaltsequenzen
für die Basisraumzeiger wie in der linken
Spalte, Bild 7, zu sehen.
I 3
I 4
I 3
I 4
I 3
I 4
i L2
RZ
0,2,3,0
I 2
RZ
0,2,1,0
I 1
RZ
0,6,1,0
RZ RZ
0,4,5,0 0,6,5,0 I 6
i L3
RZ
0,4,3,0
i L2
I 5
I 2
RZ RZ I 1
0,2,3,2,0 2,1,0,1,2
RZ
RZ
4,3,0,3,4 0,6,1,6,0
RZ RZ
I
0,4,5,4,0 6,5,0,5,6 6
i L3
i L2
I 5
I 2
RZ RZ I 1
2,3,0,3,2 0,2,1,2,0
RZ
RZ
0,4,3,4,0 6,1,0,1,6
RZ RZ
I
4,5,0,5,4 0,6,5,6,0 6
i L3
I 5
Mod 1
i L1
Mod 2
i L1
Mod 3
i L1
-1
0 π 2π
ωt
Bild 7 Modulationsverfahren Mod 1 – 3 als
Raumzeiger- und Unterschwingungs-PWM-
Verfahren für den I-Umrichter
Dabei beziehen sich die zu schaltenden Basisraumzeiger
auf Schaltzustände der Halbleiterventile wie sie
in Bild 1 eingezeichnet sind. Es seien an dieser Stelle
die Eigenschaften hinsichtlich der Halbleiterschaltverluste
bei den einzelnen Modulationsarten, wie sie
in Bild 7 dargestellt sind, erwähnt: Mod 1 erzeugt bei
minimaler Anzahl von Schalthandlungen während
einer PWM-Periode eine vom Phasenwinkel unabhängige
minimal mögliche Schaltverlustleistung. Mod
2 und Mod 3 erzeugen wegen einer zusätzlichen
Schalthandlungen i.a. höhere Schaltverluste, doch ist
es mit diesen Modulationsarten möglich, bei bestimmten
Phasenwinkeln (Winkel zwischen Grundschwingung
des Ausgangsstroms und der Filterkondensatorspannung)
diesen minimalen Wert ebenso zu
erreichen.
So sind letztere Modulationsarten aufgrund des daraus
resultierenden besseren Oberschwingungsverhaltens
in bestimmten Betriebspunkten zu favorisieren.
Dieses Minimum der Schaltverluste liegt für Mod 2
bei ϕ = π/6 sowie für das Verfahren Mod 3 bei ϕ = -
π/6, [7], [16], [17].
1
0
M(ωt)
1
0
M(ωt)
Sägezahnträger
mit steigender
Flanke
-1
0 π 2π
ωt
1
0
M(ωt)
Dreieckträger
-1
0 π 2π
ωt
Dreieckträger

3.2 Die Doppelfourier-Reihe nach
Black
Zunächst von Black [11] als ein Mittel der Nachrichtentechnik
zur Bestimmung des Spektrums von pulsweitenmodulierten
Signalen vorgestellt, wurde dieses
Verfahren von Bowes [12] genutzt, um das Ausgangsspannungs-Spektrum
von U-Umrichtern zu bestimmen.
Dieses Verfahren wird allerdings erst unter der
Annahme einer Unterschwingungs-PWM anwendbar.
Die entscheidenden Merkmale sind hierbei wie oben
erwähnt die Modulations- und die Trägerfunktion.
Allgemein kann die gepulste Größe am Ausgang des
Umrichters als eine Funktion der komplexen Doppelfourier-Koeffizienten
A+jB gemäß Gleichung (11)
geschrieben werden. Dabei beschreibt x das Winkelargument
der Trägerfunktion und y das der Modulationsfunktion.
Dementsprechend ist m die Ordnungszahl
Vielfacher der Schaltfrequenz und n ist die Ordnungszahl
Vielfacher der
Grundschwingungsfrequenz.
A
F(
x,
y)
=
2
+
+
∞
∑
m=
1
∑
[ A cos( ny)
+ B sin( ny)
]
[ A cos( mx)
+ B sin( mx)
]
m0
∞ ±∞
∑∑[ A cos( + ) + sin( + )]
mn
mx ny Bmn
mx ny
m=
1 n=±
1
00
+
∞
n=
1
0n
m0
0n
+
+
(11)
Die Bestimmung der Doppelfourier-Koeffizienten erfolgt
nach einem Schema wie es graphisch in Bild 8
dargestellt ist (hier für Natural Sampling). Die Modulationsfunktionen
sind abhängig vom Träger periodisch
mit 2π über x aufgetragen. In dem Fall von
Bild 8 ist das Problem eines symmetrischen Dreieckträgers
modelliert, so dass die Modulationsfunktion -
hier in der Form M(ωt) = π/2 ((2n+1) 3 cos(ωt)) -
über y = ωt auftritt. Der Bezug zwischen Modulations-
und Trägerfunktion wird über die Gerade y =
x/p hergestellt, wobei p die Pulsrate ω s /ω = f s /f N ist.
Die Schnittstellen dieser Geraden mit den Modulationsfunktionen
markieren eine Flanke in der so auf die
x-Achse projizierten hier noch unipolar gepulsten
Zeitfunktion mit der Amplitude U d bzw. I d - abhängig
von der verwendeten Umrichtertopologie.
y = ωt
3π
2π
π
0
y = x/p
u 10 ,i
0 U d
,I d
12
0 π 2π 3π
x = ω s
t
Bild 8 Schema zur Bestimmung der Doppelfourier-Koeffizienten
Die Fourierkoeffizienten dieser Funktion können mit
dem Doppelintegral (12) bestimmt werden. In der
Funktion ist allerdings offensichtlich noch der
Gleichanteil A 00 enthalten, der allerdings bei der
Zeitfunktion u 10 (ωt) entfällt. An dieser Stelle entspricht
die resultierende Funktion F(x,y) also bereits
den Verläufen der Spannungen u 10 – u 30 bzw. i 12 – i 31 ,
sofern der Gleichanteil A 00 ignoriert wird. Die Ausgangsgrößen
sind allerdings darüber hinaus von den
Gleichtaktkomponenten befreit, d.h. in der Modulationsfunktion
enthaltene Gleichanteile oder Oberschwingungen
mit der Ordnungszahl drei und Vielfachen
davon erscheinen nicht an der Drehstromlast und
müssen demnach ebenso in der zugehörigen Spektraldarstellung
ignoriert werden.
Formel (12) kann nun konkret für das Problem einer
bestimmten Modulationsfunktion in Kombination mit
einer Dreieck- oder Sägezahn-Trägerfunktion (hier:
steigende Flanke) wie in (13) und (14) geschrieben
werden.
A
mn
1
2π
2π
j ( mx+
ny)
mn
+ jBmn
= ∫∫F(
x,
y)
⋅ e dxdy (12)
2
2π
0 0
u
i
10
mn
12
mn
u
i
10
mn
12
U
=
2π
I
=
2π
U
d
=
2
2π
I
d
=
2
2π
π
( 3+
M ( y)
)
2π
2
d ⎜ j ( mx+
ny)
∫ ∫
⎜
e
2
0 π
( 1−M
( y)
)
2
⎛
π
( 3+
M ( y)
)
2π
2
d ⎜ j ( mx+
ny)
∫ ∫
⎜
e
2
0 π
( 1−M
( y)
)
2
∫
∫
⎝
⎛
⎝
2π
π ( 1+
M ( y ))
j ( mx+
ny)
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
∫
∫
0 0
2π
π ( 1+
M ( y ))
j ( mx+
ny)
0
0
e
e
⎞
⎟
dx
⎟
dy
⎠
⎞
⎟
dx
⎟
dy
⎠
⎞
dx⎟dy
⎠
⎞
dx⎟dy
⎠
(13)
(14)
Die hieraus resultierende Doppelfourier-Reihe kann
wie folgt interpretiert werden: Mit dem Index m wird
die Ordnung des Trägerbandes angezeigt mit m >= 0.
Mit dem Index n werden die Vielfachen der Grundschwingungs-Frequenz
aufgezählt, wobei diese von
den ganzzahligen Vielfachen der Schaltfrequenz ausgehend
mit n = -∞...+∞ gezählt werden. Das bedeutet
allerdings auch, dass der laufende Index n für eine
Umwandlung der Doppel- in eine eindimensionale
Fourierreihe in seinem Betrag auf die höchstens halbe
Pulsrate p/2 begrenzt werden muss, wenn eine Seitenbandinterferenz
vernachlässigt werden soll.
3.3 Das Spektrum der Ausgangsspannung
beim U-Umrichter
Es sind also die Vorgehensweisen zur Bestimmung
des Spektrums der gepulsten Ausgangsgrößen bei U-
wie I-System nahezu identisch. Da allerdings der Einfluss
der PWM auf die Verlustmechanismen in den

Leistungshalbleitern sich aufgrund der unterschiedlichen
Topologien unterscheiden, müssen hier Unterschiede
gemacht werden. Dieser Einfluss auf speziell
die Schaltverluste - einen Einfluss auf die Durchlassverluste
gibt es nur beim U-Umrichter und hier ist er
zu vernachlässigen – durch die Ausnutzung der Freiheitsgrade
bei der PWM (Nullraumzeigerausnutzung
bzw. Addition von Harmonischen) rechtfertigt erst die
Vielfalt an Modulationsfunktionen.
Für den U-Umrichter werden hier die Ergebnisse der
Berechnungen für das Ausgangsspektrum von drei
Modulationsfunktionen aus Bild 3, Mod 1 – Mod 3,
gezeigt. Dies sind neben der Cosinus-Funktion die
Raumzeigermodulation mit gleicher Ausnutzung der
Nullraumzeiger sowie eine diskontinuierliche Modulationsfunktion,
welche bei einem Phasenwinkel von
ϕ = 0° ein Minimum an Schaltverlusten verursacht
[18]. Alle Modulationsfunktionen wurden kombiniert
mit einem Dreieck-Träger betrachtet (15)-(17). Die
Berechnungen der Gleichung (12) wurden numerisch
mit MathCad TM nach Gleichung (13) für Natural
Sampling durchgeführt. Die Ergebnisse der Berechnungen
für die Ausgangsspannungsspektren sind in
Bild 9 graphisch dargestellt.
M
Mod
= M cos( ωt)
(15)
1(
ωt)
U
⋅
ν û/U d
Mod 1
f/f s
M U
ν û/U d
Mod 2
f/f s
M
Mod
⎧ 3 ⎛ π ⎞
π
⎪ ⋅ M
U
⋅cos⎜ωt
− ⎟ für 0 < ωt <
⎪ 2 ⎝ 6 ⎠
3
⎪
4π
⎪
und π < ωt
<
⎪
3
⎪3
π 2π
⎪ ⋅ M ⋅ ( )
U
cos ωt
für < ωt
<
2
3 3
2( ωt)
= ⎨
⎪
4π
5π
und < ωt
<
⎪
3 3
⎪
⎪ 3 ⎛ π ⎞ 2π
⋅ M ⋅cos
< <
⎪
⎜ωt
+ ⎟ für ωt
π
U
2 ⎝ 6 ⎠ 3
⎪
⎪
5π
⎪
und < ωt
< 2π
⎩
3
(16)
M U
ν û/U d
Mod 3
f/f s
M
( Mod 3
⎧
⎪1
⎪
⎪
⎪ 3 ⋅ M
⎪
⎪
⎪ 3 ⋅ M
ωt)
= ⎨
⎪−1
⎪
⎪
⎪ 3 ⋅ M
⎪
⎪
⎪
3 ⋅ M
⎪
⎩
U
U
U
U
π π
für − < ωt
<
6 6
⎛ π ⎞ π π
⋅ cos⎜ωt
− ⎟ -1 für < ωt
<
⎝ 6 ⎠ 6 2
⎛ π ⎞ π 5π
⋅ cos⎜ωt
+ ⎟ + 1 für < ωt
< (17)
⎝ 6 ⎠ 2 6
5π
7π
für < ωt
<
6 6
⎛ π ⎞ 7π
3π
⋅ cos⎜ωt
− ⎟ + 1 für < ωt
<
⎝ 6 ⎠ 6 2
⎛ π ⎞ 3π
11π
⋅cos⎜ωt
+ ⎟ −1
für < ωt
<
⎝ 6 ⎠ 2 6
M U
Bild 9 Spektren der U-Umrichter-
Ausgangsspannungen über der Frequenz f und
dem Modulationsgrad M U
Die jeweiligen Oberschwingungsamplituden sind auf
die Zwischenkreisspannung und die aufgetragenen
Frequenzen sind auf die Schaltfrequenz normiert. Die
Berechnungen wurden in diskreten Betriebspunkten
in Schritten von M U = 0,1 bis 1,0 für Mod 1 bzw. bis
1,1 für Mod 2 und 3 über dem Modulationsgrad M U
durchgeführt. Die Grundschwingungen wurden zu
Gunsten einer höheren Auflösung unterdrückt. Ansät-

ze für die analytische Lösung des Doppelintegrals
(13) finden sich in [15]. In dieser Darstellung, für die
die Doppelfourier-Reihe in eine eindimensionale Fourierreihe
umgewandelt wurde, fällt auf, dass die Pulsrate
p so hoch angenommen wird, dass eine erwähnenswerte
Seitenbandinterferenz ausgeschlossen
wird. Erst diese Annahme rechtfertigt einen Abbruch
der Schaltbandreihen, so dass sie nebeneinander dargestellt
werden können. Hier wurde eine Pulsrate von
60 angenommen und ein Abbruch der Schaltbandreihen
bei einer Elementanzahl von 40 vorgenommen.
Es ist zu bemerken, dass die Harmonischen speziell
bei der diskontinuierlichen Modulation Mod 3 im Bereich
des ersten Schaltbandes besonders ausgeprägt
sind. Dies gilt allerdings für alle diskontinuierlichen
Modulationsarten und erklärt deren in Bild 4 gezeigten
unvorteilhaften Verläufe des Verzerrungsstroms
im Teillastbereich.
3.4 Das Spektrum des Ausgangsstroms
beim I-Umrichter
Die Spektren der Quellenströme in der Darstellung
des I-Umrichters, Bild 6, unterstes Ersatzschaltbild,
lassen sich, wie oben erwähnt, wie die der Spannungen
u 10 – u 30 des Spannungszwischenkreisumrichters
bestimmen. Die Leiterströme und folglich deren
Spektren müssen allerdings aus den jeweiligen Differenzen
dieser Quellenströme in den entsprechenden
Knoten 1‘ – 3‘ ermittelt werden. Dies ist exemplarisch
für den Strom i N1 bei der PWM Mod 1 in Gleichung
(18) dargestellt. Allerdings entfällt in diesem
Fall die beim U-Umrichter nötige Bereinigung des so
ermittelten Spektrums um den Gleichtaktanteil, um
das tatsächliche Spektrum der Leiterströme zu bestimmen.
Die so berechneten Spektren sind für die
Modulationsarten Mod 1 sowie Mod 2 und 3 (Abschnitt
3.1) mit den in Bild 7 wiedergegebenen Modulationsfunktionen
berechnet worden. Da Mod 1 allerdings
mit einem Sägezahnträger betrieben wird,
beinhaltet diese Modulationsvariante als Einzige Terme
von der Form (14). Mod 2 und 3 wiederum weisen
nicht nur ein gleiches Verzerrungsstromverhalten wie
in Bild 5, sondern auch ein komplett identisches
Spektrum über dem Modulationsgrad M I auf. In der
Darstellung Bild 10 sind die Ergebnisse graphisch
wiedergegeben, wobei wiederum die Oberschwingungsscheitelwerte
auf den Zwischenkreisstrom I d
und die Frequenz auf die Schaltfrequenz bezogen
sind.
i
mn
N1
=
i
mn
12
−
i
mn
23
I ⎛
d
= ⎜ ∫⎜
∫e
2
2π
⎝ 0 ⎝ 0
⎛ ⎛ 2π
⎞ ⎞
⎛ π
⎜1+
M ⎜ y−
⎟
⎟
2π⎜
⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎠
j ( mx+
− ∫⎜
∫e
0 0
⎜
⎝
2π
π ( 1+
M ( y ))
⎛ j ( mx+
ny)
ny)
⎞ ⎞
⎟ ⎟
dx⎟dy⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎠
⎞
dx⎟dy
−
⎠
(18)
ν î L /I d
Mod 1
f/f c
Bild 10 Spektren der I-Umrichter-Leiterströme
über der Frequenz f und dem Modulationsgrad M I
3.5 Vergleich des Spektrums der Ausgangsgrößen
von U- und I-
Umrichter
Es drängt sich bei dieser Gegenüberstellung ein Vergleich
beider Umrichterarten auf. Als Voraussetzung
dafür müssen natürlich auch gleiche Modulationsarten
für beide Umrichtervarianten angenommen werden.
Bezieht man die daraus resultierenden Spektren für
U- und I-Umrichter nicht auf die Zwischenkreis-
Gleichgröße, sondern auf die Amplitude der Ausgangsgrundschwingung
und führt einen einheitlichen
Modulationsgrad für beide Umrichtertopologien ein
mit M = î * /I d = √3 . û * /U d = 0...1, so erhält man identische
Spektren für beide Umrichterarten bei gleicher
Modulationsstrategie. In diesem Fall wurde die gebräuchlichste
Modulationsfunktion gewählt, nämlich
jene, die sich bei gleicher Ausnutzung der Nullraumzeiger
einstellt (Bild 3, Mod 2). In Bild 11 sind die
neu normierten und für beide Umrichter gültigen
Spektren für einen Sägezahn- sowie in Bild 12 für einen
Dreieckträger dargestellt. Man beachte hier den
gegensätzlichen Verlauf des Modulationsgrades M im
M I
ν î L /I d
Mod 2
Mod 3
f/f s
M I

Vergleich zu den oberen Darstellungen. Zudem sind
die Zeitverläufe der geschalteten Größen für beide
Umrichterarten exemplarisch für jeweils eine Trägerbzw.
Schaltperiode gezeigt. Es fällt auf, dass die
Schaltflanken während einer Trägerperiode beim U-
Umrichter unabhängig von der Symmetrie der Spannungspulse
ihre Anzahl nicht ändern, was vermuten
lässt, dass sich die Halbleiter-Schaltverluste ebenso
wenig ändern. Dies erlaubt eine freie Wahl der Symmetrie,
wobei eine Pulsmusterzentrierung gemäß Bild
12 (entspricht einem symmetrischem Dreieckträger)
aufgrund besseren Oberschwingungsverhaltens zu
bevorzugen ist. Wird allerdings beim I-Umrichter von
der einseitig orientierten PWM-Symmetrie (Sägezahnträger)
abgewichen, so verdoppelt sich die Anzahl
der Schaltflanken der Stromblöcke und somit
auch die Anzahl der Schalthandlungen der Leistungshalbleiter.
4 Zusammenfassung
Es wurden Methoden zur analytischen Evaluierung
der Stromverzerrungen bei Pulsstromrichtern mit
Strom- und Spannungszwischenkreis im Zeit- und
Frequenzbereich aufgezeigt. Die gezeigten Berechnungen
im Zeitbereich haben den Vorteil, dass die Ergebnisse
leicht zu handhaben sind, allerdings werden
sie mit der Ordnung des Ausgangs-Filters aufgrund
der hier gemachten Annahmen immer ungenauer und
geben nur Informationen über gemittelte Werte wie
den Klirrfaktor oder den Effektivwert des Verzerrungsstroms
an. Die Möglichkeit mit der Doppelfourierreihen-Analyse
nach Black das komplette Spektrum
der gepulsten Ausgangsgrößen beider Umrichterarten
zu berechnen liefert alle nötigen
Informationen, um damit z.B. im Frequenzbereich das
Stromspektrum bei Anwendung bestimmter Filter
auch höherer Ordnung zu ermitteln. Dieses Verfahren
ist allerdings im konkreten Fall nur mit entsprechender
Software nutzbar, da die Doppelintegral-
Gleichungen (13) und (14) selbst in gelöster Form
wiederum unendliche Reihen von Besselfunktionen
liefern [15].
a)
a)
Uˆ
1
Uˆ
iˆ
L
1
iˆ
ν
ν
L
L
L
f/f c
Uˆ
1
Uˆ
iˆ
L
1
iˆ
ν
ν
L
L
L
f/f c
M
M
b)
c)
u +U d /2
10
-U d /2
u +U d /2
20
-U d /2
+U
u d /2
30
-U d /2
i N1
i N2
i N3
+I d
+I d
b)
c)
-I d
i N1
U +U d /2
10
-U d /2
U +U d /2
20
-U d /2
+U
U d /2
30
-U d /2
i N2
i N3
+I d
+I d
-I d
Bild 11 a) Spektrum beider Umrichter mit Sägezahnträger,
exemplarischer Zeitverlauf der geschalteten
Größen während einer PWM-Periode
beim b) U-Umrichter und c) I-Umrichter
Bild 12 a) Spektrum beider Umrichter mit Sägezahnträger,
exemplarischer Zeitverlauf der geschalteten
Größen während einer PWM-Periode
beim b) U-Umrichter und c) I-Umrichter

5 Literatur
[1] Jenni, F., Wüest, D, Steuerverfahren für selbstgeführte
Stromrichter, Teubner, Stuttgart, 1995
[2] Bierhoff, M. H., Fuchs, F. W., "Analytical Evaluation
of the Total Harmonic Current in Three
Phase Voltage and Current Source Converters",
Proc. European Conf. on Power Electr. 2005,
Dresden, wird veröffentlicht
[3] Kolar, J. W., Ertl, H., Zach, F. C., "Analytically
closed optimization of the modulation method of
a PWM rectifier system with high pulse rate",
Proc. Power Conversion Intelligent Motion,
Munich, Germany, June 27 – 29, 1990, pp. 209 –
223
[4] Kolar, J. W., Ertl, H., Zach, F. C., "Influence of
the modulation method on the conduction and
switching losses of a PWM converter system",
IEEE Trans. on Industry Appl., vol. 27, no. 6,
pp. 1063 - 1075, 1991
[5] van der Broeck, H., "Analysis of the harmonics
in voltage fed inverter drives caused by PWM
schemes with discontinuous switching operation",
Proc. European Conf. on Power Electr.,
1991, Firenze, vol. 3, pp. 261-266
[6] Zhou, K., Wang, D.,"Relationship between
space-vector modulation and three-phase carrierbased
PWM: a comprehensive analysis [threephase
inverters]", IEEE Trans. on Ind. Electr.,
vol. 49, No.1, February 2002
[7] Bierhoff, M. H. and Fuchs, F. W., "Semiconductor
losses in voltage source and current source
IGBT converters based on analytical derivation",
Power Electr. Spec. Conf., 2004, Aachen,
vol. 4, Proceedings on CD
[8] Kolar, J. W., Ertl, H., Zach, F., "Quasi-dual modulation
of three-phase PWM converters", IEEE
Trans. on Industry Appl., vol. 29, no. 2, pp. 313
– 318, 1993
[9] Kolar, J. W., Ertl, H., Zach, F. C., "Analysis of
the duality of three phase PWM converters with
DC voltage link and DC current link", Conf.
Rec. IAS Ann. Mtg., San Diego CA, Oct. 2-5,
1989, pp. 724 - 737, vol. 1
[10] Bierhoff, M. H. Fuchs, F. W., "Theoretical output
current spectra of three phase current source
converters", Proc. European Conf. on Power
Electr. 2005, Dresden, wird veröffentlicht
[11] Black, H. S., Modulation Theory, Van Nostrand,
1953
[12] Bowes, S. R., "New sinusoidal pulsewidthmodulated
inverter", IEE Proc., vol. 122, no. 11,
November 1975, pp. 108 - 114
[13] Moynihan, J. F., Egan, M. G., Murphy, J. M. D.,
"Theoretical spectra of space-vector-modulated
waveforms", IEE Proc.-Electr. Power Appl., vol
145, no. 1, January 1998
[14] Walsh, F. R., Moynihan, J. F., Roche, P. J., Egan,
M. G., Murphy, J. M. D., "Analysis and influence
of modulation scheme on the sizing of the
input filter in a PWM rectifier system", Proc.
European Conf. on Power Electr., 1997, Trondheim,
vol. 2, pp. 929 - 933
[15] Holmes, D. G., Lipo, T. A., Pulse width modulation
for power converters - principles and practice,
IEEE press series on power engineering,
Piscataway, 2003
[16] Halkosaari, T., Tuusa, H., "Optimal vector modulation
of a PWM current source converter according
to minimal switching losses", Power
Electr. Spec. Conf., 2000, Galway, vol. 1, pp.
127-32
[17] Bergauer, J., Schindele, L., Braun, M., "Optimised
space vector control reducing switching losses
in current source inverters", Proc. on Int.
Conf. and Exhibit. on Power Electr. and Motion
Contr., EPE-PEMC, Kosice, 2000, vol.3
[18] Hava, A. M., Kerkman, R. J., Lipo, T. A., "A
high-performance generalized discontinuous
PWM algorithm", IEEE Trans. on Ind. App.,
Sept. -Oct. 1998, pp. 1059-71