Mittwoch 19.6.2013

Mathematik für Physiker IV, SS 2013 Mittwoch 19.6
Wegen x−x ∗ ⊥ U ist insbesondere x−x ∗ ⊥ x ∗ , also gilt nach dem Satz des Pythagoras
Lemma 1.(b)
||x|| 2 = ||(x − x ∗ ) + x ∗ || 2 = ||x − x ∗ || 2 + ||x ∗ || 2 ≥ ||x ∗ || 2 =
∞∑
|〈x|u n 〉| 2 ,
und genau dann besteht hier die Gleichheit wenn ||x − x ∗ || = 0 ist, wenn also x = x ∗
beziehungsweise x ∈ U ist.
n=1
Wie angekündigt kommen wir nun zum Beweis der Existenz von Orthonormalbasen,
der Hilbertraum muss hierfür allerdings zwei Bedingungen erfüllen. Gibt es in
einem Hilbertraum H überhaupt eine orthonormale Folge (u n ) n∈N , so sind die Vektoren
u 1 , . . . , u n nach II.§6.Lemma 3 für jedes n ∈ N linear unabhängig also kann der
Vektorraum H nach I.§11.Korollar 7.(b) nicht endlich erzeugt sein. Ein Hilbertraum
der eine Orthonormalbasis besitzt muss also unendlichdimensional sein, er darf sozusagen
nicht zu klein sein. Auf der anderen Seite kann er auch nicht zu groß sein, es ist
allerdings schon etwas komplizierter exakt zu sagen was dies bedeutet. Wir fordern das
H separabel im Sinne der folgenden Definition ist.
Definition 7.3 (Separable normierte Räume)
Ein normierter Raum E heißt separabel wenn es eine Folge (u n ) n∈N in E mit
E = {u n |n ∈ N}
gibt, d.h. für jedes u ∈ E und jedes ɛ > 0 existiert ein n ∈ N mit ||u − u n || < ɛ.
Separable Räume sind in dem Sinne klein das sich ihre Elemente durch die Glieder eine
Folge beliebig gut approximieren lassen. Erfreulicherweise trifft dies auf die meisten in
Anwendungssituationen vorkommenden normierten Räume zu. Um zu beweisen das
ein gegebener Raum separabel ist, ist es nicht nötig wirklich eine Folge anzugeben
deren Abschluß der gesamte Raum ist, es reicht bereits eine Folge zu finden deren
Aufspann diese Eigenschaft hat. Um dies wiederum einzusehen, müssen wir den in
II.§4.1 eingeführten Begriff abzählbarer Mengen verwenden, eine nichtleere abzählbare
Menge M war eine Menge die sich als eine Folge durchlaufen ließ, die also die Form
M = {a n |n ∈ N} hat.
Lemma 7.15 (Kriterium für separable normierte Räume)
Seien E ein normierter Raum über K ∈ {R, C} und (u n ) n∈N eine Folge in E. Für jedes
u ∈ E und jedes ɛ > 0 gebe es ein n ∈ N und Skalare λ 1 , . . . , λ n ∈ K mit
Dann ist E separabel.
n∑
∣∣ ∣∣∣ ∣∣∣ ∣∣ u − λ j u j < ɛ.
j=1
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