Mittwoch 19.6.2013

Mathematik für Physiker IV, SS 2013 Mittwoch 19.6
(c) Für alle x, y ∈ H gilt die sogenannte Parseval-Identität
∞∑
〈x|y〉 = 〈x|u n 〉〈y|u n 〉.
n=1
(d) Für jedes x ∈ H gilt die sogenannte Bessel-Identität
∞∑
||x|| 2 = |〈x|u n 〉| 2 .
n=1
Beweis: (a)=⇒(b). Sei x ∈ H. Für jedes n betrachten wir dann die Partialsumme
x n :=
n∑
〈x|u k 〉u k ∈ H,
k=1
und müssen zeigen das die Folge (x n ) n∈N in H gegen x konvergiert. Für alle n, k ∈ N
mit 1 ≤ k ≤ n gilt
〈 n∑ ∣ 〉 ∣∣∣
n∑
〈x n |u k 〉 =
j 〉u j u k = 〈x|u j 〉〈u j |u k 〉 = 〈x|u k 〉||u k ||
j=1〈x|u 2 = 〈x|u k 〉
da für 1 ≤ j ≤ n mit j ≠ k stets 〈u j |u k 〉 = 0 ist, und weiter ist auch
Wir zeigen nun das
j=1
〈x − x n |u k 〉 = 〈x|u k 〉 − 〈x n |u k 〉 = 0.
||x − x n+1 || ≤ ||x − x n ||
für jedes n ∈ N gilt. Ist nämlich n ∈ N gegeben, so folgt mit dem Satz des Pythagoras
Lemma 1.(b) wegen x − x n+1 ⊥ u n+1
||x − x n || 2 = ||x − x n+1 + 〈x|u n+1 〉u n+1 || 2
= ||x − x n+1 || 2 + |〈x|u n+1 〉| 2 · ||u n+1 || 2 ≥ ||x − x n+1 || 2 ,
und damit ist tatsächlich ||x − x n+1 || ≤ ||x − x n ||. Die Folge (||x − x n ||) n∈N ist also
monoton fallend, und konvergiert somit nach I.§6.Satz 3.(b) gegen
lim ||x − x n|| = inf{||x − x n || : n ∈ N}.
n→∞
Sei jetzt ɛ > 0. Da wir 〈{u n |n ∈ N}〉 = H annehmen, gibt es ein n ∈ N und Skalare
λ 1 , . . . , λ n ∈ K mit
n∑
∣∣ ∣∣∣ ∣∣∣ ∣∣ x − λ k u k < ɛ.
k=1
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