Mittwoch 19.6.2013

Mathematik für Physiker IV, SS 2013 Mittwoch 19.6
daher wollen wir hier auf eine systematische Behandlung dieses neuen Integrals verzichten.
In konkreten Beispielen spielt dieser Unterschied zwischen den Integralbegriffen
sowieso keine Rolle, da die auftretenden Funktionen dann immer schon in R 2 [−π, π]
liegen. Formal können die Lebesgue-integrierbaren Funktionen auf [−π, π] wie in der
folgenden Definition eingeführt werden.
Definition 7.4 (Lebesgue-integrierbare Funktionen auf [−π, π])
Eine Funktion f : [−π, π] → C heißt Lebesgue-integrierbar wenn es eine Folge (g n ) n∈N
von Treppenfunktionen gibt, die die folgenden beiden Eigenschaften hat:
(a) Die Folge (g n ) n∈N ist eine L 1 -Cauchyfolge, d.h. für jedes ɛ > 0 existiert ein n 0 ∈ N
mit
||g n − g m || 1 = 1 ∫ π
|g n (x) − g m (x)| dx < ɛ
2π −π
für alle n, m ∈ N mit n, m ≥ 0.
(b) Die Folge (g n ) n∈N konvergiert fast überall punktweise gegen f, d.h. es existiert
eine Lebesguesche Nullmenge N ⊆ R so, dass die Folge (g n (x)) n∈N für jedes
x ∈ [−π, π]\N gegen f(x) konvergiert.
In diesem Fall wird das Integral von f als
∫ π
−π
∫ π
f(x) dx := lim g n (x) dx
n→∞
−π
definiert. Die Menge all dieser Funktionen bildet einen Vektorraum L 1 [−π, π] wobei
Gleichheit als Gleichheit fast überall interpretiert wird.
Jede Riemann-integrierbare Funktion ist auch Lebesgue-integrierbar mit demselben
Integral, daher können wir unseren Prähilbertraum R 2 [−π, π] wie folgt zu einem Hilbertraum
erweitern.
Definition 7.5 (Der Hilbertraum L 2 [−π, π])
Definiere
L 2 [−π, π] := {f ∈ L 1 [−π, π]| : |f| 2 ist Lebesgue integrierbar}
und für f, g ∈ L 2 [−π, π] sei
〈f|g〉 := 1 ∫ π
f(x)g(x) dx.
2π −π
Die Norm ist dann für f ∈ L 2 [−π, π] die sogenannte 2-Norm
||f|| 2 = 1 √
2π
∫ π
−π
|f(x)| 2 dx.
Das ”
L“ in ”
L 2 [−π, π]“ steht übrigens für ”
Lebesgue“ da die Norm über das Lebesgue-
Integral definiert ist, während das ”
R“ in ”
R 2 [−π, π]“ entsprechend für ”
Riemann“
steht. Der sogenannte Satz von Fischer besagt das L 2 [−π, π] ein Hilbertraum ist, der
R 2 [−π, π] als einen dichten Teilraum enthält, d.h. es gilt R 2 [−π, π] = L 2 [−π, π].
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