M2 Schwingungen - Physikalisches Institut Heidelberg

M2. Mechanische Schwingungen I: mathematisch, physikalisch, gedämpft
Zu behandelnde Begriffe: harmonische Schwingungen, Frequenz, Periodendauer, Rückstellkraft, mechanische
Energieformen, Energieerhaltung, Trägheitsmoment, Drehmoment, Drehimpuls, Drehimpulserhaltung, Steinerscher
Satz, Schwingungsgleichungen (frei und gedämpft) und deren Lösungen, Überschreiten der Gültigkeitsgr
enzen für harmonischer Schwingungen,
I Verständnisfragen zur Vorbereitung
1) Wie definiert man eine harmonische Schwingung? In welchen Grenzen kann man die
Schwingung eines Fadenpendels als harmonisch ansehen?
2) Wann spricht man von einem physikalischen im Gegensatz zu einem mathematischen Pendel?
3) Stellen sie die Differentialgleichung des ungedämpften physikalischen Pendels auf (Winkelvariable
φ(t)) für beliebige Auslenkwinkel φ. Machen sie dann eine Näherung für kleine
Auslenkungen und geben sie die allgemeine Lösung für diesen Fall an. Vergleichen Sie diese
Differentialgleichung mit der eines mathematischen Pendels mit Masse m.
4) Erläutern Sie die Aussage des Steinerschen Satzes. Berechnen sie das Trägheitsmoment
einer homogenen Kreisscheibe mit Masse M und Radius R, die an einer Achse aufgehängt ist,
die den Abstand d zum Scherpunkt hat und senkrecht auf der Kreisscheibe steht.
II Messungen
II.1 Bestimmung der Erdbeschleunigung mit einem Fadenpendel.
Bauen Sie ein einfaches Fadenpendel auf, indem Sie einen Pendelkörper an einem Faden befestigen
und das Ganze an einem mit einer Hakenmuffe versehenen Stativ aufhängen. Messen
Sie mit einer Stoppuhr die Periodendauer für „kleine Amplituden und der Annahme, dass die
Masse eine Punktmasse ist“ und ermitteln Sie die Erdbeschleunigung g. Berechnen sie hierzu
die Schwingungsdauer des Fadenpendels, lösen sie nach g auf und überlegen sie, welche
Grössen sie messen müssen.
Tipp: Um den Fehler der Zeitmessung mit der Stoppuhr gering zu halten, sollte man den Mittelwert
der Schwingungsdauer über mehrere Schwingungsperioden (z.B. 10 Perioden) mitteln.
(Das gilt selbstverständlich auch für die weiteren Versuche!) Machen sie eine kleine
Messreihe und bestimmen sie daraus den Messfehler für T ab. Schätzen sie den Fehler von für
die Messung der Pendellänge l ab! An welcher Stelle des Pendels endet l eigentlich?
Geben sie den Wert von g mit Fehler an (Fehlerfortpflanzung!).
II.2 Schwingende Flüssigkeit im U-Rohr (qualitativ)
Untersuchen Sie die Schwingungen einer Flüssigkeit (Wasser) in einem U-Rohr nach eigenen
Zielvorgaben. Warum schwingt die Wassersäule. Um welche Art von Schwingung handelt es
sich? Interessant ist es, sich zu überlegen, welchen Wert die Richtgröße D für ein U-Rohr-
Pendel hat. Mit der Kenntnis von D könnte man für die Periodendauer die bekannte Gleichung
T 2
heranziehen.
m
D
1

II.3 Ungedämpftes physikalisches Pendel
Hinweis: Da für den Versuchsteil II.5 (gedämpfte Schwingungen) nur zwei Oszilloskope zur
Verfügung stehen, sollten zwei Praktikumsgruppen gleich mit den gedämpften Schwingungen
beginnen und die ungedämpften Pendelschwingungen des physikalischen Pendels erst anschließend
untersuchen.
Terme für die benötigten Trägheitsmomente I
Homogener Stab (bezogen auf eine Achse
senkrecht zum Stab durch den Stabmittelpunkt)
Homogene Kreisscheibe (bezogen auf die Achse
der Rotationssymmetrie, entspricht dem
Vollzylinder)
1 2
ml
12
Die in den folgenden Versuchen verwendeten Pendelkörper besitzen zum Teil eine recht große
Masse. Um die Messergebnisse nicht zu verfälschen ist es daher notwendig, die Stativkonstruktion
sehr stabil auszuführen, so dass die Aufhängung selbst möglichst nicht in Schwingungen
gerät.
i) Die Schwingungsdauer eines an einem Ende aufgehängten Stabes soll zunächst für
kleine und anschließend für größere Amplituden untersucht werden. Bestimmen
Sie mit einer Stoppuhr die Periodendauer der Schwingung eines homogenen Stabes
bei kleinen Amplituden (Winkelamplitude kleiner als 5°). Vergleichen Sie das
I
Ergebnis mit dem nach T 2
errechneten Wert, wobei sich sie das Trägheitsmoment
bezüglich der Achse am Ende des Stabes mit dem Steinerschen Satz
D
berechnen können und D das Drehmoment ist, das auf den Stab wirkt.
m
r
2
2
ii)
Führen Sie hier exemplarisch eine ausführliche Fehlerrechnung durch und prüfen
Sie, ob die Abweichung im Rahmen der Fehlergrenzen liegt!
Mit demselben Pendel kann anschließend die Abhängigkeit der Periodendauer von der
Amplitude untersucht werden. Prüfen Sie an einigen Beispielen, wie sich die Periodendauer
bei Steigerung der Amplitude verhält – auch Winkelamplituden über 90° sind beim physikalischen
Pendel möglich! Zeichnen sie im Laborbuch ein Diagramm T gegen Auslenkwinkel φ 0 .
Was ist demnach der wesentlicheUnterschied zwischen einem harmonischen Pendel und diesem
Pendel ? Haben sie eine anschauliche Erklärung?
II.4 Physikalisches Pendel: Scheibe
Die Bestimmung der Periodendauer wird nun zur Ermittlung eines Hauptträgheitsmoments
eines Körpers genutzt. Zunächst wird die Periodendauer (Stoppuhr) einer exzentrisch
aufgehängten kreisförmigen Platte gemessen. Dabei können unterschiedliche Drehachsen ge-
2

wählt werden (siehe Photo), deren Abstand des Aufhängepunktes vom Mittelpunkt der Kreisscheibe
im Folgenden mit l bezeichnet wird.
Aus der gemessenen Periodendauer wird nach T
Il
2 mit das Trägheitsmoment I l
be-
D
züglich der exzentrischen Achse berechnet. Nach dem Steinerschen Satz lässt sich dann das
Hauptträgheitsmoment für die senkrecht zur Kreisscheibe stehende Drehachse ermitteln:
2
1 2
I I l
ml . Das Ergebnis soll anschließend mit dem errechneten Wert nach I mr verglichen
werden. Bei welcher Aufhängung erwarten sie die genaueste Messung? Begründung?
2
Zur Auswertung brauchen sie u.a. die Masse der Scheibe . Dazu steht eine passende Waage
zur Verfügung.
II.5 Gedämpfte Schwingungen eines physikalischen Pendels
Hinweis: Da für diesen Versuchsteil nur zwei Oszilloskope zur Verfügung stehen, sollten zwei
Praktikumsgruppen gleich mit den gedämpften Schwingungen beginnen und die ungedämpften
Pendelschwingungen des physikalischen Pendels erst anschließend untersuchen.
In diesem Versuch soll der Amplitudenverlauf einer gedämpften Schwingung über die Zeit
untersucht werden. Zur Dämpfung wird hier an einem physikalischen Pendel (rechteckige
Aluminiumplatte) eine Wirbelstrombremse durch Installation eines starken Permanentmagneten
(das Photo zeigt alternativ einen Elektromagneten) realisiert. Auf diese Weise kann man
3

eine Dämpfungskraft erzielen, die proportional zur Geschwindigkeit des Pendelschwingers
ist.
Zur Aufnahme des zeitlichen Verlaufs der Schwingungsbewegung dient ein Hall-Sensor, der
für kleine Ausschläge ein zum Auslenkungswinkel proportionales Spannungssignal liefert.
(Mit dem Pendel bewegt sich ein Paar von Permanentmagneten auf einem Kreisbogen um ein
Hallplättchen. In der Ruhelage ist das Magnetfeld gerade parallel zum Hallplättchen ausgerichtet.
Die für die Höhe der Hallspannung verantwortliche Flussdichte senkrecht zum Hallplättchen
ist damit proportional zum Sinus des Auslenkungswinkels des Pendels.)
Achten Sie darauf, dass das Pendel mit den Spitzen gerade an den symmetrisch zum Hallsender
eingravierten Markierungen (links im Photo) gelagert wird.
Mit einem Speicheroszilloskop wird der Schwingungsvorgang über einige Minuten aufgezeichnet.
Untersuchen Sie das Abklingen der Amplitude, indem Sie sie logarithmisch über die Zeit auftragen.
Vergleichen Sie das Ergebnis mit Ihren Erwartungen! Beswtimmen sie Dämpfungskonstante
des Pendels.
III Technische Anwendungen von Pendeln zur Diskussion
1) Präzisions-Pendeluhren
Ein Problem von einfachen Pendeluhren liegt darin, dass ihr Gang stark von klimatischen
Bedingungen wie dem Luftdruck und der Temperatur abhängt. Präzisions-Pendeluhren, die
vor allem für den Einsatz in Laboren bestimmt waren, wurden mit verschiedenen technischen
Hilfsmitteln ausgestattet, die die klimatischen Einflüsse kompensieren sollten.
Exemplarisch wird hier eine Methode betrachtet, mit der wirksam die Temperaturabhängigkeit
der Pendelfrequenz, die im wesentlichen durch die Längenänderung des Pendelstabes
zustande kommt, verringert werden konnte: Der Pendelstab ist nicht massiv sondern wird als
Rohr z.B. aus Stahl ausgeführt. In das Rohr wird bis zu einer bestimmten Höhe Quecksilber
gefüllt.
4

Stahlrohr
Quecksilber
Pendelkörper
Erläutern Sie das Prinzip der hier vorgestellten Methode zur Verringerung der Temperaturabhängigkeit
der Pendelfrequenz und diskutieren Sie ausführlich die physikalisch relevanten
Materialeigenschaften, die für eine Dimensionierung eines solchen Pendels erforderlich sind.
Zum Weiterdenken: Höherer Luftdruck im Uhrgehäuse bewirkt einen langsameren Gang der
Pendeluhr. Ersinnen Sie einen Mechanismus, der diesen Effekt kompensieren könnte!
2) Stoßdämpfer bei Autos
Die Kombination aus Federung und Dämpfung an den Radaufhängungen von Autos lässt das
Fahrzeug gedämpfte Schwingungen ausführen.
Ein häufig von Gebrauchtwagenkäufern angewandtes Testverfahren zur ersten Überprüfung
des Zustands der Stoßdämpfer eines ins Auge gefassten Fahrzeugs funktioniert so:
Der Wagen wird nacheinander an jeder Ecke kräftig herunter gedrückt. Der Wagen darf nach
dem Loslassen nicht mehr Nachwippen. Die Dämpfer arbeiten vermutlich noch ordnungsgemäß,
wenn das Auto lediglich „ausfedert“ und nicht schaukelt.
Diskutieren Sie die Aufgaben, die das System aus Federung und Dämpfung bei einem Auto
erfüllen muss und bewerten Sie in diesem Zusammenhang den angesprochenen „Gebrauchtwagentest“.
(Stichwort: aperiodischer Grenzfall)
3) Schwingungen sind natürlich nicht auf 1-dimensionale Systeme beschränkt. Sie treten auch
in 2- und 3 Dimensionen auf. Benötigt werden nur rücktreibende Kräfte. Beispile sind:
Gespannte Mebranen wie z.B. in Trommeln, Tambourin, Stahlplatten, Gläser etc.
Diese Systeme haben im Allgemeinen mehrere Eigenfrequenzen, die angeregt wqerden können.
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Beispiel 1: Schwingquarze
Dies sind präzise geschnittenene Quarzkristalle, die eine leicht anregbare Eigenfrequenz haben,
bei welcher der Kristall z.B. sich mit sehr gut definierter Frequenz und kleiner Dämpfung
verformt. Dies wird in Quarzuhren, el. Sendern, Empfängern etc zur Stabilisierung de
Frequenz genutzt. Typische Frequenzen zind MHz.
Abb.: Schwingquarz für 4 MHz
Schwingende Quarzplatte (Animation)
Beispiel 2: Stahlplatten einer bestimmten Geometrie zeigen diskrete Eigenfrequenzen, zu
denen sie angeregt werden können, wobei diese jeweils einem charakteristischen transversalen
Verformungsmuster entsprechen. Dies lässt sich leicht demonstrieren, indem man Sand
auf die schwingende Platte streut. Dieser sammelt sich dann an den Knotenlinien, die Auslenkung
Null entsprechen und die sogenannt Chladni’schen Figuren ergeben.
Erzeugung von Chladnischen Klangfiguren: Qualitative Experimente
Auch auf einem zweidimensionalen Wellenträger lassen sich Resonanzphänomene und stehende
Wellen beobachten. Streuen Sie etwas Sand auf eine Klangplatte und bringen Sie dicht
darunter einen Lautsprecher an, der durch einen Sinusgenerator versorgt wird. Wirkungsvoll
kann es auch sein, die Lautsprechermembran in direkten Kontakt zur Klangplatte zu bringen
(siehe Photo).
Erzeugen Sie durch Variation der Frequenz eine Vielfalt unterschiedliche Sandmuster. Überlegen
Sie, wie die Muster zustande kommen.
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Abbildung aus einer Veröffentlichung
von Ernst F. F. Chladni (1756 – 1827)
der grundlegende Untersuchungen zu
akustischen Phänomenen machte.
(Chladni war Jurist)
Beispiel einer Chladni’schen Figur auf einer
rechteckigen Metallplatte
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