Parameter in der Sinusfunktion mit GEONExT - Xplora

Unterrichten mit neuen Medien
Parameter in der Sinusfunktion mit GEONExT
http://www.lehrer-online.de/url/parameter-sinus
Autor: Dr. Volker Ulm
Dynamische Mathematiksoftware ermöglicht im Bereich des Arbeitens mit Funktionen neuartige
Zugänge und Verständnismöglichkeiten. Ein integriertes Computeralgebrasystem erlaubt
es, Funktionsgraphen in geometrische Konstruktionen zu integrieren. Graphen werden so
am Bildschirm "beweglich", sie können durch die Variation von Parametern kontinuierlich
deformiert oder verschoben werden.
Die hier vorgestellte Lernumgebung bietet die Grundlage für eine Unterrichtssequenz, in der
die Schülerinnen und Schüler die Bedeutung der Parameter in der allgemeinen Sinusfunktion
f(x) = a sin(b(x+c)) + d experimentell entdecken können. Insbesondere wird die Beziehung
zwischen den Parameterwerten im Funktionsterm und dem Verlauf des zugehörigen Graphen
sichtbar und damit erschließbar. Die Schülerinnen und Schüler können dabei weitgehend
eigenverantwortlich, selbstständig und kooperativ arbeiten. Die dynamischen Arbeitsblätter
und ihre Einsatzmöglichkeiten im Unterricht zeigen somit auf, wie Ziele von SINUS-
Transfer (http://www.sinus-transfer.de) mithilfe neuer Medien verfolgt und umgesetzt werden
können (Modul 1: Weiterentwicklung der Aufgabenkultur; Modul 8: Aufgaben für kooperatives
Arbeiten; Modul 9: Verantwortung für das eigene Lernen stärken). Die Grundlage dafür bildet
das kostenlose Programm GEONExT. Es kann von der Grundschule bis zur Analysis der
gymnasialen Oberstufe vielfältig und flexibel genutzt werden, als eigenständige Anwendung
oder im Rahmen dynamischer Arbeitsblätter auf HTML-Basis. GEONExT wurde und wird an
der Universität Bayreuth entwickelt.
Lernziele
Die Schülerinnen und Schüler sollen
• die Bedeutung von Parametern in der Sinusfunktion experimentell entdecken.
• Beziehungen zwischen Funktionstermen und Funktionsgraphen erschließen.
• weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten.
Kurzinformation
Thema Parameter in der Sinusfunktion
Autor Dr. Volker Ulm
Fach Mathematik
Zielgruppe 10. bis 11. Jahrgangsstufe
Zeitraum 2 Stunden
Technische Voraussetzungen Browser mit Java2-Unterstützung, Java Runtime Environment
(http://www.java.com/de/download/download_the_late
st.jsp, kostenloser Download)
Software GEONExT (http://geonext.de, kostenloser Download)
© 2005, Schulen ans Netz e.V. 1
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Lehrer-Online
Didaktisch-methodischer Kommentar
Die Notwendigkeit zur Entwicklung allgemeiner Einsichten
Welche Bedeutung haben die Parameter in der allgemeinen Sinusfunktion f(x) = a
sin(b(x+c)) + d ? Wie wirken sich Veränderungen der Parameterwerte auf den Verlauf des
Funktionsgraphen aus? In der Regel verläuft die Untersuchung derartiger Fragen so, dass
die Schülerinnen und Schüler zunächst für einige Parameterwerte Funktionsgraphen zeichnen.
Derartige Bilder finden sich in allen gängigen Schulbüchern im entsprechenden Kapitel.
In einem entscheidenden nachfolgenden Schritt kommt es allerdings darauf an, dass sich die
Schülerinnen und Schüler allmählich von den konkreten Parameterwerten und konkreten
Funktionsgraphen lösen und allgemeine Einsichten entwickeln wie etwa: "Wird im Funktionsterm
f(x) = sin(bx) der Betrag von b größer, so wird die Sinuskurve in x-Richtung gestaucht.
Wird der Betrag von b kleiner, wird die Sinuskurve in x-Richtung auseinander gezogen." Dieser
gedankliche Abstraktionsschritt von konkreten Zahlenwerten hin zu allgemeinen Parametern
ist nicht zu unterschätzen.
Dynamische Mathematiksoftware macht Prozesse sichtbar
Die Schülerinnen und Schüler müssen anhand von Erfahrungen an einzelnen Graphen Vorstellungen
über Veränderungsprozesse entwickeln, nämlich: Wie verändert sich der Funktionsgraph,
wenn man den im Funktionsterm enthaltenen Parameter kontinuierlich variiert? An
der Tafel oder auf Papier können bei der Beschäftigung mit derartigen Fragen immer nur
einige wenige Graphen gezeichnet werden. Eine kontinuierliche Deformation und Verschiebung
der Graphen bei Parametervariation ist mit traditionellen Unterrichtsmitteln allenfalls in
der Vorstellung realisierbar. Die statischen Bilder an der Tafel und im Schülerheft gleichen
dabei Momentaufnahmen eines dynamischen Prozesses. Dynamische Mathematiksoftware
macht diese Prozesse sichtbar: Die kontinuierliche Variation der Parameter bewirkt kontinuierliche
Streckungen und Verschiebungen der Graphen. Auf diese Weise treten die zu Grunde
liegenden stetigen funktionalen Abhängigkeiten ausgesprochen deutlich hervor.
Unterrichtsverlauf
1. Phase: Zusammenhänge entdecken und schriftlich darstellen
Anhand der Lernumgebung entdecken die Schülerinnen und Schüler aktiv-handelnd die Bedeutung
der Parameter in der allgemeinen Sinusfunktion. Mit der Maus lassen sich Schieberegler
verändern und dadurch die Parameterwerte in den Funktionstermen einstellen:
• f(x) = a sin(x)
• f(x) = sin(bx)
• f(x) = sin(x+c)
• f(x) = sin(x) + d
• f(x) = a sin(b(x+c)) + d
Der zugehörige Funktionsgraph verändert sich dabei kontinuierlich mit. Auf diese Weise erschließen
die Schülerinnen und Schüler experimentell den Zusammenhang zwischen Parameterwerten
im Funktionsterm und der Gestalt sowie dem Verlauf des zugehörigen Graphen.
In dieser Unterrichtsphase bieten sich vor allem kooperative Arbeitsformen, wie etwa
Partnerarbeit, an.
Die Schülerinnen und Schüler sind auch gefordert, eigenständig einen Hefteintrag zur Thematik
zu gestalten. Am Bildschirm wird experimentiert und parallel dazu sollen die Schülerinnen
und Schüler Beobachtungen und Ergebnisse schriftlich fixieren. Ein derartiges Arbeiten
im Heft hilft, die Thematik sorgfältig zu durchdringen und die Gedanken zu ordnen und zu
strukturieren. Zudem soll dadurch verhindert werden, dass sich die Schülerinnen und Schüler
nur oberflächlich mit den beweglichen Konstruktionen am Bildschirm befassen, dass sie
die Seiten wie bei einem Computerspiel austesten, ohne zum eigentlichen mathematischen
Gehalt vorzudringen. Die Aufforderung, Beobachtungen und Überlegungen aufzuschreiben,
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verlangsamt den Prozess des "Durchklickens" und schafft für die Schülerinnen und Schüler
damit den Zeitrahmen, der für Lernprozesse unentbehrlich ist.
2. Phase: Ergebnisse präsentieren, diskutieren und sichern
Haben sich die Schülerinnen und Schüler intensiv mit der Thematik der Lernumgebung befasst,
schließt sich in natürlicher Weise ein Gedankenaustausch im Klassenplenum an. Die
Arbeitsgruppen stellen ihre Überlegungen und Ergebnisse den Mitschülerinnen und Mitschülern
vor. Auf den ersten Blick stehen dabei der Austausch und die Diskussion der erarbeiteten
mathematischen Resultate im Vordergrund. Gleichzeitig trainieren die Schülerinnen und
Schüler aber auch das Reden über Mathematik, das Präsentieren eigener Ergebnisse sowie
das Sprechen vor einer Gruppe.
Haben die Schülerinnen und Schüler den Themenkreis auf eigenen Wegen intensiv erkundet,
kann die Unterrichtssequenz zu einem Abschluss gebracht werden, indem die Schülerresultate
unter der fachkundigen Leitung der Lehrkraft zu einem Gesamtergebnis zusammengefasst
beziehungsweise erweitert werden. Die Schülerinnen und Schüler sind dann
"reif" für eine fundierte Ergebnissicherung, die mathematische Konventionen, den stofflichen
Rahmen und curriculare Vorgaben berücksichtigt.
Technische Hinweise zur Lernumgebung
Die Lernumgebung dieser Unterrichtseinheit besteht aus HTML-Seiten, die mit jedem gängigen
Browser betrachtet werden können. Damit der Browser die dynamischen Konstruktionen
anzeigen kann, benötigt er Java-Unterstützung. Bei Netscape ist dies beispielsweise automatisch
erfüllt. Bei anderen Browsern (zum Beispiel Internet Explorer) kann es notwendig
sein, das Java2 Runtime Environment der Firma Sun Microsystems nachträglich zu installieren.
Vielfältige Möglichkeiten des Downloads finden Sie auf der GEONExT-Homepage. Unter
Windows bietet sich das im Bereich "Download" angebotene Installationspaket "GEO-
NExT & Java2 Runtime Environment" an.
• GEONExT-Homepage
http://geonext.de
Zahlreiche Infos zur dynamischen Mathematik und Möglichkeiten zum Download der
Software sowie weitere Unterrichtsmaterialien.
Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer
Modul 1: Weiterentwicklung der Aufgabenkultur
Ein Großteil des Denkens und Arbeitens von Schülerinnen und Schülern im Fach Mathematik
wird durch Aufgaben bestimmt - sei es in Form von Schulübungen, Hausaufgaben oder
Prüfungen. Aufgaben bieten Impulse zur Erforschung von Neuem, sie dienen dem Üben,
Vertiefen, Vernetzen und sie sind Werkzeuge zur Leistungsmessung. Aufgaben besitzen
damit ein erhebliches Potenzial, um Veränderungen im Mathematikunterricht anzustoßen.
Natürlich können Aufgabenstellungen nicht alles leisten. Sie sind allenfalls Bausteine im Mathematikunterricht,
die von der Lehrerin oder vom Lehrer als Architekten und Baumeister in
ein größeres Ganzes eingefügt werden müssen. Es kommt entscheidend darauf an, wie mit
Aufgaben umgegangen wird beziehungsweise wie die Beschäftigung mit Mathematik generell
angelegt ist (siehe folgende Absätze zu Modul 8 und Modul 9).
Für die Konzeption dynamischer Arbeitsblätter bedeutet dies, dass mit den Aufträgen an die
Schülerinnen und Schüler vor allem Freiräume für selbständiges, eigenverantwortliches, a-
ber auch kooperatives Arbeiten und Lernen geschaffen werden sollten. Einerseits sind die
Aufträge so zu formulieren, dass die Schülerinnen und Schüler das zugrunde liegende Problemfeld
eigenständig und ohne ständige weitere Anweisungen durch die Lehrkraft erkunden
können, andererseits sollten mit den Aufgabenstellungen Felder für Kreativität und individuelle
Lernwege eröffnet werden. In diesem Spannungsfeld zwischen Führen und Loslassen der
Schülerinnen und Schüler bewegt sich jede Lehrkraft, die Arbeitsaufträge - insbesondere zu
dynamischer Mathematik - konzipiert.
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• Weiterentwicklung der Aufgabenkultur
http://sinus-transfer.uni-bayreuth.de/index.php?id=927
Weitere Informationen zu Modul 1 auf der SINUS-Transfer-Website
Modul 8: Aufgaben für kooperatives Arbeiten
Schulisches Lernen ist in einen sozialen Kontext eingebunden. Auch wenn die Schülerinnen
und Schüler mit dynamischen Arbeitsblättern auf den ersten Blick am Bildschirm tätig sind,
sind die Mitschülerinnen und Mitschüler (sowie die Lehrkraft) unersetzliche Lernpartner. Dynamische
Arbeitsblätter sind keine Medien zum Selbstlernen! Sie bieten Schülerinnen und
Schülern Anstöße, um in Partner- oder Kleingruppenarbeit Mathematik zu erforschen und zu
entdecken. Sie müssen Beobachtungen und Ideen gemeinsam diskutieren, sich auf ihren
individuellen Lernwegen wechselseitig unterstützen und schließlich gewonnene Ergebnisse
im Klassenteam präsentieren und einordnen. Ein derart kooperatives Lernen trägt damit
nicht nur zu einem abwechslungsreichen Unterricht bei, sondern unterstützt vor allem den
Aufbau sozialer Kompetenzen sowie fachliche Lernprozesse.
• Aufgaben für kooperatives Arbeiten
http://sinus-transfer.uni-bayreuth.de/index.php?id=934
Weitere Informationen zu Modul 8 auf der SINUS-Transfer-Website
Modul 9: Verantwortung für das eigene Lernen stärken
Lernen ist ein aktiver Konstruktionsprozess. Wissen kann nicht von der Lehrkraft in die Schülerköpfe
gefüllt werden, sondern muss von den Schülerinnen und Schülern durch Eigentätigkeit
konstruiert werden. Aufgabe der Lehrkraft ist es, Bedingungen zu schaffen, unter denen
diese Aktivität am besten stattfinden kann. Dynamische Arbeitsblätter bieten hierzu einen
geeigneten Rahmen. Die Schülerinnen und Schüler sind gefordert, sich eigenständig mit den
Problemstellungen und Arbeitsaufträgen auseinander zu setzen und eigene Lernwege zu
gehen. Dabei können sie ihr Lerntempo weitgehend selbst steuern und sind für ihren Lernfortschritt
maßgeblich selbst verantwortlich.
Dynamische Arbeitsblätter bieten auch ein geeignetes Mittel zur Binnendifferenzierung: Leistungsstärkere
Schülerinnen und Schüler können sich der eigenständigen Erarbeitung komplexerer
Problemstellungen widmen, die Lehrkraft besitzt die Möglichkeit, sich gezielt der
Förderung Leistungsschwächerer zuzuwenden.
• Verantwortung für das eigene Lernen stärken
http://sinus-transfer.uni-bayreuth.de/index.php?id=935
Weitere Informationen zu Modul 9 auf der SINUS-Transfer-Website
Online-Materialien
• Lernumgebung zu Parametern in der Sinusfunktion
http://www.lo-net.de/group/Material/parameter-sinus/index.html
Schülerinnen und Schüler können die Bedeutung von Parametern in der Sinusfunktion,
insbesondere für den Verlauf des Graphen, eigenständig und experimentell entdecken.
Download
• lernumgebung_parameter_sinus.zip
Gesamte Lernumgebung zum experimentellen Entdecken der Bedeutung von Parametern
in der Sinusfunktion mit GEONExT
• projektbeschreibung_parameter_sinus.zip
Gesamte Beschreibung der Unterrichtseinheit mit Lernzielen und didaktischmethodischem
Kommentar
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Zusatzinformationen
Allgemeine Infos zu GEONExT sowie Links zu Unterrichtseinheiten mit GEONExT im Mathematik-
und Physik-Portal von Lehrer-Online
• Dynamische Mathematik mit GEONExT
http://www.lehrer-online.de/url/geonext
Allgemeine Infos zu GEONExT sowie Links zu Unterrichtseinheiten mit GEONExT im
Mathematik- und Physik-Portal von Lehrer-Online
• Mathematikunterricht für individuelle Lernwege öffnen
http://z-mnu.uni-bayreuth.de/mathematik/kallmeyer/index.html
Das Buch fasst zentrale Ideen und Ergebnisse aus SINUS zusammen und gibt eine Einführung
in das Lehren und Lernen mit dynamischer Mathematik.
• BLK-Programm „SINUS-Transfer“
http://www.sinus-transfer.de
Der zentrale Server des bundesweiten BLK-Programms „SINUS-Transfer“ enthält Informationen
zum Programm, Materialien für den Mathematikunterricht sowie aktuelle fachdidaktische
Beiträge.
Informationen zum Autor
Dr. Volker Ulm (volker.ulm@uni-bayreuth.de)
arbeitet am Zentrum zur Förderung des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts
(Z-MNU) der Universität Bayreuth in den Bereichen Didaktik der Mathematik und Didaktik der
Informatik.
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