Einsatzmöglichkeiten kryptographischer Methoden zur Signatur und ...

Galois-Felder und Polynome in Körpern
Galois-Felder ( oder GF(p)) sind endliche Körper mit der (Prim-) Charakteristik)
*
p
p, in denen alle Operationen Modulo-p durchgeführt werden und p eine Primzahl ist.
Die Elemente des Körpers GF(p) sind {1, 2, ..., p-1}. Beispielsweise wird für p=5 die
Addition 3+4 folgendermaßen durchgeführt:
3+4 mod 5 = 7 mod 5 = 2.
In einem Galois-Feld sind die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und
Division (mit Ausnahme durch 0) wohldefiniert. Dort ist die 0 das neutrale Element
bezüglich Addition und die 1 das neutrale Element bezüglich der Multiplikation. Für
jede Zahl ungleich 0 existiert ein inverses Element. Das Rechnen in diesen Feldern
ist kommutativ, assoziativ und distributiv.
Für den (in der Informatik besonders interessanten) Fall p=2 ergibt sich ein Körper,
der als Binärkörper bezeichnet wird und die Elemente {0,1} enthält. In diesem Körper
sind Addition und Subtraktion identisch und lassen sich effizient durch eine
XOR-Verknüpfung realisieren.
Es ist möglich ein Polynom f(x) des Grades n mit Koeffizienten aus dem Galois-Feld
GF(2) darzustellen:
f(x) = f
n
⋅ x
n
+
... + f
2
⋅ x
2
+ f
1
⋅ x + f , mit f ∈{0,1},
0 ≤ i ≤ n.
0
i
Die Addition der Polynome f(x) und g(x) vom Grad n wird wie folgt realisiert:
n
2
f(x) + g(x) = (f
n
+ g
n
)x + ... + (f
2
+ g
2
)x + (f1
+ g1)x
+ (f
0
+ g
0
)
.
Die Menge aller Polynome über GF(2) bildet einen Ring P(GF(2)). Analog zu
n
ist
es möglich die Operationen + und · durch ⊕ und ⊗ modulo eines bestimmten Polynoms
p(x) (des Grades m) zu ersetzen und erhält einen Ring von Polynomen des
Grades < m P(GF(2))/ (p(x)) .
Das Galois-Feld GF(2) lässt sich erweitern, indem 2 mit m potenziert wird, geschrieben
GF(2 m ). Wir fassen GF(2 m ) als die Menge aller m-Tupel von Elementen aus
GF(2) auf. Ein solches Tupel kann aufgefasst werden als Koeffizienten-Tupel eines
Polynoms vom Grad < m.
Polynome des Grades 2 mit Koeffizienten aus GF(2) (also 0 und 1) können durch
GF(2 3 ) dargestellt werden. Die Koeffizienten des Polynoms werden also (in diesem
Beispiel) von links gesehen hintereinandergeschrieben. Das Polynom:
f(x) = 1⋅
x
2
+ 1⋅
x + 0 = x
2
+ x
lässt sich durch das Element (110) aus GF(2 3 ) darstellen.
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