Handout - Institut für Theoretische Informatik - Technische ...
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5. Unentscheidbare Probleme 5.3 Weitere unentscheidbare Probleme 5.3.0 Das Akzeptanzproblem Satz Die Sprache L acc := { c(M)w : M TM mit w ∈ L(M) } ist unentscheidbar. Beweis. Wir nehmen an, die TM M acc entscheidet L acc und hält immer. Idee: Das Halten einer TM M bei Eingabe w in einem Nichtfinalzustand auf Akzeptanz zurückführen. Vertauscht man in M die Final- mit den Nichtfinalzuständen, so ist das formal keine TM. Aber Hinzufügen eines neuen Endzustands q n und neuer Übergänge 〈q i , s〉 ↦→ 〈q n , s〉 , sofern keine M -Übergänge aus 〈q i , s〉 existieren und i < n − 1 gilt, liefert eine TM, die wir mit ¯M bezeichnen. Die Funktion c(M) ↦→ c(M ′ ) ist natürlich Turing-berechenbar. Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 90 / 215
5. Unentscheidbare Probleme 5.3 Weitere unentscheidbare Probleme Beweis (Fortsetzung). Nun konstruieren wir eine dreiteilige TM M halt , die L halt entscheidet: u u = c(M)w? Nein Ja c(M)w akz. M acc ? Ja Nein c( ¯M)w akz. M acc ? Nein Ja u akz. u n. akz. u akz. u n. akz. M halt hält auf jede Eingabe, da jede Teilmaschine dies tut. Nach erfolgreichem Syntaxcheck ist festzustellen, daß M auf w genau dann hält, wenn entweder M oder ¯M die Eingabe w akzeptiert. Da L halt aber nicht entscheidbar ist, kann M acc nicht existieren . Andererseits ist das Akzeptanzproblem für Kellerautomaten entscheidbar: Kellerautomaten sind analog binär codierbar und können algorithmisch in cfG’n umgewandelt werden, sogar in CNF. Der CYK-Algorithmus entscheidet dann das Akzeptanzproblem. Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 91 / 215
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Beweis (Fortsetzung).<br />
Nun konstruieren wir eine dreiteilige TM M halt<br />
, die L halt<br />
entscheidet:<br />
u<br />
u = c(M)w?<br />
Nein<br />
Ja<br />
c(M)w<br />
akz. M acc ?<br />
Ja<br />
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c( ¯M)w<br />
akz. M acc ?<br />
Nein<br />
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u akz.<br />
u n. akz.<br />
u akz.<br />
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M halt<br />
hält auf jede Eingabe, da jede Teilmaschine dies tut.<br />
Nach erfolgreichem Syntaxcheck ist festzustellen, daß M auf w genau<br />
dann hält, wenn entweder M oder ¯M die Eingabe w akzeptiert.<br />
Da L halt<br />
aber nicht entscheidbar ist, kann M acc<br />
nicht existieren .<br />
Andererseits ist das Akzeptanzproblem <strong>für</strong> Kellerautomaten entscheidbar:<br />
Kellerautomaten sind analog binär codierbar und können algorithmisch in<br />
cfG’n umgewandelt werden, sogar in CNF. Der CYK-Algorithmus<br />
entscheidet dann das Akzeptanzproblem.<br />
Jürgen Koslowski (TU-BS) <strong>Theoretische</strong> <strong>Informatik</strong> 2 SS 2012 91 / 215
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