Handout - Institut für Theoretische Informatik - Technische ...

4. Church-Turing-These 4.2 Rekursive Funktionen
Beispiel
sub
Die Subtraktion N 2 N, 〈n, m〉 ↦→ n − m sofern m ≤ n , läßt sich
mit dem IRS darstellen: n − 0 = n impliziert g = id N = π0 1 . Wegen
n − (m + 1) = (n − m) − 1 = h(n, m, sub〈n, m〉) liegt die Wahl von
h(a, b) = pvor(b) nahe, genauer h = pvor ◦ π1 2 .
Beispiel
div
Die ganzzahlige Division N 2 N, 〈n, m〉 ↦→ k sofern k · m = n gilt,
ist µ-rekursiv. Wir setzen zunächst
f (n, m, k) := sub(n, k · m) (oder f (n, m, k) := n − . m · k + m · k − . n)
Aber dann gilt f (0, 0, 0) = 0 , was µ f (0, 0) = 0 zur Folge hätte; das wäre
zumindest unkonventionell. Um im Fall m = 0 Undefiniertheit zu
erzwingen, können wir m durch succ(pvor m) ersetzen, was für m = 0
undefiniert ist. Andererseits sind im Fall f (n, m, k) = 0 die Werte
f (n, m, j) mit j < k definiert, woraus dann µ f (n, m) = k folgt.
Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 75 / 215