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4. Church-Turing-These 4.2 Rekursive Funktionen
Satz
Nicht jede totale Turing-berechenbare Funktion ist primitiv rekursiv.
Beweisidee
Wir betrachten eine Aufzählung ϕ i , i ∈ N , der primitiv-rekursive
Funktion, die entsprechende Stelligkeit sei σ i . Definiere die
Diagonalfunktion N ∆ N durch
∆(n) := ϕ n (〈n : i < σ n 〉) + 1
für n ∈ N
Nach Konstruktion kann ∆ mit keiner einstelligen Funktion der Form ϕ n
übereinstimmen: aus ∆ = ϕ n folgt ∆(n) = ϕ n (n) + 1 ≠ ϕ n (n) .
Aber ∆ ist Turing-berechenbar: wähle zu n ∈ N eine Maschine M n für
ϕ n , wende sie auf 〈n : i < σ n 〉 an und bilde den Nachfolger. Daß dieses
von einer TM bewerkstelligt werden kann, werden wir in Kapitel 5 sehen
(Stichwort: universelle Turingmaschine).
Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 69 / 215