Handout - Institut für Theoretische Informatik - Technische ...

4. Church-Turing-These 4.2 Rekursive Funktionen
Beispiel
Die Fakultätsfunktion fac(n) = n! = ∏ i≤n
i ist primitiv rekursiv.
Da f nicht offensichtlich die Klon-Komposition einfacherer Funktionen
ist, versuchen wir, fac mit Hilfe des Induktions-Rekursions-Schemas
darzustellen. fac(0) = 1 erzwingt g = κ 0 1 . Um einen Kandidaten für h
zu finden, wollen wir fac(m + 1) mit fac(m) in Beziehung setzen.
Offenbar gilt
fac(m + 1) = (m + 1)! =
∏
i = (m + 1) · ∏
i = (m + 1) · m!
Das legt N 2
h
i≤m+1
i≤m
= (m + 1) · fac(m) = h(m, fac(m))
N, 〈a, b〉 ↦→ succ(a) · b nahe.
Bei h handelt es sich um das Ergebnis der Substitution von succ und
id N = π0 1 in die Multiplikation N2 mult
N. Die primitive Rekursivität
von h folgt, wenn wir die der Multiplikation nachweisen können.
Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 64 / 215