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3. Turingmaschinen 3.4 Turing-berechenbare partielle Funktionen Lemma Die busy beaver Funktion wächst streng monoton, d.h., β(n) < β(n + 1) für jedes n ∈ N . Beweis. Die dTM M mit Haltezustand q F möge β(n) realisieren. Füge einen neuen Haltezustand q G hinzu und die Übergänge |/〈|, L〉 q F #/〈|, L〉 q G Die neue Maschine M ′ , mit q F als Nicht-Haltezustand, sucht nach links ein freies Feld, schreibt einen Strich | und hält. Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 44 / 215
3. Turingmaschinen 3.4 Turing-berechenbare partielle Funktionen Satz Für jede Turing-berechenbare totale Funktion N f N existiert eine Zahl r f , so daß für alle n ∈ N gilt f (n) ≤ β(n + r f ) . Beweis. Die Funktion f möge von der dTM M mit r f Zuständen berechnet werden. Für n ∈ N fügen wir n neue Zustände p i , i < n , zu M hinzu, sowie folgende Übergänge: #/〈|, R〉 #/〈|, R〉 #/〈|, R〉 #/〈|, R〉 start p 0 p1 . . . p n−1 q 0 M n produziert ausgehend vom leeren Band n Striche und führt dann M mit dieser Eingabe aus. Mit M hält auch M n , und dann stehen mindestens f (n) Striche auf dem Band, also folgt f (n) ≤ β(n + r f ) . Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 45 / 215
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