Handout - Institut für Theoretische Informatik - Technische ...
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3. Turingmaschinen 3.2 Die Chomsky-Hierarchie formaler Sprachen 3.2 Die Chomsky-Hierarchie formaler Sprachen Nicht alle Sprachen sind semi-entscheidbar: im Vorgriff auf Kapitel 5 stellen wir fest, daß jede TM M über Σ = {0, 1} sich durch ein Binärwort c(M) codieren läßt. Damit ist die Menge der möglichen Turingmaschinen über {0, 1} abzählbar (vergl. Anhang zum Script für TheoInf 1), also auch die Menge der semi-entscheidbaren Sprachen über {0, 1} . (Die Einschränkung auf das Alphabet {0, 1} ist unerheblich.) Andererseits ist die Potenzmenge P(Σ ∗ ) überabzählbar. Es muß also Sprachen über {0, 1} geben, die nicht semi-entscheidbar sind. Konkret gilt dies etwa für L code := { w ∈ {0, 1} ∗ : w = c(M) für eine TM M mit w /∈ L(M) } L code besteht also aus den Binärcodes aller TM’n, die ihr eigenes Codewort nicht akzeptieren. Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 32 / 215
3. Turingmaschinen 3.2 Die Chomsky-Hierarchie formaler Sprachen Satz L code ist nicht semi-entscheidbar. Beweis. Wenn eine TM M mit L(M) = L code existiert, erfüllt w = c(M) die Bedingung w ∈ L(M) = L code gdw. w /∈ L(M) = L code , Widerspruch. Die Trennung der entscheidbaren von den semi-entscheidbaren Sprachen erfolgt in Kapitel 5 mit Hilfe der Sprache L halt := { c(M)w : M TM, die bei Eingabe w hält } die semi-entscheidbar aber nicht entscheidbar ist (Halteproblem). Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 33 / 215
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3. Turingmaschinen 3.2 Die Chomsky-Hierarchie formaler Sprachen<br />
Satz<br />
L code<br />
ist nicht semi-entscheidbar.<br />
Beweis.<br />
Wenn eine TM M mit L(M) = L code<br />
existiert, erfüllt w = c(M) die<br />
Bedingung w ∈ L(M) = L code<br />
gdw. w /∈ L(M) = L code<br />
, Widerspruch.<br />
Die Trennung der entscheidbaren von den semi-entscheidbaren Sprachen<br />
erfolgt in Kapitel 5 mit Hilfe der Sprache<br />
L halt<br />
:= { c(M)w : M TM, die bei Eingabe w hält }<br />
die semi-entscheidbar aber nicht entscheidbar ist (Halteproblem).<br />
Jürgen Koslowski (TU-BS) <strong>Theoretische</strong> <strong>Informatik</strong> 2 SS 2012 33 / 215
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