Handout - Institut für Theoretische Informatik - Technische ...

3. Turingmaschinen 3.1 Entscheidbare Sprachen/Probleme
Satz
Eine Sprache L ⊆ Σ ∗ ist genau dann entscheidbar, wenn L und
¯L := Σ ∗ − L semi-entscheidbar sind.
Beweis.
Ist L entscheidbar, so existiert eine TM M mit L(M) = L , die immer
hält, also ist L semi-entscheidbar. Mit obiger Konstruktion erhalten wir
eine dTM M ′ mit L = L(M ′ ) , die immer hält. Einführen eines neuen
Endzustands q ∗ und neuer Übergänge 〈q, b〉 ↦→ 〈q ∗ , b〉 bzw. 〈q ∗ , 〈b, N〉〉
sofern 〈q, b〉δ ′ = ∅ , liefert dann eine dTM M ′ mit L(M ′ ) = ¯L .
Umgekehrt lassen wir dTM’n M und ¯M mit L(M) = L und L( ¯M) = ¯L
mittels Interleaving dieselbe Eingabe bearbeiten. Die resultierende
Maschine K hält genau dann, wenn eine der Teilmaschinen hält, und sie
möge genau dann akzeptieren, wenn L hält und akzeptiert, oder wenn ¯L
hält und nicht akzeptiert. Dann hält K immer und erfüllt L(K) = L .
In beiden Fällen war die Verwendung von dTM’n wesentlich.
Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 31 / 215