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6. Komplexität von Algorithmen 6.12 Raumkomplexität Satz QBF ∈ PSPACE . Beweis. Enthält ϕ = Q 0 x 0 . Q 1 x 1 . . . . Q n−1 x n−1 . ψ(x 0 , . . . , x n−1 ) keine Quantoren, gilt ϕ ∈ {true, false} . Sonst entfernt man Q 0 und bewertet A = Q 1 x 1 . . . . Q n−1 x n−1 . ψ(false, . . . , x n−1 ) B = Q 1 x 1 . . . . Q n−1 x n−1 . ψ(true, . . . , x n−1 ) Falls Q 0 = ∃ , bildet man A ∨ B , andernfalls A ∧ B . Die Laufzeit dieses rekursiven Verfahrens beträgt O(2 n ) , bei einer Rekursionstiefe von n (Anzahl der Quantoren). Da die Auswertung quantorenfreier Formeln logarithmischen Platz in der Anzahl der Variablen benötigt (HA), liegt der Platzbedarf in O(n + log n) = O(n) . Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 210 / 215
6. Komplexität von Algorithmen 6.12 Raumkomplexität Satz QBF ist PSPACE -hart und somit PSPACE -vollständig. Beweis (vergl. Sipser) Für L ∈ PSPACE ist L ⊲ QBF nachzuweisen. Betrachte eine dTM M für L mit polynomialer Raumkomplexität p . Wie aus dem Beweis des Cooke’schen Satzes bekannt, können Zustand, Bandinhalt und Kopfposition von M durch Boolesche Formeln in KNF beschrieben werden, also auch die Konfigurationen von M . Wir führen neue Variable c i für Konfigurationen ein und konstruieren daraus entsprechend der Idee im Beweis des Satzes von Savich eine qBF ϕ 〈c0 ,c 1 ,i〉 , die ausdruckt, daß c 1 von c 0 aus in höchstens 2 i Schritten erreicht werden kann. Zu prüfen bleibt für Eingaben w ∈ Σ n die Wahrheit von ϕ 〈cw ,c F ,C·p(n)〉 . Wie zuvor ist der Fall ϕ 〈c0 ,c 1 ,0〉 trivial. Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 211 / 215
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Theoretische Informatik 2 Jürgen K
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Übersicht: Turingmaschinen I 2 3.
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Übersicht: Unentscheidbare Problem
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Hintergrund und Motivation Ziele de
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3. Turingmaschinen Kapitel 3 Turing
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3. Turingmaschinen 3.0 Vorüberlegu
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3. Turingmaschinen 3.1 Entscheidbar
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3. Turingmaschinen 3.1 Entscheidbar
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3. Turingmaschinen 3.2 Die Chomsky-
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3. Turingmaschinen 3.2 Die Chomsky-
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3. Turingmaschinen 3.3 Abschlußeig
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3. Turingmaschinen 3.4 Turing-berec
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4. Church-Turing-These Kapitel 4 Di
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RAM 4. Church-Turing-These 4.1 RAM
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4. Church-Turing-These 4.1 RAM Beim
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4. Church-Turing-These 4.1 RAM 4.1.
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4. Church-Turing-These 4.1 RAM Bewe
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4. Church-Turing-These 4.2 Rekursiv
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5. Unentscheidbare Probleme Kapitel
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5. Unentscheidbare Probleme 5.1 Uni
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5. Unentscheidbare Probleme 5.2 Das
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5. Unentscheidbare Probleme 5.2 Das
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5. Unentscheidbare Probleme 5.3 Wei
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5. Unentscheidbare Probleme 5.4 Sat
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5. Unentscheidbare Probleme 5.4 Sat
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6. Komplexität von Algorithmen Kap
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6. Komplexität von Algorithmen 6.0
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