Handout - Institut für Theoretische Informatik - Technische ...
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6. Komplexität von Algorithmen 6.12 Raumkomplexität Definition Die Syntax quantifizierter Boole’scher Formeln (qBF) hat die BNF ϕ ::= x | true | false | ¬ϕ | ϕ ∧ ϕ | ϕ ∨ ϕ | ϕ → ϕ | ∀x.ϕ | ∃x.ϕ Die Menge der freien Variablen einer qBF ϕ ist gegeben durch FV (true) = FV (false) := ∅ FV (x) := {x} FV (¬ϕ) := FV (ϕ) FV (ϕ ∧ ψ) = FV (ϕ ∨ ψ) = FV (ϕ → ψ) := FV (ϕ) ∪ FV (ψ) FV (∀x.ϕ) = FV (∃x.ϕ) := FV (ϕ) − {x} Nicht freie Variablen sind durch einen Quantor gebunden. ϕ heißt geschlossen, falls jede auftretenden Variable gebunden ist. Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 208 / 215
6. Komplexität von Algorithmen 6.12 Raumkomplexität Schreibweise: ϕ(x 0 , x 1 , . . . , x n−1 ) bedeutet FV (ϕ)⊆{ x i : i < n} . Fakt Jede geschlossene qBF ϕ kann in sogenannter Prenex-Normalform (PNF) dargestellt werden ϕ = Q 0 x 0 . Q 1 x 1 . . . . Q n−1 x n−1 . ψ(x 0 , . . . , x n−1 ) wobei ψ keine Quantoren enthält. Mit Hilfe von “Dummy-Variablen” ist es zudem möglich, alternierende Prenex-Normalform (aPNF) zu erreichen, bei der Existenz- und All-Quantor alternieren: ϕ = ∃x 0 . ∀x 1 . . . . Q m−1 x m−1 . ψ(x 0 , . . . , x m−1 ) Beispiel Das E-Problem QuantifizierteBoolescheFormel (QBF) hat als Eingabe eine geschlossene quantifizierte Boolesche Formel ϕ . Zu entscheiden ist, ob ϕ wahr ist. Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 209 / 215
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6. Komplexität von Algorithmen 6.12 Raumkomplexität<br />
Definition<br />
Die Syntax quantifizierter Boole’scher Formeln (qBF) hat die BNF<br />
ϕ ::= x | true | false | ¬ϕ | ϕ ∧ ϕ | ϕ ∨ ϕ | ϕ → ϕ | ∀x.ϕ | ∃x.ϕ<br />
Die Menge der freien Variablen einer qBF ϕ ist gegeben durch<br />
FV (true) = FV (false) := ∅<br />
FV (x) := {x}<br />
FV (¬ϕ) := FV (ϕ)<br />
FV (ϕ ∧ ψ) = FV (ϕ ∨ ψ) = FV (ϕ → ψ) := FV (ϕ) ∪ FV (ψ)<br />
FV (∀x.ϕ) = FV (∃x.ϕ) := FV (ϕ) − {x}<br />
Nicht freie Variablen sind durch einen Quantor gebunden.<br />
ϕ heißt geschlossen, falls jede auftretenden Variable gebunden ist.<br />
Jürgen Koslowski (TU-BS) <strong>Theoretische</strong> <strong>Informatik</strong> 2 SS 2012 208 / 215
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