Handout - Institut für Theoretische Informatik - Technische ...
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6. Komplexität von Algorithmen 6.11 Approximation von Optimierungsproblemen In der Praxis wollen wir reelle Arithmetik vermeiden und die lineare Verkürzung durch Abschneiden von Ziffern realisieren. Anstelle von rnd ist dann die Funktion ⌊−⌋ zu verwenden, wodurch der Faktor 1 2 entfällt. Für die β Basis der Zahlencodierung erhält man den Skalierungsfaktor λ := β r mit r := max{ x ∈ N : β x ≤ τε/n } Die Zeitkomplexität liegt nun in O(n · τ/λ) = O(n/ε) . Definition Ein PTAS für ein O-Problem P = 〈Σ, E, A, L, c〉 ist ein Algorithmus M mit Eingabe v ∈ E und ε > 0 , dessen Ausgabe w ∈ A mit 〈v, w〉 ∈ L einen relativen Fehler ≤ ε aufweist. Weiterhin muß für jedes ε > 0 ein Polynom p ε existieren, so daß M( , ε) eine Laufzeit in O(p ε ) hat. Ein PTAS heißt voll, falls die Laufzeit des Algorithmus polynomial in |v| und in 1/ε ist. Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 196 / 215
6. Komplexität von Algorithmen 6.11 Approximation von Optimierungsproblemen Beispiel Der oben beschriebene Algorithmus für SiT(2) ist ein volles PTAS. Beispiel Das O-Problem MinBinPAcking hat als Eingabe ein Tupel a ∈ N n von “Gewichten” und eine “Kapazität” C ∈ N . Gesucht ist die Minimalzahl an “Körben” der Kapazität C , die alle Gewichte aufnehmen können. Diese Problem besitzt ein PTAS dessen Laufzeit exponentiell in 1/ε ist. Unter der Voraussetzung P ≠ NP existiert kein volles PTAS für MinBinPAcking (ohne Beweis). Satz Unter der Voraussetzung P ≠ NP existiert für kein ε > 0 ein ε-approximierender Algorithmus für MinTSP. Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 197 / 215
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6. Komplexität von Algorithmen 6.11 Approximation von Optimierungsproblemen<br />
Beispiel<br />
Der oben beschriebene Algorithmus <strong>für</strong> SiT(2) ist ein volles PTAS.<br />
Beispiel<br />
Das O-Problem MinBinPAcking hat als Eingabe ein Tupel a ∈ N n von<br />
“Gewichten” und eine “Kapazität” C ∈ N . Gesucht ist die Minimalzahl<br />
an “Körben” der Kapazität C , die alle Gewichte aufnehmen können.<br />
Diese Problem besitzt ein PTAS dessen Laufzeit exponentiell in 1/ε ist.<br />
Unter der Voraussetzung P ≠ NP existiert kein volles PTAS <strong>für</strong><br />
MinBinPAcking (ohne Beweis).<br />
Satz<br />
Unter der Voraussetzung P ≠ NP existiert <strong>für</strong> kein ε > 0 ein<br />
ε-approximierender Algorithmus <strong>für</strong> MinTSP.<br />
Jürgen Koslowski (TU-BS) <strong>Theoretische</strong> <strong>Informatik</strong> 2 SS 2012 197 / 215
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