Handout - Institut für Theoretische Informatik - Technische ...
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6. Komplexität von Algorithmen 6.11 Approximation von Optimierungsproblemen Güte der Approximation Satz Die minimale Größe opt(G) einer Knotenüberdeckung und die Größe c(G) der vom Algorithmus gelieferten Lösung erfüllen c(G) ≤ 2opt(G) . Beweis. D entsteht durch Vereinigung paarweise disjunkter Kanten. Jede andere Knotenüberdeckung D ′ , speziell eine optimale, muß einen Endpunkt jeder dieser Kanten enthalten, also mindestens |D|/2 viele Knoten. Definition Für ε > 0 heißt ein deterministischer Algorithmus für P mit polynomialer Laufzeit ε-approximierend für P = 〈Σ, E, A, L, c〉 , falls |c〈v, w〉 − opt(v)| |opt(v)| ≤ ε wobei opt(v) := opt{ c〈v, w〉 : 〈v, w〉 ∈ L } Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 186 / 215
6. Komplexität von Algorithmen 6.11 Approximation von Optimierungsproblemen Beispiel Der obige Algorithmus für MinKÜ ist 1-approximierend, denn c(G) ≤ 2opt(G) impliziert c(G) − opt(G) ≤ opt(G) . Für ε < 1 ist der Algorithmus nicht ε-approximierend: G : • • liefert c(G) = 2 aber opt(G) = 1 . Beispiel ( SiT(k) ) Das O-Problem Scheduling of Independent Tasks(k) hat ein n-Tupel t ∈ N n als Eingabe, zu interpretieren als Bearbeitungszeiten von n voneinander unabhängigen Aufgaben (Tasks). Für diese stehen k gleichmächtige Prozessoren zur Verfügung. Gesucht ist eine Abbildung S(t) n k (Arbeitsplan oder Schedule), die die Gesamtlaufzeit T (t) minimiert: ∑ T (t) = max{ t i : j < k } i∈S(t) −1 {j} Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 187 / 215
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6. Komplexität von Algorithmen 6.11 Approximation von Optimierungsproblemen<br />
Güte der Approximation<br />
Satz<br />
Die minimale Größe opt(G) einer Knotenüberdeckung und die Größe<br />
c(G) der vom Algorithmus gelieferten Lösung erfüllen c(G) ≤ 2opt(G) .<br />
Beweis.<br />
D entsteht durch Vereinigung paarweise disjunkter Kanten. Jede andere<br />
Knotenüberdeckung D ′ , speziell eine optimale, muß einen Endpunkt jeder<br />
dieser Kanten enthalten, also mindestens |D|/2 viele Knoten.<br />
Definition<br />
Für ε > 0 heißt ein deterministischer Algorithmus <strong>für</strong> P mit polynomialer<br />
Laufzeit ε-approximierend <strong>für</strong> P = 〈Σ, E, A, L, c〉 , falls<br />
|c〈v, w〉 − opt(v)|<br />
|opt(v)|<br />
≤ ε wobei opt(v) := opt{ c〈v, w〉 : 〈v, w〉 ∈ L }<br />
Jürgen Koslowski (TU-BS) <strong>Theoretische</strong> <strong>Informatik</strong> 2 SS 2012 186 / 215
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