Handout - Institut für Theoretische Informatik - Technische ...
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6. Komplexität von Algorithmen 6.10 Komplexität von Optimierungsproblemen Bemerkung P ∈ PO impliziert natürlich P dec ∈ P . Sofern P ≠ NP , folgt aus der NP -Vollständigkeit von P dec dann auch P /∈ PO . Beispiel ( MaxMatching ∈ PO ) Codierung einer Probleminstanz: Knotenzahl n , Adjazenzmatrix A und binäres Partitionierungs-n-Tupel β , bzgl. dessen Bipartizität vorliegt. Codierung von potentiellen Lösungen durch (n × n)-Matrizen M . Syntaxcheck Probleminstanz: A hat nur Einsen in Positionen, deren Koordinaten verschiedene β -Werte haben (der Graph ist bipartite). Syntaxcheck potentielle Lösung: pro Zeile und Spalte tritt höchstens eine Eins auf (das Matching besteht aus disjunkten Kanten). A L M gdw M ≤ A komponentenweise (Teilgraph). c(M) ist die Hälfte der Anzahl der Einsen in M (Symmetrie). Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 182 / 215
6. Komplexität von Algorithmen 6.10 Komplexität von Optimierungsproblemen Beispiel (Fortsetzung) Der Lösungsalgorithmus verwendet Erreichbarkeit ∈ P bzgl. s und t im abgeleiteten Netzwerk; letzteres entsteht durch Umkehrung gewisser Kanten, was in polynomialer Zeit machbar ist. Terminologie Optimierungsproblemen tragen Namen mit Präfix Min oder Max. Beispiel ( MinFärbb /∈ PO ) Eingabe: ungerichteter Graph; zu bestimmen ist die Minimalzahl an Farben für eine Knotenfärbung. Das zugehörige E-Problem MinFärbb dec umfaßt 3-Färbbarkeit, was bekanntlich NP -vollständig ist. Beispiel ( MinTSP /∈ PO ) Hier stimmt MinTSP dec mit dem NP -vollständigen E-Problem TSP überein, vergl. S. 144. Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 183 / 215
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6. Komplexität von Algorithmen 6.10 Komplexität von Optimierungsproblemen<br />
Bemerkung<br />
P ∈ PO impliziert natürlich P dec<br />
∈ P . Sofern P ≠ NP , folgt aus der<br />
NP -Vollständigkeit von P dec<br />
dann auch P /∈ PO .<br />
Beispiel ( MaxMatching ∈ PO )<br />
Codierung einer Probleminstanz: Knotenzahl n , Adjazenzmatrix A und<br />
binäres Partitionierungs-n-Tupel β , bzgl. dessen Bipartizität vorliegt.<br />
Codierung von potentiellen Lösungen durch (n × n)-Matrizen M .<br />
Syntaxcheck Probleminstanz: A hat nur Einsen in Positionen, deren<br />
Koordinaten verschiedene β -Werte haben (der Graph ist bipartite).<br />
Syntaxcheck potentielle Lösung: pro Zeile und Spalte tritt höchstens<br />
eine Eins auf (das Matching besteht aus disjunkten Kanten).<br />
A L M gdw M ≤ A komponentenweise (Teilgraph).<br />
c(M) ist die Hälfte der Anzahl der Einsen in M (Symmetrie).<br />
Jürgen Koslowski (TU-BS) <strong>Theoretische</strong> <strong>Informatik</strong> 2 SS 2012 182 / 215
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