Handout - Institut für Theoretische Informatik - Technische ...
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6. Komplexität von Algorithmen 6.10 Komplexität von Optimierungsproblemen 6.10 Komplexität von Optimierungsproblemen Das TSP in seiner E-Variante wirkt etwas künstlich: die Schranke K hat intrinsisch wenig mit dem Problem zu tun. Gesucht ist eigentlich die “beste” Reiseroute. Ähnlich verhält es sich mit der Färbbarkeit von Graphen: hier ist eigentlich die minimale Farbenzahl von Interesse, mit der ein Graph gefärbt werden kann. An diese kann man sich “herantasten”, a indem man die Schranke k im zugehörigen E-Problem sukzessive verringert. Das deutet an, daß es neben den Klassen der Entscheidungs- oder E-Probleme und der Berechnungs- oder B-Probleme eine weitere Klasse interessanter und wichtiger Probleme von praktischer Relevanz gibt: die Optimierungs- oder O-Probleme. Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 172 / 215
6. Komplexität von Algorithmen 6.10 Komplexität von Optimierungsproblemen Die Probleme MaximalesMatching und MaxFlow Definition Ein gerichteter Graph G = 〈V , E〉 heißt bipartite, wenn eine Zerlegung V = V 0 + V 1 existiert, so daß alle Kanten nur von Knoten in V 0 zu Knoten in V 1 verlaufen, formal E ⊆ V 0 × V 1 + V 1 × V 0 . Unter einem Matching versteht man dann eine Menge paarweise disjunkter Kanten, d.h., je zwei Kanten haben keinen gemeinsamen Endpunkt. Bzgl. der Kantenzahl maximale Matchings kann man finden, indem man gegebene Matchings solange mittels sog. “erweiternder Wege”in größere Matchings umwandelt, wie möglich. Dann ist zu beweisen, daß alle derart konstruierbaren Matchings dieselbe Kantenzahl haben. Stattdessen werden wir MaximalesMatching auf ein allgemeineres Problem reduzieren. Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 173 / 215
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6. Komplexität von Algorithmen 6.10 Komplexität von Optimierungsproblemen<br />
Die Probleme MaximalesMatching und MaxFlow<br />
Definition<br />
Ein gerichteter Graph G = 〈V , E〉 heißt bipartite, wenn eine Zerlegung<br />
V = V 0 + V 1 existiert, so daß alle Kanten nur von Knoten in V 0 zu<br />
Knoten in V 1 verlaufen, formal E ⊆ V 0 × V 1 + V 1 × V 0 .<br />
Unter einem Matching versteht man dann eine Menge paarweise disjunkter<br />
Kanten, d.h., je zwei Kanten haben keinen gemeinsamen Endpunkt.<br />
Bzgl. der Kantenzahl maximale Matchings kann man finden, indem man<br />
gegebene Matchings solange mittels sog. “erweiternder Wege”in größere<br />
Matchings umwandelt, wie möglich. Dann ist zu beweisen, daß alle derart<br />
konstruierbaren Matchings dieselbe Kantenzahl haben.<br />
Stattdessen werden wir MaximalesMatching auf ein allgemeineres<br />
Problem reduzieren.<br />
Jürgen Koslowski (TU-BS) <strong>Theoretische</strong> <strong>Informatik</strong> 2 SS 2012 173 / 215
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