Handout - Institut für Theoretische Informatik - Technische ...

6. Komplexität von Algorithmen 6.8 Weitere NP - vollständige Probleme
Beispiel (Fortsetzung)
Korrektheit: Ist ϕ erfüllbar, so färben wir die Knoten R , G und B mit
den Farben rot, gelb bzw. blau. Im Dreieck für die Variable x ist dann das
wahre Literal blau und das falsche rot zu färben. Wegen der Erfüllbarkeit
von ϕ ist in jeder Kopie von H ein Knoten α , β oder γ blau gefärbt,
was mit der Färbung von B konsistent ist.
Ist G ϕ 3-färbbar, dann seien oBdA die Knoten R , G und B rot, gelb
und blau gefärbt. Kein Variablen-Knoten kann dann gelb gefärbt sein, und
nach der ersten Behauptung können in keiner Kopie von H die Knoten
α , β und γ rot gefärbt sein. Also ist einer dieser Knoten blau, was nach
der zweiten Behauptung zur blau-Färbung von B konsistent ist, und
damit ist die Klausel wahr.
Laufzeit: Die Anzahl der Variablen-Dreiecke und der Kopien von H
beträgt jeweils O(|ϕ|) .
Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 165 / 215