Handout - Institut für Theoretische Informatik - Technische ...
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6. Komplexität von Algorithmen 6.7 NP - Vollständigkeit und Cooke’scher Satz Beweis (Fortsetzung) Falls s j(y) ∈ {#, 1} bzw. s j ′ (y) = R kann man analog verfahren, während für Aktionen der Form s j ′ (y) ∈ {#, 0, 1} insbesondere die Klauseln für den Bandinhalt zur Zeit t + 1 anzupassen sind (HA). Schließlich bleibt auszudrücken, daß Zustände außer q0 0 tatsächlich nur aufgrund von Übergängen entstehen. Leider ist es nicht möglich, für t < p(n) − 1 folgende Klausel zu verwenden (warum?) ∨ y
6. Komplexität von Algorithmen 6.7 NP - Vollständigkeit und Cooke’scher Satz Beweis (Fortsetzung) Laufzeit: ϕ w entsteht durch Konjunktion aller Klauseln. Die resultierende Formel in KNF hat eine Länge, die quadratisch in p(n) , und damit polynomial in n = |w| ist. Korrektheit: Nach Konstruktion existiert eine Variablenbelegung, die ϕ w den Wert true zuordnet, wenn M bei Eingabe w eine akzeptierende Berechnung durchführen kann. Umgekehrt ist im Fall der Erfüllbarkeit von ϕ w die Akzeptanzbedingung erfüllt, d.h., es gibt eine Zeit T < p(n) mit qm−1 T = true . Sofern T > 0 , existiert mindestens ein Übergang, der den Endzustand q m−1 produziert. Zum Zeitpunkt T − 1 wird aber nur genau ein Zustand qu T −1 angenommen und es findet genau ein Übergang uy T −1 statt. Auf diese Weise kann man rückwärts den Zustand q0 0 erreichen. Die Initialkonfiguration und die Konsistenzbedingungen garantieren dann, daß wirklich eine Berechnung der Maschine M vorliegt. Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 159 / 215
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Falls s j(y) ∈ {#, 1} bzw. s j ′ (y) = R kann man analog verfahren, während<br />
<strong>für</strong> Aktionen der Form s j ′ (y) ∈ {#, 0, 1} insbesondere die Klauseln <strong>für</strong> den<br />
Bandinhalt zur Zeit t + 1 anzupassen sind (HA).<br />
Schließlich bleibt auszudrücken, daß Zustände außer q0<br />
0 tatsächlich nur<br />
aufgrund von Übergängen entstehen. Leider ist es nicht möglich, <strong>für</strong><br />
t < p(n) − 1 folgende Klausel zu verwenden (warum?)<br />
∨<br />
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