Handout - Institut für Theoretische Informatik - Technische ...
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6. Komplexität von Algorithmen 6.7 NP - Vollständigkeit und Cooke’scher Satz 6.7 NP -Vollständigkeit und Cooke’scher Satz Definition Ein E-Problem L heißt NP -hart, falls L obere ⊳-Schranke von NP ist, d.h., für jedes NP -Problem K gilt K ⊳ L ; Bezeichnung NPH NP -vollständig, falls L ⊳-größtes Elemente von NP ist, d.h., L ∈ NP ist NP -hart; Bezeichnung NPV . Satz Existiert ein NP -vollständiges Problem L ∈ P , so folgt P = NP . Beweis. Nach Definition läßt sich jedes Problem K ∈ NP auf L reduzieren und folglich in polynomialer Zeit durch eine dTM lösen. Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 150 / 215
6. Komplexität von Algorithmen 6.7 NP - Vollständigkeit und Cooke’scher Satz Satz (Cook’scher Satz) Das E-Problem Sat der Erfüllbarkeit einer Boole’schen Formel in KNF ist NP -vollständig. Beweis Die Zugehörigkeit zu NP war bereits oben gezeigt worden. Für jede Sprache {0, 1} ∗ ⊇ L ∈ NP bleibt zu zeigen: L ⊳ Sat Idee: Ausgehend von einer nTM M , die L in polynomialer Zeit p akzeptiert, konstruiert man zu jedem w ∈ L eine Boole’sche Formel ϕ w in KNF, die eine akzeptierende Berechnung von w durch M beschreibt. Dann ist nachzuweisen: ⊲ w ∈ L gdw. ϕ w erfüllbar (Korrektheit der Reduktion) ⊲ ϕ w kann in Zeit O(p(|w|) 2 ) aus w konstruiert werden (damit gehört die Reduktion zu FP ). Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 151 / 215
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6. Komplexität von Algorithmen 6.7 NP - Vollständigkeit und Cooke’scher Satz<br />
Satz (Cook’scher Satz)<br />
Das E-Problem Sat der Erfüllbarkeit einer Boole’schen Formel in KNF ist<br />
NP -vollständig.<br />
Beweis<br />
Die Zugehörigkeit zu NP war bereits oben gezeigt worden.<br />
Für jede Sprache {0, 1} ∗ ⊇ L ∈ NP bleibt zu zeigen: L ⊳ Sat<br />
Idee: Ausgehend von einer nTM M , die L in polynomialer Zeit p<br />
akzeptiert, konstruiert man zu jedem w ∈ L eine Boole’sche Formel ϕ w<br />
in KNF, die eine akzeptierende Berechnung von w durch M beschreibt.<br />
Dann ist nachzuweisen:<br />
⊲ w ∈ L gdw. ϕ w erfüllbar (Korrektheit der Reduktion)<br />
⊲ ϕ w kann in Zeit O(p(|w|) 2 ) aus w konstruiert werden (damit<br />
gehört die Reduktion zu FP ).<br />
Jürgen Koslowski (TU-BS) <strong>Theoretische</strong> <strong>Informatik</strong> 2 SS 2012 151 / 215
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