Handout - Institut für Theoretische Informatik - Technische ...
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6. Komplexität von Algorithmen 6.5 Robustheit der Klassen P und N P Beweis. In den ungeraden Spuren wird zunächst unter dem letzten Eingabesymbol in Spur 0 eine Kopfmarkierung gesetzt, was konstante Zeit erfordert. Eine M -Aktion auf Band i kann durch M ′ auf den Spuren 2i und 2 i + 1 simuliert werden, in derselben Zeit, die M benötigt. Um eine nachfolgende Aktion auf Band j zu simulieren, ist der Kopf von M ′ zur Kopf-Markierung auf Spur 2j + 1 zu verschieben. Dazu sind bei Eingabe w maximal t(|w|) Schritte nötig. Insgesamt wird die Schrittzahl also höchstens quadriert. Somit dürfen wir bei Komplexitätsargumenten auf die bequemeren Mehrband-Maschinen zurückgreifen. Für andere Algorithmenmodelle (RAM, reale Rechner, etc.) kann man den Zeitbedarf bei der Simulierung durch (Mehrband-)TMn ermitteln. Dieser stellt sich als polynomial heraus, daher bleibt P invariant. Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 144 / 215
6. Komplexität von Algorithmen 6.5 Robustheit der Klassen P und N P Satz P ist abgeschlossen unter binären Vereinigungen und Durchschnitten, Komplementbildung, Konkatenation und Kleene-Stern. Beweis. Für binäre Vereinigungen und Durchschnitte, sowie für Kleene-Stern vergl. HA. Für die Komplementbildung verwende die Konstruktion M ↦→ M ′ aus dem Nachweis der Nichtentscheidbarkeit von L acc . Konkatenation: Die dTM M i möge immer halten und L i ⊆ Σ ∗ i in polynomialer Zeit p i akzeptieren, i < 2 . Die Maschine M zerlegt die Eingabe w ∈ (Σ 0 ∪ Σ 1 ) ∗ systematisch in zwei Teile w 0 und w 1 mit w 0 w 1 = w und untersucht diese auf Zugehörigkeit zu L i , i < 2 . Sobald beide Tests positiv ausfallen, wird w akzeptiert. Die Anzahl der Zerlegungen ist durch |w| + 1 beschränkt, die Laufzeit der Tests auf max{p 0 (|w|), p 1 (|w|)} . Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 145 / 215
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6. Komplexität von Algorithmen 6.5 Robustheit der Klassen P und N P<br />
Satz<br />
P ist abgeschlossen unter binären Vereinigungen und Durchschnitten,<br />
Komplementbildung, Konkatenation und Kleene-Stern.<br />
Beweis.<br />
Für binäre Vereinigungen und Durchschnitte, sowie <strong>für</strong> Kleene-Stern vergl.<br />
HA. Für die Komplementbildung verwende die Konstruktion M ↦→ M ′ aus<br />
dem Nachweis der Nichtentscheidbarkeit von L acc<br />
.<br />
Konkatenation: Die dTM M i möge immer halten und L i ⊆ Σ ∗ i<br />
in<br />
polynomialer Zeit p i akzeptieren, i < 2 . Die Maschine M zerlegt die<br />
Eingabe w ∈ (Σ 0 ∪ Σ 1 ) ∗ systematisch in zwei Teile w 0 und w 1 mit<br />
w 0 w 1 = w und untersucht diese auf Zugehörigkeit zu L i , i < 2 . Sobald<br />
beide Tests positiv ausfallen, wird w akzeptiert. Die Anzahl der<br />
Zerlegungen ist durch |w| + 1 beschränkt, die Laufzeit der Tests auf<br />
max{p 0 (|w|), p 1 (|w|)} .<br />
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