Handout - Institut für Theoretische Informatik - Technische ...

6. Komplexität von Algorithmen 6.4 FP - Reduzierbarkeit
Korrektheit: ϕ ist erfüllbar gdw für jede Variable x die Literale x und
¬x in verschiedenen starken Komponenten von G(ϕ) liegen.
( ⇒ ) Wenn eine Belegung der Variablen existiert, die jeder Klausel
(α ∨ β) den Wert true zuordnet, muß insbesondere α oder β mit true
belegt sein. Damit hat G(ϕ) keine Kante von einem mit true zu einem
mit false belegten Literal. Da je zwei Knoten einer starken Komponente
auf einem gerichteten Kreis liegen, können somit die verschieden belegten
Literale x und ¬x nicht in derselben starken Komponente auftreten.
( ⇐ ) Wähle eine topologische Sortierung ord des Graphen der starken
Komponenten [α] von G(ϕ) , α Literal, und setze
x = true gdw ord[¬x] < ord[x]
Ist (α ∨ β) eine Klausel mit α = false , dann gilt wegen der Kanten
¬β α und ¬α β in G(ϕ)
und folglich β = true .
ord[¬β] ≤ ord[α] < ord[¬α] ≤ ord[β]
Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 139 / 215