Handout - Institut für Theoretische Informatik - Technische ...
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6. Komplexität von Algorithmen 6.4 FP - Reduzierbarkeit Beispiel (Fortsetzung) Wir verwenden die Positionen 〈i, j〉 mit i < j < n der Einsen in A als Knoten der Kantenmatrix; diese seien lexikographisch geordnet. Die Kanten von G K entsprechen Paaren von Einsen in derselben Zeile oder Spalte im oberen Dreieck von A . Genauer, für i < j < l < n gilt: A i,j = A i,l = 1 impliziert 〈i, j〉 〈i, l〉 in G K A i,l = A j,l = 1 impliziert 〈i, l〉 〈j, l〉 in G K In jedem Fall sind drei geschachtelte Schleifen über i < n , über i < j < n und über i < j < l < n zu durchlaufen, was eine Laufzeit von O(n 3 ) liefert. Allerdings erfordert die Initialisierung der Matrix A K mit Nullen bereits O(n 4 ) Schritte. Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 136 / 215
6. Komplexität von Algorithmen 6.4 FP - Reduzierbarkeit Satz Aus L ⊳ K ∈ P (NP) folgt L ∈ P (NP) , d.h., bzgl. ⊳ ist P ( NP ) ein unterer Abschnitt der Klasse E aller E-Probleme. Beweis. Wähle eine FP -Reduktion L ⊆ Σ ∗ Γ ∗ ⊇ K, die von einer dTM M f berechnet wird, und eine d/nTM M K mit L(M K ) = K . Diese Maschinen mögen polynomiale Zeitkomplexität p f bzw. p K haben. Die Hintereinanderschaltung M L von M f und M K erfüllt w ∈ L(M L ) gdw f (w) ∈ L(M K ) = K gdw w ∈ L Da das Schreiben der Ausgabe f (w) mindestens |f (w)| Schritte erfordert, ist die Laufzeit von M L auf Eingabe w durch p K (p f (|w|)) beschränkt, also hat M L ebenfalls polynomiale Zeitkomplexität. Die Zugehörigkeit zu P bzw. NP kann somit auch durch Reduktion auf andere P bzw. NP -Probleme nachgewiesen werden. f Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 137 / 215
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6. Komplexität von Algorithmen 6.4 FP - Reduzierbarkeit<br />
Satz<br />
Aus L ⊳ K ∈ P (NP) folgt L ∈ P (NP) , d.h., bzgl. ⊳ ist P ( NP ) ein<br />
unterer Abschnitt der Klasse E aller E-Probleme.<br />
Beweis.<br />
Wähle eine FP -Reduktion L ⊆ Σ ∗ Γ ∗ ⊇ K, die von einer dTM M f<br />
berechnet wird, und eine d/nTM M K mit L(M K ) = K . Diese Maschinen<br />
mögen polynomiale Zeitkomplexität p f bzw. p K haben. Die<br />
Hintereinanderschaltung M L von M f und M K erfüllt<br />
w ∈ L(M L ) gdw f (w) ∈ L(M K ) = K gdw w ∈ L<br />
Da das Schreiben der Ausgabe f (w) mindestens |f (w)| Schritte<br />
erfordert, ist die Laufzeit von M L auf Eingabe w durch p K (p f (|w|))<br />
beschränkt, also hat M L ebenfalls polynomiale Zeitkomplexität.<br />
Die Zugehörigkeit zu P bzw. NP kann somit auch durch Reduktion auf<br />
andere P bzw. NP -Probleme nachgewiesen werden.<br />
f<br />
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