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6. Komplexität von Algorithmen 6.1 Beispiele effizienter Algorithmen Beispiel (Fortsetzung) Korrektheit: Wenn G azyklisch ist, gibt es in jeder Runde Knoten ohne Vorgänger. Folglich gilt U ≠ ∅ , solange noch unsortierte Knoten existieren. Erfolgt in Zeile 19 die Zuweisung ord(v) = i , so wurden allen Vorgängern von v in früheren Schritten kleinere Werte zugewiesen. Aus obiger Analyse darf man allerdings nicht den Schluss ziehen, die Codierung gerichteter Graphen mittels Adjazenzlisten wäre der Codierung mittels Adjazenzmatrizen überlegen, zumal |E| ∈ O(|V | 2 ) gilt. Beispiel v1 w4 x3 u0 y2 Adjazenzlisten: u → (v),, v → (w, x) , w → (()), , x → (w),, y → (x),, Knoten i In[i] ∈ U? In[i] ∈ U? In[i] ∈ U? u 0 yes v 1 0 yes w 2 1 0 yes x 2 1 0 yes y 0 yes Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 112 / 215
6. Komplexität von Algorithmen 6.1 Beispiele effizienter Algorithmen Nun wenden wir uns der 2-Färbung ungerichteter Graphen zu. Satz Ein ungerichteter Graph ist genau dann 2-färbbar, wenn er keine Zyklen ungerader Länge besitzt. Beweis. Zyklen ungerader Länge sind offensichtlich nicht 2-färbbar, dürfen somit nicht als Untergraphen auftreten. Gibt es keine Zyklen ungerade Länge, so färben wir einen Knoten v und alle Knoten in gerader Entfernung von v rot, und alle übrigen Knoten blau. Nach Voraussetzung haben alle Verbindungen zwischen je zwei gleichfarbigen Knoten nur gerade Längen, während alle Verbindungen zwischen Knoten unterschiedlicher Farbe von ungerader Länge sind. Idee: Schichtweises Vorgehen: färbe gewähltes v rot, alle Nachbarn blau, die ungefärbten Nachbarn dieser Menge rot usw. Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 2 SS 2012 113 / 215
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Theoretische Informatik 2 Jürgen K
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Übersicht: Turingmaschinen I 2 3.
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Übersicht: Unentscheidbare Problem
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Hintergrund und Motivation Ziele de
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3. Turingmaschinen Kapitel 3 Turing
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3. Turingmaschinen 3.0 Vorüberlegu
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3. Turingmaschinen 3.1 Entscheidbar
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3. Turingmaschinen 3.1 Entscheidbar
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3. Turingmaschinen 3.2 Die Chomsky-
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3. Turingmaschinen 3.2 Die Chomsky-
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4. Church-Turing-These Kapitel 4 Di
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RAM 4. Church-Turing-These 4.1 RAM
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4. Church-Turing-These 4.1 RAM Bewe
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4. Church-Turing-These 4.2 Rekursiv
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