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Sei diese Version der bedingten wahrscheinlichkeiten auch für Nullmengen<br />
wohidefiniert-<br />
^!<br />
nlÄ.)<br />
Sritrtr supl t P(x,: j q:DlP(s;:l<br />
P@<br />
iel r:o<br />
n'lk) P(s;:t k,)<br />
:lim sup I lP(q:l-l'!')<br />
P(q,:r)<br />
: I P(s;: l-n'i-P(s;:01.<br />
Bilden wir den Grcnzübereang ,r+ co, so folgt die Behauptung unter Beachtung<br />
von ir(,,,t)cä(/.., k):{m:nt-m.)P(sj .=/,lJ>0, P(q-.:'n,)>0} 1ür j>r.<br />
,,+". Diese Richtu4 folgl mit der Ungleichutrg (1)<br />
t pi,.7' -trj|<br />
>I P(x," .,+,:k,s;=na m'+4k)<br />
- P(x"" +, = /{, s'" > no + I ll.) |<br />
+ L )Ply^:n-n'lkJ P(&:nli,) 0)<br />
lür alle reN; mit Limesbildung über l ergibt sich:<br />
= t lP(q"-', n'li{,)-P(q:nl&.)l<br />
: I LP(q:/I -r,r',) - P(s;" =d)1.<br />
Mit der Limesbildung auf beiden Seiten über no ergibt sich die Behauptung.<br />
Der Beweis der Ungleichung (1) geschieht durch lnduktion nach t:<br />
i) Für t=0, r,l>0 gilt:<br />
, rrii'-ü.rl<br />
> t P(xb .,:k^s; >no - ''?'lk.)<br />
-P(x"":k^s; >nol,(.)1.
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