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Eine Harrisirrfahrt ist eine spezielle Markovkette mit 1:Z und den
Übergangswahrscheinlichkeiten
P,r=0 für j+ i- l, i, i+ 1,
qt.t- t:Prqt+ rt+k=1'
Viel '
Für rekurrente Zuständc ist folgender Satz bekannt:
(1.1) Setz Set / ei e rckufte te, apetiodische Klasse, so erfilllt die termünle o
Algeba das 0- l-Gesetz.
Beü,ets. Siehe hierzu z.B. Freedman [3].
Ein Beweis dazu sei bier nur skizziert.
Anstatt (2 betrachter man O'={oeQl@.=i utrendlich olt}. Jedes {, wird in
Blöcke zerlegt, und zwar b€ginntj€der Block mit i und endet vor dem nAchsten i.
tt iz pr
tr(@)bedeuteden k-ten Block uDd B sci die abzählbare M€nge der Blöcke Dann ist
die Abbildung /l:(r,,f',...): f2'-Btr büektiv und meßbar, B-' ist meßbar, und
4P_r ist das Produktmaß aufdem Produktraum Bx Eine symmetrische Menge
,4^o'ergibt auch in Br eine symmetrische Menge r(,4 ^o'). Nach dem Hewitt-
Savage 0- l-Gesetz tolgt 4P-|lP(A^o'\): Pt@\:o bz'ü. r.
Für rekurrente aperiodische M.K. findet man den folgenden Satz2.l in der
Originalarb€it Orey [4], oder in [1], t3l unter ,.a theorem of Orey". Die
Verallgemeinerung geschieht ohne große Schwierigkeiten.
(1.2) Satz Sei Xo, Xr X2,.. eine Matko\kette. Folgehde Aussagen sikd
i) "q! ltrivial
;1) timlq(B .q,) 4lB)l=o v Be{,
iii) Iitr' sup lPtlA ^ B)- PtA). KB)l=o
iv) liln sup ll.c(.an B)- 4(r).4 (B)l:0
vB€9,
lür B aus dem Erzeugendensystem {8i = {X.:jl, meN, jell von g,
i tirl, L It j"ll+.i - fi.Jl-o, vn€rv, vjo€I.
Aelreir. (i) + (ii)€ (iü) isl für allgemeine Prozesse bekannt.r
Für (üi) + (iv) benötigt man die Markoveigenschaft.
Ebenfalls w€gen der ME reicht es Aeg(X,) zu wählen. Mit B:ry, lid A
= {@1x,(or: j,4;f pi. j> 0} folsl liv)€(v).
I
l2l, s.95. rroblen 6. [5], s.18, TheoreD4.l