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oz
z. wahrschcinlichk.nstheori. ves. ccbictc
17 , 227 242 (1971)
'll'ahsdreinlichkeitstheolie
,O by SprinBcrvcnae l9?7
Das 0 - l-Gesetz der terrninalen o-Algebra
bei Harrisirrfahrten
Uwe Rösler
lnnnü für M.thcmri$hc Sraristik utrd wirr3chafismaü.naril der Unircßitär Götrins.n
Lorz6r., 13. D,3401 cörri.gcn, Bu.d6epublit Detrlscbland
Für homogene M.K. bestehetrd aus einer aperiodischen rckurrenten Klasse, ist
bekannt, daß die terminale d- Algebra das 0 l-Gesetz ernillt. Der erste Teil dieser
Arbeit behandelt die Cültigkeit des 0- l-cesetzes für rransiente Keten, ftir die
eine Folge ko, k,, fr, k3,... von Zustenden existiert rnit P(: llX": kr* l lXo-&/)
:1, V/€N. Das herzuleitende Kriterium wird nur von dieser Fotge und den
Stoppzeiten, von /

Eine Harrisirrfahrt ist eine spezielle Markovkette mit 1:Z und den
Übergangswahrscheinlichkeiten
P,r=0 für j+ i- l, i, i+ 1,
qt.t- t:Prqt+ rt+k=1'
Viel '
Für rekurrente Zuständc ist folgender Satz bekannt:
(1.1) Setz Set / ei e rckufte te, apetiodische Klasse, so erfilllt die termünle o
Algeba das 0- l-Gesetz.
Beü,ets. Siehe hierzu z.B. Freedman [3].
Ein Beweis dazu sei bier nur skizziert.
Anstatt (2 betrachter man O'={oeQl@.=i utrendlich olt}. Jedes {, wird in
Blöcke zerlegt, und zwar b€ginntj€der Block mit i und endet vor dem nAchsten i.
tt iz pr
tr(@)bedeuteden k-ten Block uDd B sci die abzählbare M€nge der Blöcke Dann ist
die Abbildung /l:(r,,f',...): f2'-Btr büektiv und meßbar, B-' ist meßbar, und
4P_r ist das Produktmaß aufdem Produktraum Bx Eine symmetrische Menge
,4^o'ergibt auch in Br eine symmetrische Menge r(,4 ^o'). Nach dem Hewitt-
Savage 0- l-Gesetz tolgt 4P-|lP(A^o'\): Pt@\:o bz'ü. r.
Für rekurrente aperiodische M.K. findet man den folgenden Satz2.l in der
Originalarb€it Orey [4], oder in [1], t3l unter ,.a theorem of Orey". Die
Verallgemeinerung geschieht ohne große Schwierigkeiten.
(1.2) Satz Sei Xo, Xr X2,.. eine Matko\kette. Folgehde Aussagen sikd
i) "q! ltrivial
;1) timlq(B .q,) 4lB)l=o v Be{,
iii) Iitr' sup lPtlA ^ B)- PtA). KB)l=o
iv) liln sup ll.c(.an B)- 4(r).4 (B)l:0
vB€9,
lür B aus dem Erzeugendensystem {8i = {X.:jl, meN, jell von g,
i tirl, L It j"ll+.i - fi.Jl-o, vn€rv, vjo€I.
Aelreir. (i) + (ii)€ (iü) isl für allgemeine Prozesse bekannt.r
Für (üi) + (iv) benötigt man die Markoveigenschaft.
Ebenfalls w€gen der ME reicht es Aeg(X,) zu wählen. Mit B:ry, lid A
= {@1x,(or: j,4;f pi. j> 0} folsl liv)€(v).
I
l2l, s.95. rroblen 6. [5], s.18, TheoreD4.l

Das 0... l.Gcserz dcr rerEinalq d-^lgebra bei Hliiisnrtahnen
2lt
52. Eot$icklüng €ines |(ritedums für transiente M.X.
I
In dcr Beweisskizz€ hattcn wir di€ unabh. id. verteilten Stoppzeitcn von, nach i
eingeführt. Fürtransiente Ketten nehmen wiran,es gibteine Folgevon Zuständen
i, ,ir, kr,... , mir der Bedingung B
(B) Pr,(:n>0x,:t,,1):|
€N.
Der folgende Satz besagt. es geDügt, sich nur aufdiese Züstände zu beschränken.
Wähle als Abkürzung ,4(,, k): {n lpil > 0} urd lt(t,t) das ,ton A(i,k)- Ali.k)
{n mt n.l,''rm,.Ali.ktl b7sl. z crTeugte Haupridcal.
(2.1) Srtz- g- i-triuial ist öqutatent :ü
rim sup f ll[;' -d; :o
V/r€ {t, k,. k,,... } Vr!'€ä(i, k).
Bewets. ,,-" Man w€ndc Kriterium v) aus Satzl.2 an. Sei jo€I, me,4(t,jo).
&€{i,/r,.i(:,...) Init Pj"(1"X,=l):1. so gilt
lim sup I lpj,.i-pl.r
^-.
jEr
=rün sup: l,I"/,j^,";
i,I"j,l-ptr,
-P(x.=i^ io

Der zweite und dritte Limes sind wiederum0, fir den ersten wende man dominierte
Konvcrgcnz an:
:-,:-,..
s I/,:, t4,li-supLpi.,- ' d.,'
=lim sup: lph- -pi.rl=0.
Dabei ist rr'-m+t I beliebig aus,4 :,4Lio,k)+,4(t-,jo)-l(t.k).
Mit Hilfe der Drei€cksungleichung foigt diese Behauptung fiir das von ,4
erzeugte Ideal. Dies ist aber genau H(i,ft).
Iim sup I ldt'-,rij
ü= t -m2.mbm,eAli,kl
>lin sup: lrrit'' "'-p.4r"'l+lim supl l4i'''-4r1.
n-' jEt r'' jEt
Aus Kriterium 1.2 folgt die Behauptung. q.€.d.
wegen der Dr€iecksungleichung reicht es im obigen Satz, ,tr' das erzeugende
Element drr von ä(t,k) zu wählen, bzw. wegen tJ(i.1,)cH(t,*r) lür i

Das 0- I-G.setz dcr teminal.! d-Alsebra bei Hlnisnrfahn€n 231
Dann durchläuft das Teilchen ftr, bevor es in einem Zustand r($(so < D gewesen
ist. Da dies Teilchen f.s noch nach li, gelangen muß, gilt
4,(l n >0 x.:l&)= I,
wegen Bedingung I ab€r auch
A tln>0X,:l,t:1.
d.h. der Zustand Ie ist rekurrent.
Sind alle Zustände transient, so gilt Bedingung C.
(C) P{rr,+\,):0
ftir alle l€ll.
(2.21 SttL Für 9" i-tri|ial ßt hinrui.hend
lim sup I lP(s;:0-P(q:l-"')l=0
vr€N
V n'e{n=n,-n, !n: P(S;:n,)>0, P(S;:n,) >0}.
Untet Bedingung C gilt auch Notu'endigkeit.
B€$'cir'e" Wähle das Kriterium aus dem vorhergehenden Satz Sei speziell k,=k
nm sup z /i.; -p;,.j]
=rimsupLlL Ptx, ^. - j.s'^-4k,1
i-r
r€/ | r-o
+ i prx"-.. =;,-.s; = itr,t
- I P(x.=i,q=rtk )
@l
- t P{x"=i,s;:/ k.rl
I
-t:
Srijl, supZlil
3l - ) P(x,,= iq:rlk.)l
P(x" - -.: j. s'^: t - n')k,J
+Iitrtr sup I p(x" -.: j,s,_>n-n'lk,l
+lim sup I p(x":J, sl>'ljft,).

232
Sei diese Version der bedingten wahrscheinlichkeiten auch für Nullmengen
wohidefiniert-
^!
nlÄ.)
Sritrtr supl t P(x,: j q:DlP(s;:l
P@
iel r:o
n'lk) P(s;:t k,)
:lim sup I lP(q:l-l'!')
P(q,:r)
: I P(s;: l-n'i-P(s;:01.
Bilden wir den Grcnzübereang ,r+ co, so folgt die Behauptung unter Beachtung
von ir(,,,t)cä(/.., k):{m:nt-m.)P(sj .=/,lJ>0, P(q-.:'n,)>0} 1ür j>r.
,,+". Diese Richtu4 folgl mit der Ungleichutrg (1)
t pi,.7' -trj|
>I P(x," .,+,:k,s;=na m'+4k)
- P(x"" +, = /{, s'" > no + I ll.) |
+ L )Ply^:n-n'lkJ P(&:nli,) 0)
lür alle reN; mit Limesbildung über l ergibt sich:
= t lP(q"-', n'li{,)-P(q:nl&.)l
: I LP(q:/I -r,r',) - P(s;" =d)1.
Mit der Limesbildung auf beiden Seiten über no ergibt sich die Behauptung.
Der Beweis der Ungleichung (1) geschieht durch lnduktion nach t:
i) Für t=0, r,l>0 gilt:
, rrii'-ü.rl
> t P(xb .,:k^s; >no - ''?'lk.)
-P(x"":k^s; >nol,(.)1.

Da5 0- l.c4tz dd tc@iMt6 r alrlbn b.i Hübi.r&trt6 231
Dies ist aber erftillt, rvenn man beachtet, daß S;=ro trach Dcfinition gilr
ii) Ftu den Induktionsschluß mültipliziert man h der Formel
I lP(xr_..+,:tnq=
no- n' + ttk)
- P(x6+, :en& >'lo + t 1ft,)l
den BetBg jeweils mit !pai=I, vertauscht die SummationsreiheDfolgc und
€rhält mit der Dreiecksungleichulg:
> I I I. r,.,trtx--' -,=k^s;>,io-n rrlk.)
- P(x." +, = k .! s; = /'o + t lir.) |
+.Irr,.-.,,.r1P{x. - -, =k&+.-, ^Si'ba,o -'' +rlk,)
-P(xb+,:kb,+ 1 ^q =''o + rl ft ,)1.
Verwende lutr Bedingung C
: t lP(x&_..+,+1:k, sb>no-'f'' + t+ tlk)
-P(x.**
r =k"s;>no +! + 1l&,)l
+ lP(s&+,=,o-n +tlk ) - P(S; - no + tlk.)1.
Im Weitcrcn benötigen i'il den Hi1lssatz2.3.
(2.3) Hifssrtz 4, t€N, seielt mabhÄngi4e Zulallsuariablenit Werten inN,
4= I li, 4=0.
,';.n ä)"1i,,",, a,,"n
2-tr= LP\Yr:t- P(r,= j- ro)1, l,io€N.
A6 tt|=@
lolgt
fi m t lP(4=r)-P(4:j-lo)l -o
Beweii. Sicho hierzu Rösler [6].
(2.4) Nriterium. Sei ko:i,krk2... eine FoICe mit 4,Fn>0 X,:ft"+r):l,
V neN, Zt t 'ie bisher,
2-ti'- LIP(Z -t P(2,:i-,',')1, l€N.
n'-=größter gemeinsanE Teilo oon tmltr,>O,
Aus L
q' : @ folgt g'
i+nüial.
Ie}|{|.

U. Rö6ld
Beweis. Wetrde Satz2.2 und Hilfssatz2.3 an.
@: I rf'= trf'+ rm ! 1r1s;=1-r1s;=;-n,y1=o
,_@J€X
für alle r€N. q€.d.
Folgerung 2.5. Ist t rekurrcnt, so ist f ftlivial. Als Folge werde (i, i i, ...)
gewähL tn' ist die P€riode von i.
$3. Anw€odung des K redums 2.4 e|f llNnisirrfrirteD
(*) P, (Vr>0 X,>0)>0undPo0r>0 X" < 0) >0 ertüllen.
Die Irrfahrten mit (r) haben immer nicht Gtriviale terminale d-Algebr4 da
(V n > n-: X, > 0), (V,t > X, < 0) tcrmitrale Er€ignisse sidd mit Maß ungleich 0
bzw- l.
".:
Rekur.ente Harristrfahrten sind spsziell auch rechtslaufetrd und besitzen,
Proposition 2.5, immer Gtrivial€ Tcrminal-d-Algebra.
Seien für diesen Paragiaphen alle r, gleich Null, d.h. die Periode 4 glcich 2.
(3.1') turz" Ftu ei,te rechtslaulende H aftisiftfahrt nit Periode di:2 ßt g' Gtriüial
genou dann,lolls Lq":@
e{üIIt ist.
sei ,{= l-l I j tx,-4.,4e.f
-. so isr bis auf eine Nullmense,4
= {(0,1,2 3,41...)}. Es silt Po(?4) = l]p,:0 bzw. l. (l ist unmöslicb, da wes€n do
:2 miidestens ein p,, i>0, tleiDer als I ist.)
Es folct
"o: ! (t -r): X c,.
Als Folge mit Eigenschaft B (und auch C) wähle 0,1,2,3,4,.... Sci Z,=t.,,
-r,, n= 1,2t 3,... die Stoppzeit, um von 't zum erst€tr Mal nach r+ I zu gelaDgen.
Hifssatz 3.2 liefert ,t:.*,- L2q^:6, mit Kriterium 24 folgt Dun die
Behauptun&
Sei I:Z der Einfachheit halber eiDe Klasse-
Die Harrisirrfalnen werden eingeteilt in die rechtslaufende& d.h. Pillr>0x,
: i + 1) = 1 V t = 0 (bzw. linkslaufendetr) und die hier uninteressantetr übrigen, diq
wie man sich überzeugl,
(3.2) Hifssrtz Gegeben sei eine Haftistulabt auf I-Z-wlo,Il. AIle \ seien
Null, pt.r=l UNI Pdlnx"=ll= l. Dann ßt f ä. t= Polx F l,'l |

Das 0 1-(]6etz der leminalen r alsebra bei HarisirhhrLen 235
ton Jalleni Jüt l>l urul l=lmod2, und es sttt:
L 1J., 1,:.,' :21i.,:2po.,
Be$.,ts. i) Nehntrer wir €ineNullmenge aus O heraus und betrachten den Prozeß aul
d€m fast sicheren Ereignisraum
ö: Ie)eo a,- \:@":r v a^+ t:@"- | v a^+ r:o,+ I vn€N)
Bt:I@eAkra:o ^ tD j:tv i>l\
At:IoeA@a:o^oF1
P( U,1'10):P(: /&:1t0)=
1.
zum ersten Mar]
,4 i : {o) e,{ 'lerstes Minimun bei '}.
Erstes Minimum b€i l1 soll bedeuten: falls o)o

216 U- Röder
ZujedemöE,{i*'?,l> l, sci n(.t): n das kleinstet€N, fir das oii =üi,+ r
- 1 und
ör..> ro, gilt. n ist wohldefiniert, da die Koordinat€ des absoluten Minimums
obige Eigenschalt b€sitzt.
Falls a-i +, = .D- + 2 gilt, so setze
(htk'Dt:öt
i=k- I
(ht(@))t=('t*1 i>n- |
und damit
h'lö)EA'.
(Vergleich: Pfad aüs Bild ii zu Plad aus Bild i.)
Fälls oi, L
(h\ö))t:4
=@; gilt, so setze
vrs,
(I'(a,)),=(,,*? v t>n
und damit
h'lö)eA'.
(Vergleich: Pfad aus Bild iii zu entsprechendem Pfad aus Bild i.)
Hierdurch ist ,rvoltständig als Funktion bestimmt. ftr ordnet nach KonstruLtion
jedem d€,{'+': ein Element aus ,:lizu. so daß ftir g'(rrI(ö)):(@', o)") €ntweder
,r': ö (erste Fallsbedinsung) oder o":ö (zweite Fallsbedingung) gilt.
iii),41 schreibt sich als (T-Shifttransformation)
,ai:{o} x t-r} x... x { -n} x{-n+ r} x r-1,4r.
Wcit€r gilt
P(Al,lo)=po. \...p ,.\
P( v, (s'(,{:))
t0)
,p "_
,_td7""lAt)l-n+1).
:p1).-t.. p ""',-,P ". "
rP,-r. "P ",-,t
t
'P(r+ r(Ä)l-n+ l).
PtYls'tAl))lo)
:Po. t. P ,*t.-,P-".
"+rl-^,
. PC'+'zlAll-'t+ t).
t. ,P ,. ,-r
Hieraus ergibt sich die in iv benötigle Beziehung:
P( Y,(c'(.4 ))t0) + P(y,ß 1,{ )) o)
:PlAt^l0llp ^. ^-,p,,_
"+p-,.,*tp-".t. "J
s P(,{ | t0).

Da 0- l-G$!iz d.r t.müsl€tr r-Al8.bh
b.i H8Eirirdalnd
237
iv) /j., =p(,4't0)=p ="t"p(.4:t0)
LUo.4ito)
= t { P{ v,k 1,{ ),l0) + P{rlsr(,{ l))t0))
=r [u"rr,{c'{.al))
rle,(,rl))) o)
ZP(AI"lo):lij'.
i tvi.,-!ii"t= L vl.,-t;i'l
:r"1.,+ iuj.,-/Jj1
:ß.,+ rJl,,- >Ii"
:2po.t.
0{, Arrendungfl rd rperiodischa Hrrrbirfrürrei
/-Z sei eiüe Klasse mit Periodc l. Jcdem Pf&d @ woll€n wir eindeutig eitr o'€O
zuoidnen, wclcb€s die Reihenfolge der verschiedenen Zust?idde von a) angibt, und
ZV. t t,"(or), rtEN, die angeben, wie oft das Teilchen in a); verbleibt.
rr, i€N, seien Stoppzeiten, induktiv defmiert durch ro(or)=0,
-..t'.,.,
.". 1a',,={iof1-'et'),
t@ ralß rtrIuDDesumml.
Um P(/

238
X; bildet eine Hanisirrfahrt mit Periode 2 und den
Überyangswahrscheinlichkeiten
,p",q"
n:7-,. qi= -.
Pr(x;:ilx;: j^^x; ,:j. ,n ..^x6:jo) o.E.t'>ln
P\f'r-jlA) PU \!)2! \A'))
=p(f t(x) Ir(A'D=plX,""t=i X.^t-t- ^)
:Pr(X',":4X',^:1.
p/ : p6,, @t:j + 11x,,
t ):j) : p j+ rj p j+ r: p j+...
o.E.pr(A,)>o
_j-'
Viele Ei8enschaften, wie Returrenz, Klasse, übertmgen sich von o auf o'.
Interessant ist besonders, wre lange ein Teilchen aus O in einem Zustand
verweilt. Diese Z.V. haben ehe Verteilung von der Art
P(Yt:t :0 \) ri - I : 4Gt : t.
(4.1) Proposition. s?rer Yt, i€N, unabh. z.u nit vert. P(Y^: j\:(r
j€N,0=/"=1, sei s, die n-te Patialsumne.
"d
Dann sib, aus t\=,D folct
lim t lP(s,-i) P(s":j- Ul:0.
Beweis. P(Y,: j) ist monoton fallend ftir j= I und daher silt
l,lP(Y":j) PIY":j-r)l
.t.x
:P(v,:1)+ I (P(Y,:j l) P(v" =j))
:2P(Y"=r'):2(r r,) -
\)rl
' liir
Wende nun Kdterium 2.4 an, so folgt die Behauptung.
(4.2\ SA.L Ist eine Hattisnrlatut eine Klasse mit Periode 1 nd rcchtslaulend, so
i) g' o-trilial
ii) Po({ar 111-1,= m}):1
Sei .4- Gtrivial und po(tralI tr(-Dr:co))+1, so erhält matr sofort
Po({ ) 'i.r(,))

D6 0 1.c6etz der t min.ld
r,Aigcbra b.i Iluidrtshn@
219
Benutze Dun folgende Erweiterung von Borel-Cante[i (Breinan [2]).
Sei fo, yl ..- ein beliebiger Prozeß, I "e9(Yo,...,y).
Dann gilt fls.
{@ l@e,{" unendlicb oft} = { (1' I I P(,a,+ r lyo, ..., yJ: co} ,
Sel Jet A,-t(Dl@"-(t),+t), so folgl nach dem oben zitierten Satz
1=P(,4, endlich oft) = P((' ll ,r(or) v n > n(.D): @,+ r:.r"11).
Die b€ideo terminalen Ereignisse
A
: [oJi+,' unendlich oft gersde]e.4-,
,' = {(r)" + n unendlich oft ungerade}€t.,
guB=A, polB ^ B'\ - po{,{, uncod tich ofi): fl I '.rro), = @)- 0
liefem nun den Wideßpruch.
Sei o.E.d.A Po(B) > 0 und poo > 0, so gilt wegetr {0 x B} c B'
I : Po(B u t') = Po(r) + Po(ß]= Po(8) + poo Po (8)
ud daher I > Po(B)>0. Wideßpruch.
v" sei eine Stoppzeit auf (/
v.(.,)-i, ({,rltl(4s.(.l'6...(1,;):,
j.r
Dabei ist
- P(S ^(ob... @) : j - t)l Se) u {co}).
s -(@'o,..., @;):, z -'.-1,
i'l
z?i ""- r-.,',.--),:r.",...,^.
Pol
1( !"(@')< co)-Po( vJl((],)) < @)
]Po(lim supl P(s.(@;, ...,(l);):j) - p(s,(.o; ... (1)') -j - t) I < ä)
,-@
,.r
= Po( t ru(-))., - co): 1.
Wende zum Nachweis der Trivialität Satz2.l an
tin t lp[l-pljl ,{>0
elin I X
r-o ':o I!6- qi....,16= dti I clvJo J= it
P | - 1 lx o = @i,..., x; = a;)
. L lPr/X
" -' : i lxi = @'o,..., x ^: o' )
- P,(x
"= jlx'o=a'o,..., x'^-/,J]J|.

240
U Rösl€r
Ganz analog zum B€weis '€" von Satz 2.2
Definition von s,(...))
< tim | | 4tttxa-u;...x^-ü;t
'-@ D€xlv!=n)
I P(s,(r,rb... rr;J:l 1) P(s.(ob,...,(lr;):01
=r.P(v.l < co): €.
uDd damit ist .r'" nicht o{rivial.
rlt Lqn:6 una Ä4

Dß o-r-Cescrz dcr tcminrlen d-aleehra b€i Harisnrfahrtci 241
Das Prodük t der charakteristischen Fünktionen [l E,(t) Sleich 0 tu r a]]e I + 0 ist
iqu,\alenrzu 1-P lLZ": ' l: Pfr L
f-,= a ) und dies noch Satr4.)/u.''0.
trivial. Da der Prozeß sich abgewissem N(rD)ste1s in positiven Zusländen befindct.
kannmano.E.d.A40:0:rosetzen und erhältdamirqo(l):l.Setztmanr= I tolgt
eine Richtung die andere folgt aus po(r) ist monolon steigend nir t0.
t4.4t BeisDicl. Aus t - L-
. folEt,t" o.ln\ial.
Eeuris.
.J ^T
rI ','

242
Rik) = I 1,l ist das invariante endliche M aß fijr die Infahrt in O', startend in i und
q{=o.
Eeirpiei. Sei q's.< I fur alle fi größer als €inem ro, so isl t" nichr lrivial. Zum
p"
Bew€is zeigl man. R'(colisr gleichmäßig beschräDlt uod p.al
'lüra[er'
Damit
I
ist die Erwafiung von tz" €ndlich ultd die Behauptuog folgt.
Litemtür
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?. Rösltr, Uwe: Di€ Gnlti*en dcs 0 - l-G6dzes ßr Harhirfannetr {DiDloDarbei! Gitningcn)
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