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8.4 Skyline-Problem Teile-und-Herrsche 2. Lösungsansatz, ebenfalls Induktionsprinzip • Basisfall: ein Gebäude ist seine eigene Skyline, also trivial. • Rückführung auf kleinere Probleme: □ Teilproblem 1: Skyline für n/2 Gebäude (ggf. aufrunden) berechnen. □ Teilproblem 2: Skyline für restl. n/2 Gebäude (ggf. abrunden) berechnen. □ Verknüpfung: • Beispiel: • Führe die beiden Skylines zusammen. • Man spricht von Verschmelzung. Man kann dafür Korrektheit und Terminierung beweisen Verknüpfung nicht langsamer als im 1-Gebäude-Fall! Schrittweises Durchlaufen beider Skyline-Folgen halber Länge, maximal n Änderungen. Algorithmen und Datenstrukturen Philippsen/Stamminger/Pflaum/Riehle WS 2010/2011 Folie 08-36
8.4 Skyline-Problem Teile-und-Herrsche • Allgemein: Die Rekurrenz T(n) = 2 . T(n/2) + n, T(1) = 1 hat für 2er Potenzen n die Lösung T(n) = n + n . log 2 (n) // Beispiel: T(16) = 16 + 16*4 = 80 • Beweis durch Induktion: □ Induktionsanfang: T(1) = 1 // trivial □ Induktionshypothese: Es gilt: T(n/2) = n/2 + n/2 . log 2 (n/2) □ Induktionsschritt: T(n) = 2 . T(n/2) + n // nach Definition von T(n) = 2 . (n/2 + n/2 . log 2 (n/2)) + n // Induktionshypothese = n + n . log 2 (n/2) + n = n + n . (log 2 (n/2) + 1) Wie man leicht erkennt, gilt… = n + n . log 2 (n) // nach Definition log 2 „Komplexitätstheorie“: O(n · log n) – statt O(n²) Algorithmen und Datenstrukturen Philippsen/Stamminger/Pflaum/Riehle WS 2010/2011 Folie 08-37
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Seite 3 und 4: 8. Rekursion 8.1 Einführung der Re
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Seite 11 und 12: 8.1 Einführung der Rekursion Rekur
Seite 13 und 14: 8.1 Einführung der Rekursion Termi
Seite 15 und 16: 8.1 Einführung der Rekursion Termi
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Seite 19 und 20: 8.2 Türme von Hanoi Lösungsansatz
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Seite 49 und 50: 8.6 Rekursionsformen • Verschrän
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