Digitale Signalverarbeitung (PDF) - Technische Akustik

Technische Universität Berlin
Fakultät V
Verkehrs- und Maschinensysteme
FG Technische Akustik
Prof. Dr.-Ing Michael Möser
Digitale
Signalverarbeitung
Berlin 2011

Inhaltsverzeichnis
Seite
Vorwort 1
1. Einleitung 2
1.1 Lineare Systeme 3
1.2 Der Invarianzsatz 7
1.3 Harmonische Zerlegung periodischer Signale (“FOURIER”-Reihen) 10
1.4 FOURIER-Transformationen 18
1.5 Sätze über die FOURIER-Transformation 20
1.6 Ein Beispiel: der einfache Resonator 25
2. Abtastfolgen 30
2.1 FOURIER-Transformation von Zahlenfolgen 31
2.2 Eigenschaften der FOURIER-Transformation von Folgen 33
2.3 Das Abtasttheorem 37
2.4 Signalmodelle 43
2.4.1 Einmaliges Signalmodell 45
2.4.2 Diskrete Spektren 49
2.4.3 Diskretisierung des Rechteckfenster-Spektrums 52
2.5 Praktische Rechentechnik 56
2.5.1 Skalierung, Amplitudenspektrum 56
2.5.2 Schnelle FOURIER-Transformation (FFT) 57
3. Fenster und Gewichtung 59
3.1 Das HANNING-Fenster 60
3.2 Die Herstellung von Gewichtsfolgen 69
4. Die Verwendung stationärer Zufalssprozesse als Messsignale 74

1
Vorwort
Diese Vorlesung dient (fast ausschließlich) einem sehr praktischen Zweck: sie möchte den
Hörer in die Lage versetzen, eine heute insbesondere aus der Technischen Akustik nicht mehr
wegzudenkende Messeinrichtung - den sogenannten FFT-Analysator - zu verstehen. Dieses
Verständnis soll soweit vertieft werden, dass die Hörer am Ende in der Lage sind, ihren PC
selbst zu einem solchen Analysator auszurüsten und zu programmieren.
Andererseits bedeutet diese konkrete Aufgabenstellung gleichzeitig auch den Verzicht auf
ganze Teilgebiete der Signalverarbeitung wie die z-Transformation und den Filterentwurf, um
nur zwei Beispiele zu nennen.
Grundsätzlich ist "Digitale Signalverarbeitung" ein spezieller Zweig der angewandten
Mathematik, das trifft deshalb natürlich auch für diese Lehrveranstaltung zu. Tatsächlich
versucht der schon angesprochene FFT-Analysator eigentlich nur wenig mehr als eine
gegebene Funktion (z.B. ein gemessener Zeitverlauf) in eine Funktionenreihe zu zerlegen.
Wir werden die Vorlesung damit beginnen, die Nützlichkeit dieser an sich ja rein abstrakten,
sehr mathematischen Aufgabenstellung für das Verständnis akustischer Übertrager zu
schildern. Danach wenden wir uns der "praktischen Rechnertechnik" zu: wir müssen den
erhaltenen Formelapparat so umsetzen, dass er von einem Digitalrechner auch bewältigt
werden kann. Diese Lehrveranstaltung geht also einer sehr speziellen mathematischen und
rechentechnischen Fragestellung nach: der rechnergestützten Zerlegung eines (z.B. durch
Messung gegebenen) Spannungs-Zeit-Verlaufs in harmonische Bestandteile.
Den Kern unserer Betrachtungen bilden die beiden dabei auftretenden Probleme:
1. Der Rechner hat ein "beschränktes Blickfeld", er kann nur einen gewissen zeitlichen
Ausschnitt aus dem u.U. sehr langen Signal praktisch auch "behalten".
2. Der Rechner "blinzelt" fortwährend. Naturgemäß kann er den ja eigentlich
kontinuierlichen Funktionsverlauf nur zu diskreten Zeiten in Stützstellen erfassen.
Wir werden uns mit den Konsequenzen dieser Probleme beschäftigen und (einige) Konzepte
kennenlernen, wie man die Nachteile abmildern bzw. manipulieren kann. Kurz gefasst könnte
man sagen, dass sich diese Vorlesung mit digitale der Darstellung einer Funktion durch eine
spezielle Reihe "unter imperfekten Umständen" befasst.

2
1. Einleitung
Die (digitale) Signalverarbeitung hat heute in so vielen Bereichen einen hohen Stellenwert
erlangt, dass Beispiele wie "Sprachverarbeitung, Werkstoffprüfung, Medizintechnik" fast
banal wirken. Wir wollen deshalb einleitend mit einer in vielen ingenieurwissenschaftlichen
Disziplinen vorkommenden Fragestellung beginnen: der Betrachtung von (einfachen) linearen
Übertragern. Für die Akustik sind solche "linearen Systeme" zum Beispiel Lautsprecher,
Mikrofone, andere Wandler, Schall - Lauf - Strecken, schwingende Strukturen und vieles
mehr. Bei all diesen "Systemen" interessiert unmittelbar die zeitliche Reaktion y (t) - z.B. ein
Schalldruck vor einem Lautsprecher -, die durch eine Anregung x(t) - z.B. die anliegende
Spannung - hervorgerufen wird. Symbolisch kennzeichnet man diesen Pfad aus Ursache und
Wirkung durch ein Block-Bild mit einem Eingang x(t) und einem Ausgang y(t):
x(t) System y(t)
Dabei bleibt es letztlich frei, auf welche Weise Eingang und Ausgang durch physikalische
Größen definiert werden. Im Fall des Lautsprechers hätte man zum Beispiel Strom und
Membranschnelle benutzen können. Man wird die Wahl wohl sinnvoll so vornehmen, dass
der jeweilige Sinn der Betrachtungen vernünftig wiedergegeben wird.
Unter einem "linearen System" wollen wir nun einen solchen Übertrager verstehen, für den
das Prinzip der ungestörten Überlagerung gilt. Wenn also das System auf einen Eingang x 1 (t)
mit y 1 (t) reagiert
x 1 (t) y 1 (t)
und ebenso der Zusammenhang
x 2 (t) y 2 (t)
gilt, dann soll auch jede Linearkombination der Eingänge zu der gleichen Linearkombination
der Ausgänge führen:
ax 1 (t) + bx 2 (t) ay 1 (t) + by 2 (t).
Dieses "Superpositionsprinzip" ist völlig gleichbedeutend mit dem Begriff "Linearität". Oft
scheint es uns selbstverständlich zu sein: addieren wir zum Beispiel Kräfte, auch
verschiedenen Zeitverlaufs, die auf einen Biegeschwinger wirken, dann werden wir zu recht
erwarten, dass sich die Stabbeschleunigungen aus der Summe der Teilreaktionen zusammensetzen.
In der Physik der Schallwellenausbreitung ersetzen wir das Wort "linear"

3
durch "Interferenz" und meinen ein und dasselbe. Wir dürfen also oft, aber nicht immer für
die Beschreibung der Wirklichkeit Linearität voraussetzen. Ein Gegenbeispiel sind Federn mit
gekrümmten Kennlinien. Allgemeiner wird man bei großen Amplituden Nichtlinearität
erwarten. Dies gilt auch für Luftschall mit der (schwach) gekrümmten Adiabatenkennlinie
(siehe VL "Theoretische Akustik").
1.1 Lineare Systeme
Wenn man zunächst von einem "Standpunkt ohne weitere Vorkenntnisse" ausgeht, so ist es
wohl naheliegend, ein lineares System einfach durch Bestimmung der Zeitverläufe von
Eingang und Ausgang zu beschreiben und zu charakterisieren. Nun werden sich für
verschiedene Eingangsfunktionen x(t) natürlich auch unterschiedliche Ausgangsfunktionen
y(t) einstellen, wobei die Beziehung zwischen x(t) und y(t) etwas "Systemtypisches"
widerspiegelt.
Man wird sich fragen, wie man aus der Vielfalt wählbarer Eingangsfunktionen x(t) eine
spezielle Eingangsfunktion so heraussucht, dass die daraufhin vorliegende Ausgangsfunktion
ein besonders guter Repräsentant für das System ist. Insbesondere ist es sinnvoll, eine
Eingangsfunktion x(t) so zu wählen, dass aus dem zugehörigen Ausgang y(t) das
Systemverhalten auch für alle anderen nur denkbaren Eingangsverläufe berechnet werden
kann.
Wie das folgende zeigt, ist diese Forderung gerade dann erfüllt, wenn als "ausgezeichnete"
Eingangsfunktion ein (ideal kurzer) Impuls benutzt wird. Um die Bedeutung dieses Impulses
herauszuarbeiten, müssen wir zunächst eine exakte Definition angeben. Mathematisch
beschrieben wird er als "Delta-Funktion" oder "Dirac-Funktion" δ(t). Sie besitzt außer an der
Stelle t = 0 überall den Wert Null, δ(t ≠ 0) = 0, in t = 0 ist die Delta-Funktion "unendlich
groß" derart, dass die Fläche unter der Kurve gleich 1 ist:
b
∫ δ(t)dt
= 1
; a,b > 0 (1.1)
−
a

4
(a > 0, b > 0). Wie man sieht, ist die Delta-Funktion keine Funktion im "gewöhnlichen
Sinne", man bezeichnet sie deshalb auch als Sonderfunktion. Wir können sie (zum Beispiel)
als Grenzfall der in Bild 1.1 dargestellten Rechteckfunktion r ∆T (t) auffassen:
( t) lim r ( t)
δ (1.2)
∆T→0
∆T
Der für unseren Zweck der Systembeschreibung wichtige Nutzen der Dirac-Funktion δ(t)
besteht nun darin, dass man beliebige Funktionsverläufe f(t) durch eine Summe (genauer: ein
Integral) von Delta-Funktionen darstellen kann. Tatsächlich können wir ja einen
Funktionsverlauf f(t) zunächst durch einen Treppenverlauf f ∆T (t) annähern wie in Bild 1.2
demonstriert.

5
f(t) wird so durch eine Summe von Rechteckfunktionen approximiert:
∞
=
∆T
n=−∞
( t) f ( n ⋅ ∆T) ⋅ r ( t − n ⋅ ∆T) ⋅ ∆T
f
∆ ∑ (1.3)
T
Bilden wir den Grenzübergang ∆T 0, so gehen die "diskreten Stützstellen" n∆T an der
Funktion f(t) in eine kontinuierliche Variable über, die wir mit τ bezeichnen wollen: n∆T τ.
Gleichzeitig wird aus dem Abstand ∆T der Stützstellen das infinitesimale Integrationselement
dτ. Es ist also
f
( t) lim f ( t) = f ( τ) δ( t − τ) dτ
= ∫ ∞ ∆T
−∞
∆T→0
(1.4)
Die Eigenschaft (1.4) der Delta-Funktion hätten wir natürlich auch aus der Anschauung
gewinnen können: die Delta-Funktion im Integranden "bewertet" den Funktionsverlauf f(τ)
überall mit Null, außer im einzigen Punkt τ = t. In diesem Punkt - dem Grenzfall eines mit ∆T
immer kleiner werdenden Intervalls - dürfen wir aber f(τ) als konstant ansehen, es ist also
∞
∫
−∞
∞
( τ) δ ( t − τ) dτ
= f ( t) δ( t − τ) dτ
= f ( t)
∫
f . (1.5)
−∞
Die - vielleicht etwas formale - Ableitung über die Annäherung durch eine Treppenfunktion
zeigt uns jedoch den Inhalt der Betrachtungen klarer an: wir können einen jeden zeitlichen
Verlauf darstellen durch eine Summe gleichartiger, nur gegeneinander verzögerter schmaler
Impulse, die im Grenzfall "nadelförmige" Deltafunktionen werden, wobei die Summe in die
Summation infinitesimal kleiner Größen - ein Integral - übergeht. Es liegt wohl auf der Hand,
dass diese Eigenschaft für die uns interessierenden linearen Systeme sehr nutzbringend ist.
Kennen wir nämlich die Antwort h ∆T (t) des Systems auf einen einzelnen Impuls
Eingang r ∆T
(t) → Ausgang h ∆T
(t)
dann können wir wegen des Superpositionsprinzips die Ausgangsfunktion für eine
Treppenfunktion als Eingang bestimmen. Sie setzt sich nach (1.3) zusammen aus
zeitverzögerten Impulsantworten, die noch mit den "Konstanten" Verstärkungsfaktoren
f(n·∆T) ∆·T zu multiplizieren sind:
y
∆ T
( t) x( n∆T) ∆T h ( t − n∆T)
= ∑ ∞
−∞
∆T

6
Im Grenzfall ∆T 0 ist offensichtlich
( t) x( τ) h ( t − τ) dτ
y = ∫ ∞ (1.6)
−∞
Man zeigt leicht, dass sich 1.6. auch auf die Form
bringen lässt.
( t) x ( t − τ) h ( τ) dτ
y = ∫ ∞ (1.6 a)
−∞
Wir haben damit eine eindeutige Systemcharakterisierung gefunden, wenn nur die Antwort
eines linearen Systems h(t) auf einen anregenden Delta-Impuls δ(t) bekannt ist.
Eingang δ (t) Ausgang h (t),
dann können wir die System-Reaktion für jeden beliebigen Eingang nach (1.6) berechnen. Die
sog. "Impuls-Antwort" h(t) stellt also eine vollständige System-Beschreibung dar.
Gl. (1.6) wird oft als "Faltungsintegral", die entsprechende Operationskette als "Faltung"
bezeichnet. Man sagt kurz: der Ausgang y(t) ist gleich der Faltung des Eingangs x(t) mit der
Impulsantwort h(t). Der Name stammt lediglich davon her, dass h(τ) zur Bildung des
Integranden in (1.6) an der Stelle τ = t "umgeklappt" werden muss (aufgezeichnet auf ein
Blatt wäre dieses zu falten).
Als Operationssymbol für die Faltung wird häufig das Zeichen * benutzt. Man schreibt
y
( t) x ( τ) h ( t − τ) dτ
= ( x ∗ h) ( t)
= ∫ ∞ −∞
Zum Abschluss sei noch erwähnt, dass man zum Faltungsintegral 1.6 auch direkt ohne den
mehr aus didaktischen Erwägungen bevorzugten "Umweg" über die Zerlegung von
Funktionen in Treppengestalt hätte gelangen können. In der Tat genügt es völlig, Linearität
und Zeitinvarianz der Übertragung vorauszusetzen. Sei also mit L die lineare Operation
"Abbildung des Eingangs x auf den Ausgang y" bezeichnet:
( t) L{ x ( t)
}
y =
Nach 1.5 ist dann auch
y
∞
⎧
= ⎨ ∫
⎩
( t) L x( τ) δ ( t − τ)
−∞
⎫
dτ⎬
⎭

7
oder, da L und die Integration beide lineare Operationen sind
y
∞
∫
−∞
( t) x( τ) L{ δ ( t − τ)
}
= dτ
Wegen der vorausgesetzten Zeitinvarianz ist
L
{ δ (t − τ)
} = h(t − τ)
nach Definition der Impulsantwort h, so dass man ebenfalls 1.6 als Ergebnis erhält.
1.2 Der Invarianzsatz
Im vorigen Abschnitt haben wir gesehen, dass die Impulsantwort h(t) eine komplette
Systembeschreibung beinhaltet. Obwohl wir mit dem Faltungsintegral 1.6 und der
Impulsantwort h(t) über ein Werkzeug verfügen, das uns immerhin die Bestimmung eines
Ausgangs y(t) zu einem gegebenen Eingang x(t) erlaubt, ist h(t) eine recht unübersichtliche
Schreibweise des Systemverhaltens. Es dürfte ziemlich schwer fallen, ohne Berechnung von
(vielen?) Faltungsintegralen für entsprechende Eingänge x(t) das "Systemtypische" des
Übertragers "auf einen Blick" aus h(t) herauszulesen.
Wir sind ja aus vielen Betrachtungen (auch) in der Akustik bereits gewöhnt, in
Frequenzgängen - reinen Tönen bzw. Zusammensetzungen aus reinen Tönen - zu denken.
Offensichtlich muss auch durch das Werkzeug der Zerlegung von Signalen in "tonale Anteile"
eine Systembeschreibung möglich sein, die darüber hinaus den Vorteil größerer
Anschaulichkeit und Übersichtlichkeit bietet.
Der tiefere Grund dafür, dass zeitlich sinus-förmige Zeitverläufe bevorzugt für die
Beschreibung des Verhaltens von Übertragern benutzt werden, besteht einfach darin, dass
solche Zeitfunktionen stets UNVERZERRT übertragen werden. Mit anderen Worten: liegt am
Eingang eines linearen und zeitinvarianten Systems eine Anregung x(t)=x 0 cos ω t vor, dann
ωt + ϕ .
besteht der Systemausgang STETS ebenfalls in der gleichen Signalform y(t)=y 0 cos ( )
Man kann das unmittelbar und allgemein mit Hilfe des Faltungsintegrals 1.6 zeigen. Ist
nämlich
x(t) = Re
{ j t } xe ω
(1.7)
(die Kenntnis von komplexen Zahlen und der Vorteile der Zeigerschreibweise wird hier
vorausgesetzt), dann folgt aus 1.6a

8
⎪⎧
jωt
∞
− jωτ
⎪⎫
y(t) = Re⎨
xe ∫ h( τ)
e dτ⎬
⎪⎩ − ∞
⎪⎭
⎧ jωt
= Re
⎫
⎨ H( ω)xe
⎬
(1.8)
⎩ ⎭
mit
H( ω)
=
∞
∫
−∞
− jωτ
h( τ)e
dτ
(1.8a)
unabhängig von t. Gleichung 1.8 besagt, dass JEDES lineare und zeitinvariante System auf
einen Eingang in Form eines reinen Tones auch am Ausgang mit einem reinen Ton reagiert.
Lediglich kann das System die Phase des Ausgangs gegenüber dem Eingang verschieben und
die Amplitude bei der Übertragung verändern. Diese beiden Möglichkeiten sind der
komplexen Zahl H
H = H e jϕ (1.9)
zusammengefasst.
Es ist vielleicht überflüssig, darauf hinzuweisen, dass diese Tatsache allgemein nur für reine
Töne zutrifft. Alle anderen Eingangssignale können bei der Übertragung in ihrer Signalform
verändert werden. Man denke nur an das Nachschwingen einer schwach gedämpften Struktur
(z.B. einer Gitarren- oder Klavierseite) nach kurzer Stoßanregung: der Ausklingvorgang hat
zeitlich gar keine Ähnlichkeit mit der Anregefunktion mehr. Als ein Beispiel für viele mag
Bild 1.3 herhalten. Es zeigt den Zeitverlauf der Schwingungsgeschwindigkeit eines mit einem
kurzen Schlag (= Delta-Funktion) zu Biegeschwingungen angeregten Stabes an einer
gewissen Stabstelle (theoretisch gerechnet für einen sehr langen Stab). Die angeregte Delta-
Funktion ist stark "verzogen" und nicht mehr zu erkennen.

9
Ein weiteres Beispiel besteht in einem schmalbandigen Filter, von dem wir wohl erwarten
dürfen, dass was aus einem BELIEBIGEN Eingangssignal einen reinen Ton herausfiltert und
so den Systemeingang in der Signalform sogar erheblich verändert.
Im Grunde bezieht sich die Theorie (und die Praxis) der spektralen Fourrier-Zerlegung von
Signalen ihre Motivation aus dem oben erläuterten "Invarianzprinzip" an linearen,
zeitinvarianten Übertragern bezüglich harmonischer Funktionen (wie reine Töne der Gestalt
1.7 auch genannt werden). Gelingt es nämlich, einen beliebigen Eingang x(t) durch eine
Summe von harmonischen Funktionen mit unterschiedlichen Frequenzen darzustellen, z.B.
x(t) = ∑ x i e jω it
i
(1.10)
dann ist das Übertragungsproblem gelöst, wenn nur die vom System einzig bewirkbare
komplexe Verstärkung H(ω i ) für die Frequenzen ω i bekannt ist:
y(t) = ∑ y i e jw it = ∑ H (ω i ) x i e jω it
i
i
(1.11)
Man nennt H(ω), mit veränderlich gedachter Frequenz, die komplexe Übertragungsfunktion.
Sie stellt offensichtlich eine ebenso komplette Systembeschreibung dar wie die Impulsantwort
h(t). Wenn es nur möglich ist, beliebige, gegebene Signale wie in 1.10 in harmonische

10
Funktionen zu zerlegen, dann ermöglicht uns die Übertragungsfunktion H(ω) die
Berechnung der Systemantwort aus 1.11.
Wir sind damit auf eine mathematische Aufgabenstellung gestoßen, die uns für die
Betrachtung von Übertragungsvorgängen als nutzbringend erscheint: wie muss man - analog
zur in 1.10 ausgedrückten Absicht - verfahren, um ein Signal in harmonische Bestandteile zu
zerlegen, wie ist die genaue Rechenvorschrift, um es aus diesen wieder zusammenzusetzen?
Wie der folgende Abschnitt zeigt, sind diese Betrachtungen vergleichsweise einfach, wenn
wir uns zunächst auf periodische Signale f(t) = f(t + m · T) mit einer Periode T beschränken.
Der Grund dafür besteht einfach darin, dass in einem periodischen Signal nur solche
harmonische Anteile vorkommen können, deren Periodendauern T n ganzzahlig in der
Signalperiode T enthalten sind:
T n
= T n .
Für die Frequenzen heißt das
n
ω
n
= 2π
= n ω0
.
T
Es kommen also nur Vielfache der Signalfrequenz für die harmonischen Bestandteile in
Frage: Wir erhalten also einen Ansatz für das Signal, der nur diskrete Frequenzen enthält. Wir
werden dann im Anschluss an die Betrachtungen periodischer Vorgänge von den dort
gefundenen Ergebnissen ausgehend den Fall immer weiter gesteigerter Periodendauer
betrachten. Wir erhalten dann als Grenzfall T ∞ auch die Möglichkeit, beliebige
"einmalige" Vorgänge einzubeziehen.
1.3 Harmonische Zerlegung periodischer Signale ("FOURIER"-Reihen)
Als Ingenieure und Naturwissenschaftler sind wir ganz allgemein an eine bestimmte
Vorgehensweise bei der Betrachtung von (physikalischen) Vorgängen gewöhnt. Auf Grund
gewisser wohlbegründeter Überlegungen stellen wir ein mathematisches Modell für den
Vorgang auf. Durch Vergleich zwischen der Theorie und geeigneten Messungen werden dann
die im mathematischen Modell enthaltenen Unbekannten bestimmt. Zum Beispiel stellt man
für die Schallausbreitung in Rohren ein mathematisches Modell auf, das aus gegenläufigen
Schallwellen besteht. Es enthält als freien Parameter einen Reflexionsfaktor, der durch
"Anpassung" des mathematischen Modells an die beobachtete Wirklichkeit ermittelt wird.

11
Bei der Zerlegung von periodischen Signalen in harmonische Funktionen können wir analog
vorgehen. Wir definieren uns eine Modellfunktion f M (t), die per Definition aus harmonischen
Bestandteilen zusammengesetzt ist:
N
f
M
( t) = ∑a
n
jnω0t
e . (1.12)
n=−N
Dabei können wir die Summations-Koeffizienten a n als freie Parameter ansehen. Wir werden
nun die Unbekannten a n so bestimmen, dass f M (t) dem gegebenen Verlauf f(t) (der z.B. eine
Messkurve darstellt) möglichst ähnlich wird.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, den Begriff "Ähnlichkeit zwischen zwei Funktionen" zu
definieren. Zum Beispiel - und das ist der übliche Weg - kann man versuchen, die
Koeffizienten an in (1.7) so zu bestimmen, dass der quadratische Fehler Q zwischen Modell
und Wirklichkeit
Q = 1 T
∫
T 2
−T 2
f(t)−f M (t)
2
dt (1.13)
so klein wie möglich wird. Wir wollen hier diesen Weg durch eine mehr anschauliche
Vorgehensweise ersetzen, die dafür - so ist es zu hoffen - ein klares Licht auf prinzipielle
Eigenschaften und Abhängigkeiten wirft.
Unseren Ähnlichkeitsbegriff definieren wir im Folgenden durch die Forderung, dass das nach
(1.12) definierte, 2N+1, zunächst unbekannte enthaltene Modell in ebenfalls 2N+1
gleichabständigen Punkten innerhalb einer Periode T mit der "Wirklichkeit" f(t)
übereinstimmen soll (siehe auch Bild 1.4):
( k ⋅ ∆t) = f ( k ⋅ ∆t)
f M
für k = 0,1,2,...2N
und ∆t
= +
T /( 2N 1)
(1.14)

12
Gleichung (1.14) gibt damit Bestimmungsgleichungen für die unbekannten Koeffizienten an
des Signalmodelles f M nach (1.12) an. Setzt man (1.12) in (1.14) ein, so erhält man mit
ω 0 = 2π T und ∆t = T (2N +1)
N
∑
n
n=−N
j2π
nk
2N
+ 1
a e
k = 0,1,2,...,2N
= f (k ⋅ ∆t)
(1.15)
Es ist damit also ein Gleichungssystem aus 2N+1 Gleichungen (Variation von k) mit den
2N+1 Unbekannten an entstanden. Wenn es uns gelingt dieses Gleichungssystem nach den
Unbekannten an aufzulösen, dann haben wir damit gleichzeitig auch einen Beweis der
Lösbarkeit unseres Ausgangsproblems geführt: Wir haben damit gezeigt, dass es eben auch
tatsächlich möglich ist, eine gegebene Funktion f(t) durch eine Funktionenreihe der Form
(1.12) darzustellen, und zwar derart, dass f(t) vom Modell f M (t) in einer beliebig großen (aber
endlichen) Anzahl von Stützstellen völlig korrekt beschrieben wird. Das bedeutet dann, dass
eine beliebig vorgeb bare Funktion f(t) wirklich auch immer durch harmonische Funktionen
wie in (1.12) "beliebig genau" im Sinne der Anpassung in beliebig vielen, beliebig dicht
liegenden Einzelpunkten dargestellt werden kann.
Tatsächlich bereitet die Lösung des Gleichungssystems (1.15) keine Schwierigkeiten.
− j2πmk / 2N+
1
Multipliziert man (1.15) mit e , m zunächst fest gewählt, und summiert
anschließend über k, so erhält man

13
N 2N
∑ a n e j2π(n−m)k 2N
mk
− j2π
N
∑ = ∑ f(k ∆t) e 2N+1 (1.16)
n=− N k=0
k=0
Die innere summe links stellt eine geometrische Reihe der Form
2N
∑ q k
k= 0
= 1 − q2N+1
1− q
(1.17)
n−m
j2π
dar, es ist also mit q = e 2N+1
2N (n−m)k
j2π
e 2N
∑ =
k= 0
⎧ 2N +1 ,n = m
⎨
⎩ 0 ,n ≠ m
(1.18)
Aus der linken Seite von 1.16 verbleibt deshalb nur das Summenfeld mit n=m, es ist also
a m =
2N
mk
1
− j2π
f(k ⋅ ∆t
2N +1
∑ )e 2N+1 (1.19)
k=0
Gleichung (1.19) gibt direkt die Lösung des Gleichungssystems (1.15) an. Zwar ist m zu
Beginn "fest gewählt" worden, aber natürlich darf m dabei nacheinander alle Werte
−N ≤ m ≤ N annehmen.
Wenn wir zunächst "glatte", "nicht springende" - in der mathematischen Sprache ausgedrückt
also stetige Funktionen f(t) betrachten (wie z.B. in den Bildern 1.5a bis c), dann zeigt uns die
Herleitung der "Anpassung in Punkten" das Prinzip der Erfassung von f durch das Modell f M :
je größer die Anzahl der Punkte "mit Übereinstimmung" ist, desto besser wird das Original in
seinen Einzelheiten nachgebildet (Bilder 1.5a bis c). Wie man am Beispiel erkennt, benötigt
man bei Steigerung der Anzahl 2N+1 immer kleinere höherfrequente Korrekturen, die durch
die Hinzunahme von Harmonischen höherer Ordnung bewerkstelligt wird. Es liegt eben
einfach in der Natur "glatter" Funktionsverläufe, dass schnelle Wechsel im Intervall zwischen
zwei Punkten nicht mehr auftreten können, wenn diese Punkte nur einmal einen hinreichend
kleinen Abstand haben. Demzufolge werden hohe Frequenzanteile auch nicht zur
Nachbildung benötigt. Wie auch die Bilder 1.5 zeigen, kann es Probleme nur dort geben, wo
die Änderungen vergleichsweise plötzlich sind: in den Bereichen knickenden Verlaufs. Hier
werden viele Stützstellen benötigt, um den Knick auch detailgetreu zu erfassen; demzufolge
sind dafür auch entsprechend viele Harmonische vonnöten. Insgesamt nehmen wir die
höheren Amplituden dann ab einem gewissen aufwand N rasch ab: die Hinzunahme neuer

14
Punkte und damit neuer Harmonischer "bringt nichts mehr". Die Funktionenreihe (1.12) muss
ziemlich rasch konvergieren, man kann mit endlich vielen Summanden in jedem Kurvenpunkt
eine beliebig genaue Annäherung an f(t) herstellen.

16
Das Gegenteil trifft für unstetige, "springende" Funktionen zu (Bild 1.6 und 1.7a bis d): der
"absteigende Ast" in Bild 1.6, der die beiden stetigen Kurvenstücke miteinander verbindet,
kann bei endlicher Punktdichte gar nicht von einem Punkt getroffen werden, und demzufolge
muss seine Nachbildung immer quasi "ungenügend" bleiben, solange man von einer
endlichen Punktzahl ausgeht. Erst wenn der Abstand der Anpassungspunkte wirklich gegen
Null strebt, kann eine "perfekte Nachbildung" auch gelingen: diese setzt also streng
genommen unendlich viele Summanden in (1.12) voraus. Die Folge der Amplituden an
konvergiert deshalb für unstetige Funktionen sehr viel langsamer gegen Null als für "glatte",
stetige Verläufe. Das bedeutet gleichzeitig, dass unstetige Funktionen stets obertonreich sind,
also "viele" hohe Frequenzen enthalten; hingegen sind stetige Verläufe (nahezu)
bandbeschränkt und tieffrequent.
Die Bilder (1.7a bis d) zeigen durchgerechnete Beispiele für die Nachbildung einer unstetigen
Funktion. Wie man sieht, ist der "Sprungbereich" selbst kritisch. Man benötigt immer mehr
Bestandteile in der Summe (1.12), wenn das Intervall "mit schlechter Nachbildung" um die
Unstetigkeit herum schmaler gemacht werden soll. Offensichtlich nimmt die Breite "der
Problemzone" mit wachsendem Aufwand N ab, sie kann deshalb natürlich auch beliebig
schmal eingestellt werden. Dabei bleibt "das Problem selbst" innerhalb seines (mit
wachsendem N abnehmenden) Intervalls jedoch unverändert: die Nachbildung f M (t) schwingt
über, wobei zwar die Überschwingfrequenz mit N größer und die Überschwingdauer mit N
kleiner wird, die maximale Höhe dieses Effekts bleibt jedoch von N unbeeinflusst. Die
Tatsache, dass sich Fehler in der Nachbildung unstetiger Funktionen mit steigendem N auf ein
immer schmaleres Intervall begrenzen, innerhalb dieses Intervalls jedoch die Abweichungen
quasi nur zusammendrückt, ansonsten aber unverändert bleiben, ist als "Gibbsches
Phänomen" bekannt. Solange die Anzahl der Summenglieder in (1.12) endlich, tritt es stets
auf. Nur wirklich unendlich viele Frequenzbestandteile (und Anpassungspunkte) können die
Breite der "Problemzone" um die Unstetigkeit herum zu Null machen und unstetige
Funktionen so "überall genau" nachbilden. Die Folge der Amplituden an konvergiert deshalb
auch recht langsam gegen Null. Wie man allgemein zeigen kann gilt für unstetige Funktionen
an ~1/n für hinreichend große n.
Aus den genannten Zusammenhängen lässt sich übrigens leicht eine Systematik für die
Konvergenzeigenschaften der vorkommenden Folgen an ableiten. Dazu seien zunächst
"gestückelte", dabei aber stetige Funktionen wie in den Bildern 1.5 betrachtet. Offensichtlich
sind deren erste Ableitungen f'(t) unstetige Funktionen. Da die Ableitung von (1.12)
gleichbedeutend mit einer Multiplikation von an mit n ist, gilt also n ⋅ a n ~1/n
2. Das begründet
auch, dass für die "guten Nachbildungen" in den Bildern 1.5 so viel weniger Summenglieder
notwendig waren als für die Bilder 1.7. Auf gleiche Weise wie eben zeigt man, dass stetige
Funktionen mit stetiger erster, aber unstetiger zweiter Ableitung zu Folgen n ⋅ a n ~ 1/n3 führen.
Allgemein gilt:

17
Sind f(t) und die ersten m Ableitungen von f(t) stetig und ist die (m+1)-te Ableitung
unstetig, dann ist an~ (1/n)m+2 für hinreichend große n.
Natürlich wird uns nun noch die Frage interessieren, in welcher Form die Gleichung zur
Bestimmung der Koeffizienten an (1.19) übergeführt wird, wenn der in N ausgedrückte
"Nachbildungsaufwand" immer mehr und mehr steigt, bis schließlich die Funktion f(t) durch
ihr Modell f M (t) überall korrekt erfasst ist. diese Betrachtung ist gleichbedeutend mit einem an
1.19 zu vollziehenden Grenzübergang N → ∞, bei dem gleichzeitig der Abstand
∆ t = T /( 2N + 1)
zwischen zwei Punkten gegen Null strebt. Mit 1/
( 2N + 1) = ∆T / t wird
zunächst aus 1.19
a n = 1 T
N
∑
n=− N
f(k ⋅ ∆t) e
⎛
⎜
⎝
− j2πn k⋅∆t
T
⎞ ⎟
⎠
∆t
Beim Grenzübergang N → ∞ liegen die Punkte k ⋅∆t nun beliebig dicht, deshalb geht k ⋅∆t
in die kontinuierliche Variable t über, die Summation geht in die Summation infinitesimal
kleiner Elemente - ein Integral also - und ∆t in das infinitesimal kleine Element dt über:
k ⋅ ∆t → t
N
∑...∆t
→ T 2
∫
...dt − T 2
n=− N
Es ist also schließlich
T 2
a n = f(t) e − jnω 0
∫ t dt
(1.20)
−T 2
die Bestimmungsgleichung für diejenige Modellfunktion f M (t), die nun überall mit dem
Original f(t) identisch ist. Es ist also
f M (t) = f(t) =
∞
a n e jnω 0t
∑ (1.21)
n=−∞
eine Identität, wenn die an nach 1.20 berechnet werden.
Abschließend wollen wir noch einmal den Charakter unserer Betrachtungen - die das
Ausdrücken einer Funktion durch eine Funktionenreihe zum Gegenstand hatte - klar
beleuchten. Wir haben zunächst die (als gegebene anzusehende) Funktion f(t) in diskreten
Punkten erfasst. Wir können die Funktionswerte f(k ⋅ ∆t) in diesen diskreten Stützstellen als

18
diejenigen Informationen erfassen, die wir eben über f(t) zur Verfügung haben. Gleichung
1.19 formt nun diese Informationen in eine andere Gestalt - die Amplituden an nämlich - um.
Diese sind dadurch zwar auch "Informationsträger" geworden, aber sie schildern (wie ein
Negativ einer Photographie) dabei doch auch keinen anderen Inhalt als sie Stützstellen des
Originals (der Photoabzug, das Positiv) selbst. So ist es natürlich auch mit der "überall
exakten" Beschreibung 1.20 und 1.21: f(t) und die Folge der an geben sozusagen nur
verschiedene Lesearten ein und desselben Sachverhaltes, der z.B. aus einer Messung
resultiert. Durch "bloße Umrechnung" unter Benutzung von 1.20 von f(t) auf an ist keinerlei
Informationsinhalt hinzugewonnen oder verloren worden. Etwas boshaft könnte man auch
sagen: wir haben reinen Formalismus betrieben. Dass uns dieser jedoch gute Dienste tun
kann, haben wir bereits in den vorangegangenen Abschnitten gesehen. Die
TRANSFORMATION 1.20 des Zeitverlaufs stellt eine Zeitfunktion wie in 1.21 durch eine
Summe vieler reiner Töne dar, ein sehr nützliches Hilfsmittel zur Betrachtung linearer
Übertrager.
1.4 FOURIER-Transformation
Gerade für die letztgenannte Aufgabe - der Charakterisierung linearer Systeme - können wir
natürlich nicht bei periodischen Funktionen stehenbleiben. Vielmehr müssen wir auf den
allgemeinen, nicht-periodischen Fall abzielen. Wir können das tun, indem wir uns zunächst
vorstellen, wir hätten einen t ≤ T / 2 umfassenden Ausschnitt aus einem (nicht-periodischen)
Vorgang erfasst und diesen dann - wie im vorigen Abschnitt - "künstlich" periodisiert. Wenn
nun der Ausschnitt T immer mehr anwächst, dann erfassen wir ein immer größeres Stück aus
dem eigentlich interessierenden Verlauf. Im Grenzfall unendlicher Periode T haben wir dann
schließlich die "ganze Wahrheit" in unserem Blickfeld T.
Wenn die Periodendauer immer größer wird, dann wird der Abstand ∆f = 1/T zweier
benachbarter Frequenzen immer geringer. Im Grenzfall T ∞ ist die Dichte der Frequenzen
beliebig groß. Man muss daher die bei den periodischen Funktionen vorhandene Summe über
diskrete Frequenzen mit zugehörigen diskreten Amplituden in ein Integral überführen. Dabei
muss man beachten, dass die diskreten Amplituden a n mit wachsendem T jedenfalls dann
abnehmen, wenn Funktionen betrachtet werden, die außerhalb eines bestimmten, begrenzten
Zeitintervalls gleich Null sind: es ist ja die Eigenschaft wohl aller akustischen Vorgänge, dass
sie einen Anfang und ein Ende haben.
Wegen a n 0 mit T ∞ wird daher in der FOURIER-Summe 1.21 noch mit
erweitert:
T / T
= T ⋅ ∆f

19
∞
f(t) =
n
∑ a n ⋅ T e jn ω 0 t ∆ f
=-∞
(1.22)
Der Grenzübergang T ∞ muss sich nun auf a n ⋅ T erstrecken, denn nur dieses Produkt nimmt
mit T ∞ einen von Null verschiedenen Grenzwert an, den wir mit F(ω) bezeichnen wollen:
lim a n ⋅ T = F(ω)
T→∞
(1.23)
Gleichzeitig geht ∆f in das infinitesimale Integrationselement df über. Es ist also:
∞
f(t) =
-∞
∫
F(ω) e j ωt 1
df = 2π
∞
∫
-∞
F(ω) e j ωt dω
(1.24)
In gleicher Weise gewinnt man aus der Vorschrift zur Bestimmung der FOURIERkoeffizienten
T/2
a n T =
∫
f(t) e -j n ω 0 t dt
-T/2
(1.25)
die Transformationsgleichung zur Berechnung des sogenannten "Spektrums" F(ω):
∞
F(ω) =
-∞
∫
f(t) e -j ωt dt
(1.26)
Wie man sieht, ist F(ω) eine Amplitudendichte-Funktion. Sie hat die Dimension von f(t) "pro
Hertz":
[ F ] = [ f ]/
Hz
f(t) und F(ω) werden "FOURIER-Transformations-Paar" genannt. F(ω) heißt die
Transformierte von f(t), umgekehrt ist f(t) die Rücktransformierte von F(ω). Dieser
Sachverhalt wird in dieser Vorlesung kurz durch
F = F {f}
f = F -1 {F} (1.27)

20
bezeichnet. Gemeint ist damit immer der Zusammenhang
f ( t) = F -1 F( ω)
F( ω) = F f ( t)
1
2π
∞
∫
−∞
j
{ } = ( ω) ω t
F e dω
∞
∫
−∞
{ } f ( t)
− jωt
= e dt
(1.28 a)
, (1.28 b)
der hier noch einmal zusammenfassend aufgeschrieben worden ist, weil er für diese
Vorlesung von großer Wichtigkeit ist.
Die anschauliche Interpretation des obengenannten FOURIER-Gleichungs-Paars geht bereits
aus dem Ableitungsgang hervor. Die Rücktransformationsgleichung f(t) = F -1 {F(ω)} erklärt
eine beliebige Funktion f(t) als "aus unendlich vielen reinen Tönen zusammengesetzt". Die
Transformationsvorschrift F = F {f} zeigt, auf welche Weise die zugehörigen Amplituden
(eigentlich deren Dichte) ermittelt werden. Man kann daher die Transformationsgleichung als
"mathematisches Filter" interpretieren, welches die Frequenzbestandteile der Zeitfunktion bei
der (zunächst fest gedachten) Kreisfrequenz ω durchlässt und alle anderen Frequenzen
ausblendet. Indem ω variiert wird, erhält man schließlich das ganze komplexe Spektrum F.
1.5 Sätze über die Fourier-Transformation
a) Faltung im Zeitbereich
Wir haben weiter vorn festgestellt, dass jedes lineare System durch Faltung des Eingang-
Zeitverlaufes x(t) mit der Impulsantwort h(t)
∞
∫
−∞
( t) h( τ) ⋅ x( t − τ)
y = dτ
(1.29)
in seinem Ausgang y(t) beschrieben werden kann.
Eine Alternative besteht in der Beschreibung im Frequenzbereich
( ω) = H( ω) X( ω)
Y , (1.30)
wobei X und Y die Fourier-Transformatierten von Eingang und Ausgang darstellen.

21
Beide Methoden der Charakterisierung (ein und desselben) linearen Systems müssen
vollkommen äquivalent sein und ineinander übergehen. Es fragt sich nur noch, wie denn die
Übertragungsfunktion H(ω) und die Impulsantwort h(t) in Zusammenhang stehen. Um es
vorwegzunehmen: natürlich bilden die Funktionen
h (t) = F -1 { ( ω)
}
H (1.31)
ein Fourier-Transformationspaar. Der Beweis ist leicht. Transformieren wir dazu (1.19)
Y
∞
− jωt
− jωt
( ) = y( t) e dt = h( τ) x ( t − τ) dτe
dt
−∞
∞ ∞
ω ∫ ∫ ∫
−∞ −∞
und kehren die Reihenfolge der Integrationen um
Y
( ω) = h( τ) x ( t − τ)
=
∞
∫
−∞
∞
∫
−∞
h
∞
∫
−∞
∞
dt dτ
− jωt
− jω( t−τ) ( τ) e x( t − τ) e d ( t − τ) dτ
∫
−∞
e
− jωt
so erhalten wir
Y
∞
∫
−∞
− jωτ
( ω) = X( ω) h( τ) e dτ
.
Der Vergleich mit (1.20) zeigt
H
∞
∫
−∞
jωt
( ω ) = h( t) e dt
also ist die Übertragungsfunktion gleich der FOURIER-transformierten Impulsantwort.
Mathematisch gesehen haben wir nur gezeigt, dass (1.29) und (1.30) Folgerungen auseinander
sind. Das heißt, dass der Multiplikation zweier Fourier-Transformierter im Zeitbereich die
Faltung der zugehörigen Rücktransformierten entspricht. Diese Tatsache wird als
"Faltungssatz" bezeichnet.
Es ist dieser Faltungssatz, der uns noch einmal deutlich macht, dass die Systembeschreibung
durch die Impulsantwort und durch die Übertragungsfunktion gänzlich äquivalent ist.
Demnach gibt es eine anschauliche Deutung der Tatsache, dass die System-Reaktion h(t) auf
die Impuls-Anregung δ(t) eine so ausgezeichnete Rolle besitzt. Der Grund dafür liegt in der
Gestalt des Spektrums von δ(t). Gl. (1.5) zeigt nämlich, dass das Spektrum ∆(ω)

22
∆
∞
− jωt
( ω) = δ( t) e dt = 1
∫ (1.32)
−∞
ideal breitbandig ist: es besitzt für alle Frequenzen den gleichen Wert 1. Es ist wohl kein
Wunder, dass eine Anregung mit dieser einzigartigen Eigenschaft ideal geeignet ist, in alle
"Frequenzwinkel" des Systems "hineinzuleuchten". Wirklich gibt es kein anderes Eingangs-
Test-Signal endlicher Dauer, das nicht mindestens eine spektrale Nullstelle hätte: jedes andere
Testsignal als die δ-Funktion würde deshalb gewisse Frequenzen überhaupt nicht enthalten
und könnte daher auch nicht "alle Saiten" des Systems "zum Erklingen" bringen.
b) Faltung im Frequenzbereich
Wir werden an späterer Stelle noch sehen, saß auch die Multiplikation von Zeitfunktionen in
der Signalverarbeitung eine Rolle spielt (siehe Abschnitt 2.4 "Signalmodelle"). Es seien also
z ( t) = x( t) ⋅ y( t) = F -1 { z ( ω)
}
X ( ω) = F { x }
Y ( ω) = F { y }
dann ist
Z
1
2π
∞
∫
−∞
( ω) = X( u) Y( ω − u)du
(1.33)
Der Beweis ist leicht, wenn man von der letzten Gleichung ausgeht und sie der
Rücktransformation unterzieht. Man zeigt dann wie im vorigen Abschnitt, dass
z t = x t ⋅ y t folgt.
( ) ( ) ( )
Wie man sieht, entspricht der Multiplikation im Zeitbereich die Faltung im Frequenzbereich.
Der Faltungssatz ist umkehrbar, wobei man lediglich noch den Faktor 1 2π
vor dem Integral
bei der "Faltung im Frequenzbereich" beachten muss.
c) Energiesatz
Setzt man im Faltungssatz
1
2π
∞
∫
-∞
∞
H(ω) · F(ω) e j ωt dω = h (τ) · f (t - τ) dτ
∫
-∞
für H(ω)

23
H(ω) = F*(ω)
und entsprechend
h(t) = F -1 {F*(ω)} = f*(-t) ein, so erhält man für t = 0:
1
2π
∞
∞
∫
F(ω) · F*(ω) dω =
∫
-∞
-∞
∞
f*(-τ) f (- τ) dτ =
∫
f (t) f*(t) dt
-∞
(1.34)
Die letzte Gleichung wird Energiesatz genannt.
d) Folgerungen aus der Kausalität
Unter Kausalität eines Systems wollen wir verstehen, dass die Ausgangs-Relation y erst nach
dem Anfang der Eingangs-Anregung x beginnen kann. Insbesondere gilt dann:
x t < 0 = 0 ⇒ y t < 0 = .
( ) ( ) 0
Für reelle Zeitfunktionen f(t) lassen sich die folgenden Symmetrieeigenschaften der FOURIER-
Transformation leicht zeigen:
f(t) reelle Funktion: Im{f(t)} = 0 ⇔ F(ω) = F*(-ω)
f(t) gerade Funktion: f(t) = f(-t) ⇔ F(ω) reell
f(t) ungerade Funktion: f(t) = -f(-t) ⇔ F(ω) imaginär
Nun kann man natürlich jedes f(t) in geraden und ungeraden Anteil zerlegen:
f
1
1
= + [ f ( t) + f ( − t)
]
(1.35)
2
2
( t) [ f ( t) + f ( − t)
]
fg
( t )
Nach den genannten Symmetrieeigenschaften ist deshalb:
fu
( t )
Re {F(ω)} = F{f g (t)}
jIm {F(ω)} = F{f u (t)} (1.36)
d.h., der Realteil der FOURIER-Transformierten korrespondiert mit dem geraden
Funktionsanteil von f, der Imaginärteil mit dem ungeraden Anteil.
Das hat für kausale Funktionen f(t

24
f g (t > 0)
= f u (t>0)
gelten, denn dann und nur dann ist f(t 0
ist also
f u (t) = sign(t) · f g (t) (1.37)
Da nun für kausale Funktionen der ungerade Anteil f u (t) eindeutig aus dem geraden Anteil
f g (t) hervorgeht, bedeutet dies: wenn der Realteil der FOURIER-Transformation einer kausalen
Funktion gegeben ist, dann ist damit alleine wegen der Kausalität der Imaginärteil von F(ω)
auch bereits festgelegt und kann nicht unabhängig vom Realteil gewählt werden. Wenn am in
1.37 transformiert, so erhält man mit 1.36
F{f u (t)} = jIm{F(ω)} = F{sign(t) f g (t)} = F{sign(t) F-1{Re{F(ω)}}} ,also
Im{F(ω)}=F{-j sign(t) F -1 Re{F(ω)}}} (1.38)
In Worten: Der Imaginärteil der FOURIER-Transformation geht direkt aus dem Realteil der
FOURIER-Transformation hervor, kausale Zeitfunktionen vorausgesetzt. Ist darüber hinaus das
kausale f(t) noch reell, dann genügt für die Festlegung des kompletten Spektrums die Angabe
von Re{F(ω)} für ωε0. In Wahrheit ist das nicht verwunderlich. Bezeichnen wir die
Festlegung einer reellwertigen Funktion entlang einer Halbachse (t > 0 bzw. t < 0 bzw. ω > 0
bzw. ω < 0) als "eine Informationseinheit". Dann enthält eine komplexe Zeitfunktion 4
unabhängige Informationseinheiten. Entsprechend enthält die Transformierte 4
Informationseinheiten, denn Symmetrien sind nicht bekannt. Ist f(t) dagegen reell, dann sind
nur 2 Informationseinheiten in f(t) enthalten. Das gilt auch, wenn man vom Spektrum
ausgeht: Man kann F(ω) nur für ω > 0 frei wählen, die Werte für ω ≤ 0 ergeben sich aus
F − ω = F*
ω . Ist dann f(t) reell und kausal, so ist in f(t) nur noch eine Informationseinheit
( ) ( )
enthalten. Klar, dass dann auch im Spektrum nur eine Informationseinheit vorhanden sein
kann: die Angabe von Re{F(ω)} für ω>0 bestimmt das Spektrum komplett.
Zum Abschluss sei noch erwähnt, dass die obengenannte Operationskette
F {j sign(t) F -1 {X(ω)}} = H{X(ω)} (1.39)

25
als "HILBERT-Transformation" bezeichnet wird. Sie ist keine "Transformation im echten
Sinne" wie die FOURIER-Transformation. Anders als die letztere konstatiert die HILBERT-
Transformation einen Zusammenhang zwischen zwei nicht-unabhängigen Funktionen. Die
FOURIER-Transformation dagegen ist eine "echte Transformation": Sie transformiert ein
Problem von einem "Originalbereich" (t) in einen Bildbereich (ω), wobei das Problem selbst
unverändert bleibt (und umgekehrt).
1.6 Ein Beispiel: der einfache Resonator
Ein in der Akustik ziemlich oft vorkommendes Beispiel besteht in einem einfachen
Resonator. Er besteht (Bild 1.8) aus einer Masse m, die mit einer Feder (Steife s) und einem
Reibdämpfer (Reibkonstante r) an einem Fundament befestigt ist.
Nach dem Newtonschen Prinzip, nach dem die auf einen Körper der Masse m wirkende Kraft
zu beschleunigten Bewegungen führt, ist
m d2 x
dt 2 = f − f s − f r , (1.40)
wenn x die Auslenkung der Masse, d 2 x/dt 2 die zugehörige Beschleunigung, f die anregende
Kraft, fs die Federkraft und fr die Reibungskraft bedeuten. Im einfachsten Fall (bei
hinreichend kleinen Bewegungen x nämlich) kann man von einer Hookschen Feder
f s = s⋅ x
und von viskoser Reibung

26
f r = r ⋅ dx
dt
ausgehen. Dann ist
m ⋅ d2 x
dt + r ⋅ dx + s⋅ x = f (1.41)
2 dt
die Bewegungsgleichung.
Wenn man die Kraft f als Anregung (= Systemeingang) und die Auslenkung x als Reaktion
ansieht (= Systemausgang), dann erhält man aus 1.41 für die Übertragungsfunktion
H(ω) = X(ω)
F(ω) = 1
s − mω 2 + jω
(1.42)
(wie man leicht mit
x
jωt
= X e und
f
jωt
= Fe zeigt). Mit den "Abkürzungen"
• Resonanzfrequenz ω = s
0
und (1.43)
m
r ⋅ ω0
r
• Verlustfaktor η = =
(1.44)
s s ⋅ m
kann man auch - etwas übersichtlicher-
H(ω) =
1
s
1− ω2
ω + j η ω (1.46)
2
0
ω 0
schreiben. Bild 1.9 zeigt eine graphische Darstellung für die drei verschiedenen
Verlustfaktoren η.

27
Wenn man von Resonanzgipfel in ω ≅ ω 0
absieht, handelt es sich um einen Messpass,
dessen Frequenzgang mit 12dB/Oktave oberhalb der Resonanz abnimmt. Der Frequenzgang
H(ω) steht z.B. für den eines Kondensatormikrophones, bei dem bekanntlich die
Ausgangsspannung proportional zur Membranauslenkung ist und das im mechanischen
Aufbau (im Wesentlichen) einem einfachen Resonator gleicht.
Die Rücktransformation von H(ω) stellt die Impulsantwort h(t) dar,
h(t) =F -1 {H(ω)}
=
1
2
1
π s
∫ ∞ −∞
e
2
ω
1−
ω
2
0
jωt
dω
ω
+ jη
ω
0
(1.47)
Das Ergebnis der im Prinzip einfachen, aber etwas langwierigen Lösung des Integrals (am
besten mit dem Residuensatz oder mit einer Partialbruchzerlegung, siehe Skript „Theoretische
Akustik“ besteht in der kausalen Impulsantwort
h(t)
⎧
⎪
⎨ 1
⎪
⎩mω
0, t < 0
= −ηt
d
e
/ 2
sin ω t
d
(1.48)

28
die aber einen gedämpften Ausschwingvorgang darstellt. Bild 1.10 zeigt die Impulsantwort
für verschiedene Dämpfungen ausgedrückt durch den Verlustfaktor η. Man kann dem Bild
entnehmen, dass Impulsantworten "kurz" oder "lang" sein können, eine vielleicht
selbstverständliche Tatsache, die jedoch bei der Messung von Übertragungseigenschaften von
Systemen (Kapitel 4) eine erhebliche Rolle spielt.
Zum Abschluss sei noch auf die (wohl ebenfalls selbstverständliche, oft aber vergessene)
Tatsache hingewiesen, dass jede Größe an ihre Definition gebunden ist: oben ist H(ω) aus
dem Verhältnis von AUSLENKUNG und Kraft definiert; h beschreibt ebenfalls eine
Auslenkung (nämlich bei der Impulsanregung). Wenn man diese Definition ändert, z.B. auf
Hv(ω) = Schnelle/Kraft = V(ω)/F(ω) übergeht, dann erhält man natürlich auch einen
geänderten Frequenzgang und eine andere Impulsantwort; z.B. ist
und
Hv(ω) = jω H(ω) (1.49)
hv(t) = dh/dt . (1.50)
Diese Bemerkungen sollen nur deutlich machen, dass es "die" Übertragungsfunktion des
einfachen Resonators (als Beispiel) gar nicht gibt; man muss schon dazu sagen, wie sie denn
definiert ist. Das wird oft vergessen und führt dann zu Rätselraten.

30
2. Abtastfolgen
Es ist wohl eine Tautologie: digitale Signalverarbeitung geschieht mit Digitalrechnern. Damit
die Computer ein numerisches "Processing" auf Signale durchführen können, müssen sie den
(eigentlich kontinuierlichen) Zeitverlauf der Signalspannung (die ja zum Beispiel zu einer
physikalischen Größe, etwa "Schalldruck" proportional sein kann) erst einmal "in Erfahrung"
bringen.
Dies geschieht mit einem Analog-Digital-Wandler. Er ermittelt in gleichen Zeitabständen ∆t
die Größe der jeweils momentanen Eingangsspannung und leitet diesen Wert als digital
verschlüsselte Zahl an den Rechner weiter, wo die eintreffenden Spannungswerte der
Reihenfolge nach im Speicher abgelegt werden. Man erhält so eine Zahlenfolge x(m) als
Repräsentant der kontinuierlichen Zeitfunktion x(t) (Bild 2.1).
Das n-te Folgen-Element gehört dabei zur Zeit
t = n · ∆t (2.1)
wobei meist statt dem Inkrement ∆t die Abtastfrequenz
f tast
= 1
∆t (2.2)

31
bzw. die Abtastkreisfrequenz
ω tast
= 2π f tast
(2.2a)
als technische Kenngröße angegeben wird.
Praktische AD-Wandler überdecken mit Leichtigkeit den akustisch relevanten Bereich von
Abtastfrequenzen, selbst Werte f tast = 100 kHz stellen heute kein technischen Problem mehr
dar. Die Verwendung eines Digitalrechners zur Datenverarbeitung bringt es also zwangsläufig
mit sich, dass das (eigentlich interessierende) kontinuierliche Signal nur in äquidistanten
Stützstellen bekannt ist. Durch diese "Diskretisierung der Zeit" geht möglicherweise viel von
Information über den kontinuierlichen Zeitverlauf verloren: wir kennen nichts von dem Signal
zwischen den zeitlichen Stützstellen. Wir werden also zu fragen haben: unter welchen
Voraussetzungen ist die Abtastfolge x(m) denn noch ein "vernünftiger" Repräsentant des
kontinuierlichen Vorganges x(t)? Und insbesondere: wie hängen denn die Spektren von
Zahlenfolge x(n) und von Verlauf x(t) zusammen?
Zunächst werden wir diesem Problem nachgehen. Natürlich drängt sich uns gleich noch eine
zweite Frage auf: was ist, wenn die vorgesehene Speicherkapazität nicht ausreicht und nur ein
"Ausschnitt" des Signals zur Verfügung steht? Auch dieses Problem werden wir später
natürlich behandeln. Zunächst wollen wir annehmen, der Speicher stehe unbegrenzt zur
Verfügung und die Konsequenzen der "Diskretisierung der Zeit" diskutieren.
2.1 FOURIER-Transformation von Zahlenfolgen
Da nun kein kontinuierlicher Verlauf x(t) mehr bekannt ist, können wir nur versuchen, die
Berechnungsvorschrift des Spektrums X(ω)
X
∞
∫
−∞
( ω) = x( t)
e
− jωt
dt
(2.3)
durch eine Approximation abzuschätzen.
Schon intuitiv würden wir versuchen, das Integral (2.3) durch eine Summe anzunähern:
( ω) = x( n)
∑ ∞ − jnω∆t
X
S
e ∆t
. (2.4)
n=
−∞

32
Wir erwarten, dass wir dabei eine "Schätzung" X S (ω) für das "wahre" Spektrum X(ω)
bekommen. Natürlich wird uns die Güte der Schätzung interessieren, wir werden also noch
nach den Abweichungen zwischen X S (ω) und X(ω) zu fragen haben.
Um das zu tun, benötigen wir zunächst natürlich wieder "exakte Begriffe", d.h., wir müssen
zunächst die Transformation von Zahlenfolgen definieren und ihre Eigenschaften diskutieren.
Der in (2.4) ausgedrückte "Versuch einer Annäherung an das wahre Spektrum" legt eine
Definition der Abbildungsvorschrift nahe. Setzen wir noch ∆t = 1/f tast (Gl. 2.2) ein, so ist
( ω = 2π f )
1
( ) ∑ ∞ ω
− j2πn
X ω = ( ) ω
S
x n e
tast . (2.5)
f
tast n=
−∞
Das Spektrum X S (ω) hängt - von einer Skalierung abgesehen - nur vom Frequenzverhältnis
f/f tast ab. Offensichtlich ist X S (ω) eine periodische Funktion mit der Periode ω tast :
X
( ω ) = X ( ω + K ω ) ; K = 0, ± 1, 2,
S S
tast
±
…
Wir können daraus schon schließen, dass die Schätzung X S (ω) mit dem wahren Spektrum
X(ω) allenfalls in einem Frequenzintervall übereinstimmen kann, das höchstens die Breite
ω tast besitzt.
Die beiden genannten Eigenschaften "der Schätzung" wollen wir in der Definition der
Folgentransformation ebenfalls vorfinden. Wir definieren daher als Fourier-Transformierte
einer Zahlenfolge
j
( e
Ω ) = x( n)
∑ ∞ − jnΩ
X e . (2.6)
n=
−∞
Unabhängig von einem "Zweck", stellt diese Gleichung einfach eine mathematische
Abbildungsvorschrift - eine Transformationsgleichung - dar, die auf die Folge (x(n)
angewandt wird und X(ejΩ) - das Spektrum der Folge - zum Ergebnis hat. Praktischen Nutzen
erhalten wir aus (2.6), weil wir sie als "Schätzwert-Berechnung" interpretieren dürfen. Es ergibt
sich nämlich
X S (ω) = 1
f tast
X(e jΩ )
mit Ω = 2π
ω
ω tast
(2.7a)
(2.7b)

33
2.2 Eigenschaften der FOURIER-Transformation von Folgen
a) Rücktransformation
Eine Transformationsgleichung ist im Grunde ja nichts weiter als "die Umrechnung von
Informationen (z.B. die in einem Zeitverlauf f(t) enthaltenen Informationen) in eine andere
Darstellungsweise" (z.B. in eine Spektralfunktion F(ω)). Dass darin auch ein Sinn liegt, ist
nicht durch die Abbildungsvorschrift "Transformation" selbst begründet. Erst das Problem,
das durch die Methode des Transformierens gelöst wird (z.B. die Beschreibung des
Übertragungsverhaltens linearer Systeme), deckt den Zweck des Mittels auf.
Die genannte "Informationstreue" zwischen Original- und Bildbereich erwarten wir auch für
die Transformierte X(ejΩ) von Folgen x(n). Es muss also gelingen, die Folge x(n) aus X(ejΩ)
"wiederherzustellen", sonst wäre X keine vollständige Darstellung der in der Folge x(n)
(gleichfalls) enthaltenen Informationen.
Die Bildung der Rücktransformationsvorschrift muss naturgemäß von der
Transformationsvorschrift
jΩ
( e ) =
X F { ( n)
} = x( n)
∑ ∞ − jnΩ
x e
(2.8)
n=
−∞
ausgehen. Zur "Auflösung" von (2.8) nach Folgenelementen x(n) verwendet man die
sogenannte "Orthogonalitäts-Relation" der harmonischen Funktionenfolge e-jnΩ. Wie man
sehr leicht zeigen kann, gilt nämlich
1
π
π
jmΩ
− jnΩ
n
2π
∫
−π
e
e
1
dΩ =
2π
∫
−π
e
j( m−
) Ω
dΩ = δ( m − n)
(2.9)
wobei wir unter der diskreten Delta-Funktion
δ (m-n) = {
1 ; m - n = 0
0 ; m - n ≠ 0 (2.10)
verstehen wollen.
Diese Eigenschaft kann nun benutzt werden, um aus der Summe (2.8) ein Glied
"herauszublenden". Multipliziert man (2.8) mit ejmΩ (m fest gedacht) und integriert, so ist

34
1
2π
=
π
∫
−π
∞
∑
n=−∞
x
∞
π
jΩ
1 j( m−n
)
( ) dΩ = ∑ x( n) ∫ e
X e
n=−∞
2π
( n) ⋅ δ( m − n) = x( m)
−π
Ω
dΩ
Wir haben so (2.8) nach dem m-ten Folgenglied aufgelöst. Natürlich können wir für m jede
ganze Zahl einsetzen, es ist also für alle x(n)
x
π
1
=
2π
∫
jΩ
jnΩ
( n) X( e ) e dΩ
=
−π
F -1 jΩ
{ ( e )}
X (2.11)
die gesuchte Rücktransformationsgleichung.
b) Multiplikation von Spektren (Faltung im Originalbereich)
Ebenso wie bei "kontinuierlichen" Systemen interessiert uns das Übertragungsverhalten
"diskreter" linearer und zeitinvarianter Systeme. Wie in Abschnitt 1 folgt aus der Linearität
(und der Zeitinvarianz), dass die Systemantwort y(n) bei Eingang x(n) durch die Faltung
∞
( n) = h( n − k) x( k) = h( k) x( n − k)
∑
k=−∞
∞
∑
y (2.12)
k=−∞
mit der diskreten Impulsantwort h(n) gegeben ist. Den Beweis erbringt man wie vorne durch
die Darstellung des Eingangs durch eine Summe von Impuls-Anregungen
( n) = x( k) ⋅ δ( n − k)
∑ ∞
k=
−∞
x .
Jeder Einzelimpuls (= jedes einzelne Summenglied) resultiert in einem Teilausgang
n = x k h n − k , die Summation (und das Superpositionsprinzip) liefert (2.12).
y E
( ) ( ) ( )
Natürlich gehört auch diesmal wieder zur Faltung im Originalbereich die Multiplikation der
Spektren im Bildbereich. Wir zeigen dies, indem wir aus (2.12) das Spektrum Y(ejΩ) bilden.

35
∞
∞ ∞
jΩ
− jnΩ
( ) = ∑ y( n) e = ∑ ∑ h( n − k) x( k)
Y e
=
=
=
n=−∞
∞
∑
k=−∞
∞
∑
k=−∞
∞
∑
k=−∞
x
x
x
∞
( k) = h( n − k)
∑
n=−∞
∞
− jkΩ
− j( n−k
)
( k) e h( n − k) e
∑
n=−∞
∞
− jkΩ
− jnΩ
jΩ
jΩ
( k) e ∑ h( n) e = X( e ) H ( e )
n=−∞
n=−∞
k=−∞
e
− jnΩ
Ω
e
− jnΩ
(2.13)
worin H(ejΩ) = F {h(n)} ist.
c) Multiplikation von Folgen
Wir werden bald Anlass zu folgender Frage haben: Wie wirkt sich die Multiplikation zweier
Folgen
y (n) = g (n) · x (n) (2.14)
auf die Spektren aus? Tatsächlich werden wir sehen, dass Folgen (die von Messsignalen
gebildet werden) nur vermittels einer Multiplikation mit einer anderen Folge (der
"Fensterfolge") beobachtet werden.
Natürlich entspricht (2.14) der Faltung im Frequenzbereich. Zum Beweis gehen wir vom
vermuteten Resultat
jΩ
1 j( Ω−ν)
jν
( ) G( e ) X( e )
Y e
π
∫
−π
= dν
2π
(2.15)
aus und zeigen die Identität mit (2.14): Multiplikation mit e-jnΩ und Integration ergibt
y
π
1 jΩ
( n) = ∫ Y( e )
=
=
=
=
2π
1
( 2π)
1
2
( π)
1
2
−π
2
−π −π
π
∫
−π
π
∫
π
π
∫ ∫
( π)
−π
x( n) ⋅ g( n)
j( Ω−ν)
jν
( ) X ( e )
π
jν
1
j( Ω−ν)
( ) G ( ) ∫ ( e )
X e
jν
( )
X e
e
G e
jnΩ
e
dΩ
2π
− jnν
−π
1
2
( π)
π
∫
−π
G
e
jnΩ
dν
dΩ
e
jnΩ
dΩ
dν
j( Ω−ν)
− jn( Ω−ν)
( e ) e
dΩ
dν

36
q.e.d. (N.B.: Dabei ist die triviale Beziehung
+π+α
∫
−π+α
π
jΩ
− jnΩ
jΩ
( ) e dΩ
= ∫ G ( e )
G e
−π
e
− jnΩ
dΩ
benutzt worden, die man leicht aus der Periodizität des Integranden beweisen kann).
d) Energiesatz, Autokorrelierte
Der Energiesatz besagt, dass die "Energie der Folge" gleich der "Energie des Spektrums" ist:
! ∞
1
E = ∑ x
2π
∫
n=−∞
π
2
jΩ
2
( n) = X( e ) dΩ
−π
(2.16)
Zum Beweis geht man vom Faltungssatz
∞
∑
k=−∞
h
π
1 jΩ
jΩ
( n − k) x( k) = ∫ H( e ) X( e )
2π
−π
e
aus, setzt h (n) = x* (-n) (woraus H (ejΩ) = X* (ejΩ) folgt) und erhält die sog. Autokorrelierte
jnΩ
dΩ
a
∞
π
1
jΩ
jΩ
( n) ∑ x *( k − n) x( k) = ∫ X * ( e ) X( e )
jnΩ
= e d
k=−∞
2π
−π
Ω
(2.17)
die offenbar gleich der Rücktransformierten des Betragsquadrates von X (ejΩ) = F {x (n)}
ist.
Wir werden (2.17) und die Autokorrelierte später noch einmal benötigen. Für jetzt genügt
uns, dass (2.16) aus (2.17) mit n = 0 hervorgeht.
Offensichtlich gilt für die Autokorrelierte
a (0) = E
e) Symmetrie
Wenn x (n) reell ist, dann gilt
x (n) reell : X e - jΩ = X* e jΩ (2.18)
(wie man leicht aus der Definitionsgleichung (2.8) zeigt).
Das Spektrum ist also vollständig auch für negative Frequenzen Ω definiert, wenn es im
Intervall 0 ≤ Ω ≤ π bekannt ist. Dem Betrag nach ist das Spektrum symmetrisch, die Phase ist

37
antimetrisch. Handelsübliche Transformatoren ("FFT-Analysatoren") operieren auf
(reellwertigen) Messsignalen und geben nur den positiven Frequenzbereich an.
2.3 Das Abtasttheorem
Nun haben wir uns zwar lange mit den Eigenschaften der Fourier-Transformierten von Folgen
beschäftigt (und diese Eigenschaften werden wir natürlich noch oft benötigen).
Unbeantwortet ist jedoch geblieben: wie hängen denn Spektrum X(ω) eines kontinuierlichen
Messsignals x(t) und Spektrum X(ejΩ) der daraus gebildeten Abtastfolge x(n)
x (n) = x (n · ∆t)
zusammen?
Zur Beantwortung dieser Frage geht man von der Abtastfolge x(n) aus. Weil sie sich sowohl
durch ihr Folgenspektrum X(ejΩ) nach (2.11)
x(n) =
1
2π
π
∫
−π
X(e
jΩ
) e
jnΩ
dΩ
(2.19)
als auch durch das Spektrum des kontinuierlichen Zeitverlaufes X(ω) mit
x(n) = x(n ⋅ ∆t)
=
1
2π
π
∫
−π
X( ω)
e
jω⋅n⋅∆t
dω
(2.20)
nach (1.28a) ausdrücken lässt, bietet sie den Schlüssel zur Bestimmung des Zusammenhanges
zwischen X(ejΩ) und X(ω); es muss nach (2.19) und (2.20) (mit ∆t=2π/ω tast ) nämlich
π
∫
−π
jΩ
jnΩ
X(e
) e dΩ =
∞
∫
−∞
X( ω)
e
j2πn
ω
ω
tast
∆t
dω
(2.21)
sein.
Der Periodizität der Folgen-Transformierten X(ejΩ) mit der Peridenlänge 2π legt eine
Unterteilung des Integrationsintervalles auf der rechten Seite in Teilintervalle nahe, die
ebenfalls die Breite 2π in Ω = 2π (ω/ω tast ) haben, in ω also jeweils das Intervall ω tast
abdecken:

38
∞
∫
−∞
X(
ω)e
j2πn
ω
ω
1
(k+
) ω j2πn
ω
∞ 2 tast
ω
tast dω =
X( ω)e
tast dω
(2.22)
∑
∫
k=−∞
1
(k−
) ω
2 tast
oder, mit der Variablensubstitution ω' = ω-kω/ω tast
j2πn
ω
∞
j2πn ω' +k ω tast
∞ ωtast /2
ω
∫
X(ω)e tast
ω
dω = ∑ ∫
X(ω' +k ω tast )e tast
dω (2.23)
− ∞
k=− ∞
−ω tast /2
Wenn man noch
• e j2πnk =1 berücksichtigt,
• die Reihenfolge von Summation und Integration vertauscht und
• die Summationsreihenfolge "von oben nach unten" festlegt (für k also einfach -k
schreibt) dann erhält man
j2πn
ω
∞
ω ⎧ ∞
⎫
j2πn
ω
ω tast /2
∫
X(ω)e tast ω
dω =
∫ ⎨ ∑ X(ω − k ω tast ) ⎬ e tast dω (2.24)
− ∞
−ω tast /2⎩
k=−∞
⎭
Es ist also nach (2.21) mit Ω = 2π (ω/ω tast ) zusammengefasst
π
∫
X(e jΩ )e jnΩ dΩ
− π
= ω tast
2π
π
⎧ ∞
⎫
∫ ⎨ ∑ X(ω − k ω tast ) ⎬ e jnΩ dΩ
(2.25)
⎩ k= −∞
⎭
−π
Wegen der Eindeutigkeit der Rücktransformation ist also
X(e jΩ )
Ω=2πω/ω tast
= ω tast
2π
∞
∑ X(ω − kω tast )
(2.26)
k = −∞
Gl. (2.19) stellt den gesuchten Zusammenhang zwischen dem Spektrum X(ejΩ) der
Abtastfolge x(n) und dem Spektrum X(ω) des kontinuierlichen Verlaufes dar. Die Aussage
von (2.19) kann man leicht anschaulich machen: offenbar bewirkt die Abtastung in diskreten
Zeitschritten eine "Stapelung" von Frequenzintervallen (den "Blöcken" in Bild 2.2) des
kontinuierlichen Signalspektrums X(ω), der Stapel wird aufsummiert (Bild 2.2).

39
Ein Punkt Ω in X (ejΩ) enthält also die Summe der Spektralwerte von X(ejω) an den Stellen
ω + k ω tast
, k = 0, ±1, ±2, ±3 ...

40
Offenbar werden bei der Abtastung alle um ω tast auseinander liegende Frequenzen als "ein
und dieselbe Frequenz erkannt". Man kann diesen Effekt auch "Frequenzverwechselung"
nennen, im Englischen spricht man von "aliasing".
Nun ist X(ejΩ) ja das aus den Abtastwerten x(n) einzig berechenbare Spektrum, es ist also nur
die Summe der "wahren Spektralanteile" X(ω + k ω tast ) überhaupt berechenbar. Natürlich
kann man den Summenwert nicht mehr im Nachhinein "zerpflücken". Die
Frequenzverwechselung muss also vorab ausgeschlossen werden, damit überhaupt noch eine
eindeutige Zuordnung vom Spektrum X(ejΩ) der Folge zum Spektrum X(ω) des
kontinuierlichen Verlaufes möglich ist.
Im einfachsten (und gebräuchlichsten) Fall sorgt man durch Verwendung eines Tiefpasses mit
dem Durchlassbereich
1 ω ≤ ω
tast
(2.27)
2
für die eindeutige Zuordnung. Alle außerhalb liegende Frequenzanteile von x(t) werden so
herausgefiltert, in Bild 2.2 bleibt so nur noch der Inhalt von Block 0 für X (ejΩ) übrig. Die
Spektren X (ejΩ) und X(ω) sind unter Beachtung der Frequenzzuordnung
− π ≤ Ω ≤ π
1
− ωtast
≤ ω ≤ ω
2
tast
(2.28)
(und abgesehen von einer Multiplikation mit ∆t, einer Konstanten) gleich.
Wir übersehen an Hand des Bildes 2.3, dass die Benutzung des vorgenannten Tiefpasses nur
der einfachste Sonderfall vieler Möglichkeiten bildet, eine "überlappungsfreie" Addition der
Frequenzblöcke zu schaffen.

41
Wir könnten zunächst geneigt sein, alle Blöcke bis auf einen einzigen durch ein
vorgeschaltetes Filter zu löschen. Diese Möglichkeit besteht NICHT: als realisierbare
physikalische Systeme mit reeller Impulsantwort müssen Filter stets eine bezüglich der
Frequenz symmetrische Übertragungsfunktion |H(ω)| = |H(-ω)| besitzen, sie beeinflussen
positive wie negative Frequenzen stets gleichermaßen. Es kann also nur gelingen, X (ejΩ) aus

42
zwei Blockinhalten zusammenzusetzen, wobei je eine Hälfte der beiden Blockinhalte (und
natürlich alle anderen Blöcke) gelöscht werden muss (bei einem: die linke Hälfte, beim
anderen: die rechte Hälfte). Dies kann durch Verwendung eines Bandpasses mit dem
Durchlassbereich
( k + 1) ω / 2
kω / 2 ≤ ω ≤
(2.29)
tast
tast
(offensichtlich die allgemeinere Form von (2.27)) geschehen, der (physikalisch) die
Bandbreite ω tast /2 besitzt. Die Zuordnungen der Frequenzen Ω und ω ergeben sich dann
abschnittsweise aus folgenden linearen Zusammenhängen
- für geradzahliges k = 2 m
0 π Ω
k
ω tast
2
(k+1)
ω tast
2
ω
-π 0 Ω
(2.30a)
−
( k + 1)
ω tast
2
ω
tast
− k
ω
2
- für ungeradzahliges k = 2 m - 1
0 π Ω
−
( k + 1)
ω tast
2
ω
tast
− k
ω
2
-π 0 Ω
(2.30b)
k
ω tast
2
(k+1)
ω tast
2
ω
(offensichtlich die allgemeinere Form von (2.28)).
Schließlich könnte man noch fragen, ob der genannte Bandpass mit der Bandbreite ω tast /2 mit
einer kontinuierlich verschiebbaren Mittenfrequenz ausgestattet werden kann. Bild 2.3 zeigt,
dass diese Möglichkeit nicht besteht: die Blockinhalte überlappen sich in Frequenzbereichen;
nur wenn die Filtergrenzen mit Vielfachen der halben Abtastfrequenz zusammenfallen, ist der
Verwechslungseffekt ausgeschlossen.

43
Die Möglichkeit, schnell veränderte Signale langsam hinter einem Bandpass nach (2.22)
abzutasten, wird Zoom-Technik genannt. Sie bietet einen praktisch sehr wichtigen Vorteil,
der damit im Zusammenhang steht, dass man natürlich auch im Frequenzbereich nur eine
gewisse, begrenzte Anzahl N von diskreten Frequenzpunkten bestimmen kann. Die Anzahl N
der "Stützstellen" im Frequenzbereich ist eine (manchmal in einigen Schritten wählbare)
"Maschinenkonstante" in FFT-Analysatoren und sicherlich begrenzt (typische Werte sind 200,
400, 800; mehr als 1600 kommen wohl nie vor). Diese Zoom- (= Bandpass-) Technik erlaubt
nun ja auch große Verhältnisse f M /f tast von Mittenfrequenz f M des Bandpasses und
Abtastfrequenz. Man kann also f M hoch und f tast klein wählen. Im Resultat heißt das, dass
alle N Frequenzstützstellen dann auf einen schmalen, f tast /2 -breiten Frequenzbereich bei
hoher Mittenfrequenz "verteilt" werden. Man kann so extrem hohe Frequenzauflösungen
erhalten, und das im Grunde in beliebigen Frequenzbereichen.
2.4 Signalmodelle
Die exakte Beschreibung des zeitlichen Verhaltens von Systemen setzt naturgemäß voraus,
dass alle Zeitfunktionen(also Eingang x(t), Impulsantwort h(t) und Ausgang y(t)) für alle
Zeiten −∞ ≤ t ≤ ∞ auch bekannt sind; selbstverständlich ist aber eben nur unter dieser
Voraussetzung z.B. eine Bestimmung des Ausgangs aus Eingang und Impulsantwort für "alle
Zeiten" möglich. Die Notwendigkeit "alles zu allen Zeiten zu wissen" muss sich natürlich im
gesamten benutzbaren mathematischen Apparat niederschlagen: so gehört auch zum Begriff
des Spektrums eines Zeitverlaufes (der Fourier-Transformierten) gehört unabänderlich, dass
es nur dann berechnet werden kann, wenn das Zeitsignal für alle Zeiten bekannt ist. In der
Tat, die in der Rücktransformationsvorschrift
1
2π
∞
∫
−∞
Kont. Zeitsignal: x( t) X( ω)
j
= e
ω t
d
1 jΩ
Folge: x( n) X( e )
π
∫
−π
ω
jnΩ
= e d
2π
ausgedrückte Absicht besteht ja gerade darin, das Signal durch eine Summe von jeweils
"unendlich langen" harmonischen Verläufen zu erklären, wobei die Summation durch ihren
infinitesimalen Grenzfall, die Integration, dargestellt ist. Wir wissen, dass diese
Signalzerlegung ein nützliches Hilfsmittel, z.B. bei der Betrachtung linearer Übertrager,
bildet. Andererseits stehen wir vor der Situation, dass Zeitsignale nicht "unendlich lange"
durch Messung beobachtet werden können. Selbst wenn die Signallänge endlich ist, wird
doch die Beobachtungsdauer in den meisten Fällen wesentlich kleiner sein. Wir kennen also
ω

44
nur ein Stück des Signalverlaufes (das wir natürlich sinnvoll so gewählt haben, dass es
"repräsentativ" für den Gesamtverlauf ist) innerhalb eines "Fensters".
Damit wir trotzdem noch ein Spektrum zuweisen können, ist es zwingend erforderlich,
Annahmen über den weiteren Verlauf des Signals außerhalb des Beobachtungsfensters zu
machen: wir müssen ein Signal-MODELL aus der Kenntnis nur eines Signalstückes
entwickeln. Dabei sind nun viele Möglichkeiten offen, die Extrapolation für Signalteile
außerhalb des Datenfensters aus den Werten innerhalb des Datenfensters vorzunehmen. Die
möglichen Extrapolationsvorschriften können wir in zwei Gruppen zusammenfassen:
1. Am Fenster-Inhalt orientierte Extrapolation
Am sinnvollsten wäre es sicherlich, die in der Beobachtung enthaltenen Informationen
zu nutzen, um das Signalmodell außerhalb des Datenfensters festzulegen. Wenn man
zum Beispiel weiß, dass das Signal nur wenige spektrale Komponenten enthält und
damit eine bestimmte "glatte", periodisch wiederholte Signalform besitzt, dann könnte
man (etwa durch "scharfes Hinsehen") Form und Periodizität aus dem Fensterinhalt
herauslesen und das Signal-Modell mit der herausgefundenen Periodizität fortsetzen.
Wesentlich daran ist, dass die Periodizität dem Signal entnommen wird (und nicht, wie
unter den universellen Extrapolationen, eine künstliche Periodizität postuliert wird).
Wenn solche A-priori-Kenntnisse wie "wenige spektrale Komponenten" vorhanden sind,
dann kann man so offensichtlich ein Signalmodell entwickeln, das dem wahren
Signalverlauf sehr gut angemessen ist. Die Nutzung von Vorkenntnissen zur
Bestimmung von Spektren bildet den Ausgangspunkt von Verfahren, die unter dem
Begriff "modern spectral estimation" zusammengefasst werden. Ihr Nachteil liegt auf
der Hand: man benötigt eben Vorkenntnisse, um sie anwenden zu können. In einigen
Fällen verfügt man ja auch in der Tat über solche Vorab-Einschätzungen (z.B.: "es
handelt sich um Resonanzschwingungen"), in sehr vielen anderen Fällen dagegen (z.B.
bei breitbandigen Übertragern, wie elektroakustische Wandler) scheint ein völlig
unvoreingenommener Standpunkt angemessener. Am Fenster-Inhalt orientierte
Extrapolationen kann man offensichtlich nur "in Spezialfällen" benutzen, die Methoden
können nicht universell auf ALLE Signale angewandt werden.
2. Universelle Methoden
müssen sich darauf stützen, bei der Bildung des Signalmodells möglichst wenig an
Informationen "hinzuzuerfinden". Es bleiben dann nur zwei Möglichkeiten offen:
2a) Endlich langes Signalmodell

45
Man definiert das Signalmodell x M (n)
x M
( n)
⎧ 0 für n < 0, n ≥ N
= ⎨
⎩x( n)
für 0 ≤ n ≤ N −1
so, dass außerhalb der Beobachtung 0 ≤ n ≤ N - 1 alles zu Null gesetzt wird.
2b) Periodisiertes Signalmodell
Man definiert das Signalmodell x p (n)
x p
x
( n) = x( n) für 0 ≤ n ≤ N −1
( n mN) = x ( n) für m = 0, ± 1, 2,
+ …
p p
±
als periodische Fortsetzung des kompletten Fenster-Inhaltes. Dabei wird eine künstliche
Periode benutzt, die gleich der Fensterlänge der Beobachtung ist. Diese künstliche
Periode T hängt in gar keiner Weise mit dem zu untersuchenden Signal x(n) zusammen,
sie ist im Gegenteil vom Anwender des periodisierten Signalmodells WILLKÜRLICH
postuliert worden.
Wir wollen hier die beiden genannten universalen Signalmodelle "einmalig gemachter
Vorgang" und "künstlich periodisierter Vorgang" näher betrachten und die "modernen
Spektral-Schätz-Verfahren" einem späteren Abschnitt vorbehalten.
2.4.1 Einmaliges Signalmodell
Den Vorgang des "einmalig Machens" kann man auch als Multiplikation des wahren Signals
x(n) mit einer Gewichtsfolge g(n) auffassen, das Modell x M (n) geht durch die Operation
x M
( n) g( n) ⋅ x( n)
= (2.31)
aus x(n) hervor, wobei g(n) eine endlich lange Folge
g
( n) = 0 für n < 0, n ≥ N
darstellt. Im einfachsten Fall ist g(n) ein rechteckförmiger Verlauf
g
( n) r( n) = 1 für 0 ≤ n ≤ N −1
= ,

46
den wir dann als "Rechteckfenster" r(n) bezeichnen. Wir werden noch sehen, dass es durchaus
von Vorteil sein kann, Abweichungen vom Wert 1 für g(n) innerhalb des Datenfensters
zuzulassen.
Wir wissen nun von früheren Betrachtungen, dass der Multiplikation im Originalbereich die
Faltung im Bildbereich entspricht (Gl. 2.14 mit Gl. 2.15), es ist also
X
M
1
=
2π
jΩ
jΩ
jΩ
( e ) = G( e ) ∗ X( e )
π
∫
−π
j( Ω−ν)
jν
( ) X( e )
G e
dν
(2.32)
Stets also ist das (einzig auch berechenbare) Spektrum des Signalmodells gleich der Faltung
des Spektrums der Gewichtsfolge G(ejΩ) mit dem "wahren" Signalspektrum X(ejΩ). Wie ein
einfaches Beispiel lehrt, wirkt die Faltung "verschmiert", sie macht einen impulsförmigen
Verlauf des wahren Spektrums X(ejΩ) breiter, glatter: X M (ejΩ) erscheint "vermischt"
gegenüber dem "kontrastreichen" wahren X(ejΩ). Aus diesem Grund nennt man den in (2.25)
niedergelegten Sachverhalt auch "Unschärferelation".
Zur Verdeutlichung benutzen wir das Beispiel eines besonders "kontrastreichen" wahren
Signals der Form
X
jΩ
( e ) = 2π δ( Ω − Ω )
X
(2.33)
das aus einer einzigen spektralen Komponente mit der normierten Signalfrequenz Ω x besteht.
Das Spektrum der Modellfolge ist nach (2.25)
X
M
j
j( Ω−ΩX
)
( e ) G( e )
Ω =
gleich dem von Ω x nach rechts verschobenen Spektrum der Gewichtsfolge. Für das
Rechteckfenster ist beispielsweise
Ω
sin N
Ω / 2 2
∑ (2.34)
n=
0
Ω
sin
2
N−1
jΩ
jΩ
− jnΩ
− j( N−1)
( ) = R( e ) = e = e
G e
n
N
[Beweis: Summenformel der geometrischen Reihe z = ( 1−
z )/( 1−
z)
N 1
∑ −
n=
0
], dessen Verlauf
für N = 20 in Bild 2.4 für eine spektrale Periode wiedergegeben ist. Er ist leicht zu
diskutieren:

47
a) R(ej0) = N
2 π
~ für Ω <
b) Einhüllende: Ω 4
~ 1 für Ω → π
2kπ
R j N
N −1
k = ± 1, ± 2, ± 3, , ± (N = ungeradzahlig)
2
Ω
c) ( e ) = 0 für Ω = ,
also N-1 Nullstellen mit den Abständen ∆Ω = 2π/N. Lücke im ansonsten gleichmäßigen
Nullstellenmuster bei Ω = 0.
d) |R(ejπ)/R(ej0)| = 1/N (N = ungeradzahlig).

48
Weil wir uns aus praktischen Gründen auf ein "einmaliges" Signalmodell eingelassen haben,
bilden wir den eigentlich vorhandenen impulsförmigen Verlauf des Signalspektrums
"imperfekt" durch das Spektrum R(ejΩ) der (rechteckförmigen) Fensterfolge nach. Diese
Nachbildung besitzt eine Struktur aus sog. "Nebenkeulen" und einer "Hauptkeule". Die
Nebenkeulen entfallen auf den spektralen Bereich, in dem "eigentlich" ein spektraler Wert
von Null erwartet werden soll, die Hauptkeule ist quasi eine "endlich breite" Nachbildung des
Impulses selbst. Diese Haupt-Neben-Keulen-Struktur hat deutliche Nachteile. Liegt eine
zweite, zusätzliche spektrale Signalkomponente vor, dann muss man sich das
Gesamtspektrum als Summe zweier gegeneinander um den Frequenzabstand der Teile
verschobene Fensterspektren vorstellen. Abhängig vom Frequenzabstand der Teile darf die
Pegeldifferenz der Amplituden einen gewissen kritischen Wert nicht überschreiten, damit das
Spektrum des schwächeren Signalteiles von den Nebenkeulen des anderen nicht verdeckt
wird: es wäre sonst im Gesamtspektrum nicht mehr zu erkennen.
Wir können die Nebenkeulen des einen Signalteiles als "Fremdgeräusch" für den anderen
Signalteil betrachten, der durch die Fensterung bewirkt wird. Bekanntlich muss man einen
Fremdgeräuschabstand von 10 dB einhalten, damit Ergebnisse mit einer Toleranz von 1dB
erzielt werden.
Je geringer der Frequenzabstand der Signalteile ist, umso restriktiver wird die Forderung an
die noch zugelassene Pegeldifferenz. Liegen die Anteile schließlich beide sogar innerhalb der
Hauptkeule, dann sind sie kaum noch getrennt zu erkennen. Man wird im Fall gleichphasiger
Anteile nur noch schwach ausgeprägte "Doppelmaxima" erhalten, allgemein wird das Resultat
sehr stark von Frequenzabstand, Phasendifferenz und Amplitudenabstand geprägt sein;
Rückschlüsse auf die Bestandteile sind so nahezu unmöglich geworden.
Obwohl die genannten Nachteile die natürlich zu beachtenden Grenzen der Verfahren sicher
korrekt andeuten, muss man sich doch ihre Größenordnung unter praktisch relevanten
Bedingungen vergegenwärtigen. Übliche Abtastfolgen bestehen oft aus 512 (oder 1024)
Stützstellen im Zeitverlauf. Das Rechteckfenster-Spektrum besitzt dann (in einer Periode) 511
(bzw. 1023) gleichabständige Nullstellen, zwischen denen die Nebenkeulen gebildet sind. Die
bei Ω = 0 "fehlende" Nullstelle wird durch die Hauptkeule ersetzt, die - in begrenzenden
Nullstellen ausgedrückt - die Breite des doppelten Nullstellen-Abstandes 2π/N besitzt. Mit
einem so nachgebildeten spektralen Impuls lässt sich für die meisten akustischen Zwecke
durchaus "leben".

49
2.4.2 Diskrete Spektren
Bisher haben wir die spektralen Eigenschaften von Folgen x(n) durch einen kontinuierlichen
Spektralverlauf X(ejΩ) beschrieben. Vom Konzept der Signalbeschreibung her bestand ja
keinerlei Notwendigkeit, irgendwelche Frequenzen vor anderen zu bevorzugen: zwangsläufig
müssen wir daher den Begriff "Frequenz" als Kontinuum auffassen.
Wenn wir nun andererseits die Spektren von einmaligen Signalmodellen praktisch auch mit
einem digitalen Prozessor berechnen wollen, dann werden wir die Berechnungsprozedur auch
nur für eine gewisse, endliche Anzahl von diskreten Stützstellen Ω i durchführen.
Zunächst könnten wir die Stützstellenanzahl dabei natürlich ganz willkürlich, nur an den
Erfordernissen orientiert, festlegen.
Andererseits stellt sich dabei die Frage, wie viele Stützstellen wir im Spektrum (mindestens)
benötigen, damit der Signalverlauf eines einmaligen Vorganges innerhalb des Datenfensters
auch durch die Angabe der spektralen Stützstellen komplett repräsentiert ist: die diskreten
Stützstellen im Spektrum sollen so gewählt werden, dass aus ihnen die Zahlenfolge im
Originalbereich vollständig wiederhergestellt werden kann. Nun ist es klar, dass wir dazu
ebensoviele "spektrale Informationen" benötigen wie "Informationen innerhalb des Datenfensters".
Wenn wir für den allgemeinsten Fall komplexe Zahlenfolgen zulassen, dann enthält
die Folge N komplexe Zahlenwerte. Offensichtlich benötigen wir dann auch N Stützstellen
mit zusammen N komplexen Werten im Spektrum. Wir werden sicher geneigt sein, diese N
spektralen Stützstellen ebenso in gleichabständigen Schritten am kontinuierlichen Spektrum
X(ejΩ) zu bilden, wie wir auch Abtastfolgen als äquidistante Erfassung von Signalverläufen
interpretieren. Wir benutzen also die Frequenzpunkte
2πk
Ω
k
= , k = 0, 1, 2, N −1,
(2.35)
N
die gleichmäßig über eine spektrale Periode 2π verteilt sind, zur Bildung der Spektralfolge
N
∑ − 1
n=
0
jΩ
( ) = X( e ) = x( n)
X k
Ω=Ωk
e
nk
− j2π
N
. (2.36)
Natürlich dürfen wir allgemein alle ganzzahligen k dabei zulassen, denn ebenso wie das
kontinuierliche Spektrum X(ejΩ) ist auch die an ihm gebildete Abtastfolge X(k) periodisch:
( k mN) = X( k) , m = 0, ± 1, 2,
X + ±
(2.37)
zunächst stellt sich wohl die Frage, ob die von uns geforderte "Informationstreue" zwischen
Bildfolge X(k) und Originalfolge x(n) tatsächlich auch vorhanden ist: gelingt es, aus den N
spektralen Stützstellen die Originalfolge wiederherzustellen?

50
Tatsächlich können wir diese Aufgabe leicht lösen. Wir benutzen dazu die
Orthogonalitätsrelation
N
∑ − 1
1
N k=
0
e
( n−m)
k
− j2π
N
⎧ 1 für n − m = 0, ± N, ± 2N
= ⎨
⎩0 für n − m ≠ 0, ± N, ± 2N,
(2.38)
Multipliziert man nämlich (2.29) mit e j2π k m N , summiert über k und dividiert durch N
1
N
N−1
∑
n=
0
mk
N−1
j2π
N
( ) e = x( n)
X k
so erhält man wegen (2.31)
x
1
N
N
∑ − 1
k=
0
( m) = X( k)
e
∑
n=
0
mk
j2π
N
N−1
∑
k=
0
offensichtlich bildet das Gleichungspaar
N
∑ − 1
n=
0
( k) = x( n)
nk
− j2π
N
( n−m)
k
− j2π
N
e
X e
(2.39)
N
∑ − 1
k=
0
nk
j2π
N
1
x ( n) = X( k)
e
(2.40)
N
eine eigenständige Transformation, die sowohl die Berechnung der Bildfolge aus der
Originalfolge wie auch umgekehrt zulässt. Ebenso wie die Originalfolge ist die Bildfolge eine
vollständige Beschreibung "des Vorganges". Diese Transformation zwischen Zahlenfolgen
wird diskrete Fourier-Transformation (DFT) genannt.
Wie gesagt, können wir die spektrale Folge X(k) dabei als Berechnung von Stützstellen am
eigentlich kontinuierlichen Spektrum eines einmaligen Vorganges der Länge N auffassen.
Offensichtlich haben wir dann gerade die zur Erfassung des Signals minimale Anzahl von
spektralen Werten ausgewählt. Jeder darüber hinaus zusätzlich angegebene Punkt X(ejΩ)
würde "kein Mehr" an Informationen über die Signalfolge erbringen, er würde eine
redundante Aussage machen. In der Tat ist das Spektrum X(ejΩ) an JEDER Stelle Ω direkt
aus den spektralen Stützstellen X(k) in Ω = 2πk
N berechenbar, es ist also X(ejΩ) linear
abhängig von der spektralen Zahlenfolge X(k). Wir zeigen das, indem wir in die Transformationsgleichung
(2.6)
X
( Ω N 1
j
e ) = x( n)
∑ −
n=
0
e
− jnΩ

51
(2.40) einsetzen:
N−1
N−1
jΩ
1
( ) = ∑ ∑ X( k)
X e
=
=
n=
0
N−1
∑
k=
0
N−1
∑
k=
0
N
k=
0
( )
X k
( )
X k
⋅
⋅
1
N
1
N
N−1
∑
e
n=
0
1−
e
⎛ k ⎞
− jn⎜
Ω−2π
⎟
⎝ N ⎠
e
⎛ k ⎞
− jn⎜
Ω−2π
⎟
⎝ N ⎠
1−
e
− jNΩ
⎛ k ⎞
− j⎜
Ω−2π
⎟
⎝ N ⎠
(2.41)
(Hier wurde wieder die Summenformel der geometrischen Reihe verwendet.)
Letztlich stellt diese Gleichung nur eine Interpolationsvorschrift dar, mit der sich
"Zwischenwerte" beliebig zwischen den gleichabständigen diskreten Stützstellen berechnen
lassen. Bei Bedarf können wir sie natürlich auch zum "Zeichnen von glatten Verläufen"
benutzen. Andererseits scheint das überflüssige Arbeit zu sein: schließlich sind Spektrum und
Signal durch die Folge X(k) bereits vollständig beschrieben, durch die Interpolation können
wir höchstens "graphisch schönere Bilder zaubern", nicht aber ein mehr an Information
gewinnen. Letzteres ist nur möglich, wenn wir auch ein mehr an Information von Anfang an
benutzen: durch eine Verbreitung des Datenfensters.
Dies ist nur einer der Gründe dafür, dass die Angabe von anderen spektralen Werten
außerhalb der diskreten Stützstellen wenig sinnvoll ist. Die aus der
Rücktransformationsvorschrift (2.40) gebildete Zahlenfolge
x
1
N
N
∑ − 1
k=
0
( n) = X( k)
e
nk
j2π
N
können wir nämlich auch als periodische Folge
( n + m ⋅ N) x( n)
x =
ansehen: wir fassen sie dann als künstlich periodisiertes Signalmodell auf, bei dem eine
Periode mit den Abtastwerten innerhalb des Datenfensters übereinstimmt. In diesem Fall
können im Signalmodell NUR diskrete Frequenzen Ω k = 2π k/N vorkommen, die mit
Vielfachen der durch die Abtastlänge T gegebenen Frequenzen ω k = 2πk/T korrespondieren.
Nun können gar keine anderen Frequenzstellen als diese überhaupt in Betracht gezogen
werden, denn nur diese sind - per Definition des Signalmodells - zugelassen.
Wenn man, umgekehrt, - z.B. bei einem FFT-Analysator - mit einem diskreten Spektrum
konfrontiert wird, so bleibt es einem völlig freigestellt, ob man sich dazu die periodisierte
oder die einmalige Form des Signalmodells als Grundlage vorstellt: beide sind durch die
spektrale Folge X(k) eindeutig bestimmbar. Der einzige Unterschied zwischen beiden

52
Vorstellungen besteht nur darin, dass wir beim einmaligen Vorgang noch "in Gedanken"
interpolieren dürfen.
2.4.3 Diskretisierung des Rechteckfenster-Spektrums
Natürlich interessieren vor allem auch die praktischen Konsequenzen der spektralen
Diskretisierung: was wird real auf dem Bildschirm eines Schmalband-Analysators tatsächlich
dargestellt und wie hängt diese berechnete spektrale Folge mit dem tatsächlichen Signal
zusammen?
Am einfachsten benutzt man zur Diskussion dieser Frage wieder ein "einkomponentiges"
Signal x(n) = ejnΩx ; für andere Signale muss man sich dann noch eine Summation vorstellen.
Nach den im vorigen abschnitt geschilderten Prinzipien wird das wahre Spektrum
jΩ
X( e ) = 2πδ( Ω − Ω
X
) bei Annahme eines "einmaligen" Signalmodelles durch das
Fensterspektrum R(ejΩ) zu
j
( j( Ω−ΩX
))
( ) R( e )
Ω =
X e
nachgebildet, worin - im Fall des Rechteckfensters -
jΩ
− j( N−1)
( ) = e
R e
Ω / 2
Ω
sin N
2
Ω
sin
2
ist. Es hat die Nullstellen Ω = 2πm/N, m = ±1, ±2... .
Wenn wir nun für das um die Signalfrequenz Ω x verschobene Fenster-Spektrum die diskreten
Stützstellen Ω = 2πk/N berechnen:
( )
X k
= e
N−1⎛
2πk
⎞
− j ⎜ −ΩX
⎟
2 ⎝ N ⎠
N ⎛ 2πk
sin ⎜ − Ω
2 ⎝ N
1 ⎛ 2πk
sin ⎜ − Ω
2 ⎝ N
X
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
X
so hängt der Verlauf von X(k) sehr stark davon ab, ob Ω x "zufällig" mit einer Stützstelle Ω k
zusammenfällt oder nicht.
Mit
ist
Ω
X
=
( k + α)
2π
0
N
, α ≤ 1/ 2

53
( )
X k
= e
( k−k
)
⎛ N−1
2π
0
− j⎜
⎝ 2 N
2π
α
−
N
⎞
⎟
⎠
sin π
⋅
π
sin
N
[( k − k
0
) − α]
[( k − k ) − α]
0
(2.42)
nur für den Fall α = 0, den man in gewissem Sinn auch als den "besten Fall" bezeichnen
könnte. Hierfür ist nämlich
α =
0 :
( )
X k
⎧ 0 für k ≠ k
= ⎨
⎩N für k = k
0
0
innerhalb einer spektralen Periode. Man "erwischt" hier quasi "zufällig" die Nullstellen des
Fensterspektrums R und die Mitte seiner Hauptkeule.
Im Fall α = 0, bei dem die Signalfrequenz mit einer "Analysefrequenz" Ω k = 2πk/N
zusammenfällt, erhält man also ein Spektrum, das gerade nur aus einer Linie (und sonst nur
"Nullen") besteht. Da bei Messungen fast immer ein gewisses Rauschen im Signal enthalten
ist, entsprechen die "Nullen" in der praktischen Benutzung einem (sehr geringen) Pegel.
Beider Darstellung des (Mess-) Ergebnisses auf einem Bildschirm wird (meist) einfach ein
spektraler Punkt mit dem nächsten durch eine (kurze) Linie verbunden, es entsteht also im
"best case" eine Darstellung wie in Bild 2.6a.

55
Im "schlechtesten Fall" α=1/2 dagegen liegt die Signalfrequenz Ω x gerade in der Mitte
zwischen zwei Frequenzstützstellen Ω k . Hier werden gerade die Betragsmaxima in die
Nebenkeulen des Fensterspektrums quasi "zufällig" getroffen (Bild 2.5b).
Auf die Hauptkeule entfallen zwei Linien. Sie sind beide kleiner als das wahre Maximum im
kontinuierlichen Verlauf des Spektrums X(ejΩ). Ist (α) < 1/2, dann sind die beiden Linien
verschieden hoch. α = 1 2 ist der "schlechteste Fall", denn sonst zeigt die größere der beiden
Linien immer einen Wert an, der näher beim wahren Maximum liegt. Wenn man sich nur auf
die Spektrallinien verlässt (und das hier wohl angebrachte Interpolieren zur Berechnung der
wahren Höhe "vergisst"), dann erhält man eine Fehlinterpretation der Signalamplitude. Diesen
"Ablesefehler" nennt man maximalen Amplitudenfehler. Er beträgt nach Gl. (2.35) mit
α = 1 2
( )
X k
=
1
2
≈
0
j0
( ) π π
R e
Nsin
2N

56
das entspricht einer Pegeldifferenz von -3,9 dB. Man würde also einen um 3,9 dB kleineren
Signalpegel ablesen als wirklich vorhanden.
Wenn wieder nur die Punkte X(k) zu einer Kurve miteinander verbunden werden , dann erhält
man im "worst case" α=1/2 eine Darstellung wie im Bild 2.6b, die eine ziemlich breite
spektrale Gestalt quasi "vorspiegelt", denn diese ist gar nicht im Signal selbst, sondern nur in
seinem "Fenstermodell" enthalten.
Zwischen "bestem" und "schlechtesten" Fall existiert natürlich eine ganze Spannweite
verschiedener (diskreter) Spektren. Sie kann laicht aus einer Verschiebung der Stützstellen
am Rechteckfensterspektrum eingeschätzt werden.
2.5 Praktische Rechentechnik
2.5.1 Skalierung, Amplitudenspektrum
Vernünftigerweise wird man für die Rechenvorschrift Gl. (2.29) zur Berechnung der
Diskreten Fourier Transformierten noch mit einem Skalierungsfaktor versehen. Bei
praktischen Messungen ist es wünschenswert, als Anzeige unmittelbar die Größe der
Signalamplitude zu erhalten: Ein Signal der Form x(t) = x 0 cos ω x t soll im davon gebildeten
"Amplitudenspektrum" an der entsprechenden Stelle auch mit dem Wert x 0 versehen sein.
Nun wissen wir, dass wir auf Grund der Unschärferelation (2.32) immer mit einem
Aufspalten der "wahren" Spektrallinie in mehrere Anteile (z.B. in zwei gleich hohe, gefolgt
von einer abfallenden Folge im schlechtesten Fall) zu rechnen habe, was zu einer möglichen
"Fehlablesung" von bis zu 3,9 dB beim Rechteckfenster führen kann. Wir werden diesen
möglichen Fehler natürlich im Kopf behalten müssen und die Skalierung so einrichten, dass
sie wenigstens im "besten Fall" ω = 2πk 0 /T (T = Beobachtungsdauer = künstliche Periode =
hier auch natürliche Periode) die richtige Amplitude x 0 wiedergibt. Die Abtastfolge ist hier
also
nk
nk
⎛ nk ⎞ x ⎛
⎞
x π
(2.43)
0
0
j2π
− j2π
( ) =
0 0
⎜ ⎟ = ⎜ N
N
n x
+
⎟ 0
cos 2
e e
⎝ N ⎠ 2 ⎝
⎠
Definiert man analog zu Gl. (2.36) die nur neu skalierte Form
N
∑ − 1
n=
0
nk
− j2π
N
1
A ( k) = ε( k) x( n)
e
(2.44)
N

57
mit
ε
( k)
⎧1 für k = 0
= ⎨
⎩2 für k = 1, 2, N / 2 −1
(N gerade)
so erhält man für die Abtastfolge (2.43)
A
( k)
ε
=
2
N 1 n
n
( k) 1 − j2π
( k−k0
) − j2π
( k+
k0
)
( k)
x
0
N
∑ −
n=
0
e
N
+ e
ε
A ( k)
= x
0
( δ( k − k
0
) + δ( k + k
0
)).
2
Für alle k 0 (auch für k 0 = 0) gibt
( )
A k
⎧ x
0
für k = k
= ⎨
⎩0 für sonst
0
N
die gewünschte Amplitude an.
Es ist fast immer das nach (2.44) gebildete Amplitudenspektrum, das bei Auswertungen
benutzt wird.
2.5.2 Schnelle Fourier-Transformation (FFT)
Das klassische Mittel zur Berechnung der Transformierten besteht in der sog. "Schnellen
Fourier-Transformation", meist als FFT (Fast-Fourier-Transform) bezeichnet. Die
Grundüberlegung ist leicht verständlich. Um ihre Vorteile zu schildern, muss zunächst zu
Vergleichszwecken die einfachste und langwierigste Methode beschrieben werden. Sie soll -
der Kürze halber - Geradeaus-Methode genannt werden.
Bei ihr würde man die Summe
N
( ) ∑ − 1
− j2π
N
X = ( )
nk /
p
k x n e
(2.45)
n=
0
durch Ausführen der notwendigen Multiplikation in den Summanden und Aufsummieren
bilden, die Rechenvorschrift (2.38) würde "buchstäblich" ausgeführt. Wenn man "eine
Operation" als die Ausführung einer komplexen Multiplikation und einer Addition definiert,
so wären N Operationen für ein k notwendig. Für das komplette Spektrum X p (k) sind also N2
Operationen erforderlich.

58
Die FFT-Methode beruht nun auf der Zerlegung der Summe in zwei Teilsummen, wobei jede
Teilsumme wieder eine vollständige Transformation darstellt. Nimmt man für N eine gerade
Zahl an, so erhält man durch Neuordnen nach geradem und ungeradem Index
X
p
N / 2−1
− j2π
N
( k) = x( 2n) e + x( 2n + 1)
=
∑
n=
0
N / 2−1
∑
n=
0
= X
p, 1
x
2nk
nk
( 2n+
1)
− j2π
N − j2π
N
( 2n) e + e
k / x( 2n + 1)
− j2π
( k) e
k / N
X ( k).
p, 2
N / 2−1
∑
n=
0
N / 2−1
∑
n=
0
e
− j2π
N
e
k
nk
− j2π
N / 2
(2.46)
Wie man sieht, sind durch die Dekomposition zwei neue Transformationen entstanden, die
jeweils nur N/2 Elemente zum Gegenstand haben. Aus den Teil-Transformierten lässt sich
X p (k) konstruieren. Berechnet man nun die beiden N/2-Transformierten getrennt mit der
Geradeaus-Methode, so sind insgesamt 2 (N/2)2 Operationen zu ihrer Bildung nötig. Dabei
ergibt sich, dass auch bezüglich des Index k nur die Hälfte der Rechenoperationen nötig ist,
weil für beide Teil-Transformierten
X p, l (k + N/2) = X p, l (k) für 0 ≤ k= N/2 - 1 und l = 1 oder l = 2 gilt.
Hinzu kommen noch N Operationen zum Zusammensetzen von X p (k), in Summe sind
N(N/2+1) Operationen erforderlich. Der Aufwand ist also nur etwa halb so groß wie bei der
Geradeaus-Methode.
Nun kann man jede Teiltransformation wieder in zwei Teile aufspalten und damit den
Aufwand weiter reduzieren. Es ist also besonders günstig, eine möglichst oft durch 2 teilbare
Zahl als Folgenlänge zu verwenden, am besten eine Zweierpotenz, und in diesem Fall kann
man die Zerlegung so oft vornehmen, bis nur noch Folgen der Länge 1 übrig bleiben, bei
denen die Transformierte mit der aus einem Punkt bestehenden Folge identisch ist. Es bleibt
also nur übrig, die Teile wieder zum Ganzen zusammenzusetzen. Wie man zeigen kann,
beträgt dann der Aufwand an Operationen 2N lg 2 N. Dies bedeutet im Falle N = 1024 = 2 10
die Reduktion des Aufwandes auf etwa den 50sten Teil dessen beim Geradeaus-Algorithmus.
Die Verwendung von Zweierpotenzen als Folgenlänge ist dabei der bekannteste und am
meisten verwendete Sonderfall. Man kann allgemeiner nach jeder natürlichen Zahl zerlegen,
also etwa in drei Teilsummen aufspalten, wenn die Zahl 3 in der Folgenlänge enthalten ist.
Ebenso können beliebige Kombinationen benutzt werden. Neuerdings sind auch Methoden
entwickelt worden, die auch dann noch eine schnelle Transformation ermöglichen, wenn N
nicht eine hochgradig zusammengesetzte Zahl ist.

59
3. Fenster und Gewichtung
Wir haben im vorigen Kapitel die Unschärferelation kennengelernt. Sie besagt, dass die für
einzelne spektrale Komponenten mit Signalformen x(n) = e-jnΩ x eigentlich erwünschte,
impulsförmige spektrale Gestalt durch eine imperfekte Nachbildung dargestellt wird, die aus
dem Spektrum der Fensterfolge G(ejΩ) besteht. Im Falle des Rechteckfensters g = r der Länge
N, zum Beispiel, bilden wir die spektrale Delta-Funktion durch das Fensterspektrum
jΩ
− j( N−1)
( ) = e
R e
Ω
sin N
Ω 2
2 Ω
sin
2
(3.1)
(siehe auch Bild 2.4) und Gl.(2.27) nach. Wir kennen auch die in dieser Imperfektion
begründeten Nachteile: je nach Frequenzabstand lassen sich kleine, zusätzliche Signalanteile
im Spektrum nicht oder nur schwer entdecken, nah benachbarte Frequenzen können nicht
voneinander getrennt werden. Ein Maß für die "Entdeckbarkeit" kleiner Signalbestandteile ist
die Höhe der Nebenkeulen, ein Maß für die Auflösung dichter spektraler Anteile die
Hauptkeulenbreite.
Es ist nun ein naheliegender Gedanke, das Spektrum der Rechteckfolge (3.1) "ein wenig" zu
verformen, um damit die oben genannten Nachteile abzumildern. Da wir dabei das Spektrum
der Fensterfolge verändern, erzeugen wir natürlich gleichzeitig auch andere Gewichtsfolgen
innerhalb des Datenfensters, die natürlich außerhalb der Beobachtung den Wert Null
beibehalten:
g(n) = 0 für n < 0 und n ≥ N .
Die Gewichtsfolgen werden dann nicht mehr in 0 ≤ n ≤ N-1 den konstanten Wert 1 besitzen,
sie bilden - je nach Manipulation ihres Spektrums - einen gewissen, veränderlichen Verlauf.
Diese Tatsache wird uns nicht sehr stören, denn wir wissen, dass wir ohnedies stets zur
Nachbildung der Delta-Funktion durch Fenster-Spektren gezwungen sind (sofern das
Signalmodell entweder ein "einmaliger Vorgang" ist oder aus einer künstlichen
Periodisierung besteht).
Wir werden also im Folgenden Strategien entwickeln, Fensterfolgen so zu erfinden, dass ihr
Spektrum über möglichst geringe Nebenkeulenhöhe und über eine möglichst schmale
Hauptkeule verfügt. Wir werden dabei sehen, dass diese beiden Forderungen einen
Widerspruch darstellen: man kann entweder schmale Hauptkeulen "einstellen" und erhält
dann unvermeidlich "nicht sehr niedrige" spektrale Werte im Restband, oder man kann die

60
Nebenkeulen absenken und verbreitert zwangsläufig die Hauptkeule, beide Forderungen sind
nicht gleichzeitig erfüllbar.
Bei unseren Betrachtungen werden wir uns grundsätzlich auf reellwertige Fensterfolgen g(n)
mit der Symmetrieeigenschaft
g (N-n-1) = g (n) (3.2)
beschränken. Dass wir reelle Fensterfolgen zur Beobachtung reellwertiger Vorgänge benutzen
müssen, steht wohl außer Frage. Dass die Folgen symmetrisch sein sollen, begründet sich aus
der anschaulichen Forderung, dass Signalpunkte "am Fensteranfang" genauso gewertet
werden sollen wie Signalpunkte "am Fensterende".
Fensterfolgen zur gezielten Erzeugung von imperfekten Nachbildungen der spektralen Delta-
Funktion sind natürlich schon seit langem bekannt, sie werden häufig verwendet.
Insbesondere das sogenannte "Hanning-Fenster" (nach seinem Erfinder von Hann, einem
Österreicher, benannt) ist ein üblicher Standard, so dass wir diese Gewichtsfolge schon wegen
ihrer weiten Verbreitung als einleitendes Beispiel betrachten wollen. Die sehr weite
Verbreitung des Hanning-Fensters besitzt etwas Erstaunliches: Wie wir noch sehen werden,
ist das Hanning-Fenster nicht optimal, es "verschenkt" sozusagen ein wenig an der
Möglichkeit, eine optimierte Balance zwischen geringer Nebenkeulenhöhe und kleiner
Hauptkeulenbreite herzustellen. Wir werden darauf noch einmal zurückkommen, wenn wir im
Anschluss Betrachtungen über die gezielte Erzeugung optimierter Fensterfolgen anstellen.
3.1 Das HANNing-Fenster
Das HANNing-Fenster geht in von einem mehr intuitiven Standpunkt aus. Ähnlich wie ein
plötzlicher "Einschaltknack" (z.B. beim Einschalten eines Lautsprechers) ein breitbandiges
Ereignis darstellt, sind offenbar die "plötzlichen" Übergänge an den Rändern des
Rechteckfensters für die durch sein Spektrum zu breit vorgespiegelte Gestalt der
Frequenzinhalte verantwortlich. Man versucht deshalb, für eine künstliche Glattheit und
Stetigkeit der Übergänge an den Rändern zu sorgen, indem man die Hanning-Folge
g
( n)
⎧ 2 π ⎛ 1 ⎞ 2π
⎛ 1 ⎞
⎪2sin
⎜n
+ ⎟ = 1−
cos ⎜n
+ ⎟ in 0 ≤ n ≤ N −1
= ⎨ N ⎝ 2 ⎠ N ⎝ 2 ⎠
⎪
⎩ 0 , sonst
(3.3)
(die auch "Kosinus-Quadrat-" oder "Sinus-Quadrat-"Fenster genannt wird) als Gewichtung
innerhalb des Datenfensters benutzt. Der Vorfaktor 2 wird dabei benötigt, damit der spektrale
Wert G(ejΩ) in Ω = 0 gleichhoch wie beim Rechteckfenster R(ejΩ) = N ist (siehe unten). Man

61
bemerke, dass die durch (3.3) definierte Zahlenfolge die Symmetriebedingung (3.2) erfüllt.
Außerdem enthält g(n) im Definitionsintervall keine "Nullen", d.h. g(n)≠ 0. Die Folge hat
also tatsächlich "die Länge N".
Das Spektrum kann leicht bestimmt werden, mit
π n π n
2π
1 1⎡
j j2π
− j − j2π
⎤
N N N N
cos (n + ) = ⎢e
e + e e ⎥
(3.4)
N 2 2⎣
⎦
ist
G(e
=
jΩ
) =
N−1
∑
n=
0
e
N−1
∑
n=
0
−jnΩ
g(n)e
−
1
e
2
−jnΩ
π
j
N−1
N
∑
n=
0
e
2π
−jn(
Ω− )
N
1
− e
2
π
−j
N−1
N
∑
n=
0
e
2π
−jn(
Ω+ )
N
(3.5)
Jede Summe entspricht dem (verschobenen) Spektrum des Rechteckfensters:
π
2π
π
2π
j ⎛ j( Ω− ) ⎞ − j ⎛ j( Ω+ ) ⎞
jΩ
jΩ
1
= − ⎜ ⎟
1
N
N
N
− ⎜ N
G (e ) R(e ) e R
⎟
e
e R
e
(3.6)
2
⎝ ⎠ 2 ⎝ ⎠
Setzt man hierin das Rechteckfensterspektrum nach (3.1) ein
N −1
N
− j sin Ω
Ω
G(e
j ) = e 2 2
1
sin Ω
2
N ⎛ 2π
⎞
⎜Ω − ⎟
−
1 π N−1⎛
2π
⎞ sin
j − j ⎜ Ω− ⎟
N 2 ⎝ ⎠ 2 ⎝ N
e e
N
⎠
2
1 ⎛ 2π
⎞
sin ⎜Ω − ⎟
2 ⎝ N ⎠
N ⎛ 2π
⎞
⎜Ω + ⎟
−
1 π N−1⎛
2π
⎞ sin
− j − j ⎜ Ω+ ⎟
N 2 ⎝ ⎠ 2 ⎝ N
e e
N
⎠
2
1 ⎛ 2π
⎞
sin ⎜Ω + ⎟
2 ⎝ N ⎠
dann wird wegen
e
π
j
N
e
N−1
2π
j
2 N
= −1
und

62
e
π
− j
N
e
N−1
2π
− j
2 N
= −1
schließlich
jΩ
( e )
N−1
j Ω
2
G = e
⎧ N
⎪sin
Ω
2
⎨ +
⎪
1
sin Ω
⎪⎩
2
1
2
N ⎛ 2π
⎞
sin ⎜Ω − ⎟
2 ⎝ N ⎠
+
1 ⎛ 2π
⎞
sin ⎜Ω − ⎟
2 ⎝ N ⎠
1
2
N ⎛ 2π
⎞⎫
sin ⎜Ω + ⎟
2
⎪
⎝ N ⎠
⎬
1 ⎛ 2π
⎞
sin ⎜Ω + ⎟ ⎪
2 ⎝ N ⎠ ⎪⎭
(3.7)
Das Betragsspektrum |G(ejΩ)| ist durch den Klammerausdruck in (3.7) gegeben, der gebildet
N 1
wird aus der Summe der drei reellwertigen Funktionen sin Ω sin Ω , wobei die beiden
2 2
letzten noch um gerade einen Nullstellenabstand 2π/N nach rechts bzw. nach links
verschoben sind. Eine Darstellung der drei Funktionsanteile gibt Bild 3.1a.
Die Summe der drei Anteile lässt sich wie folgt einschätzen. Im Bereich der Nebenkeulen, für
Ω ≥ 4π , sind die beiden letzten Summanden etwa gerade dem Betrage nach halb so groß wie
N
der erste Summand, sie haben dabei stets das zu ihm entgegengesetzte Vorzeichen: die

63
Funktionswerte heben sich nahezu gegenseitig auf und besitzen deshalb in der Summe sehe
viel kleinere Werte als das Rechteckfenster (das durch den ersten Summanden alleine
beschrieben ist.) Das "Wegheben" ist dabei umso perfekter, je weniger sich die jeweils durch
den Nenner gegebenen Einhüllenden voneinander unterscheiden, und das ist für wachsende Ω
"von der Mitte Ω = 0 weg" immer besser der Fall. Es entsteht so ein spektraler Verlauf des
Hanningfensters wie in Bild 3.1b.

64
Die lineare Skalierung dieses Bildes lässt bei den kleinen Funktionswerten nur noch schwer
die Unterschiede erkennen, die Darstellung in dB zeigt diese dann ziemlich deutlich (Bild
3.1c).

65
Klar geht die eingangs schon anschaulich begründete "Verschmälerung" der spektralen
Gestalt gegenüber den Rechteckfenstern aus den vorgenannten Prinzipien und ihrer
Darstellung in den Bildern 3.1 hervor. Die Verschmälerung kann man auch als Absenkung
der Rechteckfenster-Nebenkeulen durch Benutzung des Hanning-Fensters ansehen; man
spricht deshalb auch von "Nebenkeulen-Unterdrückung". Die Haupt-Nebenkeulen-Abstände
∆ NK (in dB) ergeben sich aus dem Verhältnis
2π
⎛ j (k+
0,5)
( )
⎟ ⎞
j0
V = G e G⎜
e
N
(3.8)
⎝ ⎠
(k = ganze Zahl) zu
∆ NK = 10 lg |V| 2 (3.9)
Für k«N hängen die Werte ∆ NK fast nicht von der Folgenlänge N ab,. Für große Längen N
erhält man die in der folgenden Tabelle angegebenen Abstände
Tabelle 3.1: Haupt-Nebenkeulenabstände / dB
k Rechteckfenster Hanningfenster
1 13,5 entfällt
2 17,9 32,3
3 20,8 41,9
4 23,0 48,7
5 24,8 54,1
6 26,2 58,5
Der Preis für die sehr erhebliche Nebenkeulenunterdrückung besteht darin, dass im Bereich
der beiden ersten Nullstellen neben der Hauptkeule des Rechteckfensterspektrums nunmehr
von Null verschiedene spektrale Werte vorliegen (Bild 3.1b und c). Die ersten, die
Hauptkeule des Hanning-Fenster-Spektrums begrenzenden Nullstellen sind doppelt so weit
von der Hauptkeulen-Mitte entfernt wie beim Rechteck-Fenster-Spektrum.
In den begrenzenden Nullstellen ausgedrückt, ist also die Hauptkeulenbreite gerade doppelt so
groß wie beim Rechteckfenster.
Auch beim Hanningfenster interessiert natürlich vor allem auch die Gestalt der diskreten
Spektren, die sich aus den spektralen Stützstellen Ω = 2πk/N ergeben, wobei wie beim
Rechteckfenster ein "guter" und ein "schlechter" Fall (bezüglich eines möglichen
Amplitudenfehlers) zu berücksichtigen ist. Im

66
a) "Best case" Ω x = 2πk 0 /N (Bild 3.1d)
stimmt die Signalfrequenz Ω x wieder mit einer "Analysefrequenz" Ω x überein.
Auch hier werden gerade die Nullstellen der spektralen Fensterfunktion "zufällig getroffen"
(Bild 3.1d). Weil die Hauptkeule jedoch doppelt so breit ist wie beim Rechteckfenster
entfallen auf sie diesmal DREI spektrale Punkte, deren mittlerer die Signalamplitude
repräsentiert (Bild 3.1d). Wenn man die Punkte noch zu einer Linie verbindet, dann erhält
man eine Gestalt in Form eines Obelisken (Bild 3.1d). Beim
b) "Worst case" Ω x = (2πk 0 /N) + 0,5 (Bild 3.1e)
liegt die Signalfrequenz Ω x in der Mitte zwischen zwei "Analysefrequenzen Ω x ", es werden
also gerade die Betragsmaxima der Nebenkeulen getroffen, die hier allerdings sehr viel
rascher "von der Mitte weg" abnehmen als beim Rechteckfenster. Darin besteht ja gerade der
Grund für die Verwendung des Hanning-Fensters.

67
Weil die Hauptkeule des Hanning-Fenster-Spektrums doppelt so breit ist wie beim
Rechteckfenster entfallen hier im "worst case" vier spektrale Stützstellen auf sie. Daraus
ergibt sich bei Verbindung nur der spektralen Punkte zu einer Linie ein Verlauf "mit Plateau
in der Mitte" wie in Bild 3.1e.
Der maximale Amplitudenfehler bestimmt sich durch die beiden mittleren Spektrallinien im
"worst case" aus dem Verhältnis der Spektralwerte in Ω = 0 und Ω = π/N.
Mit
jπ
N
( )
G e
π
sin
=
2
π
sin
2N
π
sin
1
+
2
2 π
sin
2N
+
3
sin π
1 2
2 3π
sin
2N
1,5 0,5
= −
π 3π
sin sin
2N 2N

68
≈
1,5 ⋅2N 0,5 ⋅ 2N
−
π 3π
= 2,6667 ⋅ N
π
(3.10)
(für große N) und |G(e j0 )| = N ergibt sich
j0
( )
jπ
N
( )
G e
G e
π
= = 1,18
2,6667
(3.11)
Das entspricht einem maximalen Amplitudenfehler von 1,4 dB für das Hanningfenster, doch
deutlich weniger als beim Rechteckfenster mit 3,9 dB.
Noch einmal zusammenfassend zeigt Bild (3.2) zeigt die schmäleren Ausschnitte aus
Hanning- und Rechteck-Fenster-Spektren nach deren Diskretisierung.
Während im Falle eines Signals, das mit einer Spektrallinie in der Frequenz zusammenfällt,
das Rechteckspektrum tatsächlich auch nur "in einem Punkt" besteht (Kurve 1), wird der
spektrale Peak beim Hanning-Fenster durch drei, Dreieckförmig angeordnete Punkte gebildet

69
(Kurve 2). Der Grund besteht in der breiten Hauptkeulengestalt des Hanning-Fensters, von
der Mitte weg ist die nächste Nullstelle gerade 2 Frequenzinkremente entfernt. Liegt die
Signalfrequenz gerade in der Mitte zwischen zwei diskreten Frequenzstellen, so liegen in
beiden Fällen rechts und links von der wahren Signalfrequenz gleich hohe Stützstellen vor
(Kurven 3 und 4). Sie liegen für das Rechteckfenster um 3,9 dB, für das Hanning-Fenster um
1,4 dB unter der wahren Amplitude. In diesem Fall ist das mit dem Rechteckfenster
bestimmte Spektrum wesentlich breiter.
3.2 Die Herstellung von Gewichtsfolgen
Wir wollen nun Strategien entwickeln, mit denen Gewichtsfolgen so hergestellt werden
können, dass ihre Spektren in einem von uns gewünschten Sinne eine "optimale"
Nachbildung der eigentlich idealen Delta-Funktion im Spektralbereich darstellen.
Zunächst müssen wir uns die Bedingungen, unter denen die Entwicklung solcher
Gewichtsfolgen stehen, noch einmal deutlich machen:
a) die Folge soll die endliche Länge N besitzen:
g(n) = 0 für n < 0 und n ≥ N
b) die Folge soll reell und symmetrisch sein:
g(N-1 - n) = g(n).
Für gerade Folgenlängen N = 2M ist also zur Definition der Folge die Angabe von N/2, für
ungerade Folgenlängen die Angabe von (N+1)/2 reellen Zahlenwerten erforderlich. Natürlich
ist dann auch das Spektrum G(ejΩ) durch die gleiche Anzahl von Freiheitsgraden vollständig
festgelegt. Umgekehrt dürfen wir dann aber auch nur N/2 (bzw. (N+1)/2 Freiheitsgrade im
Spektrum benutzen, um es festzulegen.
Würden wir mehr Bedingungen stellen (z.B., indem wir in sehr vielen Punkten einen
spektralen Wert vorgeben), dann würden wir zwangsläufig auch eine Rücktransformierte
größerer Länge oder (und) ohne Symmetrieeigenschaft erhalten.
Nun zeigt ja schon die Definitionsgleichung
N−1
jΩ
− jΩ
( ) ∑g( n)( e ) n
G e
= ,
n=
0
dass Spektren (endlich langer Folgen) immer Polynome in e-jΩ einer durch die Folgenlänge
gegebenen Ordnung sind. Umgekehrt erhalten wir also stets eine durch die Ordnung

70
festgelegte Folgenlänge, wenn wir das Spektrum durch ein Polynom beschreiben. Auf welche
Weise wir das definierende Polynom bestimmen, sei es durch Angabe von Stützstellen, sei es
durch Angabe von Nullstellen, sei es durch Angabe seiner Koeffizienten (dann hätten wir die
Folge g(n) selbst angegeben), das hängt davon ab, was wir von G(ejΩ) erwarten.
Bevor wir darauf näher eingehen, müssen wir noch betrachten, auf welche Weise sich die
geforderte Symmetrie im Spektrum ausdrückt. Es ist wegen g(n) = g(N-1 - n):
Für geradzahlige N
N−1
jΩ
( ) = ∑g( n)
G e
=
=
=
n=
0
= e
= e
N / 2−1
∑
n=
0
N / 2−1
∑
n=
0
N / 2−1
∑
n=
0
g
g
g
e
− jnΩ
− jnΩ
( n) e + g( n)
− jnΩ
− j( N−n−1)
( n) e + g( N − n −1) e
Ω
[ ]
− jnΩ
− j( N−n−1)
( n) e + e
N−1
− j Ω N / 2−1
2
∑
n=
0
N−1
− j Ω
N / 2−1
2
∑
n=
0
g
( n)
2g
( n)
N−1
∑
n=
N / 2
N / 2−1
∑
n=
N / 2
⎡
⎢e
⎢⎣
e
⎛ N−1
⎞
j⎜
⎟Ω
⎝ 2 ⎠
− jnΩ
+ e
⎛ N−1
⎞
− j⎜
−n
⎟Ω
⎝ 2 ⎠
⎛ N −1
⎞
cos⎜
− n⎟Ω
⎝ 2 ⎠
⎤
⎥
⎥⎦
Ω
(3.12)
Für ungeradzahlige N
N−1
jΩ
( ) = ∑g( n)
G e
n=
0
= g
= g
= e
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
e
N −1⎞
⎟ e
2 ⎠
N −1⎞
⎟ e
2 ⎠
N−1
− j Ω
2
⎧
⎪
⎨g
⎪
⎩
− jnΩ
⎛
⎜
⎝
N−1
− j Ω
2
N−1
− j Ω
2
+
+
N −1⎞
⎟ +
2 ⎠
N−1
−1
2
∑
n=
0
g
N−1
−1
2
∑
n=
0
N−1
−1
2
∑
n=
0
− jnΩ
( n) e + g( n)
− jnΩ
− j( N−1−
n ) Ω
( g ( n) e + g ( N −1−
n) e )
2g
N−1
∑
N−1
n=
+ 1
2
⎛ N −1
⎜
⎝ 2
( n) cos − n .
e
− jnΩ
⎫
⎞ ⎪
⎟Ω
⎠
⎬
⎪
⎭
(3.13)
In beiden Fällen erhalten wir die Darstellung
N−1
− j Ω
jΩ
⎛ Ω
2
⎞
( e ) e P ⎜cos
⎟
⎠
G =
N−1
⎝
2
(3.14)

71
des Spektrums G durch ein Polynom N-1-ter Ordnung, vorausgesetzt nur, wir machen uns
klar, dass cos (M Ω/2) selbst ein Polynom der Ordnung M in cos (Ω/2) ist. Das aber ist leicht
aus Additionstheoremen zu zeigen:
Aus
2 cos M Ω 2 cos 2 Ω 2 = cos (M+2) Ω 2 + cos (M-2)Ω 2 (3.15)
und
cos 2 Ω 2 = 2 cos2 Ω
2
- 1
(3.16)
folgt
cos (M+2) Ω 2 = 2 cos M Ω 2 2 cos2 Ω
2
- 1 - cos (M-2) Ω 2 . (3.17)
Darin ist der Beweis enthalten (durch Induktion), dass cos ( M Ω ) ein Polynom der Ordnung
2
⎛ Ω ⎞
M in cos ⎜ ⎟ ist:
⎝ 2 ⎠
a) Es ist cos(0) = 1 und cos (2 2
Ω ) ein Polynom der Ordnung 2, also ist [M = 2 in (3.8)] cos
(4 2
Ω ) ein Polynom der Ordnung 4 mit nur geraden Exponenten, also ist cos ((M+2) 2
Ω )
ein Polynom der Ordnung M+2 mit nur geraden Exponenten, falls M geradzahlig ist.
⎛ Ω ⎞
b) Es ist cos ⎜ ⎟ ein Polynom der Ordnung 1. Also ist [M = 1 in (3.8)] cos (3
⎝ 2 ⎠
Polynom der Ordnung 3 mit nur ungeraden Exponenten, also ist cos ((M+2)
Polynom der Ordnung M+2 mit nur ungeraden Exponenten, falls M ungeradzahlig ist.
Ganz offensichtlich zeigt Gl. (3.8), dass in (3.5 a,b,c)
Ω ) ein
2
Ω ) ein
2
⎛ Ω ⎞
P N-1 (cos Ω/2) ein Polynom der Ordnung N-1 in cos ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
ist, wobei in P N-1
- nur ungerade Exponenten vorkommen, wenn N geradzahlig und
- nur gerade Exponenten vorkommen, wenn N ungeradzahlig ist.

72
Im Fall geradzahliger N erhalten wir dann sogar zwangsläufig eine Nullstelle im Polynom P N-
⎛ Ω ⎞
1 für cos ⎜ ⎟ = 0, es ist also für geradzahlige N:
⎝ 2 ⎠
⎛ Ω ⎞
⎜cos
⎟
⎝ 2 ⎠
P N − 1
Ω=±π
=
0
Wir erkennen an diesen Betrachtungen die verlangte "Informationstreue" zwischen Originalund
Bildbereich: Enthält das Polynom der Ordnung N-1 nur ungerade Exponenten
(geradzahlige N), dann können N/2 Koeffizienten "frei gewählt" werden; auch die
symmetrische Rücktransformierte der Länge N besitzt N/2 Freiheitsgrade. Enthält das
Polynom der Ordnung N-1 nur gerade Exponenten (ungeradzahlige N), dann können (N+1)/2
Koeffizienten gewählt werden; auch symmetrische Rücktransformierte besitzen (N+1)/2
Freiheitsgrade.
Die Koeffizienten des Polynoms
⎛
Ω ⎞
N 1
P N 1
cos ∑ − − ⎜ ⎟ =
2 n = 0
⎝
⎠
c
( n)
⎛ Ω ⎞
⎜cos
⎟
⎝ 2 ⎠
n
(3.18)
sind dabei natürlich nicht mit den Folgeelementen g(n) identisch, im Gegenteil ist es sogar
sehr umständlich, den Zusammenhang zwischen c(n) und g(n) auszudrücken. Wir werden
diesen Zusammenhang aber auch gar nicht explizit benötigen: Haben wir nur einmal das
Polynom und damit das Spektrum definiert, so können wir die zugehörige Gewichtsfolge
durch Rücktransformation gewinnen, wobei wir die in Kapitel 2.3 und 2.4 gewonnenen
Erkenntnisse nutzen. Wir brauchen nur die äquivalenten Stützstellen Ω n = 2π U N am
definierten Spektrum der (inversen) FFT zu unterziehen, um die Zahlenwerte numerisch zu
berechnen.
Nachdem wir nun die prinzipiellen Eigenschaften symmetrischer, endlich langer Folgen
kennen, wenden wir uns der Frage zu, wie denn die Polynome P N-1 (cos Ω/2) für die
Erzeugung "guter" Gewichtsfolgen beschaffen sein müssen. Nun ist ja für den
Funktionsverlauf eines Polynoms die Lage der Nullstellen entscheidend. Ist ein betrachteter
Punkt U in einem Polynom P N-1 (U) "in der Nähe" einer Nullstelle U o [P N-1 (U o ) = 0], dann ist
auch der Funktionswert P N-1 (U) vergleichsweise klein. Ist dagegen der betrachtete Punkt U
von allen Nullstellen "weiter weg", dann ist auch der Funktionswert P N-1 (U) vergleichsweise
groß. Daraus folgt das unabänderliche Prinzip aller Gewichtsfolgen: Es bleibt gar nichts
anderes übrig, als die Nachbildung der eigentlich erwünschten spektralen Deltafunktion δ(Ω)
so vorzunehmen, dass im Bereich Ω ≠ 0 - entsprechend cos Ω/2 ≠ 1 - so viele Nullstellen wie
eben möglich angesiedelt werden, wobei der Punkt Ω = 0 (entsprechend cos Ω/2 = 1) von den

73
Nullstellen schon "etwas weiter entfernt sein soll". Just durch diese anschauliche Vorstellung
kann man alle Gewichtsspektren deuten.
So wird beim Rechteckfenster offenbar die Hauptkeule durch das "Fehlen" einer Nullstelle
U=0 im ansonsten regelmäßigen Nullstellenmuster Ω = 2πU
N , U = ± 1, ± 2 erzeugt. Die
spektralen Werte zwischen den Nullstellen - die Nebenkeulen - ergeben sich dann daraus,
dass quasi "nicht genügend" Nullstellen wegen der gegebenen Folgenlänge verfügbar sind.
Alle Kunst der Gestaltung besteht nun letztlich darin, die Nullstellen des Rechteck-Fenster-
Spektrums "ein wenig" zu verschieben und damit Details am spektralen Verlauf zu
beeinflussen. Auf diese Weise kann man sich zum Beispiel das Hanning-Fenster erzeugt
vorstellen: Es entsteht einfach durch das Weglassen der ersten beiden Nullstellen im
Rechteckfenster-Spektrum. Es kann deshalb in seiner Gesamtheit offenbar gar kein
"optimales" Fenster sein: Optimal im Sinne abgewogener Forderungen nach kleiner
Hauptkeulenbreite und gleichfalls kleiner Nebenkeulenhöhe kann nur ein Fenster sein, bei
dem keine spektrale Nullstelle "verschenkt" wird: Alle N–1 verfügbaren Nullstellen müssen
zur Formung verwendet werden.
Wenn wir es besser machen wollen, dann müssen wir die Anzahl N–1 der überhaupt
möglichen spektralen Nullstellen beibehalten und nur ihre Lage ein wenig manipulieren.
Verschieben wir beispielsweise - ausgehend vom Rechteckfenster-Spektrum - die ersten
Nullstellen von Ω = 0 weg etwas weiter nach außen, dann werden sich die größten
Nebenkeulen verringern. Gleichzeitig aber verbreitern wir zwangsläufig die Hauptkeule. Wir
sehen: Man kann nicht beides haben; kleine Nebenkeulen und schmale Hauptkeulen sind sich
widersprechende Forderungen. Wir können entweder versuchen, kleine Nebenkeulen
einzustellen und müssen dann die nun einmal erzeugte Hauptkeule in Kauf nehmen; oder wir
benutzen schmale Hauptkeulen um den Preis höherer Nebenkeulen. Kein Fenster kann dieses
Prinzip durchbrechen.

74
4. Die Verwendung stationärer Zufallsprozesse als Messsignale
Eine (nicht nur) in der Technischen Akustik oft vorkommende Messaufgabe besteht darin, die
Übertragungsfunktion H(ω) eines (linearen, zeitinvarianten) Systems durch Messung zu
bestimmen. Zu diesem Zweck wird der Eingang des Systems (in Bild 4.1 ist es zum Beispiel
der Kraft-Zeit-Verlauf eines zu Biegeschwingungen angeregten Stabes) mit einem gewissen
Zeitsignal versorgt. Dieses Anregesignal und das daraus resultierende Ausgangssignal (im
Beispiel des Bildes 4.1 die Beschleunigung eines gewissen Stabpunktes) werden vom FFT-
Analysator registriert und zur Berechnung der Übertragungsfunktion weiterverarbeitet. Das
Anregesignal wird dabei einem Generator entnommen, der oft Bestandteil des Analysators ist.
Eine noch offene Frage besteht dabei vor allem in der Auswahl des Anregesignales x(t). In
Wahrheit hängt die Antwort darauf sehr von den Umständen ab. Zum Beispiel
• bevorzugt man für extrem schwach gedämpfte oder sehr schwer anregbare Strukturen
(wie etwa Eisenbahnwaggons oder Flugzeuge) MONOFREQUENTE Anregungen, um ein
möglichst großes Signal in einer schmalen Bandbreite zu konzentrieren. Die Frequenz
wird dann allmählich gleitend geändert (sine-sweep), so dass sich "langfristig" ein
breitbandiges Signal ergibt.
• erlauben manchmal die Messbedingungen nur kurzzeitige, impulsförmige Anregungen.
Das ist zum Beispiel der Fall, wenn der Freifeld-Frequenzgang von Lautsprechern
gemessen werden soll, ein reflexionsfreier Messraum jedoch nicht zur Verfügung steht.
Man schneidet dann das Ausgangssignal vor Eintreffen der ersten Reflexion von einer
Wand ab; es sind natürlich möglichst kurze Signale dabei erwünscht.
Andererseits haben sowohl "sine-sweep" als auch "impulse" Signale entscheidende Nachteile.
Im ersten Fall kann die Messdauer außerordentlich lang sein (die sine-sweep Vermessung
eines Eisenbahnrades mit außerordentlich kleiner Dämpfung kann sich über einige Stunden
erstrecken), ein nicht immer angemessener Aufwand. Man bedenke auch, dass (z.B. bei der
Modalanalyse) sehr viele Übertragungsfunktionen gemessen werden müssen.
Auch die Messung mit kurzen Impulsen kann erhebliche Probleme aufwerfen. Im Interesse
einer großen Signalbandbreite muss die Impulsdauer möglichst klein sein. Weil dabei (wegen
möglichen Nichtlinearitäten oder gar System-Beschädigungen) die Impulshöhe nicht beliebig
groß gemacht werden kann, ist die mit einem Impuls eingeleitete Signalenergie stark
beschränkt. Sehr oft ist andererseits ein unerwünschtes Eigenrauschen in der Messkette
vorhanden, das häufig in (empfindlichen) Messverstärkern besteht. Eine "gute
Messauswertung" erfordert ein hohes Signal/Rauschverhältnis, für dieses Ziel ist eine
Impulsanregung vom Prinzip her nicht gerade gut geeignet.
Im Grunde lässt sich das Problem dadurch beschreiben, dass die beiden genannten
Signaltypen "in einer Ebene breit, in der anderen Ebene dagegen schmal" sind: Sinus-Signale
sind "zeitlich" gut verteilt, die Signalenergie ist in vielen Zeitpunkten enthalten, dafür ist das
Spektrum außerordentlich schmal; der Impuls ist zwar breitbandig, dafür ist seine Energie nur
innerhalb einer sehr kleinen Dauer gespeichert. Ein ideales Messsignal müsste die beiden
erwünschten "breiten" Eigenschaften miteinander verbinden: es müsste sowohl "zeitlich gut
besetzt" (mit der Folge guten Rauschabstandes) als auch breitbandig sein (mit der Folge guter
Messzeiten).
Es ist seit langem bekannt, dass ein solches erwünschtes Messsignal durch das sogenannte
"Weiße Rauschen" zur Verfügung steht, das "die Breite auf beiden Ebenen" miteinander
verbindet. Die vielleicht einfachste Vorstellung, die man von diesem Rauschvorgang

75
gewinnen kann, besteht in einer völlig regellosen und zufälligen Abfolge von Zahlenwerten.
Solche Vorgänge "ohne System" in einer Abfolge von Zahlen sind zum Beispiel
• die Zahlenfolge, die beim wiederholten Werfen mit einem Spielwürfel entsteht,
• die Folge, die (ähnlich wie eben) beim Münze Werfen entsteht (dabei werden Vorder- und
Rückseite je einer bestimmten Zahl zugeordnet, z.B. +1 und -1, aber auch jedes andere
Zahlenpaar kann benutzt werden),
• die (abgetastete) Zahlenfolge, die durch thermisches Rauschen in elektrischen
Widerständen entsteht und
• das Schalldrucksignal, das durch das Tosen der niederstürzenden Wassermassen bei
Wasserfällen hervorgerufen wird.
Alle diese Beispiele bezeichnen weiße Rauschvorgänge. Das Wesentliche an ihnen besteht in
der völlig zufälligen REIHENFOLGE von Zahlenwerten: es gibt KEINERLEI
Gesetzmäßigkeit, die hilft, einen aktuellen Wert x(n) in der Folge aus den vorangegangenen
Werten x(n-k), k=1,2,... zu bestimmen. Das aktuelle Element ist nicht vorhersehbar, welcher
Zahlenwert beim Würfeln "das nächste Mal" fallen wird, das kann man vorher nicht wissen
und auch nicht auf Grund "langer Erfahrung" mit dem Würfel irgendwie eingrenzen.
Unter weißem Rauschen versteht man also Zahlenfolgen mit regelloser Reihenfolge der
aufeinanderfolgenden Werte. Welche Wertvielfalt (z.B. 1,2,3,4,5 und 6 beim Würfeln) dabei
erlaubt ist, ist dabei völlig unerheblich. Beim technisch nutzbaren Signal, das von einem
Rauschgenerator erzeugt wird, erhält man einfach "viele verschiedene" Werte innerhalb eines
gewissen Intervalls. Im Bild 4.1a ist eine Stichprobe des Zeitverlaufes als Beispiel angegeben.

77
Es fragt sich nun, in welchem Sinne solche Zufallsgrößen über die erwünschten
Eigenschaften "Signalenergie sowohl über die Zeitpunkte als auch über die Frequenzen
gleichmäßig verteilt" besitzen. Sie können über diese Qualitäten nur in einem statistischen
Sinn verfügen, denn in einem einzelnen "Signalstück", das gerade der Fensterlänge bei der
Abtastung entspricht, kommen viele, zufällig verteilte Funktionswerte vor (siehe z.B. Bild
4.2a). Erst wenn man viele solcher Signale betrachtet und einen Mittelwert bildet, erhält man
eine gleichmäßige Energieverteilung längs des zeitlichen Fensters. Erst die durch
x
2
M
1
= ∑
(4.1)
i
M
2
( n) x ( n)
i=
1
bezeichnete mittlere Signalenergie x 2 ist für weiße Rauschvorgänge längs des Fensters
n=0,1,...,N-1 konstant, x 2 ( n)= const( n). Dabei ist in (4.1) xi(n) eine (gefensterte)
Stichprobenfolge der Länge N; es werden M Stichproben genommen und aus ihnen der
(quadratische) Mittelwert gebildet. Jede Stichprobe besteht also aus "einem Stück des
Zeitverlaufes" dessen Länge (oder "Dauer") gerade durch die Fensterbreite gegeben ist.
Auch die spektralen Eigenschaften von Rauschen können erst durch "statistische
Betrachtung" bezeichnet werden, die Spektren Xi(ω) der einzelnen Stichproben xi(n) haben
einen ebenso zufälligen Verlauf wie der Zeitverlauf der Stichprobe selbst (Beispiel in Bild
4.2b). (Anmerkung: Xi(ω) bedeutet das Spektrum einer Stichprobe xi(n) in dem in den
vorigen Abschnitten geschilderten Sinn. Präzise ausgedrückt: Xi(ω) bezeichnet die diskrete
Fourier-Transformation von xi(n) nach Gleichung (2.32), wobei zuvor noch eine
Fensterfunktion angebracht worden sei kann, xi(n)→g(n) ) Der Grund für die Tatsache, dass
die Transformierten der Stichproben gleichfalls "Zufallsverläufe" sind, erklärt sich einfach
aus der inhaltlichen Bedeutung des Begriffs "Spektrum": dieser Begriff beinhaltet ja nichts
anderes als den Versuch, die in einem Signal vorkommenden "Ordnungen" zu erfassen und
darzustellen. Das Signal wird nämlich gerade auf das "Ordnungsprinzip enthaltener
Periodizitäten" hin untersucht; sind diese Vorhanden, so wird das durch einzelne "Peaks" im
spektralen Verlauf angezeigt. Ist andererseits ein Vorgang völlig regellos (und also weißes
Rauschen), dann kann das Spektrum ebenfalls keine Ordnung besitzen: es besteht selbst in
einer zufälligen, ordnungsfreien Zahlenfolge. Für weißes Rauschen ist also die spektrale
Leistung
1
M
2
G
xx
( ω ) = ∑ X ( ω)
(4.2)
i
M m=
1
nach Mittelung über viele Stichproben frequenzunabhängig, G xx (ω) = const(ω), siehe auch
Bild 4.2c.
Wie man sieht, erhält man brauchbare Aussagen über die Qualitäten zufälliger Signale erst,
wenn man diese einem Mittelungsverfahren unterzieht. Diese Notwendigkeit wird natürlich
auch die folgenden Betrachtungen bestimmen. Zur Abkürzung der Schreibweise wird deshalb
zunächst die Operation E "Bildung des Mittelwertes" (ein anderes Wort für Mittelwert wäre
der Erwartete Wert) eingeführt:
1
E { x} = ∑
(4.3)
M
M
x i
i=
1

78
worin xi aus den Stichproben abgeleitete Größen sind. Z.B. ist das Leistungsspektrum von x
1 *
{ } = ∑ Xi
( ω) ⋅ Xi
( ω)
*
( ω) = E X ( ω) ⋅ X( ω)
G (4.4)
xx
M
Mehr am Rande sie vermutet, dass man die lineare Mittelung noch durch gewichtete
Mittelungen
E{ x} =
1
M ⋅ G
M
∑ g i ⋅x i
(4.5)
i=1
(z.B. exponentielle Mittelung mit gi = e -iα ) ersetzen kann und dass M eine hinreichend große
Zahl sein muss (in der Messpraxis "probiert" man meist einfach einige M aus).
Rauschvorgänge, wie oben geschildert, werden also nun zur Anregung eines linearen
Übertragers (wie in Bild 4.1 angedeutet) benutzt, mit dem Ziel, dessen Übertragungsfunktion
H(ω) aus Eingangs- und Ausgangssignal zu ermitteln. Im Prinzip ist es dazu "nur"
erforderlich, die Spektra von Eingangssignal und Ausgangssignal zu bestimmen und H aus
deren Quotient zu berechnen. Andererseits ist aber gerade die Bestimmung "des Spektrums"
gerade bei Rauschvorgängen offensichtlich gar nicht so leicht: die spektrale Qualität schält
sich erst nach Mittelung über Stichproben heraus.
Eine naheliegende Idee zur Schätzung der Übertragungsfunktion H(ω) nach Betrag und Phase
beruht auf einer Verallgemeinerung der in (4.4) definierten Leistungsdichte. Dazu wird
zunächst die Mittelwertbildung auf dem Produkt Xi*(ω) . Yi(ω) aufgebaut und das sogenannte
"Kreuzleistungsspektrum" zu
M
1 *
{ } = ∑ Xi
( ω) ⋅ Yi
( ω)
*
( ω ) = E X ( ω) ⋅ Y( ω)
G (4.6)
xy
M
i=
1
definiert. Diese Festlegung scheint nützlich zu sein. Wenn man unter gewissen
Voraussetzungen annehmen darf, dass zwischen den Stichprobenspektren von Eingang und
Ausgang die Beziehung
i
( ω) = H( ω) ⋅X
( ω)
Y (4.7)
i
bestehen würde (tatsächlich gilt (4.7) nur für eine ganz bestimmte Übertragungsfunktion H,
wie das folgende zeigt), dann wäre dieser als "Transferfunktion" bezeichnete Quotient
F xy ( ω) = G xy ( ω)
G xx ( ω)
(4.8)
in der Tat mit der Übertragungsfunktion identisch, es wäre dann nämlich
∑
G xy ( ω) = 1 M X i * ( ω)⋅ H( ω)
⋅ X i ( ω) = H( ω)⋅ G xx ( ω) (4.9)
In Wahrheit stellt die nach (4.8) definierte Transferfunktion nur eine (möglicherweise sogar
schlechte) Schätzung für die Übertragungsfunktion H(ω) dar. Tatsächlich gilt ja (4.7) einzig

79
für die Spektren y(ω) und X(ω) der jeweils GANZEN Fourier-Transformierten Signale x und
y:
Y( ω) = H( ω)⋅X( ω) (4.10)
∞
mit X( ω) = F { ( )} −jωt
x t = ∫ x(t) e dt
−∞
∞
Y(ω) = F { ( )} −jωt
y t = ∫ y(t) e dt
−∞
allgemein aber KEINESWEGS für Transformierte, die auf (im Grunde ja beliebig
"herausgerissene") Stücke der Zeitverläufe aufgebaut sind. Diese Tatsache lässt sich natürlich
auch an der in den Zeitbereich (mit Hilfe des Faltungssatzes) zurückübersetzten Gleichung
(4.10) ablesen:
y(t)
∞
=∫
0
h( τ)x(t
− τ)dτ
(4.11)
Für einen Punkt t, der in der aktuellen Stichprobe 0 ≤ t ≤ T liegen möge, ist
t
y(t) = ∫ h( τ)x(t
− τ)dτ+
∫ h( τ)x(t
− τ)dτ
0
∞
t
(4.12)
Nur das erste Integral beschreibt den Anteil von y(t), der auf den Zeitverlauf von x(t) in der
gleichen Eingangsstichprobe 0 ≤ t ≤ T zurückzuführen ist. Das zweite Integral
berücksichtigt hingegen Eingangssignalteile in ihrer Wirkung auf den aktuellen Ausgang, die
sich schon VOR t = 0 ereignet haben und mithin zu früheren Stichproben gehören. Wie auch
Bild 4.3 zu demonstrieren versucht lehrt das Faltungsintegral (4.11) gerade, dass der Ausgang
zum Zeitpunkt t auf ALLEN VORANGEGANGENEN EINGÄNGEN beruht; eine
Unterteilung der Signale in "Stichproben mit endlicher Fensterbreite" kann das gar nicht
erfassen und ist zwar aus praktischen Gründen erforderlich, dabei jedoch der wahren
Übertragung durch das System nicht angemessen.

Freilich kann die mit (4.8) vorgenommene Schätzung der Übertragungsfunktion dabei einen
nur kleinen Fehler beinhalten. Der Fehler ist dann gering, wenn die Impulsantwort h(t) so
beschaffen ist, dass Anteile aus früheren Stichproben - ausgedrückt durch das zweite Integral
in (4.12) - y(t) nur wenig beeinflussen: das ist dann der Fall, wenn die Impulsantwort "kurz"
ist verglichen mit der Fensterbreite T der Stichproben (siehe auch Bild4.3), wenn es sich also
z.B. bei h(t) um eine während T "hinreichend rasch abklingende Funktion" handelt. In diesen
Fall ist das erste Integral in (4.12) bestimmend für y(t). Vollständig wird y ausschließlich
durch das erste Integral in (4.12) bestimmt, wenn im System gar keine zeitliche Verzögerung
enthalten ist, wenn also h(t) = V . δ einen reinen Verstärker mit H(ω) = V = const beschreibt;
einzig in diesem Fall gibt (4.7) auch für Stichproben von Ausgangs- und Eingangssignal,
denn für ein solches System wird ein Ausgangswert einzig durch den gleichzeitigen
Eingangswert bestimmt. In jedem anderen Fall enthält h(t) eine Verzögerung oder ein
80

81
Nachklingen des Systems, das stets notwendig dazu führt, dass aktuelle Ausgangswerte
mindestens teilweise auf Anregungen aus der Vorgeschichte zurückzuführen sind.
Grundsätzlich ist also die Transferfunktion Fxy eine Schätzung für die wahre
Übertragungsfunktion H, die einen systematischen Fehler enthält. Ein Maß für die Qualität
der Schätzung bietet die Kohärenz γ 2 . Sie ist definiert als das Verhältnis aus der auf Grund
der Schätzung Fxy über das System H quasi "scheinbar" übertragene Leistung zu der
ausgangsseitig tatsächlich vorgefundenen Leistung, also
γ
2
F
=
xy
2
( ω) ⋅G
xx
( ω)
G ( ω)
yy
(4.13)
Setzt man noch Fxy = Gxy/Gxx ein, so erhält man
γ 2 = G xy ( ω)
G xx ( ω) ⋅ G xy *( ω)
G xx *( ω) ⋅ G xx ( ω)
G yy ( ω) = G xy ( ω)⋅G
xy *( ω)
G xx ( ω)⋅G yy ( ω)
(4.14)
weil Gxx =Gxx* reellwertig ist. Die Schätzung Fxy(ω) berücksichtigt wie erläutert nur einen
Teil des tatsächlichen Leistungstransportes über das System, es ist also F xy
2
⋅Gxx ≤ G yy ;
aus diesem Grund ist die Kohärenz höchstens gleich 1: 0 ≤ γ 2 ≤ 1. Je größer γ 2 , desto besser
gibt die Schätzung Fxy den wahren Leistungstransport an.
Die Bedeutung der Kohärenz γ 2 lässt sich auch an Hand eines anderen Schätzwertes für den
Betrag der Übertragungsfunktion |H(ω)| ablesen. Es bezeichnen nämlich wie erwähnt Gyy(ω)
und Gxx(ω) die tatsächlichen spektralen Leistungen, vorausgesetzt nur, dass ihre Berechnung
"mit diskreten Mitteln" wie in den Kapiteln 2 und 3 geschildert (fast) keine Fehler enthält. Für
die Berechnung der spektralen Leistung je EINES Zeitverlaufes spielt gar keine Rolle, durch
welche Ursachen dieser hervorgerufen sein mag. Es ist also
H s ( ω) 2 = G yy ( ω)
G xx ( ω) ≅ H( ω)2
(4.15)
eine "bessere" Schätzung von |H(ω)| als |Fxy(ω)| 2 , weil hierin Fragen nach der Herkunft der
Ausgangssignal-Bestandteile unbedeutend sind. So gesehen wird die nach (4.8) definierte
Transferfunktion nur aus dem Wunsch nach Bestimmung des System-Phasenganges
erforderlich, denn dieser lässt sich natürlich aus dem Verhältnis der Leistungsspektren alleine
nicht berechnen.
Die Kombination von (4.13) und (4.15) ergibt nun
F xy ( ω) 2 ≅ γ 2 H( ω) 2 (4.16).
Wie man erkennt, unterschätzt die Transferfunktion grundsätzlich die wahre
Übertragungsfunktion, F 2
xy ≤ H
2
. Wie man ebenfalls sieht, gibt γ2 direkt den Fehler an. In
Pegeln ausgedrückt beträgt er ∆L = 10lgγ 2 . Wenn höchstens 1dB Fehler zugelassen sein soll,

82
dann muss γ 2 ≥ 0,8 eingehalten werden. Diese Grenze bezeichnet etwa die Verhältnisse, die
bei praktischen Messungen eingehalten werden sollen.
Bei schlechterer Kohärenz müssen die Mess- und Auswerte-Parameter in Hinblick auf eine
Verbesserung von γ 2 geändert werden. Insbesondere kommt dazu die Verwendung einer
größeren Fensterlänge T, damit gleichzeitig eine verbesserte Auflösung ∆f = 1/T und eine
Verringerung der Bandbreite der Messung in Frage. Gegebenenfalls muss die interessierende
Bandbreite in mehrere Bänder zerlegt werden, die dann einzeln (u.U. mit der Zoom-Technik)
analysiert werden.
Die oben geschilderten Sachverhalte sollen am Beispiel einer mit weißem Rauschen
eingangsseitig gespeisten Verzögerungsleitung (Verzögerungszeit T v ) illustriert werden.
Solche "Time-Delays" kommen in der Akustik oft vor, z. B. ist jede Luftschall-Übertragungs-
Strecke eine Verzögerung. Wie Bild 4.4 zeigt, ist nur der Teil (1 - T v /T)Y i des Spektrums Y i
der i-ten Stichprobe des Ausgangssignals auf die gleiche Eingangsstichprobe zurückzuführen.
Da alle Vorgänge und Teilvorgänge weißes Rauschen sind, erfolgt die Verteilung dabei auf
alle Frequenzen gleichmäßig. Der fehlende Rest (T v /T)Y i wird durch die davor liegende
Stichprobe X i-1 hervorgerufen. Es ist also
⎛
Y i ( ω) = 1− T v ⎞
⎝ T ⎠ H( ω)
X i ( ω)
+ R i ( ω)
worin H die "wahre" Übertragungsfunktion, H = e- jωTv und Ri(ω) den "Rest" bezeichnet, der
aus früheren Stichproben des Eingangssignals herstammt. Deshalb gilt E{Ri(ω)Xi*}=0, und
daher ist

83
G
xy
Wie man sieht ist
⎛ T ⎞
{ } = ⎜ −
v
1 ⎟H( ω) G ( ω)
( ω ) =
*
E X ( ω ) ⋅ Y( ω )
⎝
T ⎠
xx
F xy ( ω) 2 = G xy ( ω)
2
G xx ( ω)
= 1 − T 2
⎛ v ⎞
⎝ T ⎠
H( ω) 2 (4.17)
und die Kohärenz γ 2 beträgt
γ 2 = 1 − T 2
⎛ v ⎞
⎝ T ⎠
(4.18)
Die Bilder 4.5a und b zeigen ein Beispiel, das mit Hilfe eines FFT-Analysators hergestellt
worden ist.

84
Hier war Tv/T=0,2 (siehe auch Bild 4.5c und die noch folgenden Erläuterungen zur
Kreuzkorrelationsfunktion); das ergibt breitbandig den Wert von γ 2 =0,64 und 10 lg
|Fxy/H| 2 =-2dB. Für γ 2 ≥ 0,8 - entsprechend einem Messfehler von höchstens 1 dB für die

85
durch F xy geschätzte Übertragungsfunktion - muss die Verzögerungszeit weniger als 10% der
Fensterlänge betragen. Wird ein Analysator mit einem Messbereich 0 ≤ f ≤ 10kHz und 401
Linien (∆f = 25 Hz) betrieben, so ist T = 0,04 s und die maximale Verzögerungszeit T v =
0,004 s. Mit der Schallgeschwindigkeit c = 340 m/s entspräche das einer
Schallübertragungsstrecke von 1,36 m Länge. Verringert man den Frequenzbereich auf 1/10
(0 bis 1000 Hz), so erhält man den 10-fachen Wert.
Natürlich können Kohärenz-Probleme auch bei anderen nachklingenden Systemen (wie z.B.
der einfache Resonator in Abschnitt 1.6) vorkommen, also z.B. auch bei Schwingungen von
Stäben und Platten oder allgemeiner bei Strukturen, bei denen die Schwingenergie nicht über
die Ränder abfließen kann. Bei solchen nachhallenden Systemen muss man darauf achten,
dass die Abklingzeit kleiner als die Fensterbreite T der Beobachtung ist.
Wie man an der Herleitung erkennt, gelten unsere Betrachtungen über die an einer
Verzögerungsleitung gemessenen Größen nur für die Verwendung des Rechteckfensters für
die Stichproben. Benutzt man (z. B.) stattdessen das HANNing-Fenster für beide Kanäle, dann
ändern sich die Verhältnisse sehr stark. Die zuerst am Systemausgang ankommenden
Signalteile (schraffierter Bereich in Bild 4.3) stammen zwar von früheren
Eingangsstichproben her, sie treten jetzt jedoch wegen ihrer hier sehr wirksamen Bewertung
durch die Fensterfunktion kaum noch in Erscheinung. Der "Hauptanteil" der durch das
Fenster in der Mitte konzentrierten Ausgangs-Stichprobe stammt nun tatsächlich zu einem
viel größeren Anteil von der gleichen Eingangsstichprobe her. Das führt zu einer sehr
deutlichen Erhöhung der berechneten Kohärenz gegenüber dem Fall der Beobachtung mit
dem Rechteckfenster.
Zum Abschluss wollen wir noch der Frage nachgehen, welche Zeitverläufe sich aus der
Rücktransformation von Leistungsspektren ergeben. Die zum Kreuzleistungsspektrum
gehörende Rücktransformierte
g = F { }
-1 G
xy
xy
wird Kreuzkorrelationsfunktion genannt, im Falle y = x des Leistungsspektrums heißt die
Rücktransformierte Autokorrelationsfunktion. Es zeigt sich, dass die
Kreuzkorrelationsfunktion eine Schätzung der (kurzen) Impulsantwort eines linearen Systems
angibt, wenn x aus weißem Rauschen besteht:
h ( t)
= F -1 ( ω)
{ H }≈ F -1
⎧G
⎨
⎩G
xy
xx
( ω)
( ω)
⎫ g
⎬ =
⎭ G
xy
xx
( t)
( ω)
, (4.19)
weil G xx eine Konstante ist. Hier finden wir im Grunde nur Bekanntes bestätigt. Ist die
Kreuzkorrelierte "kurz" im Sinne einer Delta-Funktion, dann ist das Kreuzleistungsspektrum
breitbandig und glatt (das gleiche gilt selbstverständlich für die Autokorrelierte und das
Leistungsspektrum) und umgekehrt. Ist das lineare System eine Verzögerungsleitung
h( t) = δ ( t − T 0
) mit der Verzögerungszeit T o , dann ist g xy (t) ebenfalls ein verzögerter
Impuls. Diese Tatsache kann man zur Messung von Verzögerungszeiten nutzen.
Bild 4.5 c zeigt das Beispiel einer an einer Verzögerungsleitung gemessenen
Kreuzkorrelationsfunktion, dem man T v /T = 0,2 entnehmen kann.
Zum Abschluss sei noch erläutert, wie die Korrelationsfunktionen unmittelbar aus den
Zeitverläufen bestimmt werden können. Sie werden schließlich durch Rücktransformation des

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Produktes von Transformierten gebildet, es muss also auch direkt im Originalbereich eine
Berechnungsvorschrift bestehen. Benutzen wir zur Herleitung diskrete Zahlenfolgen x(n) und
y(n) mit N Stichproben x i (n) und y i (n) endlicher Länge M. Es ist dann (mit Gleichung 2.11)
π
1
jΩ
jnΩ
g
xy
( n) = ( ) Ω
π
∫ G
xy
e e d
(4.20)
2
−π
und mit Hilfe von (4.1) folgt
g
1
2π
π
1
N−1
* jΩ
jΩ
jnΩ
( n) = ∫ ∑ X
i
( e ) Yi
( e ) e dΩ
xy
,
N
−π i=
0
schließlich m. H. von (2.8),
g
xy
1
N
jkΩ
* − jkΩ
( n) = e ⎜ x ( k) e y ( m)
=
1
N
N−1
∑
i=
0
1
2π
N−1
M−1
∑∑
i=
0 k=
0
π
∫
−π
x
*
i
⎛
⎝
M−1
∑
k=
0
M−1
1
2π
j( k−m+
n )
( k) y ( m) e
∑
m=
0
i
i
π
∫
−π
M−1
∑
m=
0
Ausnutzung der Orthogonalitätsrelation (2.9) ergibt
also
g
xy
1
N
*
( n) = x ( k) y ( m) ⋅ δ( k − m + n)
=
1
N
N−1
M−1
∑∑
i=
0 k=
0
N−1
M−1
∑∑
i=
0 k=
0
x
i
*
i
M−1
∑
m=
0
( k) y ( n + k),
i
i
i
Ω
e
− jmΩ
dΩ.
⎞
⎟
⎠
e
jnΩ
dΩ
g
xy
⎧
M 1
= ⎨∑ − i
k=
0
*
( n) E x ( k) ⋅ y ( n + k) .
⎩
i
⎫
⎬
⎭
(4.21)
Wie man sieht, wird im Grunde über Faltungen mit negativer Verzögerung n gemittelt.
Entsprechend gilt für die Autokorrelierte
g
xx
⎧
M 1
= ⎨∑ − i
k=
0
*
( n) E x ( k) ⋅ x ( n + k) .
⎩
i
⎫
⎬
⎭
(4.22)